76210-probabilidade__6_
39 pág.

76210-probabilidade__6_


DisciplinaCálculo Numérico16.115 materiais270.020 seguidores
Pré-visualização7 páginas
\ufffdPAGE \ufffd
\ufffdPAGE \ufffd100\ufffd
ESTATÍSTICA BÁSICA
Probabilidade
No estudo das probabilidades estamos interessados em estudar o experimento aleatório, isto é, aquele cujo resultado é incerto, embora o conjunto de resultados possíveis seja conhecido. 
Por exemplo, lançar um dado ou uma moeda e observar o resultado obtido constituem um experimento aleatório. Da mesma forma, sortear uma bola de um conjunto de bolas numeradas de 1 a 100 também é um experimento aleatório.
Em termos gerais, a probabilidade determina a possibilidade de ocorrer um determinado resultado. 
Espaço Amostral (\u3a9)
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
Lançamento de uma moeda: \u3a9 = {c, k} sendo c = cara e k = coroa
Lançamento de duas moedas: \u3a9 = { c c, c k, k c, k k }
Lançamento de um dado: \u3a9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Retirada de uma carta do baralho:
\u3a9 = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (() 
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (()
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (() 
 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K (() }
Vida útil de um componente eletrônico: \u3a9 = { t = IR ( t ( 0 }
Evento
A cada experimento está associado um resultado obtido, não previsível, chamado evento. Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral, sendo representados por letras maiúsculas A, B, C, D, etc. 
Exemplo: 
Lançam-se dois dados. Enumerar o espaço amostral e depois os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10
C: saída de faces cuja soma seja menor que 2
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15
E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra 	
F: saída de faces desiguais 
Solução:
O espaço amostral desses eventos (todos os resultados possíveis de serem obtidos no lançamento dos dois dados) está descrito na tabela a seguir:
Tabela 1 \u2013 espaço amostral ( \u2126) no lançamento de dois dados
	D1/D2
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	1
	1,1
	1,2
	1,3
	1,4
	1,5
	1,6
	2
	2,1
	2,2
	2,3
	,2,4
	2,5
	2,6
	3
	3,1
	3,2
	3,3
	3,4
	3,5
	3,6
	4
	4,1
	4,2
	4,3
	4,4
	4,5
	4,6
	5
	5,1
	5,2
	5,3
	5,4
	5,5
	5,6
	6
	6,1
	6,2
	6,3
	6,4
	6,5
	6,6
Eventos:
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}
C = { } (evento impossível)
D = \u3a9 (evento certo)
E = {(1,2), (2,4), (3,6), (2,1), (4,2), (6,3)}
F = D - A
Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável, todo subconjunto poderá ser considerado um evento. Pode-se demonstrar que se ( contiver n elementos , existirão exatamente 2n subconjuntos (eventos).
Exemplo: 
Considere um espaço amostral finito: ( = {A, B, C, D}. Os subconjuntos do espaço amostral são: {(, A, B, C, D, (A,B},{A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}, {A,B,C}, (A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}, {A,B,C,D}. Observa-se que 24 = 16 é o número de total de eventos extraídos de (.
Princípios de contagem
A notação n(A) será usada para dar o número de elementos distintos de um conjunto A (cardinalidade de A). Alguns autores utilizam #A ou card(A) ao invés de n(A). Um conjunto é finito quando contém exatamente m elementos distintos, m ( IN. 
Exemplo:
Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas sucessivamente 3 bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes eventos:
A: As três bolas são da mesma cor.
B: Duas bolas são brancas
C: As três bolas são vermelhas
D: O número de bolas brancas é igual ao número de bolas vermelhas.
E: O número de bolas brancas é maior do que de bolas vermelhas
Solução:
Espaço amostral do experimento:
{BBB, BBV, BVB, VBB, BVV, VBV, VVB, VVV}; n (\u3a9) = 8
A = {VVV, BBB}; n(A) = 2
B = {BBV, BVB, VBB}; n(B) = 3.
C = {VVV}; n( C) = 1
D = ( ( n (D) = 0
E = {BBB, BBV, BVB, VBB} 
	
Operações com eventos
Conjunto universo ou espaço amostral (\u3a9): é o conjunto formado por todos os eventos possíveis de um experimento aleatório.
Todo conjunto é um sub conjunto do conjunto universo, pois todos os elementos do subconjunto pertencem ao conjunto universo ((). 
Subconjunto: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos que pertencem a B também pertencem a A 
Indica-se: 
B ( A ( B está contido em A)
A ( B ( A contém B )
Exemplo: 
Sejam os conjuntos
A = { a, b, c, d, e)
B = {a, c, e } 
	 B ( A, pois todos os elementos de B estão contidos em A
Sejam os conjuntos 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = { 0, 3, 5, 6}
B ( A, pois todos os elementos de B estão contidos em A
Conjunto vazio: é conjunto que não contém elementos. Representa-se por { } ou por (. O conjunto vazio, (, também é um subconjunto de ( ou de outro qualquer subconjunto de (.
Exemplo: Lançamento de um dado e obter a face com número 7 (D):
D = { } ou D = (.
 
Tipos de eventos
Evento certo
É aquele que ocorre em qualquer experimento aleatório
Exemplo: No lançamento de uma moeda , com certeza sairá sempre as faces \u201ccara\u201d ou \u201ccoroa\u201d.
Evento impossível
 É aquele que nunca ocorrerá em um experimento aleatório
Exemplo: Sair a face 7 no lançamento de um dado.
 
Evento complementar
O evento complementar de A é formado pelos elementos de \u3a9 que não
pertencem a A (escreve-se \u100).
Exemplo: Se \u3a9 = (1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = { 1, 3, 5} então \u100 = {2, 4, 6}.
 
\u100 = { x ( \u3a9 | x ( A }
Evento união ( ( ) ou soma
Se A e B são dois eventos , o conjunto união A ( B representa a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os eventos.
Exemplo: Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A ( B = {1, 2, 4, 5, 6}.
 
A ( B = { x ( \u3a9 | x ( A ou x ( B}
Evento intersecção ( ( ) ou produto
Se A e B são dois eventos, o conjunto intersecção A ( B representa a ocorrência de ambos os eventos A e B simultaneamente.
Exemplo:
 Se A = { 1, 2, 5, 6} e B = {4, 5} então A ( B = {5}.
 
A ( B = { x ( \u3a9 | x ( A e x ( B}
A ( B representa a ocorrência do evento A e do evento B simultaneamente.
Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos
Quando A ( B = ( os eventos são mutuamente exclusivos.
Exemplo: 
 Se A = {1, 2, 5, 6} e B = {4, 7} então A ( B = { }.
 
 
Se A e B são conjuntos finitos disjuntos, então n(A ( B) = n(A) + n(B)
Se A e B são conjuntos finitos, não disjuntos ou não mutuamente exclusivos, então n(A ( B) = n(A) + n(B) \u2013 n(A ( B)
Exemplo:
conjunto finito A = { a, b, c }; n(A) = 3
conjunto finito B = { d, e, f, g }; n(B) = 4
n(A ( B) = n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7
conjunto finito A = { 1, 2, 3, 4}; n(A) = 4
conjunto finito B = {2, 4, 5, 6, 8, 9); n(B) = 6
n(A ( B) = n(A) + n(B) \u2013 n(A ( B) = 4 + 6 \u2013 2 = 8
Nesse caso os conjuntos A e B não são disjuntos, pois têm elementos em comum (2 e 4).
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Descrever os seguintes conjuntos e dar o número de elementos de cada um.
o espaço amostral \u3a9
O evento A: o número da bola é ímpar
O evento B: o número da bola é maior que 6
Solução:
\u3a9 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
O número de elementos desse conjunto é n(\u3a9) = 10
A = { 1, 3, 5, 7, 9)
n(A) = 5
B = { 7, 8, 9, 10}
n(B) = 4
Propriedades das operações com eventos aleatórios
Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral \u3a9. As seguintes propriedades são válidas:
IDEMPOTENTES
A ( A = A
	 A ( A = A
COMUTATIVAS
A ( B = B ( A 
A ( B = B ( A 
ASSOCIATIVAS
A ( (B ( C) = (A ( B) ( C
A ( (B ( C) = (A ( B) ( C
DISTRIBUTIVAS
A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C)
A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A (