Conceitos de Matemática para Mecânicos

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Conceito de 
Matemática 
para Mecânicos 
de Aeronaves 
SEST – Serviço Social do Transporte
SENAT – Serviço Nacional de Aprendizagem do Transporte
ead.sestsenat.org.br 
CDU 51
Curso on-line – Conceitos de Matemática para 
Mecânicos de Aeronaves – Brasília: SEST/SENAT,2016.
Social do Transporte. II. Serviço Nacional de 
Aprendizagem do Transporte. III. Título.
78 p. :il. – (EaD)
1. Matemática. 2. Matemática - noções. I. Serviço
3
Sumário
Apresentação 6
Unidade 1 | Números Inteiros 7
1 Sistema de Numeração 8
1.1 Números Naturais 9
2. Números Inteiros 9
3 Aplicações no Dia a Dia 10
Glossário 11
Atividades 12
Referências 13
Unidade 2 | Números Reais 14
1 Frações Equivalentes 15
2 Números Decimais 16
3 Números Reais 18
4 Potências e Raízes 19
5 Aplicações no Dia a Dia 21
Atividades 24
Referências 25
Unidade 3 | Razões, Proporções e Porcentagens 26
1 Razões 27
2 Proporções 28
3 Porcentagem 28
4 Frações, Decimais e Porcentagem 30
5 Aplicações no Dia a Dia 31
Glossário 32
Referências 33
4
Atividades 34
Unidade 4 | Sistemas de Medidas 35
1 Sistema Internacional de Unidades 36
1.2 Medidas de Comprimento, Área e Volume 36
1.2.1 Medidas de Comprimento 37
1.2.2 Área 38
1.2.3 Volume 39
1.3 Medidas de Massa e de Capacidade 40
1.4 Medidas de Tempo 41
Glossário 43
Atividades 44
Referências 45
Unidade 5 | Álgebra, Gráficos e Tabelas 46
1 Polinômios 47
1.1 Adição e Subtração de Monômios 48
1.2 Operações com Polinômios 49
1.3 Equações do Primeiro e do Segundo Graus 49
1.3.1 Equações do Primeiro Grau 50
1.3.2 Equações do Segundo Grau 50
1.4 Gráficos 51
1.4.1 Gráfico da Função do Primeiro Grau 52
1.5.2 Gráfico da Função do Segundo Grau 53
Atividades 56
Referências 57
Unidade 6 | Geometria 58
1 Figuras Geométricas 59
5
1.1 Sólidos Geométricos e Figuras Planas 59
2 Perímetro 65
2.1 Perímetro de um Polígono 65
2.2 Comprimento da Circunferência 65
3 Cálculo de Áreas: Retângulo, Quadrado, Triângulo e Círculo 66
3.3.1 Retângulo e Quadrado 67
3.3.2 Triângulo 68
3.3.3 Círculo 70
3.4 Cálculo de Volumes: Prisma, Cilindro e Esfera 71
3.5 Princípio de Cavalieri 71
Atividades 75
Referências 76
Gabarito 77
6
Apresentação
Prezado(a) aluno(a),
Seja bem-vindo(a) ao curso Conceitos de Matemática para Mecânicos de Aeronaves! 
Neste curso, você encontrará conceitos, situações extraídas do cotidiano e, ao final de 
cada unidade, atividades para a fixação do conteúdo. No decorrer dos seus estudos, 
você verá ícones que tem a finalidade de orientar seus estudos, estruturar o texto e 
ajudar na compreensão do conteúdo. 
O curso possui carga horária total de 20 horas e foi organizado em 6 unidades, conforme 
a tabela a seguir.
Fique atento! Para concluir o curso, você precisa:
a) navegar por todos os conteúdos e realizar todas as atividades previstas nas 
“Aulas Interativas”;
b) responder à “Avaliação final” e obter nota mínima igual ou superior a 60; 
c) responder à “Avaliação de Reação”; e
d) acessar o “Ambiente do Aluno” e emitir o seu certificado.
Este curso é autoinstrucional, ou seja, sem acompanhamento de tutor. Em caso de dúvidas, 
entre em contato por e-mail no endereço eletrônico suporteead@sestsenat.org.br.
Bons estudos!
Unidades Carga Horária
Unidade 1 | Números Inteiros 2h
Unidade 2 | Números Reais 2h
Unidade 3 | Razões, Proporções e Porcentagens 4h
Unidade 4 | Sistemas de Medidas 4h
Unidade 5 | Álgebra, Gráficos e Tabelas 4h
Unidade 6 | Geometria 4h
7
UNIDADE 1 | NÚMEROS 
INTEIROS
8
Unidade 1 | Números Inteiros
A ideia de número, suas generalizações e aplicações, estão presentes na sociedade 
muito mais do que se pode imaginar. 
Os números são utilizados para auxiliar ações corriqueiras, como contar quantos 
alunos há em uma sala de aula, ou em ações complexas, como salvar vidas em um 
hospital e fazer uma aeronave voar.
1 Sistema de Numeração 
Atualmente, quase todos os povos do planeta 
utilizam o chamado sistema de numeração 
decimal. Quando comparado a outros, esse 
sistema traz uma enorme vantagem: ele nos 
permite representar qualquer número, por 
maior ou menor que seja, a partir de apenas dez 
algarismos:
A estrutura desse sistema é formada por classes – 
unidades, milhares, milhões, bilhões etc. – e estas, 
por sua vez, são subdivididas em três ordens: 
unidades (U), dezenas (D) e centenas (C). 
A leitura e a escrita dos números são feitas por classes da direita para a esquerda.
 e
O princípio fundamental desse sistema é que dez unidades de 
uma ordem qualquer formam uma de ordem imediatamente 
superior.
Figura 1: A classe das unidades 
representada no papel quadriculado
9
Tabela 1: Quadro de classes
No caso do número colocado na Tabela 1, deve-se ler: trinta e seis bilhões, cento e 
cinquenta e oito milhões, noventa e quatro mil e um.
Depois dos bilhões, têm-se ainda as classes trilhões, quatrilhões, quinquilhões etc.
1.1 Números Naturais 
Os números usados para contar pessoas, animais, objetos etc. são os chamados 
números naturais. A sequência dos números naturais já é conhecida: 
O, 1, 2, 3, 4, 5... 
Os números naturais também são utilizados com outras finalidades, em códigos, por 
exemplo, no código de endereçamento postal (CEP) ou em números de documentos, 
como a carteira de motorista, entre outros. 
O conjunto dos naturais é representado por (N). 
2. Números Inteiros 
Os números inteiros são constituídos pelos inteiros positivos (números naturais não 
nulos), pelo 0 (zero) e ainda pelos inteiros negativos (−1, −2, −3, −4 ...). O conjunto dos 
números inteiros costuma ser representado por (Z).
bilhões milhões milhares unidade
C D U C D U C D U C D U
3 6 1 5 8 0 9 4 0 0 1
N = {0,1,2,3,4,5,, ...}
Z = { ... – 4, –2, –1,0,1,2,3,4,5,, ...}
10
3 Aplicações no Dia a Dia 
Os números positivos e negativos são muito utilizados em diversas situações para 
diferenciar os sentidos de variação de uma grandeza.
 
Figura 2: Reta numerada dos inteiros
Por exemplo, os geógrafos chamam de altitude a distância vertical medida entre 
determinado ponto e o nível médio do mar. Os pontos localizados ao nível do mar têm 
altitude zero, os localizados acima do nível do mar têm altitudes positivas e os abaixo 
do nível mar têm altitudes negativas. 
Obs.: a figura a seguir é formada por quadrículas que representam quadrados de 200 
m de lado.
 
Figura 3: Corte transversal de relevo (hipotético)
Figura 2 - Reta numerada dos inteiros
11
Resumindo 
 
Para facilitar os estudos com números, estes costumam ser classificados de 
acordo com certas propriedades consideradas importantes. Nesta unidade, 
foi possível aprender sobre os dois primeiros tipos de números, os naturais 
e os inteiros, com destaque para certas propriedades, como a posição 
relativa dos algarismos e a estrutura do quadro de classes e ordens. 
 
Também foi possível aprender sobre diferentes maneiras de apresentar 
esses tipos de números, como sua exibição em forma de conjuntos (N) e (Z) 
e suas representações geométricas na reta numerada. 
Glossário
Corriqueiras: aquelas que ocorrem com frequência.
Quadrículas: Pequenos quadrados, todos com lado de mesma medida, usados como 
auxiliares da visualização de medidas, áreas figuras etc.
12
 a
1) Em uma conta bancária, há R$ 350,00. Hoje foi dado um 
cheque de R$ 410,00. Como ficou registrado o saldo nesse 
banco? 
 
a. ( ) - R$ 60,00. 
 
b. ( ) - R$ 760,00. 
 
c. ( ) R$ 60,00. 
 
d. ( ) R$ 760,00. 
 
2) A seguir, estão as temperaturas mínimas registradas em 
algumas cidades em certo dia. 
 
Recife – Brasil +32ºC 
 
Toronto – Canadá -4 º C 
 
Cairo – Egito + 25º 
 
Bariloche – Argentina - 2º C 
 
Berna – Suíça - 7º C 
 
Majuro – Ilhas Marshall +18 ºC 
 
Qual das alternativas registra essas temperaturas em ordem 
crescente? 
 
a. ( ) Toronto; Berna; Bariloche; Majuro; Cairo; Recife. 
 
b. ( ) Bariloche; Toronto; Berna; Majuro; Cairo; Recife. 
 
c. ( ) Majuro; Cairo; Recife; Berna; Toronto; Bariloche. 
 
d. ( ) Berna; Toronto; Bariloche; Majuro; Cairo; Recife.
Atividades
13
Referências
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 6º ao 9º anos. São 
Paulo: FTD, 2004.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.
______. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2012.
PARENTE, Eduardo. Caminhar e Transformar – Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
SILVEIRA, Ênio. Matemática – Compreensão e Prática. São Paulo: Moderna, 2010.
14
UNIDADE 2 | NÚMEROS REAIS 
15
Unidade 2 | Números Reais
Juntos, os números racionais e irracionais vão compor o conjunto dos números reais, 
necessários na hora de representar quantidades contínuas, como aqueles presentes 
em intervalos de comprimento, massa, volume etc.
1 Frações Equivalentes 
Analisa-se a fração representada na Figura 4. 
O denominador (12) é um número natural não nulo 
que indica em quantas partes iguais a unidade foi 
dividida. Já o numerador (7) é um número natural 
qualquer que indica quantas dessas partes são 
consideradas.
Duas frações que representam a mesma parte de 
um inteiro denominam-se frações equivalentes.
 e
Para obter frações equivalentes a uma fração dada, deve-se 
multiplicar (ou dividir) o numerador ou o denominador da fração 
por um mesmo número diferente de zero.
7
12
Figura 4: Representação gráfica da 
fração sete doze avos 
Figura 5A: Representação 
prática da equivalência das 
frações meio e dois quartos
Figura 5B: Equivalência das 
frações representada pela 
igualdade entre elas
16
2 Números Decimais 
Os números decimais são, na verdade, uma representação especial das frações 
decimais, isto é, eles são baseados na ideia de se dividir o inteiro em dez partes, cem 
partes, mil partes etc.
É possível observar agora as novas ordens formadas a partir dos números decimais: 
décimos, centésimos e milésimos. 
Tabela 2: Quadro de ordens
Cada unidade de determinada ordem é sempre um décimo da 
unidade imediatamente superior.
Exemplo: 2 inteiros e 95 centésimos. 
um décimo = 
um centésimo = um milésimo = 
= 0,1 
= 0,01 = 0,001 
 1 
 10
 1 
 100
 1 
 1000
Ordens inteiras
centena dezena unidade décimo centésimo milésimo décimo 
milésimo
centésimo 
milésimo
milionésimo ...... ,
Ordens decimais
... C D U d c m dm ...
2 , 9 5
Figura 6 - Diferentes representações de frações decimais
17
A Matemática nos meios de comunicação
Em determinadas situações, como nos meios de comunicação, os números decimais 
são apresentados de forma resumida com o objetivo de facilitar sua leitura.
Na manchete de jornal, a parte inteira refere-se à unidade indicada (milhões) e as casas 
depois da vírgula aos décimos, aos centésimos, aos milésimos etc.
Segue-se uma representação dessa quantidade de celulares usando um número 
natural:
280,73 milhões = 280 milhões + 7 décimos de milhão + 3 centésimos de milhão
= 280.000.000+ 0,7x 1.000.000+0,03 x 1.000.000 =
= 280.000.000 +700.000+30000
= 280.730.000
Ou seja, 280,73 milhões de celulares = 280.730.000 de celulares.
Figura 7: Interior de um avião cargueiro
18
Jornal da hora 
Brasil encerra 2014 com 280,73 milhões de linhas ativas de 
telefonia móvel (ANATEL, 2014).
3 Números Reais 
O conjunto de todos os números que podem ser representados por frações é o conjunto 
dos números racionais, indicado pela letra (Q). Há duas formas de representar um 
número racional: a forma fracionária e a forma decimal. Para representá-lo na forma 
decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. 
Exemplos:
 
Em oposição aos números racionais, existem os números irracionais representados 
pela letra (I). 
Um número irracional não pode ser representado por uma fração, mas por uma 
representação decimal infinita e não periódica.
São exemplos: 4,4567891011.... √2 = 1,41421353... 
15 8 divisão
representação decimal 
�nita
representação decimal 
in�nita e periódica
...
1,875
1,875
– 1, 333...
{
{
70
60
40
0
4 3
1,333...10
10
10
15 representação
fracionária8
4 representação
fracionária3 divisão
19
O conjunto formado por todos os números racionais e por todos 
os irracionais é chamado de conjunto dos números reais, indicado 
por (R).
Uma das mais importantes propriedades dos números reais é o fato de poder 
representá-los por pontos de uma reta: cada número real corresponde a um único 
ponto da reta e cada ponto da reta corresponde a um único número real.
Com os números reais, é possível representar quantidades contínuas como altura, 
massa, área, volume etc. 
4 Potências e Raízes
Observe o produto 2 x 2 x 2 x 2 x 2 , formado por fatores iguais.
Para representar mais facilmente esse tipo de produto, usam-se as potências. 
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 
Em 25 = 32, destacamos 
 
 
 
Figura 8: Localização aproximada da raiz de 2 na reta numerada
■ 2 é a base;
■ 5 é o expoente;
■ 32 é a potencia.
Lê-se: dois elevado à quinta potência é igual a 
trinta e dois.
20
Formando par com a potenciação, surge a operação radiciação, sendo uma inversa da outra. 
Entre as raízes mais usadas, estão a raiz quadrada e a raiz cúbica. Por exemplo:
a) Qual o número positivo cujo quadrado é igual a 9? Esse número é chamado de 
raiz quadrada de 9. 
Indica-se = √9=3
Obs.: a raiz quadrada de um número nunca terá um valor negativo.
As potências de expoente 2 ou 3, pelo seu largo uso em situações práticas, recebem
nomes especiais:
quando o expoente é 2, lê-se ao quadrado
32 - lê-se: três ao quadrado;
32 - lê-se: três ao cubo
quando o expoente é 3, lê-se ao cubo.
Figura 9A: Representação gráfica do quadrado de 3
Figura 9B: Representação gráfica do cubo de 3
21
b) Qual o número cujo cubo é igual a -8?
Esse número é chamado de raiz cúbica de -8. 
Indica-se 
5 Aplicações no Dia a Dia 
A Matemática não se restringe à escola. 
Como foi mencionado, ela está presente 
também em situações cotidianas. A seguir 
são demonstrados exemplos dessa aplicação 
no dia a dia das pessoas.
a) Em um reservatório, foram colocados 
48.000 litros de água, o que 
corresponde a 
5
2
 de sua capacidade 
total. Quantos litros de água serão 
n e c e s s á r i o s para encher completamente esse reservatório?
Figura 10A: Símbolo de radiciação 
Figura 10B: Calculadora simples: apresenta apenas as operações matemáticas básicas
 -8 = - 2
3
Figura 11: Reservatório de água
É muito fácil usar a calculadora para 
extrair a raiz quadrada de um número.
Por exemplo: para extrair a raiz quadrada 
de 29, basta digitar 29 e, em seguida, 
apertar a tecla [ √ ].
√29 = 5,3851648
22
Dado o esquema: 
 
Então, o reservatório fica completamente cheio com 120.000 litros.
b) Dois automóveis partiram em sentidos contrários de dois pontos A e B, distantes 
entre si 100 quilômetros. Um deles percorreu 25,46 quilômetros e parou. O outro 
percorreu 31,15 quilômetros e também parou. Qual é a distância entre os dois 
automóveis?
Em primeiro lugar, adicionam-se as duas distâncias percorridas: 25,46 + 37,15 = 62,61.
Em seguida, subtrai-se essa soma da distância entre os pontos A e B: 100 – 62,61 = 
37,39.2
5
1
5 15
2400024 00048 000
24000 24000 24000 24000
1
5
1
5
1
5
1
5
Figura 12A: Representação gráfica de dois quintos do todo
Figura 12B: Representação gráfica de um quinto do todo
Figura 12C: Representação gráfica do todo
correspondem a corresponde a (o todo) correspondem a 5
x 24.000 = 120.000
48.000:2 = 24.000
2 1
5
5
55
48.000
Figura 13A: Automóvel partindo do ponto A distante 100 km do automóvel B
Figura 13B: Automóvel partindo do ponto B distante 100 km do automóvel A
23
Dessa maneira, chega-se à resposta procurada: 37,39 quilômetros separam os dois 
automóveis.
O seguinte esquema auxiliará na assimilação dos conceitos apresentados.
Resumindo 
 
Nesta unidade, por meio dos números reais, foi possível abordar os estudos 
sobre os campos numéricos. A partir do conjunto dos números naturais, 
construíram-se, por sucessivas ampliações, o conjunto dos inteiros e o 
conjunto dos racionais, obtendo-se, finalmente, o conjunto (R) dos números 
reais como união dos números racionais e dos irracionais. 
 
Foi visto também que cada número real corresponde a um único ponto da 
reta e cada ponto da reta corresponde a um único número real. Com isso, 
percebeu-se que, por meio dos números reais, as quantidades contínuas, 
como altura, massa, área, volume etc., podem ser representadas.
+
D U d c
2 5 , 4 6
3 7 , 1 5
6 2 , 6 1
-
C D U d c
1 0 0 , 0 0
6 2 , 6 1
3 7 , 3 9
 Figura 14: Representação esquemática do conjunto dos números reais
24
 a
1) Em 2011, foram movimentados nos portos brasileiros 886,5 
milhões de toneladas de cargas. Segundo estimativas da 
Agência Nacional de Transportes Aquaviários (Antaq), esse 
volume deve subir para 2,2 bilhões de toneladas no ano de 
2030. Como esses valores ficam representados ao utilizar 
números naturais? 
 
a. ( ) 886 500 000 e 2 200 000 000. 
 
b. ( ) 886 500 000 000 e 2 200 000. 
 
c. ( ) 886 500 e 2 200 000 000. 
 
d. ( ) 886 500 000 e 2 200 000 000 000. 
 
2. Quais os números reais estão associados aos pontos A, B e C? 
a. ( ) -1,4; 0,444...; 0,9. 
 
b. ( ) -1,7; 0,666...; 0,9. 
 
c. ( ) -1,25; 0,4...; 0,9. 
 
d. ( ) -1,25; 0,666...; 0,9.
Atividades
25
Referências
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 6º ao 9º anos. São 
Paulo: FTD, 2004.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.
______. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2012.
PARENTE, Eduardo. Caminhar e Transformar – Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
SILVEIRA, Ênio. Matemática – Compreensão e Prática. São Paulo: Moderna, 2010.
26
UNIDADE 3 | RAZÕES, 
PROPORÇÕES E PORCENTAGENS
27
Unidade 3 | Razões, Proporções e Porcentagens
Construir uma peça de aeronave sem utilizar a matemática é impossível. Isso porque 
todos os objetos que a compõem nascem de projetos com desenhos em pequena 
escala, os quais, na realidade, são construídos com ampliações desse desenho, que têm 
como base o conhecimento matemático das razões, das proporções e da porcentagem. 
1 Razões
O quociente entre dois números é um instrumento muito útil para compará-los. 
Seguem exemplos:
a) A idade de Maria é 30 anos e de André, 40. O quociente entre suas idades é 30
40
 
ou 3
4
 . 
É possível, então, comparar as idades: para cada 3 anos que 
Maria viveu, André já viveu 4.
b) Em certo mapa, a distância em linha reta entre 
Brasília e Teresina é representada por 2,5 cm, 
enquanto, na realidade, essa distância é de 1250 
km. Estabelecendo o coeficiente entre esses dois 
números, chega-se à escala utilizada no mapa.
Significado: cada centímetro no mapa corresponde a 50 
milhões de centímetros na realidade. 
O quociente de dois números é chamado de razão entre eles: 
Figura 15: Mapa de partes das 
regiões Norte, Nordeste, Centro-
Oeste e Sudeste brasileiras
28
2 Proporções 
Em Matemática, a igualdade entre duas razões é 
chamada de proporção.
 Assim, é uma proporção.
A propriedade fundamental das proporções diz que, em toda proporção, o produto 
dos meios é igual ao produto dos extremos.
3 Porcentagem 
A porcentagem é usada para 
representar, de maneira prática, 
determinada parte de um todo. 
A expressão tantos por cento, 
indicada com o símbolo %, quer 
dizer alguns por um cento. 
Assim, com relação ao gráfico 
mostrado na Figura 17, 31% 
(lê-se: trinta e um por cento), 
significa que, de cada grupo de 
100 residências pesquisadas 
no Distrito Federal (DF), 
31 estão equipadas com 
microcomputador. 
Os números percentuais possuem representações na forma fracionária e também na 
forma de número decimal. 
Dessa forma, observa-se que: 
9
meios
=
extremos
6
6 4
___ ___
GRÁFICO 1 - Presença de microcomputadores em algumas 
regiões metropolitanas brasileiras
29
Segue um exemplo envolvendo cálculo com números percentuais.
Calcular 30% de 400 reais.
Esse problema será resolvido de dois modos:
1º modo: usando uma regra de três:
2º modo: diretamente:
 
Usando a calculadora
Praticamente todas as calculadoras apresentam a tecla de porcentagem (%).
Nos exemplos apresentados a seguir, é fácil aprender como realizar rapidamente 
cálculos envolvendo porcentagens.
Valor
Ou seja: 30% de 400 reais são 120 reais.
400 100
30x
taxa 400 100
30x
100x = 30.400 → x = 120
Figura 16 - Calculadora com recursos para 
realizar as operações matemáticas básicas
Figura 17 - Visor exibido na calculadora 
durante a realização do cálculo de 35% de 
150
Nos exemplos apresentados a seguir, é fácil aprender como realizar rapidamente 
cálculos envolvendo porcentagens.
a) Calcular 35% de 150 gramas.
Resposta: 52,5 gramas.
30
b) Até o mês passado, o salário de um 
trabalhador era R$ 1.350,00. A partir do 
mês corrente, ele passou a ganhar 17% a 
mais. Qual o novo salário do trabalhador?
Resposta: R$ 1.579,50.
4 Frações, Decimais e Porcentagem
Para transformar uma fração em um número decimal, basta dividir o numerador pelo 
denominador. Para transformar esse resultado em porcentagem, basta multiplicá-lo 
por 100. 
Exemplos: 
• Representar uma fração por meio de um número decimal ou por uma porcentagem:
 
 
• Representar uma porcentagem por meio de uma fração ou por um número 
decimal:
=75%
Figura 19 - Visor exibido na calculadora durante a 
realização do cálculo de 15% de 420
Figura 18 - Visor exibido na calculadora durante a 
realização do cálculo de 1.350 aumentado em seus 
17%
c) Uma loja está vendendo um aparelho 
de som com 15% de desconto. Se o preço 
normal desse aparelho é R$ 420,00, qual 
o preço com desconto?
Resposta: R$ 357,00.
31
5 Aplicações no Dia a Dia
a) A altura de cinco jovens foi medida e foram encontrados os seguintes resultados 
1,62 m; 1,62 m; 1,56 m; 1,46 m e 1,39 m. Qual a média entre eles?
Resolução
 
Média aritmética simples. A média aritmética simples, ou 
simplesmente média de um conjunto de números, é dada pela 
razão (quociente) entre a soma desses números e a quantidade 
deles.
b) A miniatura de um automóvel tem 8 cm de comprimento, mas, na realidade, 
o automóvel tem 4 m de comprimento. Qual foi a escala utilizada para fazer a 
miniatura?
Resolução: 
8 cm = 0,08 m.
 
Escala 1:50 (1 por 50), ou seja, cada cm na miniatura corresponde a 50 cm no automóvel.
32
Resumindo 
 
Nesta unidade foi visto como o quociente ou a razão entre dois números é 
um instrumento muito útil para compará-los. Essa razão pode ser expressa 
por uma fração, uma porcentagem ou um número decimal. 
 
As proporções também foram abordadas. O usodesse ferramental 
matemático ajuda a resolver alguns problemas ligados a situações bem 
práticas, como o uso das escalas ou a representação de séries de números 
por meio da média aritmética. 
Glossário
Quociente: Resultado de uma divisão.
33
Referências
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 6º ao 9º anos. São 
Paulo: FTD, 2004.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.
______. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2012.
PARENTE, Eduardo. Caminhar e Transformar – Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
SILVEIRA, Ênio. Matemática – Compreensão e Prática. São Paulo: Moderna, 2010.
34
 a
1) A declividade de uma ladeira é expressa pela razão entre 
sua altura e seu afastamento (veja a figura). Se uma ladeira 
tem 15% de declividade e um afastamento de 90 m, qual é a 
sua altura? 
 
a. ( ) 13,5 m. 
 
b. ( ) 15 m. 
 
c. ( ) 12,5 m. 
 
d. ( )125 m. 
 
2) Um lojista vende suas mercadorias com 20% de lucro sobre 
o preço de venda. Por quanto deverá vender uma mercadoria 
que foi adquirida por R$ 80,00? 
 
a. ( ) R$ 96,00. 
 
b. ( ) R$ 100,00. 
 
c. ( ) R$ 120,00. 
 
d. ( ) R$ 80,00. 
Atividades
35
UNIDADE 4 | SISTEMAS DE 
MEDIDAS
36
Unidade 4 | Sistemas de Medidas
Em Matemática, falar em medidas é referir-se 
a uma comparação do que se deseja medir com 
determinada medida considerada padrão.
Por longo tempo, cada povo teve o próprio sistema 
de medidas, baseado em unidades arbitrárias e 
imprecisas, como, por exemplo, aquelas baseadas no 
corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. 
A fim de facilitar a comunicação entre as pessoas de 
todo o mundo, no que diz respeito às tomadas de 
medidas, criou-se, em 1960, o sistema internacional 
de unidades (SI), adotado oficialmente em vários 
países, inclusive no Brasil. Esse sistema fixa certas unidades básicas de medida.
1 Sistema Internacional de Unidades
O SI estabelece algumas unidades básicas tomadas como padrão, uma para cada tipo 
de grandeza como, por exemplo: comprimento, massa e tempo. Do mesmo modo, 
foram estabelecidos símbolos, unidades derivadas, unidades suplementares e prefixos 
para as medidas.
1.2 Medidas de Comprimento, Área e Volume
Para comparar um valor com outro, utiliza-se uma grandeza predefinida denominada 
unidade-padrão.
Figura 20: Primeiros instrumentos de 
medição utilizados pelo homem 
37
1.2.1 Medidas de Comprimento
A unidade-padrão para medir comprimentos é o metro, o qual é indicado pela letra (m).
Para medir extensões muito grandes, ou muito pequenas, existem os chamados 
múltiplos e submúltiplos do metro mostrados na tabela a seguir.
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do metro
É possível observar a relação com o sistema de numeração decimal: quando lidas da 
esquerda para a direita, cada unidade contém dez vezes a unidade seguinte. 
Exemplo: 
O comprimento do 
palito de fósforos é 4 cm 
conforme mostra a Figura 
21. Essa medida expressa 
em metros é dada por 4 cm 
= (4:100) m = 0,04 m.
Observações:
Algumas unidades de 
comprimento usadas na aviação não pertencem ao sistema de numeração decimal. Um 
destaque são as do sistema imperial britânico, adotado nos países de língua inglesa e 
em certas atividades especiais. Nesse sistema, destacam-se: 
• a milha - 1 milha = 1690 metros;
• o pé - 1 pé = 30,48 cm; e
• a polegada - 1 polegada = 2,54 cm.
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
Km hm dam m dm cm mm
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Figura 21: Representação gráfica de medidas realizadas com 
submúltiplos do metro
38
1.2.2 Área
A medida da superfície de uma região fechada é chamada 
área dessa região. A unidade-padrão para se medir 
superfícies é o metro quadrado. O metro quadrado 
abrevia-se por (m2).
Para medir superfícies muito grandes ou muito pequenas, 
existem os chamados múltiplos e submúltiplos do m2.
 
Tabela 4: Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado
Observa-se a relação com o Sistema de Numeração Decimal: quando lidas da esquerda 
para a direita, cada unidade contém cem vezes a unidade seguinte. 
Usando a polegada
A polegada, no Brasil, é usada em determinadas 
situaçãoes bem par�culares, como em medidas de 
diâmetros de tubulações, de cabeças de parafusos e 
também na descrição do tamanho da tela de televi-
sores e de computadores (definido pelo comprome-
�mento da diagonal da tela).
Figura 22: TV representada pela medida da diagonal da sua tela dada em polegadas
Figura 23: 1 metro quadrado
Quilômetro 
quadrado 
Hectômetro 
quadrado
Decâmetro 
quadrado
Metro 
quadrado
Decímetro 
quadrado
Centímetro 
quadrado
Milímetro 
quadrado
km2 hm2 dam2 m2 Dm2 Cm2 Mm2
1000000 m 10000 m 100 m 1 m 0,01 m 0,0001 m
0,000001 
m
39
Exemplo:
O microchip é uma minúscula peça de 
computador usado principalmente para 
transmitir e armazenar dados. 
Os modelos usados para monitorar animais, 
por exemplo, são realmente minúsculos. 
Sua superfície mede cerca de 0,000025 m2.
Pode parecer difícil imaginar essa superfície, 
mas não se ela for convertida para mm2
0, 000025 m2 = (0, 000025 x 10000) mm2 = 0,25 mm2.
1.2.3 Volume
O metro cúbico é a unidade fundamental para calcular volumes, cuja abreviatura é 
(m3).
Para medir superfícies muito grandes ou muito pequenas, existem os chamados 
múltiplos e submúltiplos do (m3).
Tabela 5: Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Figura 24: Tamanho de um microchip quando 
comparado a um dedo humano
Figura 25: Metro cúbico 
Quilômetro 
cúbico 
Hectômetro 
cúbico
Decâmetro 
cúbico
Metro 
cúbico
Decímetro 
cúbico
Centímetro 
cúbico
Milímetro 
cúbico
Km3 hm3 dam3 m3 Dm3 Cm3 Mm3
1000000000 
m3
1000000 m3 1000 m3 1 m 3 0,001 m3
0,000001 
m3
0,0000000001 
m3
40
Observa-se a relação com o sistema de numeração decimal: quando lidas da esquerda 
para a direita, cada unidade contém cem vezes a unidade seguinte.
Exemplo:
Ao transformar 2m³ em (cm³) 
Tem-se 2 x 1000 x 1000 cm³ = 2 000 000 cm³
1.3 Medidas de Massa e de Capacidade
Nas tabelas a seguir, estão as principais medidas de massa e capacidade e algumas 
relações entre elas.
Tabela 6: Medidas de massa
Tabela 7: Medidas de capacidade
Unidade Símbolo Algumas equivalências
Tonelada t 1 t → 1.000 kg
Quilograma kg 1 kg → 1.000 g
Grama g 1 g → 1.000 mg
Unidade Símbolo Algumas equivalências
Litro t 1 L → 1.000 mL
Mililitro mL 1 mL → 0,001 L
41
Exemplo: 
A maior aeronave já construída tinha a fantástica capacidade de carga de 253,8 
toneladas. Quantos contêineres, com capacidade para 1.225 kg, essa aeronave 
conseguiria transportar?
253,8 t = (253,8x1000) kg = 253.800kg 
253800: 1.225 = 207,18 
Resposta: 207 contêineres. 
1.4 Medidas de Tempo
O relógio de sol egípcio, de cerca de 
3.500 anos atrás, é a evidência mais 
antiga que se conhece sobre dividir 
o dia em intervalos regulares de 
tempo. Ele consistia em uma vareta 
fincada no solo em local iluminado 
pela luz solar durante todo o dia. 
A sombra da vareta no chão ia 
mudando sua posição conforme a 
movimentação do Sol no decorrer do dia.
São várias as unidades de tempo utilizadas: horas, minutos, segundos, dias, semanas, 
meses, anos etc. A seguir estão algumas relações entre elas:
• 1 dia tem 24 horas; 1 hora tem 60 minutos; 1 minuto tem 60 segundos;
Figura 26: A maior aeronave já construída
Figura 27: Relógio de sol usado pelos antigos egípcios
42
• 1 mês pode ter de 28 a 31 dias; 1 década tem 10 anos; 1 século tem100 anos; 1 
milênio tem 1.000 anos.
Exemplos:
a) A sessão de cinema vai começar às 14h 45min e terá duração de 1h 40min. A que 
horas vai terminar essa sessão? 
Em 85 min, há 1h 25 min (85 – 60 = 25)
Assim, 15h 85 min = 15 h + 1h + 25 min = 
 = 16h25min
Resposta: a sessão terminará às 16h25min.
b) Clarisse pratica ginástica, 5 dias por semana, 1 hora e meia por dia. Quantas horas 
e quantos minutos ela pratica ginástica por semana?
Por dia: 1 hora e meia = 1hora + 0,5 hora = 60 min + 0,5.60 min 
 = 60 min + 30 min = 90 min
Por semana: 90 min. 5 dias = 450 min
Divisão com resto: 
Resposta: ela pratica 7 horas e 30 minutos de ginástica por semana.
43
Resumindo 
 
Nesta unidade, mostrou-se que medir é comparar uma grandeza com uma 
unidade de referência do mesmo padrão, expressa por um número que diz 
quantas vezes a unidade cabe na grandeza. 
 
A necessidade de se estabelecer padrões reconhecidos em todo o mundo 
motivou os cientistas a criarem o sistema internacional de unidades (SI), 
cujos principais padrões são o metro – que se desdobra em metro quadrado 
e metro cúbico –, o quilograma e o segundo. Para a tomada de medidas 
muito grandes ou muito pequenas, esse sistema prevê, respectivamente, 
os múltiplos e os submúltiplos das unidades-padrão. 
 
Em determinadas circunstâncias específicas, certas medidas costumam ser 
tomadas fora do SI, especialmente as do sistema imperial britânico, como a 
milha, o pé e a polegada.
Glossário
Braça: Corresponde à distância entre as pontas dos dedos das duas mãos de um homem 
quando seus braços estão estendidos em direções opostas.
Côvado: Medida linear que corresponde, aproximadamente, à distância entre o 
cotovelo e a ponta do dedo médio.
44
 a
1) Um bebê toma 4 mamadeiras de 150 ml por dia. Com uma 
lata de leite em pó, obtêm-se aproximadamente 3 litros de 
leite. Em quantos dias o bebê consome o leite dessa lata? 
 
a. ( ) 3 
 
b. ( ) 4 
 
c. ( ) 5 
 
d. ( ) 6 
 
2) Um grupo de amigos vai fazer um churrasco para 50 
pessoas. Quantos quilogramas de carne, no mínimo, serão 
necessários, levando em conta que a média de consumo por 
pessoa será de 320 g? 
 
a. ( ) 5 
 
b. ( ) 8 
 
c. ( ) 10 
 
d. ( ) 16
Atividades
45
Referências
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 6º ao 9º anos. São 
Paulo: FTD, 2004.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.
______. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2012.
PARENTE, Eduardo. Caminhar e Transformar – Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
SILVEIRA, Ênio. Matemática – Compreensão e Prática. São Paulo: Moderna, 2010.
46
UNIDADE 5 | ÁLGEBRA, 
GRÁFICOS E TABELAS
47
Unidade 5 | Álgebra, Gráficos e Tabelas
A fim de mostrar a importância da álgebra no contexto da resolução de problemas, 
o inglês Isaac Newton (1643-1727), um dos maiores cientistas que a humanidade já 
conheceu, cunhou a seguinte frase: “Para resolver problemas referentes a números, ou 
relações entre quantidades, basta traduzir tal problema da linguagem corrente para a 
linguagem da álgebra” (GIOVANNE; PARENTE, 2004, p. 132).
A álgebra é a parte da matemática que trata mais diretamente do uso de letras para 
representar números. 
1 Polinômios
8x 
12 a3b4c 
17 
Essas expressões são constituídas por um número que multiplica uma ou mais letras, 
ou apenas um número, as quais são chamadas monômios.
Um monômio é formado basicamente por duas partes: a parte numérica, chamada de 
coeficiente e a parte formada pela variável ou produto de variáveis, chamada de parte 
literal.
a) Quando o coeficiente é 1, costuma-se omiti-lo e, quando é -1, costuma-se escrever 
apenas o sinal. 
1x escreve-se, apenas, x
-1xyz escreve-se, apenas, - xyz
48
b) Dois ou mais monômios que têm a mesma parte literal são chamados de 
monômios semelhantes. 
São exemplos de monômios semelhantes:
4x, x, e -3x
3m2p, 0,05m2p e - m2p
1.1 Adição e Subtração de Monômios 
 e
Para adicionar ou subtrair monômios semelhantes, os 
coeficientes são somados ou subtraídos e a parte literal 
conservada. Assim, só é possível adicionar ou subtrair monômios 
semelhantes. Caso contrário, a operação fica apenas indicada. 
 
Exemplos: 
 
a) 2x2+3x2 = 
(2+3) x2 = 5 x2 
 
b) 5x3 + x5 - 8x3 - 5x5 + 10x3 + 8x5 = 
(5 – 8 +10) x3 + (1 – 5 + 8) x5 = 
7 x3 + 4 x5 
 
Expressões formadas por um único monômio ou por adições ou 
subtrações de monômios são chamadas de polinômios. 
 
Exemplos: 
 
a) 5x3 b) 2x – y4 c) 5b2c - 3b5cd - 3b2c 
49
1.2 Operações com Polinômios
No exemplo colocado anteriormente, é possível perceber que, para somar ou subtrair 
polinômios, é necessário somar ou subtrair seus monômios semelhantes. 
Exemplos: 
a) Os polinômios 3x2 – 2y2 + xy e - x2 - 3xy serão adicionados.
(3x2 – 2y2 + xy) + (- x2 - 3xy) = 
3x2 – 2y2 + xy - x2 - 3xy → os parênteses foram retirados.
3x2- x2 + xy - 3xy – 2y2 → os monômios semelhantes foram ligados.
2x2- 2xy - 2y2 → os monômios semelhantes foram adicionados ou subtraídos.
b) Qual a diferença entre o polinômio 4x5 – x3 – 8 e o polinômio - 2x5 + 2 x3 – 10?
(4x5 – x3 – 8) - (- 2x5 + 2 x3 – 10) = 
4x5 – x3 – 8 + 2x5 - 2 x3+ 10 → os parênteses foram retirados.
4x5+ 2x5– x3- 2 x3– 8 + 10 → os monômios semelhantes foram ligados.
6x5 - 3 x3 + 2 → os monômios semelhantes foram adicionados ou subtraídos.
1.3 Equações do Primeiro e do Segundo Graus
O sistema de equações equivale a estratégias que permitem resolver problemas os 
quais envolvem mais de uma variável e, pelo menos, duas equações.
50
1.3.1 Equações do Primeiro Grau
Observam-se, a seguir, algumas equações do primeiro grau com uma incógnita.
 
Nesse tipo de equação, que se apresenta na forma ax+b = 0, ou equivalente, a incógnita 
aparece elevada ao expoente 1 (que se costuma omitir) e tem-se que (a) e (b) são 
números reais e a ≠ 0.
Exemplo:
Resolução da equação 4x – 1 = 23 – 8x
Resolver uma equação do primeiro grau significa encontrar o valor que, substituído 
pela incógnita, torna a igualdade verdadeira.
Exemplo:
4x – 1 = 23 – 8x 4x +8x = 23+1
12x = 24 x = 24 : 12 x = 2
Resposta: x = 2.
1.3.2 Equações do Segundo Grau
Nesse tipo de equação, que se apresenta na forma ax2+bx+c = 0, ou equivalente, em 
que (a), (b) e (c) são números reais e a ≠ 0.
Exemplos:
a) 4x2-3x+5=0 (a = 4; b = -3 e c = 5).
b) x2-5=0 (a = 1; b = 0 e c = - 5).
51
A equação de segundo grau é resolvida por meio da chamada fórmula de Bhaskara.
Se Δ>0, a equação apresenta duas raízes reais diferentes.
Se Δ=0 , a equação apresenta apenas uma raiz real (ou duas iguais).
Se Δ<0, a equação não apresenta raízes reais.
Exemplos:
Resolver a equação x2 – 4x + 3 = 0
1.4 Gráficos
Na prática, uma função pode ser representada por um conjunto de pares ordenados, 
criados a partir de sua lei de formação. Os pares ordenados assim criados produzem o 
que se chama de gráfico da função.
São vários os tipos de funções e seus respectivos gráficos. A seguir são destacadas as 
funções do primeiro e do segundo graus.
52
1.4.1 Gráfico da Função do Primeiro Grau
Lei de formação f (x) = ax + b (a ≠ 0)
Observações:
Quando a > 0, a função é crescente e o gráfico é inclinado para a direita.
Quando a < 0, a função é decrescente e o gráfico é inclinado para a esquerda.
Para fazer o gráfico da função do primeiro grau, é suficiente marcar dois de seus pontos 
distintose, a seguir, traçar a reta que passa por esses pontos.
Exemplo:
Tabela 8: Espaço percorrido em função do tempo
Nas figuras a seguir, foram anotados espaços percorridos por um trem que viaja à 
velocidade constante de 40 km por hora, em função do tempo de viagem.
É possível observar que esse movimento pode ser descrito pela lei y = 40x ou f(x) = 40x, 
em que (y) é o espaço percorrido em metros e (x) é o tempo em horas (x 0 ). 
Ou seja, existe aí uma função do primeiro grau. Tomando dois de seus pontos, por 
exemplo, (1,40) e (2,80), será possível obter o gráfico dessa função:
 
Velocidade constante
x (horas) f(x) (km)
0 0
1 40
2 80
3 120
4 160
O gráfico da função do primeiro 
grau é sempre uma reta.
53
1.5.2 Gráfico da Função do Segundo Grau 
Lei de formação f (x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 
Exemplos: 
 f (x) = 3x² + 3x + 9 f (x) = x² + 4x f (x) = 2,5x² – 10
O gráfico da função do segundo grau é sempre uma curva aberta chamada parábola.
Agora serão apresentadas algumas situações do dia a dia a fim de demonstrar o que é 
uma parábola.
 
Gráfico 2A: Pontos que servirão de base para traçar o gráfico 
Gráfico 2B: Gráfico de espaço percorrido em função do tempo
Figura 28A: Jato de luz é contornado por uma parábola
Figura 28B: Bola desenvolve o traçado de uma parábola
54
Observações:
Quando a > 0, o gráfico tem como concavidade voltada para cima.
Quando a > 0, o gráfico tem como concavidade voltada para baixo.
Exemplo: 
O gráfico de f (x) = x² – 4 será esboçado.
Inicialmente, será organizada uma tabela atribuindo valores convenientes a (x) e assim 
descobrir alguns pares ordenados do gráfico procurado.
Tabela 9: Pares ordenados base para o traçado do gráfico
Gráfico 3: Pares ordenados base para o traçado do gráfico
x y = f(x) (x, y)
-3 5 (-3, 5)
-2 0 (-2, 0)
-1 -3 (-1, -3)
0 -4 (0, -4)
1 -3 (1, -3)
2 0 (2, 0)
3 5 (3, 5)
55
Unindo os pontos marcados, uma parábola é traçada, obtendo assim o gráfico 
procurado.
Resumindo 
 
Diante do exposto, foi visto como os matemáticos utilizam letras para 
representar e generalizar situações envolvendo números. O ramo da 
matemática que estuda a utilização desse tipo de recurso é a álgebra. 
 
Nesta unidade foram utilizados conhecimentos algébricos, especialmente 
os polinômios do primeiro e do segundo graus, para serem estudadas 
equações, funções e sua representação por meio de pares ordenados no 
plano cartesiano, os gráficos. Esse ferramental matemático pode ser 
utilizado na resolução de situações-problema ligadas ao cotidiano. 
Gráfico 4: União dos pontos marcados para formar uma parábola
56
 a
1) O gráfico ao lado é representado melhor por: 
 
a. ( ) y = 3x – 2. 
 
b. ( ) y = 1,5x +3. 
 
c. ( ) y = -x – 2. 
 
d. ( ) y = x – 2. 
 
 
2) O gráfico ao lado é representado melhor por: 
 
a. ( ) y = x2 -3x. 
 
b. ( ) y = x2 -3x. 
 
c. ( ) y = -x2 +6x -5. 
 
d. ( ) y = x2 +2x -3. 
Atividades
57
Referências
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 6º ao 9º anos. São 
Paulo: FTD, 2004.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.
______. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2012.
PARENTE, Eduardo. Caminhar e Transformar – Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
SILVEIRA, Ênio. Matemática – Compreensão e Prática. São Paulo: Moderna, 2010.
58
UNIDADE 6 | GEOMETRIA 
59
Unidade 6 | Geometria 
A Geometria acompanha o homem desde a Antiguidade e está presente nas mais 
diferentes situações do dia a dia, tanto no espaço profissional, pessoal, quanto na 
natureza. No mundo da aviação, são muitos os usos da geometria, como, por exemplo, 
na localização das aeronaves, no desenho geométrico do espaço aéreo ou das próprias 
aeronaves, nas definições de procedimentos, como o ângulo de ataque, entre outros.
1 Figuras Geométricas
As figuras geométricas mais conhecidas são originadas de linhas retas fechadas 
(quadrado, por exemplo) ou linhas curvas fechadas (círculo). 
1.1 Sólidos Geométricos e Figuras Planas
A Figura 32 demonstra figuras 
geométricas separadas em dois 
grupos: à esquerda, as figuras 
planas e, à direita, os sólidos 
geométricos.
 
Grupos das formas geométricas:
• Figuras planas – são as que têm todos os seus pontos em um mesmo plano; e
• Sólidos geométricos – são as que têm três dimensões: comprimento, altura e 
largura.
Figura 29: Figuras geométricas separadas em dois grupos 
60
a) Ângulos 
Um ângulo é uma região do plano limitado por duas semirretas de mesma origem. 
Entre os ângulos, destacam-se:
Figura 30: Representação gráfica de um ângulo
Figura 31: Ângulo reto – sua medida 
é de 90º
Figura 32: Ângulo agudo – sua medida é 
menor que 90º
Figura 33: Ângulo obtuso – sua medida é 
maior que 90º
Figura 34: Ângulo raso – sua medida é igual a 
180º
61
Ângulo de ataque
Ângulo de ataque, em aviação, 
é um ângulo aerodinâmico e 
pode ser definido como o ângulo 
formado pela corda do aerofólio 
e a direção do seu movimento 
relativo ao ar, ou melhor, em 
relação ao vento aparente (ou 
vento relativo). 
O ângulo de ataque é um dos 
principais fatores que determinam 
a quantidade de sustentação, de 
atrito (ou arrasto) e momento 
produzido pelo aerofólio. 
b) Polígonos
Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, consecutivos e não 
colineares, sendo caracterizados por: ângulos, vértices, diagonais, lados, entre outros. 
Exemplos: 
Figura 35: Ângulo de ataque é formado pela corda do 
aerofólio (reta pontilhada) e a direção do seu movimento 
relativo ao ar
Figura 36A: Retângulo e seus principais elementos
Figura 36B: Triângulo e seus principais elementos
62
De acordo com o número de lados, a figura é nomeada.
Entre os quadriláteros, destacam-se:
c) Prisma 
O formato de um prisma pode se fazer presente em uma bateria de automóvel, por 
exemplo.
Figura 37: Alguns tipos de polígonos e seus respectivos nomes
Figura 38A: Retângulo 
Retângulo: dois pares de lados iguais. 
Todos os ângulos internos retos. 
Figura 38B: Retângulo 
Quadrado: quatro lados iguais. 
Todos os ângulos internos retos.
63
Observe alguns tipos de prisma e seus principais elementos.
 Da mesma forma, é possível falar em prisma heptagonal, octogonal etc.
Entre os prismas de base quadrangular, merecem destaque o cubo e o paralelepípedo:
O cubo é um corpo formado por seis faces quadradas, todas congruentes entre si e 
dispostas, aos pares, de forma paralela.
O paralelepípedo é formado por seis faces retangulares, congruentes de duas em duas 
e dispostas, aos pares, de forma paralela.
Figura 39: Alguns tipos de prismas e seus respectivos nomes
Figura 40: Cubo
Figura 41: Paralelepípedo
64
Existem também prismas inclinados ou oblíquos, como demonstrado a seguir.
Cilindro 
Dos elementos do cilindro, podem ser destacadas as bases (dois círculos iguais) e a 
altura (distância entre as bases). 
Muitos objetos presentes no dia a dia possuem a forma cilíndrica, por exemplo: 
composição de certas peças de motores.
e) Esfera
Figura 42: Prisma oblíquo
d) Cilindro
Figura 45: Rolamento rígido 
de esferas
Figura 44: Esfera e seus principais elementos
Figura 43: Cilindro e seus principais elementos
65
Uma circunferência que gira em torno de seu diâmetro varre uma superfície denominada 
superfície esférica. Uma esfera é um conjunto formado pelos pontos de uma superfície 
esférica e pelos pontos interiores a essa superfície.
Os elementos referenciais de uma esfera são o seu centro (C) e o seu raio (r).
2 Perímetro2.1 Perímetro de um Polígono
Chama-se perímetro de um polígono a soma das medidas dos seus lados. 
Exemplo:
Qual o perímetro desse polígono? 
8m+20m+12m+12m = 52m
Resposta: 52 metros.
2.2 Comprimento da Circunferência
Se o comprimento de uma circunferência qualquer for indicado por (C) e for dividido 
pelo seu respectivo diâmetro (2r), será encontrado o número irracional 3,1415926... 
chamado de pi .(π) Daí:
Figura 46: Quadrilátero 
66
Por simplificação, será utilizado o valor de 3,14 para o número pi (π).
Exemplos:
a) Calcular o comprimento aproximado da circunferência de 8 cm de raio.
C = 2πr → c = 2.3,14.8 → C = 50,24cm
b) Qual o comprimento de um arco de 600 em uma circunferência de 24 cm de raio?
Sabe-se que a circunferência inteira está associada ao ângulo de 3600.
Dessa forma, o arco de 600 corresponde a um sexto da circunferência, então:
 
Resposta: 25,12 cm.
3 Cálculo de Áreas: Retângulo, Quadrado, Triângulo e Círculo
Cada polígono apresenta uma forma própria para calcular sua área. A seguir, será 
exemplificado os mais conhecidos: retângulo, quadrado, triângulo e círculo.
Figura 47: Circunferência
67
3.3.1 Retângulo e Quadrado 
Ao analisar as figuras, tem-se que:
No caso do retângulo, existem 10 quadrículas de comprimento e 5 quadrículas de 
largura.
Total = 10 . 5 = 50 quadrículas.
Área = 50 U.
Dessa maneira, conclui-se que: 
Retângulo
A área do retângulo é calculada Ar = b . h 
multiplicando a medida do comprimento (b) 
pela medida da largura (h).
Figura 48: Retângulo Figura 49: Quadrado
Figura 51: Retângulo
Figura 50: Unidade de medida de área
68
Quadrado
A área do quadrado é calculada Aq = l2 multiplicando a medida 
do lado (l) por si mesma. 
Exemplo:
Certo terreno retangular foi vendido por R$ 60,00 o metro 
quadrado, tendo 52 m de comprimento e 25 m de largura. Após 
a compra, percebeu-se que o terreno tinha, na verdade, 3 m a 
mais de comprimento e 2 m a menos de largura. Nesse caso, 
o novo dono do terreno ganhou ou perdeu dinheiro? Quanto?
Preço pago = 52 x 25 x 60 = R$ 78.000,00
Preço que deveria ter sido pago = 55 x 23 x 60 = R$ 75.900,00
Diferença = R$ 75.900,00 – R$ 78.000,00 = - R$ 2.100,00
Portanto, o comprador do terreno teve um prejuízo de R$ 2.100,00.
3.3.2 Triângulo
Observa-se como a área do triângulo em destaque é igual à metade da área do 
retângulo de lados cor alaranjada.
Figura 52: Quadrado
Figura 53A: Triângulo e retângulo com bases e alturas respectivamente iguais
69
Assim:
 
Exemplo:
Qual a área desse triângulo?
Solução:
Figura 53B: Triângulo
Figura 53C: Triângulo de medidas da base e da altura conhecidas
70
3.3.3 Círculo
Para calcular a área de um círculo, utiliza-se a expressão matemática que relaciona o 
seu raio e a letra grega π (pi), a qual corresponde a aproximadamente 3,14. 
Ac = πr2
Exemplo: 
Em uma superfície de 10 m de diâmetro, deseja-se 
assentar cerâmica. Tendo em vista algumas possíveis 
perdas de material durante a construção, será 
necessário aumentar em 8% a quantidade mínima 
de metros quadrados de cerâmica necessária. Assim, 
quantos metros quadrados desse material devem ser 
comprados?
A = π x r² 
A = 3,14 x 5² 
A = 3,14 x 25 
A = 78,5 m² 
Calculando os 8% de aumento: 
78,5 × 8 : 100 = 6,28
Total de ladrilhos a serem comprados. 
78,5 + 6,28 = 84,78 m²
Será preciso comprar 84,78 m² de ladrilhos.
Figura 54: Circunferência de centro (O) e raio (r)
Figura 55 - Circunferência de 
10 m de diâmetro
71
3.4 Cálculo de Volumes: Prisma, Cilindro e Esfera
O volume de sólidos é calculado levando-se em consideração suas três dimensões.
3.5 Princípio de Cavalieri
Em um baralho no qual todas as cartas têm as mesmas dimensões e estão dispostas de 
diferentes maneiras, qual das pilhas apresenta o maior volume?
 De acordo com essa ideia, o Chamado Princípio de Cavalieri afirma que as quatro pilhas 
têm o mesmo volume, uma vez que são formadas pelas mesmas cartas e pela soma dos 
volumes de cada carta. 
Com base nisso, a seguir serão expostos os cálculos dos volumes do prisma e da 
pirâmide.
• Prisma 
Observam-se os prismas retos dados acima. Estão destacados em cada um deles dois 
elementos: duas bases iguais (uma inferior e outra superior) e a altura (distância estre 
as bases). 
Para calcular o volume de um prisma (Vp), basta multiplicar a área da sua base (AB) por 
sua altura (h).
Figura 56: Mesma pilha de cartas de baralho apresentadas de diferentes maneiras
72
Exemplo:
A base de um prisma reto é um quadrado de 4 cm de lado e a altura é 8 cm. Com base 
nisso, qual é o seu volume?
• Cilindro 
Para calcular o volume de um cilindro (VC), basta multiplicar a área da sua base (AB) por 
sua altura (h). 
Figura 57: Prisma quadrangular cuja base é um 
quadrado de lado 4 cm e de altura mede 11 cm
Figura 58: Cilindro de 
altura (h)
AB = 42 = 16
h = 11
Vp = Ab × h = 16 × 11 = 176
VP = 176 cm
3
73
Exemplo:
Um reservatório cilíndrico tem como base um círculo de 
raio 4 m e altura igual a 10 m. Qual o volume e a capacidade 
em litros desse reservatório? Diante disso, determinar o 
volume em (m3) e a capacidade desse reservatório em 
litros. Dado: 1 m³ corresponde a 1.000 litros.
V = π x r² x h 
V = 3,14 x 4² x 10 
V = 3,14 x16 x 10 
V = 502,4 m³
A capacidade é de 502,4x1.000 = 502.400 litros.
• Esfera
O volume de uma esfera (VE) de raio (r) é dado por 
Exemplo:
Uma fábrica de chocolates deseja produzir 10.000 unidades de bombons em forma de 
esfera de 0,5 cm de raio. Qual o volume de cada bombom? E quantos litros de chocolate 
serão necessários para produzir esse total de unidades?
O volume de cada unidade é:
 
O volume das 10.000 unidades é:
Figura 59: Cilindro de raio 4 m e 
altura 10 m
Figura 60: Esfera de centro em (O) e raio (R)
74
VE = 0,5233 × 10000 cm
3 = 5233 cm3
Transformando em m3:
5233 cm³ = 5233 : 1000000 m³ = 0,0052 m³
Transformando em litros:
0,0052 m³ = 0,0052 . 1000 L = 5,2 L
São necessários 5,2 litros
Resumindo 
 
Nesta unidade foram estudadas as principais figuras geométricas 
consideradas em dois grupos: o primeiro formado por aquelas que 
apresentam todos os seus pontos em um mesmo plano e, por isso, chamadas 
de figuras planas e, o segundo, formado pelos sólidos geométricos, figuras 
que apresentam três dimensões. 
 
No grupo das figuras planas, os ângulos, os polígonos e a circunferência 
foram apresentados e, no grupo dos sólidos geométricos, o prisma, o 
cilindro e a esfera. Também foram analisadas as figuras geométricas sob o 
ponto de vista da geometria métrica, calculando perímetros e áreas de 
figuras planas e volumes de sólidos geométricos.
75
 a
1) Na figura, observa-se uma correia acoplada a duas rodas 
iguais, de 10 cm de raio. A distância entre os centros das 
rodas é 50 cm. Qual o comprimento dessa correia? 
 
a. ( ) 162,8 cm. 
 
b. ( ) 170,4 cm. 
 
c. ( ) 180,8 cm. 
 
d. ( ) 190,6 cm. 
 
2) A figura representa o esqueleto de um bloco retangular. 
Supondo que a figura foi construída com palitos de madeira, 
quantos centímetros de madeira foram utilizados nessa 
construção? 
 
a. ( ) 24 cm. 
 
b. ( ) 28 cm. 
 
c. ( ) 30 cm. 
 
d. ( ) 36 cm. 
Atividades
76
Referências
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: 6º ao 9º anos. São 
Paulo: FTD, 2004.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2010.
______. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2012.
PARENTE, Eduardo. Caminhar e Transformar – Matemática. São Paulo: FTD, 2013.
SILVEIRA, Ênio. Matemática – Compreensãoe Prática. São Paulo: Moderna, 2010.
77
Gabarito
Questão 1 Questão 2
Unidade 1 A D
Unidade 2 A D
Unidade 3 A D
Unidade 4 C D
Unidade 5 B D
Unidade 6 A D