aula 16

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Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 16 
Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos 
 
 
 
1. Ajuste de Polinômios 
 
Já vimos que a melhor reta do tipo ݕ = ܽݔ que se ajusta a um conjunto de ݊ pontos é aquela dada 
por: 
 ܽ = ݕଵݔଵ + ݕଶݔଶ +ڮ+ ݕ௡ݔ௡ݔଵଶ + ݔଶଶ +ڮ+ ݔ௡ଶ 
 
Agora vamos ver para uma reta do tipo ݕ = ܽݔ + ܾ. O somatório dos quadrados dos resíduos é 
dado por: 
 � = ሺݕଵ − ܽݔଵ − ܾሻଶ + ሺݕଶ − ܽݔଶ − ܾሻଶ +ڮ+ ሺݕ௡ − ܽݔ௡ − ܾሻଶ 
 
Nesse caso, desejamos que � é uma função de ܽ e ܾ e, portanto, para que �ሺܽ, ܾሻ tenha o menor 
possível, temos que encontrar os pontos críticos: 
 ���ܽ = −ʹሺݕଵ − ܽݔଵ − ܾሻݔଵ − ʹሺݕଶ − ܽݔଶ − ܾሻݔଶ −ڮ− ʹሺݕ௡ − ܽݔ௡ − ܾሻݔ௡ = Ͳ 
 ሺݕଵ − ܽݔଵ − ܾሻݔଵ + ሺݕଶ − ܽݔଶ − ܾሻݔଶ +ڮ+ ሺݕ௡ − ܽݔ௡ − ܾሻݔ௡ = Ͳ 
 ሺݕଵݔଵ − ܽݔଵଶ − ܾݔଵሻ + ሺݕଶ − ܽݔଶଶ − ܾݔଶሻ + ڮ+ ሺݕ௡ − ܽݔ௡ଶ − ܾݔ௡ሻ = Ͳ 
 ሺܽݔଵଶ + ܾݔଵሻ + ሺܽݔଶଶ + ܾݔଶሻ + ڮ+ ሺܽݔ௡ଶ + ܾݔ௡ሻ = ݔଵݕଵ + ݔଶݕଶ +ڮ+ ݔ௡ݕ௡ 
 ሺݔଵଶ + ݔଶଶ +ڮ+ ݔ௡ଶሻܽ + ሺݔଵ + ݔଶ +ڮ+ ݔ௡ሻܾ = ݔଵݕଵ + ݔଶݕଶ +ڮ+ ݔ௡ݕ௡ 
 ���ܾ = −ʹሺݕଵ − ܽݔଵ − ܾሻ − ʹሺݕଶ − ܽݔଶ − ܾሻ −ڮ− ʹሺݕ௡ − ܽݔ௡ − ܾሻ = Ͳ 
 ሺݕଵ − ܽݔଵ − ܾሻ + ሺݕଶ − ܽݔଶ − ܾሻ +ڮ+ ሺݕ௡ − ܽݔ௡ − ܾሻ = Ͳ 
 ሺܽݔଵ + ܾሻ + ሺܽݔଶ + ܾሻ +ڮ+ ሺܽݔ௡ + ܾሻ = ݕଵ + ݕଶ +ڮ+ ݕ௡ 
 ሺݔଵ + ݔଶ +ڮ+ ݔ௡ሻܽ + ሺͳ + ͳ +ڮ+ ͳሻܾ = ݕଵ + ݕଶ +ڮ+ ݕ௡ 
 
Se escrevermos a equação como sendo ݕ = �଴ + �ଵݔ, teremos os valores de �଴ e �ଵ resolvendo o 
seguinte sistema linear: 
 [�ݔ଴ �ݔଵ�ݔଵ �ݔଶ] [�Ͳ�ͳ] = [ �ݕ�ݔݕ] 
 
Onde �ݔ଴ = ݔͳͲ + ݔͲʹ +ڮ+ ݔͲ݊ = ͳ+ ͳ+ڮ+ ͳ 
 �ݔଵ = ݔͳͳ + ݔͳʹ +ڮ+ ݔͳ݊ 
 �ݔଶ = ݔͳʹ + ݔʹʹ +ڮ+ ݔ݊ʹ 
 �ݕ = ݕͳ + ݕʹ +ڮ+ ݕ݊ 
 �ݔݕ = ݔଵݕଵ + ݔଶݕଶ +ڮ+ ݔ௡ݕ௡ 
 
Para um polinômio de segundo grau teríamos que ݕ = �଴ + �ଵݔ + �ଶݔଶ, seguindo os mesmos passos 
anteriores, tem-se os coeficientes do polinômio determinados por meio do seguinte sistema linear: 
 
[ 
 �ݔ଴ �ݔଵ �ݔଶ�ݔଵ �ݔଶ �ݔଷ�ݔଶ �ݔଷ �ݔସ] 
 
[ 
 �Ͳ�ͳ�ʹ] 
 = [ 
 �ݕ�ݔݕ�ݔଶݕ] 
 
 
 
Onde 
 �ݔସ = ݔͳ4 + ݔ4ʹ +ڮ+ ݔ4݊ 
 �ݔʹݕ = ݔଵଶݕଵ + ݔଶଶݕଶ +ڮ+ ݔ௡ଶݕ௡ 
 
Estendendo o mesmo cálculo para um polinômio de grau m, teremos: 
 
[ 
 
 �ݔ
଴ �ݔଵ … �ݔ௠�ݔଵ �ݔଶ ⋱ �ݔ௠+ଵ�ݔଶ �ݔଷ ⋱ �ݔ௠+ଶڭ ⋱ ⋱ ڭ�ݔ௠ �ݔ௠+ଵ … �ݔଶ௠ ] 
 
 
[ 
 
 �Ͳ�ͳ�ʹڭ�݉] 
 
 =
[ 
 
 �ݕ�ݔݕ�ݔଶݕڭ�ݔ௠ݕ] 
 
 
 
 
Modifique o script da aula anterior para que ele gere o gráfico de dispersão dos pontos informados pelo 
usuário e desenhe a melhor reta que se ajuste aos dados. Faça o mesmo para a parábola. 
 
 
 
 
 
 
2. Ajuste de Funções Exponenciais 
 
Uma função muito utilizada na Engenharia é a função exponencial e é possível ajustar uma função do 
tipo ݕ = ܽ��� pelo método dos quadrados mínimos, contudo, é mais fácil linearizar a função original 
antes de aplicar o método. 
 
Desse modo, se temos ݊ pontos ሺݔଵ, ݕଵሻ, ሺݔଶ, ݕଶሻ, … , ሺݔ௡, ݕ௡ሻ para ajustar por meio de uma equação do 
tipo ݕ = ܽ���, é melhor fazer 
 lnሺݕሻ = ln(ܽ���) 
 lnሺݕሻ = lnሺaሻ + ln(���) 
 lnሺݕሻ = lnሺaሻ+ܾݔ 
 
Fazendo ݖ = lnሺݕሻ e � = lnሺܽሻ temos que 
 ݖ = A+ܾݔ 
 
Sendo assim, basta encontrar a equação da reta que se aproxima dos pontos ሺݔଵ, ݖଵሻ, ሺݔଶ, ݖଶሻ, … , ሺݔ௡, ݖ௡ሻ, lembrando que ݖ = lnሺݕሻ. Ou seja, temos que encontrar a reta que melhor 
se ajusta a ሺݔଵ, lnሺݖଵሻሻ, ሺݔଶ, lnሺݖଶሻሻ, … , ሺݔ௡, lnሺݖ௡ሻሻ. 
 
Depois de encontrados os valores de � e ܾ, encontramos a equação ݕ = ܽ��� já que � = lnሺܽሻ → ܽ =��. 
 
Modifique o script anterior para que ele gere o gráfico de dispersão dos pontos informados pelo usuário 
e desenhe a melhor exponencial ݕ = ܽ��� que se ajuste aos dados. 
 
Um forte abraço e até a próxima!