Apostila Matematica Básica

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE QUÍMICA
APOSTILA DE MATEMAITICA: CONCEITOS BÁSICOS
THAWAN GOMES DE OLIVEIRA
SÃO PAULO
2017
ASSUNTOS ABORDADOS
- RAZÃO E PROPORÇÃO
- PORCENTAGEM
- REGRA DE TRES: SIMPLES E COMPOSTA
- EQUAÇÔES DO 1 GRAU E 2 GRAU
- SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1 GRAU
- NOÇÕES DE GEOMETRIA 
RAZÃO E PROPORÇÃO
A razão pode ser descrita como a forma comparativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da comparação.
Como por exemplo, imagina que o terreno do seu namorado tem uma área de 300 m2 e o seu terreno tenha 200 m2. A razão entre os dois terrenos é basicamente uma divisão do menor sobre o maior. Então temos,
Conclusão esse 0,67 é a razão (Assim comparamos duas grandezas, que nesse caso foi o terreno). 
Exemplo 1
Uma escola tem 1200 m2 de área construída e 3000 m2 de área livre. Qual é a razão entre área construída para área livre?
 Resposta:
Primeiro passo identificar as grandezas comparativas.
 Escola e área livre
Segundo passo montar a divisão (“Regra sempre menor em cima e maior em baixo”).
Para resolver vai simplicando. 
Então a razão será de 2/5. 
Exemplo 2
A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 6000 cm foi representado por um segmento de 3 cm é: 
A) 1 : 10.000
B) 1 : 2.000
C) 1 : 3.000
D) 1 : 6.000      
E) 1 : 4.000
Solução
Portanto, Escala é um tipo de razão, que será sempre a divisão do menor sobre o maior.
Então temos,
Simplicar por 2, temos a letra B a resposta.
PROPORÇÃO
É definida como a igualdade de duas razões. Esse conceito expressa bem o nome “proporcional”, quando se fala proporção é a mesma coisa que vc dizer duas coisas são iguais.
Como por exemplo, se eu falo que minha escola é proporcional a faculdade, posso concluir que:
Escola = faculdade 
Numa linguagem matemática dizemos que:
Essa é uma razão, a e b são duas grandezas qualquer, k é razão. Seu eu falo que c e d é proporcional ao conjunto a e b, isso é a mesma coisa que:
Ou seja, ambos vão ter a mesma razão K. 
(Morzão não se assusta em ver letras ao invés de números, isso é só para generalizar o conceito.)
Exemplo 1:
Dona Dela tem um terreno e o seu terreno é proporcional ao terreno de sua mãe. A casa de dona Dela tem uma área construída de 1200 m2 e seu terreno livre tem 3000 m2. O terreno de sua mãe tem uma área construída de 2000 m2. Qual é a área livre do terreno da mãe de Dona Dela?
Resposta:
Primeiro vamos identificar as grandezas comparativas. 
Terreno de Dona Dele e o Terreno de sua mãe
Se no exercício falar que são proporcionais, posso dizer que:
Terreno de Dona Dela = Terreno de sua mãe
Agora vamos escrever as duas razões:
Dona Dela mãe de Dona Dela
 = 
Então a proporção é:
X é o valor que vamos encontra que chamamos de área livre:
Multiplicando em cruz acha-se o valor de x.
1200 x = 2000 . 3000
1200 x = 6000000
X = = 5000
Então x = 5000 m2 que representa a área livre do terreno da mãe de Dona dela. 
REGRA DE TRES SIMPLES
Permite encontrar um quarto valor que não conhecemos em um problema, dos quais conhecemos apenas três deles. Assim, encontraremos o valor desconhecido a partir dos três já conhecidos.
Procedimento para efetuar o cálculo:
Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesma espécie na mesma coluna.
Identificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais, analisaremos isso no próximo passo.
Montar a equação assim: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em forma de X. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos os valores para ficarem diretamente proporcional.
Resolva a equação.
Exemplo 1 – (Quando as grandezas são diretamente proporcionais)
Para se construir um muro de 17m² são necessários 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51m²?
Respostas: 
Há duas grandezas envolvidas (área do muro e número de trabalhadores) e temos três valores conhecidos; portanto, trata-se de um problema de regra de três simples.
Precisamos encontrar o número de trabalhadores para construir 51m². Para isso, vamos armar o problema para descobrir se temos uma regra de três simples direta ou inversa:
Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.
	Área
	Nº de trabalhadores
	17m²
	3
	51m²
	X
Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima. Colocaremos na outra grandeza uma seta de mesmo sentido, caso as grandezas sejam diretamente proporcionais, ou uma seta de sentido contrário, se as grandezas forem inversamente proporcionais.
Perceba que a outra seta terá o mesmo sentido, já que as grandezas são diretamente proporcionais (se aumentarmos a área do muro, devemos aumentar o número de trabalhadores):
Como se trata de uma regra de três simples direta, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em X, assim:
Logo, montando a equação:
Portanto, serão necessários 9 trabalhadores para construir um muro de 51m².
Resposta: C
Exemplo 2 – (Grandezas inversamente proporcional)
Um automóvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em certo percurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo percurso?
Resposta: 
Montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.
	Velocidade
	Tempo
	80 km/h
	15 min.
	60 km/h
	X min.
Inicialmente, vamos colocar uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima.
Temos uma regra de três simples inversa, a seta terá sentido contrário (se diminuímos a velocidade, o tempo do percurso aumenta).
Como se trata de uma regra de três simples inversa, devemos inverter os valores no sentido da seta, assim transformamos em uma regra de três simples direta e então podemos multiplicar em cruz (em X):
Logo, montando a equação:
Portanto, será gasto um tempo de 20 minutos para fazer o mesmo percurso a 60 quilômetro por hora.
Resposta: D
REGRA DE TRES COMPOSTA
Na matemática, é a forma de encontrar um valor desconhecido quando conhecemos três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Exemplo 1
 Monte a tabela e agrupe as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.
	Impressoras
	Horas/Dia
	Dias
	Folhas
	3
	10
	4
	240.000
	2
	X
	6
	480.000
Perceba que se trata de um problema que envolve regra de três composta, pois temos mais de três grandezas conhecidas. Vamos resolver esse problema de regra de três composta, analisando cada grandeza relativamente à grandeza onde está o X. Assim, para resolver regra de três composta você deve reduzir o problema em várias regras de três simples. 
Analisemos, inicialmente, a grandeza impressoras com horas/dia que é onde se encontra a incógnita, isto é, o X.
Inicialmente, coloquemos uma seta orientada no sentido contrário do X, isto é, para cima. Vamos analisar a outra parte.
Inversa: se diminuímos o número de impressoras, precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Assim, coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.
Agora vamos analisar a grandeza dias com horas/dia, onde está o X.
Inversa: se aumentamos o número de dias de trabalho, podemos diminuir a carga horária de trabalho. Assim, também coloquemos uma seta contrária, isto é, para baixo.
Por último, vamos analisar a grandeza folhas com horas/dia, onde está o X.
Direta: se aumentamos a quantidade de trabalho a ser feito, precisamos aumentar a carga horária de trabalho. Então, neste caso, coloquemos uma seta na mesma direção do X, isto é, para cima.
Juntando tudo, temos:
Então, sempre respeitando o sentido das setas, ou seja, quando for inversa (seta vermelha) invertemos os valores (denominador,parte de baixo, vai para o numerador, parte de cima) e quando for direta deixa como está. Esse processo foi ensinado em regra de três simples, vale também para regra de três composta.
Agora, para resolver, vamos isolar a grandeza que possui a incógnita, isto é, o X, para formarmos a equação. Veja:
Como pode ver, o que está antes da igualdade multiplicamos em cruz, isto é, em X; o que está depois da igualdade multiplicamos em linha. Assim, temos a seguinte equação:
Logo, as máquinas restantes devem funcionar 20 horas/dia para produzir 480.000 folhas em 6 dias.
PORCENTAGEM
A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).
Alguns Exemplos:
Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar? O desconto será de 10% do valor de R$120,00. 
Resolução:
120 ------------ 100 %
X ------------ 10 %
100 x = 1200
X = 12 reais
Como é uma promoção, o valor será menor: 108 reais.
Exercícios Resolvidos (Em aula)
Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?
Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda?
EQUAÇÔES DO 1 GRAU
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo ―equa‖, que em latim quer dizer "igual". 
Exemplo 1: 
São equações 2𝑥 + 8 = 0 
 5𝑥 − 4 = 6𝑥 + 8 
Definição para equação do 1 grau: 
A equação geral do primeiro grau 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, onde 𝑎 e 𝑏 são números conhecidos e 𝑎 ≠ 0, se resolve de maneira simples: subtraindo 𝑏 dos dois lados, obtemos 𝑎𝑥 = −𝑏 e dividindo por 𝑎 (dos dois lados), temos 𝑥 = − 𝑏/ 𝑎 .
(Mor não tenha medo kkkk, isso é penas a definição)
O que realmente estamos dizendo:
Considere a equação 2𝑥 − 8 = 3𝑥 − 10. 
Para resolver o primeiro método é a separação de letras para um lado e número de outro, ou seja:
 2x – 3 x = - 10 + 8
 - 1 x = - 2
 X = 2
Toda equação possui igualdade e incógnita. A incógnita é um número desconhecido representado por uma letra (geralmente x). Resolver uma equação é encontrar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira.
Dada uma equação do primeiro grau qualquer, o conjunto de números, incógnitas e operações disposto à esquerda da igualdade é conhecido como primeiro membro da equação; e o que está à direita da igualdade é chamado de segundo membro da equação. Por exemplo, dada a equação:
7x + 80 = 4x – 7
O primeiro membro é composto por 7x + 80, e o segundo membro, por 4x – 7. Além disso, cada parcela que é somada ou subtraída em uma equação é chamada de termo. Logo, tomando o mesmo exemplo acima, os termos dessa equação são: 7x, 80, 4x e 7.
De posse dessas definições, seguem os quatro passos para resolver uma equação do primeiro grau.
EQUAÇÃO DO 2 GRAU
Existem diversos modos de se resolver uma equação do segundo grau, contudo, nem sempre essas formas apresentam o melhor método de resolução. Dessa maneira, para agilizar a solução de exercícios de um modo geral, apresentaremos três passos que facilitarão bastante o processo!
Os três passos seguintes baseiam-se na fórmula de Bhaskara, que é o método resolutivo para equações do segundo grau mais popular entre os estudantes.
Primeiro passo: Escreva os valores numéricos dos coeficientes a, b e c.
Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0. Desse modo, o coeficiente a é o número que multiplica x2. O coeficiente b é o número que multiplica x e o coeficiente c é um número real. Portanto, dada uma equação do segundo grau, escreva os valores de a, b e c de forma clara, objetiva e evidente para que eventuais consultas a esses valores sejam feitas rapidamente.
Como exemplo, vamos escrever os coeficientes da equação 2x2 + 8x – 24 = 0.
a = 2, b = 8 e c = – 24
Segundo passo: Calcule o valor de delta.
O valor de delta é dado pela seguinte expressão: Δ = b2 – 4ac, em que a, b e c são coeficientes da equação e Δ é delta.
Tomando o exemplo anterior, na equação 2x2 + 8x – 24 = 0, delta vale:
Δ = b2 – 4ac
Δ = 82 – 4·2·(– 24)
Δ = 64 + 192
Δ = 256
Terceiro passo: calcule os valores de x da equação.
Após calcular o valor de delta, os valores de x podem ser obtidos por meio da seguinte expressão:
x = – b ± √Δ
      2·a
Observe que nessa expressão aparece o sinal ±. Isso indica que x possui dois valores: o primeiro para a √Δ (raiz de delta) negativa e o segundo para √Δ positiva.
Tomando o exemplo já citado, observe a conclusão do terceiro passo:
x = – b ± √Δ
      2·a
x = – 8 ± √256
       2·2
x = – 8 ± 16
       4
Para √Δ negativa, teremos:
x' = – 8 – 16 = –24 = –6
           4           4         
Para √Δ positiva, teremos:
x'' = – 8 + 16 = 8 = 2
             4        4      
 
 
NOÇÕES DE GEOMETRIA
Geometria é a área da Matemática que estuda as formas dos objetos, analisa suas dimensões e suas posições. A palavra é formada por “geo” (terra) + “metria” (medida), então significa medida da terra.
Geometria Plana: 
Também chamada de Geometria Euclidiana, estuda o plano e o espaço baseando-se nos postulados de Euclides;
Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber:
Ponto
Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras maiúsculas.
Reta
A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:
horizontal
vertical
inclinada
Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes.
Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas.
Segmento de Reta
Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos.
A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim.
Plano
Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.
Ângulos
Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:
ângulo reto (Â = 90º)
ângulo agudo (0º < Â < 90º)
ângulo obtuso (90º < Â < 180º)
Área
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.
Perímetro
O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica.
Áreas e Perímetros de Figuras Planas
Confira abaixo as fórmulas para encontrar a área e o perímetro das figuras planas.
Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados.
Que tal ler mais sobre os triângulos? Veja mais em Classificação dos Triângulos.
Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois deles são congruentes e os outros dois também.
Veja também o artigo: Retângulo.
Quadrado: figura fechadae plana formada por quatro lados congruentes (possuem a mesma medida).
Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada de circunferência.
Atenção!
π: constante de valor 3,14
r: raio (distância entre o centro e a extremidade)
Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor.
Veja mais sobre o Trapézio.
Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados os quais apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.
O Teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplos:
1º) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15