APOSTILA DE MATEMÁTICA 8º E 9º ANO

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ROTINA PEDAGÓGICA DE MATEMÁTICA 
PRIMEIRAS SEMANAS DE AULA 
LIMOEIRO DO NORTE 
FEVEREIRO 2018 
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA – 8º e 9º ANO
Semana 1
1. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtraírmos 5 da segunda 
parcela, o que ocorrerá com o total?
Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e 
subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?
2. (Concurso público municipal – Município de Poço das Trincheiras -AL -2013)
Se a soma e a diferença entre dois números inteiros são, respectivamente, iguais a 33 e 7, o produto 
desses números é :
a) 400
b) 260
c) 13
d) 20
e) 169
3. Escreva o sucessor e o antecessor dos seguintes números inteiros {0, – 98, +1024, - 72, +26 + 1,
-2}. Em seguida, ordene os números na forma crescente.
Usando os símbolos > (maior) e < (menor), compare os números inteiros a seguir:
a) –15 ____ + 15
b) –100 ___ – 99
c) + 58 ___ +124
d) + 1000 ___ + 999
4. Ana foi no supermercado e comprou:
♦ 1 pacote de feijão por R$ 5, 20
♦ 1 pacote de arroz por R$ 10, 50
♦ 5 pacotes de bolacha por R$ 1, 30 cada.
♦ 1 bandeja de iogurte por R$ 4, 80
♦ 3 litros de óleo por R$ 3, 20 cada.
Calcule quanto Ana gastou.
5. Resolva as expressões abaixo:
a) + 5 + 2 . (+ 4) + 12 =
b) – 15 – 6 – 10 . (2) =
c) + 23 + 5 . (3) + 2 . (2) =
d) – 34 – 120 + 32 =
 2
6. Escreva os números inteiros:
a) compreendidos entre 1 e 7
b) compreendidos entre -3 e 3
c) compreendidos entre -4 e 2
d) compreendidos entre -2 e 4
e) compreendidos entre -5 e -1
f) compreendidos entre -6 e 0
7. Responda:
a) Qual é o sucessor de +8?
b) Qual é o sucessor de -6?
c) Qual é o sucessor de 0 ?
d) Qual é o antecessor de +8?
e) Qual é o antecessor de -6?
f) Qual é o antecessor de 0 ?
8. Determine o produto:
a) (-2) . (+3) . ( +4) =
b) (+5) . (-1) . (+2) =
c) (-6) . (+5) .(-2) =
d) (+8) . (-2) .(-3) =
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)=
f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) =
g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) =
h) (+25) . (-20) =
i) -36) .(-36 =
j) (-12) . (+18) =
l) (+24) . (-11) =
m) (+12) . (-30) =
9. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas;
cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?
10. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela
economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?
11. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$
7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada
barrica?
12. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido
entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas
recebeu cada menino e cada menina?
13. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta
possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?
14. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a
caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe
restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?
15. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2
para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um
deles?
16. Calcule o quocientes:
a) (+15) : (+3) =
b) (+15) : (-3) =
c) (-15) : (-3) =
d) (-5) : (+1) =
e) (-8) : (-2) =
f) (-6) : (+2) =
g) (+7) : (-1) =
h) (-8) : (-8) =
f) (+7) : (-7) =
17. Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):
a) 35 + 5²=
b) 50 - 4² =
c) -18 + 10² =
d) -6² + 20 =
e) -12-1 =⁷
f) -2 - 40 =⁵
g) 2 + 0 - 2 =⁵ ⁴
h) 2 - 2² - 2 =⁴ ⁰
i) -3² + 1 - .65 =⁰
j) 4² - 5 + 0 + 7² =
k) 10 - 7² - 1 + 2³ =
l) 3 - 3³ + 3² - 3¹ + 3 =⁴ ⁰
18. Reduza a uma só potencia:
a) (+5) . (+5)² =⁷
b) (+6)² . (+6)³ =
c) (-3) . (-3)² =⁵
d) (-4)² . (-4) =
e) (+7) . (+7) =⁴
g) (-5)³ . (-5) . (-5)² =
h) (+3) . (+3) . (+3) =⁷
i) (-6)² . (-6) . (-6)² =
j) (+9)³ . (+9) . (+9) =⁴
19. Aplique a propriedade de potência de um produto:
a) [(-2) . (+3)] =⁵
b) [(+5) . (-7)]³ =
c) [(-7) . (+4)]² =
d) [(+3) . (+5)]² =
e) [(-4)² . (+6)]³ =
f) [(+5) . (-2)³]² =⁴
20. Calcule:
a) √25 + √16 =
b) √9 - √49 =
c) √1 + √0 =
d) √100 - √81 + √4 =
e) -√36 + √121 + √9 =
f) √144 + √169 -√81 =
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 
Semana 2
1- A figura está dividida em 4 partes iguais. A parte pintada corresponde em porcentagem.
2- Escreva as frações em sua forma decimal:
a) 
61
10
=___________
b) 
129
10
=___________
c) 
3116
1000
=___________
d) 
634
100
=___________
3- . Em cada linha, marque um X no parêntese das figuras que representam a fração indicada.
4- As figuras abaixo foram construídas com vários triângulos pequenos chamados 
unidades.
a) A figura a seguir se chama hexágono, pois possui 6 lados. Quantas unidades de triângulos há?
_______________
Pinte 25% da figura de amarelo.
Pinte 50% da figura de vermelho.
Quantas unidades foram pintadas ao todo? __________
Que percentual da figura foi pintado no total?_________
Quantas unidades não foram pintadas? ___________
Que percentual da figura não foi pintado? ____________
b) Observe o triângulo maior. Quantas unidades de triângulos há? _______________
Pinte 
3
4 da figura de amarelo.
Quantas unidades foram pintadas ao todo? __________
Que percentual da figura foi pintado no total?_________
Que fração da figura não foi pintada? ___________
Que percentual da figura não foi pintado? ____________
5- Escreva para cada item uma fração equivalente, cujo denominador seja 100. Em seguida,
escreva a porcentagem correspondente.
a) 
3
10
=___________
b) 
4
5
=___________
c) 
1
5
=___________
d) 
19
25
=___________
6- Escreva por extenso os números decimais:
a) 1,63 _____________________________________
b) 3,5 ______________________________________
c) 2,166 ____________________________________
d) 0,34 _____________________________________
7- Escreva os números fracionários em forma de porcentagem.
a) 
2
5
=
b) 
1
2
=
c) 
4
25
=
d) 
7
20
=
8- Numa padaria,
1
5 dos pães totais estão prontos para ser vendidos. Quantos por centos ainda
faltam para os pães ficarem prontos para ser vendidos.
9- Uma pesquisa mostrou que
7
10 dos alunos de uma escola têm o voleibol como esporte
preferido. Quantos por certo dos alunos preferem o voleibol?
10- Calcule as expressões:
a) 1,2 – 0,8 + 2,4 = ________________________
b) 2 – 0,51 – 0,189 = ______________________
c) (10 – 6,25) + 2,9 = ______________________
d) (14,9 – 6,75) + (5 – 3,28) = ________________
11- Calcule a multiplicação dos números decimais:
a) 100 x 2,23 = _____ b) 10 x 0,631 = _____
c) 1,2 x 1,4 = ______ d) 2,9 x 0,8 = ______
12. Usando as propriedades com potências de mesma base, transformem em uma só potência as
expressões:
a) 
2
3
1





 . 
3
3
1





 b) 
34
7
3













 c)  119,1 :  69,1 d) 
7
2
1





 : 
3
2
1






e)  75,0 .  5,0 .  85,0 f)   332,4
13. Calcule as potências:
a) 
2
2
3





  b) 
2
4
5





 c) 
5
2
1





 d) 
0
8
15





 e) 
3
3
1






f) 
1
13
7





 g)  27,1 h)  510 i)  2001 j)  34,0 k) 
4
3
2






14. Calcule as seguintes potências com expoente negativo: Não esqueça: m
m
a
a
1

a) 10 2 b)
2
8
5






 c) 
3
2
3






 d)   33  e)
2
3
2






 f) 
5
2
1







15. Classifique cada sentença seguinte em verdadeira (V) ou Falsa (F). Justifique sua resposta:
a)    523 88  b)  15
4
10
10
10 





c)    22 3535  d)  623 44.4.4 
e) 
9
4
3
2
2







16. Calcule:
1
264 ;; 
1
216
25
æ ö
ç ÷
è ø
; 0,5100 ; 0,25625 ;
1
38
27
æ ö
ç ÷
è ø
;; 
1
5( 32)- ;
1
24(2 ) ;
a) -0,1
b) -1,7
c) -17
d) 0,1
e) 1,7
a) 43
b) 25
c) 11
d) 36
e) 17
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 
 Semana 3
1. Na minha cidade, foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos alunos para chegarem à
escola. Responderam à essa pergunta 2 000 alunos. 42% responderam que vão de carro, 25% responderam
que vão de moto, e o restante de ônibus. Calcule todas as porcentagens possíveis.
2. Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando
o produto? Qual o valor do desconto obtido?
3. Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante.
Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?
4. Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam?
5. Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%.
Quantas peças de roupa eu vendi?
6. Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta
população?
7. Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas
de um real eu possuo em meu bolso?
8. Dos 8 irmãos que possuo, apenas 50% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?
9. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas
faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
10. Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00,
quanto a mercadoria passará a custar?
11. Determinar quanto renderá um capital de $60.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 24% a.a (ao
ano), durante sete meses.
12. Um capital de $28.000,00, aplicado durante oito meses, rendeu juros de $11.200,00. Determinar a taxa de
juros simples anual.
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex13
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex13
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex14
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex14
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex22
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex22
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex16
http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex16
13. Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de $64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros
simples é de 4% a.m (ao mês), determinar o valor do capital aplicado.
14. Qual o valor dos juros contidos no montante de $100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à
taxa de juros simples de 42% a.a, durante 13 meses?
15. Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de $125.000,00,
sabendo-se que a taxa de juros simples é de 25% a.s (ao semestre)?
16. Em quanto tempo um capital de $800,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,1% a.d (ao dia), gera um
montante de $1.000,00?
17. Resolva as equações:
a) 4x + 8 = 3x - 5
b) 3a - 4 = a + 1
c) 9y - 11 = - 2
d) 5x - 1 = 8x + 5
18. Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x – 1
19. Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos
mais nova?
20. Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um
aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?
21. Qual é o número que colocado no lugar de x, torna verdadeira as sentenças?
a) x+9=13
b) x−7=10
c) 5 x−1=9
d) x−3=8
22. Verifique se 1 é raiz da equação 4 x+
1
2
=
9
2
 .
23. Resolva as equações:
a) x+5=8
b) x−4=3
c) x+6=5
d) x−7=−7
e) x+9=−1
f) x+28=11
g) x−109=5
h) x−39=−79
i) 10=x+8
j) 15=x+20
k) 4=x−10
l) 7=x+8
m) 0=x+12
n) −3=x+10
24. Resolva as equações:
a) 4 x−1=3( x−1)
b) 3( x−2)=2 x−4
c) 2( x−1)=3 x+4
d) 3( x−1)−7=15
e) 7 (x−4)=2 x−3
f) 3( x−2)=4 (3−x )
g) 3(3 x−1)=2(3 x+2)
h) 7 (x−2)=5 ( x+3 )
i) 3(2 x−1)=−2 ( x+3)
j) 5 x−3( x+2)=15
k) 2x+3 x+9=8(6−x)
l) 4 ( x+10)−2( x−5)=0
m) 3(2 x+3)−4 ( x−1)=3
n) 7 (x−1)−2 (x−5)=x−5
o) 2(3−x)=3 ( x−4 )+15
p) 3(5−x)−3 (1−2 x)=42
q) (4 x+6)−2 x=(x−6)+10+14
r) (x−3)−(x+2)+2( x−1)−5=0
s) 3 x−2(4 x−3)=2−3 (x−1)
t) 3( x−1)−( x−3)+5( x−2)=18
u) 5( x−3)−4 ( x+2)=2+3 (1−2x )
25. Resolva as seguintes equações:
a)
x
4
−
x
6
=3
b)
3 x
4
−
x
3
=5
c)
x
5
−1=9
d)
x
3
−5=0
e)
x
2
+
3 x
5
=6
f)
x
5
+
x
2
=
7
10
g) 5 x−10=
x+1
2
h)
8x−1
2
−2 x=3
i)
2 x−7
5
=
x+2
3
j)
5 x
2
=2x+
x−2
3
k)
x−3
4
−
2 x−1
5
=5
l)
x−1
2
+
x−3
3
=6
m)
5 x−7
2
=
1
2
+ x
n)
2 x−1
3
=x−
x−1
5
o)
2 ( x−1)
3
=
3x+6
5
p)
3 ( x−5)
6
+
2x
4
=7
26. Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos
coelhos há nesse terreno?
27. A soma de dois números é 20. Se o dobro do maior é igual ao triplo do menor, determine o quadrado da
diferença desses dois números.
28. A soma da sexta parte com a quarta parte de um determinado número é o mesmo que a diferença entre
esse número e 56. Qual é o número?
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 
SEMANA 4
1. Expresse em metros cúbicos o valor da expressão:
3540dm3 + 340.000cm3 =
2. Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento 32 cm e altura
25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados?
a) 0,03 l
b) 0,3 l
c) 3 l
d) 30 l
3. Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 0,2 km de largura e 0,3 km de
comprimento. Quantos metros de arame farpado devo usar?
a) 500 m
b) 600 m
c) 1000 m
d) 60000 m
4. Efetue as operações, dando o resultado em metro quadrado.
a) 2 500 mm2 + 610 cm2
b) (12,40 km2) : 4
c) 3 m2 – 210 dm2
5. Observe a figura abaixo e responda o que está sendo pedido:
a) Numere cada polígono diferente que compõem a figura e dê nome específico.
b) O que diferencia um quadrado de um losango?
6. Calcule o perímetro do polígono abaixo, dando a resposta em centímetros:
7. Meu terreno retangular tem o comprimento igual ao triplo da largura. Desejando murar esse terreno,
consultei um pedreiro para saber quantos tijolos deveria comprar. Ele me disse que seriam necessários 130
tijolos por metro. Então, comprei 10 000 tijolos. Sabendo que a largura desse terreno é 10,8 metros, sobraram
ou faltaram tijolos? Quantos?
8. A chácara do senhor Luís tem o formato e as medidas da figura abaixo.
Quantos metros de arame farpado ele precisa comprar para cercar a chácara com 6 voltas de fio?
9. A pista do autódromo de Interlagos tem 4 309 metros. Nas provas de Fórmula 1, os pilotos devem
percorrer 71 voltas. Qual é o total de quilômetros percorridos quando o piloto consegue completar esse
número de voltas?
10. Um terreno retangular tem 200 m de comprimento. O perímetro dele é igual ao de outro terreno quadrado
que tem 165 m de lado. Calcule a largura desse terreno retangular.
11. Na figura abaixo, as medidas estão expressas em centímetros e o seu perímetro é igual a 36 cm. Qual é
o valor de x?
12. O perímetro de um triângulo é 27 cm. As medidas dos lados desse triângulo são expressas por três
números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do triângulo?
13. COMPLETE:
a) O quadrilátero é o polígono de ............................................................lados.
b) O polígono de 7 lados chama-se......................................................
c) O undecágono é o polígono de ......................................................lados.
d) O polígono de 20 lados é chamado de .................................................
14. Quantos tipos de polígonos você pode observar na figura? Quais são eles?
15. Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é iguala 52 cm?
16. Certo tabuleiro de xadrez tem área igual a 1 024 cm2. Quantos centímetros quadrados tem uma casa
desse tabuleiro?
17. Calcule a área da região mais escura.
18. Um campo de futebol tem 100 m de comprimento por 70 m de largura. Para cobrir esse campo, foram
compradas placas de gramas com 3,50 m2 de área cada placa. Quantas placas de grama serão necessárias
para cobrir totalmente o campo?
19. Um jardim de forma retangular tem área de 54 m2. Qual é o comprimento desse jardim, sabendo-se que a
largura mede 3 m?
20. Em um terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da frente do
terreno. Se for colocada grade de ferro na frente do terreno, quantos metros de grade serão necessários?
21. (Cesgranrio – RJ) A área da região representada na figura é?
22. Calcule a área dos quadriláteros a seguir.
23. Na figura, o quadrado A tem área de 25 cm2, e os retângulos B e C têm área de 10 cm2 cada um. Calcule
a área do triângulo D.
24. Considere o triângulo a seguir.
Observe que a altura relativa ao lado que mede 24 cm é igual a 16 cm. Calcule a altura relativa ao lado
de 20 cm.
25. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?
26. Num losango, a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor. Sabendo que D =
50cm, qual será a medida da área desse losango?
27. Calcule a área da região mais escura.
28. Calcule a área do terreno cuja planta é a da seguinte figura:
29. Calcule a área das superfícies:
30. A área do quadrado APCD representa que fração da área do trapézio ABCD?
CONTEÚDO DE NIVELAMENTO PARA A SEMANA 1
O quê trabalhar?
1. Identificar o conjunto dos Números Inteiros e sua representação na reta numérica
O conjunto dos números inteiros é representado por (Z). Um número é considerado inteiro quando não
apresenta casas decimais, ou seja, números após uma vírgula. Pertencem a esse conjunto os números inteiros
positivos, inteiros negativos e o zero. Veja um exemplo da representação desse conjunto:
Z = { … -5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5 …}
Reta Numérica
A reta numérica do conjunto dos inteiros é infinita. Representamos essa ocorrência colocando uma seta nos dois
lados da reta. Veja:
Os números na reta numérica são dispostos em relação ao zero. Assim, os números positivos ficam do lado
direito da reta, e os negativos, do lado esquerdo. O lado positivo é organizado de forma crescente, ou seja, do
menor termo numérico para o maior. Exemplo:
Ordem crescente: 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Já os números do lado negativo da reta são organizado de forma decrescente, isto é, do maior para o menor.
Exemplo:
Ordem decrescente: - 1 > - 2 > - 3 > - 4 > - 5 > …
Veja a representação da reta numérica dos inteiros:
Ao observar todos os termos de uma reta numérica, é possível concluir que a ordem geral da reta é crescente, 
pois os números são organizados do menor para o maior. Na imagem da reta acima, temos que – 9 é o menor 
número representado na reta numérica e que + 8 é o maior.
2. Executar operações com Números Inteiros
As operações com números inteiros estão relacionadas com a soma, subtração, divisão e multiplicação. Ao 
realizar alguma das quatro operações com esses números, devemos também operar o sinal que os acompanha.
Adição de números inteiros: Na adição de números inteiros, somam-se as parcelas:
Sinais iguais na soma ou na subtração: some os números e conserve o sinal.
Regra do sinal: (+) + (+) = +
 (–) + (–) = –
Exemplos:
+ 2 + 5 = + 7
+ 10 + 22 = + 32
– 5 – 4 = – 9
– 56 – 12 = – 68
Sinais diferentes: conserve o sinal do número de maior módulo e subtraia.
Regra do sinal:
Sinais iguais: repete-se o sinal e soma.
Sinais diferentes: repete-se o sinal do número de maior módulo e subtrai.
Exemplos:
3 – 4 = – 1 → O número de maior módulo é o quatro; logo, o sinal no resultado foi negativo.
– 15 + 20 = + 5 → O número de maior módulo é o vinte; logo, o sinal no resultado foi positivo.
Multiplicação e divisão de números inteiros:
Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo.
Regra do sinal: (+) . (+) = (+) → Operação de Multiplicação
(–) . (–) = (+) → Operação de Multiplicação
(+) : (+) = (+) → Operação de Divisão
(–) : (–) = (+) → Operação de Divisão
Exemplos:
(+ 2) . (+ 4) = + 8
(- 4) . (- 10) = + 40
(- 20) : (- 2) = + 10
(+ 15) : (+ 3) = + 5
Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal negativo.
Regra do sinal: (+) . (–) = (–) → Operação de Multiplicação
(–) . (+) = (–) → Operação de Multiplicação
(+) : (–) = (–) → Operação de Divisão
(–) : (+) = (–) → Operação de Divisão
Exemplos: 
(+ 6) . (– 7) = – 42
(– 12) . (+ 2) = – 24
(+ 100) : (– 2) = – 50
(– 125) : (+ 5) = - 25
Em relação à multiplicação e à divisão, podemos estabelecer a seguinte regra geral:
1 – Se os dois números possuírem o mesmo sinal, o resultado será positivo.
2 – Se os dois números possuírem sinais diferentes, o resultado será negativo.
3. Trabalhar a Potenciação e a Radiciação de Números Inteiros
Potenciação é uma forma de expressar várias multiplicações de números iguais, por exemplo, o número dois 
multiplicado três vezes pode ser escrito assim:
base 23 expoente (lê-se: dois elevado a três)
Chamamos o número de baixo de base e o de cima de expoente. O expoente representa quantas vezes a base é 
multiplicada, portanto:
23 = 2 x 2 x 2 = 8 
exemplos:
52 = 5 x 5 = 25
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
(-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32
(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16
Quando a base da potência seja negativa e não esteja escrita entre parênteses, o resultado é sempre negativo 
independente da paridade do expoente.
Exemplo:
-34 = - (3 x 3 x 3 x 3) = -81
A operação inversa da soma é a subtração, daí concluímos que a operação inversa da subtração é a soma.
Temos ainda que a operação inversa da divisão é a multiplicação, daí concluímos que a operação inversa da
divisão é a multiplicação.
A operação que desfaz a potenciação é chamada de radiciação, de onde concluímos que a operação inversa da
radiciação é a potenciação.
Você já viu que existe somente um número natural que elevado ao quadrado é igual a 121, ou seja, 11 . 11 =
121. Assim: = 11, porque 112 = 121.
Qual(Quais) números(s) inteiros(s) que elevando(s) ao quadrado dá(dão) resultado 49?
Observe que:
7 x 7 = 72 = 49 e (–7) x (–7) = (–7)2 = 49
Portanto, existem dois números inteiros que elevados ao quadrado dão resultado 49, o 7 e o –7.
Assim, a raiz quadrada positiva de 49 é igual a 7: = 7, e a raiz quadrada negativa de 49 é igual a –7 :
– = –7.
Indicamos as duas raízes quadradas de 49 por: .
Existe um número inteiro que elevado ao cubo dá resultado – 49?
Observe que: 72 = 49 e (–7)2 = 49, ou seja, para que o resultado seja – 49, precisamos de dois números distintos,
ou seja, não existe porque 72 = 49 e (–7)2 = 49.
A que conclusão você chegou?
Os números negativos não possuem raízes quadradas, porque
todo número inteiro elevado ao quadrado dá resultado
positivo.
Você já viu que:
= 1, porque 1 x 1 x 1 = 13 = 1
= 2, porque 2 x 2 x 2 = 23 = 8
= 1, porque 3 x 3 x 3 = 33 = 27
Qual(Quais) números(s) inteiros(s) que elevado(s) ao cubo dá(dão) resultado 64?
Observe que: 4 x 4 x 4 = 43 = 64
Portanto, existe somente um número inteiro que elevado ao cubo dá resultado 64: o 4.
Assim, a raiz cúbica de 64 é igual a 4:
Existe um número inteiro, que elevado ao cubo, dá resultado -64?
nº x nº x nº = –64
Para que um número elevado ao cubo dê resultado negativo, ele só pode ser negativo.
Temos que: (–4) x (–4) x (–4) = (–4)3 = –64
A raiz cúbica de –64 é igual a – 4, = – 4
Referências:
Radiciação de Números Inteiros disponível em: <http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/1696?
token=5%2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D >. Acesso em: 15 Jan. 2018.
Localização de Números Inteiros na Reta Numérica disponível em: 
< http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/reta-numerica-dos-numeros-inteiros.htm>.Acesso em: 15 
Jan 2018.
Potenciação de Números Inteiros disponível em:
<http://m.matematicaemacao.webnode.com.br/potencia%C3%A7%C3%A3o%20de%20numeros%20inteiros/> 
Acesso em: 15 Jan. 2018.
Operações com Números Inteiros disponível em:
<http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/operacao-com-numeros-inteiros.htm> Acesso em: 
15 Jan. 2018.
http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/1696?token=5%2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D
http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/1696?token=5%2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D
http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/operacao-com-numeros-inteiros.htm
http://m.matematicaemacao.webnode.com.br/potencia%C3%A7%C3%A3o%20de%20numeros%20inteiros/
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/reta-numerica-dos-numeros-inteiros.htm
CONTEÚDO DE NIVELAMENTO PARA A SEMANA 2
O quê trabalhar?
1. Comparar Números Racionais nas Formas Fracionária e Decimal
Escrever número inteiro na forma fracionária
Se pegarmos o número 5 para representá-lo em forma de fração basta achar um número que dividido por 
outro número o resultado seja 5. Por exemplo: 10 : 2 ou 20 : 4 ou 300 : 60, então dizemos que: 
Escrever números racionais na decimal para a forma fracionária
Se pegarmos o número 0,2 (a leitura dele é dois décimos), é preciso lembrar que décimo vem de dez, assim 
como centésimos vem de cem e milésimo vem de mil, então para transformar 0,2 em fração basta eliminar a 
vírgula ficando o número 2, assim o denominador será o número que representa a casa decimal, então: 
1,25 (sua leitura é um inteiro e vinte e cinco centésimos), retirando a vírgula fica 125 no numerador, o 
denominador fica 100, pois as casas decimais estão em centésimos. 
Se dividirmos o numerador de cada fração acima pelo denominador correspondente, chegaremos ao valor 
decimal correspondente a ele. 
Encontrar fração geratriz de dízimas periódicas 
Primeiro vamos falar o que é uma dízima periódica. 
Dizima periódica é a parte decimal infinita (não tem fim), pois repete igualmente. Por exemplo: 0,22222.... ; 
2,5656565656.... ; 0,2555... . 
Esses números podem ser escritos em forma de fração, mas apesar de serem números decimais na sua 
transformação utilizaremos um processo diferente. Acompanhe o raciocínio: 
Exemplo 1: 
Vamos transformar 0,2222... em fração. Pra isso chamaremos a dízima de X: 
X = 0,2222... (I) 
Devemos eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula para a direita uma casa decimal, 
pois apenas o 2 que repete. Isso é o mesmo que multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim: 
10 . X = 2,2222... (II) 
Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas: 
(II) – (I)
Como X = 0,2222.... , então 0, 2222.... é o mesmo que 
2
9
Se dividirmos 2 : 9 chegaremos a 0, 2222.... . 
Exemplo 2: 
Temos a dízima 0, 636363... 
X = 0,636363.... (I) andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que 
repete nas casas decimais é o 63. 
100 . X = 63,636363.... (II) andar duas casas para a direita é o mesmo que multiplicar 
por 100. 
Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas: 
Como X = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que 
63
99
Exemplo 3: 
Temos a dízima 2,35555... nessa percebemos que na parte decimal temos apenas o 5. 
X = 2,35555... 
Como o 3 não faz parte da dízima devemos multiplicar a equação por 10 para que o número 3 passe pro 
outro lado deixando nas casas decimais apenas a dízima. 
10 . X = 23,5555... (I) 
Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos cancelar a parte decimal. 
10 . 10 . X = 235,5555... 
100 X = 235,5555... (II) 
Subtraindo as equações (II) e (I), teremos: 
Como X = 2,35555... então 2,35555... é o mesmo que 
212
90
2. Localizar os Números Racionais na Reta Numérica
Para efetuar essa localização é necessário fazer uma comparação com outras as várias representações dos
números racionais afim de determinar com precisão a posição. Vejamos.
O conjunto dos número racionais é representado pela letra maiúscula Q. Fazem parte desse conjunto os
números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízimas periódicas. Veja a seguir uma representação
numérica desse conjunto: 
Q = { …-2,5454...; - 2; - 1,5; - 1; - 1; 0; + 1; + 1, 2; + 2; + 3,4343...; + 4 ...}
2 2
No conjunto descrito acima, temos que:
• 0, 2 , 4 → São números naturais.
• - 2, - 1, 0, + 2, + 4 → São números inteiros.
• - 1 e + 1 → São números racionais.
2 2
• -2,5454... e + 3,4343... → São dízimas periódicas.
• - 1,5 e 1, 2 → São números racionais na forma decimal.
Para comparar os números racionais, podemos dispô-los em uma reta numérica. Veja um exemplos:
Os números - 3, +3, - 2, + 2, -1 e +1 são opostos e possuem o mesmo valor absoluto, ou seja, valor em
módulo. Observe:
• |- 3| = 3
• |+ 3| = 3
• |- 2| = 2
• |+ 2| = 2
• |- 1| = 1
• |+ 1|=1
Para comparar os números racionais, podemos utilizar os sinais de maior (>) e menor (<) ou considerar o
sucessor e o antecessor de um número.
• - 2 é antecessor de -1;
• -1 é menor que + 0,8 → - 1 < + 0,8;
 2 2
• + 3 é sucessor de +2;
• 0 é maior que – 2,5 → 0 > - 2,5.
Acompanhe a seguir alguns exemplos de comparação de números racionais.
Exemplo 1:
Determine o maior número entre – 2,5 e + 0,8.
Resposta: Pela reta numérica da imagem acima, sabemos que + 0,8 é maior que – 2,5. Caso não tivéssemos
o desenho dessa reta, determinaríamos o maior número observando os sinais, pois o menor número sempre
será o negativo. Conclui-se, então, que:
+ 0,8 > - 2, 5
Maior número: + 0,8
Menor número: - 2,5
Exemplo 2: Qual número racional é maior 0,135 ou 0,149?
Resposta: Ao se comparar números racionais na forma decimal, devemos sempre compara os números 
ordem a ordem e sempre iniciando da ordem de maior valor relativo.
No caso dos números em questão, a maior ordem é a das unidades e ambos possuem o mesmo algarismo, 
zero.
A ordem seguinte, dos décimos, novamente ambos os números tem o mesmo algarismo, um.
Na próxima ordem, dos centésimos, um número tem o algarismo 3 e o outro tem o algarismo 4. Portanto:
0,149 > 0,135
http://www.brasilescola.com/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
Exemplo 3: Qual número racional é maior
−3
2 – 3 ou 
−1
2 ?
Resposta: Por causa da reta numérica representada anteriormente, sabemos que a maior fração entre as 
duas é 
−1
2 .
Caso não tivéssemos a reta numérica, descobriríamos a maior fração comparando o valor dos numeradores,
já que elas possuem o mesmo denominador.
 Observe que:
• - 3 é o numerador da fração
−3
2
• - 1 é o numerador da fração
−1
2
Como – 1 está mais próximo de 0, então ele é maior em relação a – 3. Por esse motivo, temos que a fração 
– 1 é maior que - 3
 2 2
−1
2 > 
−3
2
Exemplo 4: Determine o maior número entre: 
+5
3 e
+11
4
Resposta: Ao olharmos para imagem da reta numérica representada anteriormente, sabemos que 
+11
4
 é maior que 
+5
3 . Caso não tivéssemos a reta, descobriríamos isso realizando a redução de ambas as
frações para o mesmo denominador. Acompanhe como podemos fazer isso:
• Inicialmente fazemos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 3 e 4.
3, 4| 3
1, 4| 4
1, 1|
MMC (3, 4) = 3 . 4 = 12
• Devemos agora reduzir o numerador ao número 12.
+ 11x 3 = + 33
 4 x 3 12
Para obtermos 12 no denominador, devemos multiplicar 4 por 3. Como a fração deve ser proporcional, 
também multiplicamos o numerador por 3.
• 5 x 4 = + 20
3 x 4 12
Ao multiplicarmos o denominador 3 por 4, obtemos 12 como resultado. Como a fração deve ser proporcional,
multiplicamos o numerador 5 por 4.
Após reduzir o denominador para um mesmo valor numérico, obtivemos como resposta as seguintes frações:
33 e 20
12 12
Para sabermos qual é a maior fração, devemos comparar os numeradores 33 e 20. Ao compará-los,
constatamos que 33 é maior que 20.
33 > 20
12 12
3. Calcular a soma e/ou subtração de números racionais na forma fracionária
com mesmo denominador ou denominadores diferentes.
Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todasas frações seja o mesmo. Após
verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou 
das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os expoentes. Veja:
Denominadores iguais 
Se os denominadores da fração são iguais, somamos ou diminuímos os numeradores e conservamos os 
denominadores. 
Exemplo: 
2
3 + 
8
3 = 
2+8
3 = 
10
3
Denominadores diferentes 
Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre eles e 
realizar a proporcionalidade entre as frações. Essa proporcionalidade é feita da seguinte maneira: 
Dividir o novo denominador (surgido do MMC) pelo antigo denominador, e multiplicar o resultado pelo 
numerador correspondente.
Utilizando o MMC para reduzir os denominadores:
1 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 3 + 4 + 24 = 31 
2 3 2 3 1 6 6
Cálculo do MMC
2, 3, 1| 2
1, 3, 1| 3
1, 1, 1|
MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6
Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte:
6 : 2 = 3 x 1 = 3
6 : 3 = 2 x 2 = 4
6 : 1 = 6 x 4 = 24
Utilizando as frações equivalentes:
1 x 3 + 2 x 2 + 4 x 6 = 3 + 4 + 24 = 31
2 x 3 3 x 2 1 x6 6 6 6 6
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação, que 
será de menos. Observe:
5 – 3 – 2 = 5 + ( – 3 ) + ( – 2 ) = 20 – 9 – 24 = – 13
3 4 3 4 1 12 12
Cálculo do MMC:
3, 4, 1| 2
3, 2, 1|2
3, 1, 1|3
1, 1, 1|
Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte:
12 : 3 = 4 x 5 = 20
12 : 4 = 3 x – 3 = – 9
12 : 1 = 12 x – 2 = – 24
4. A soma e subtração de Números Racionais na forma decimal
• Soma de dois ou mais números decimais
Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte 
centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 =
2 e 1: partes inteiras
0,5 e 0,6: partes decimais
0,07 e 0,03: partes centesimais
Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição.
 2,57
+ 1,63
4,20
Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada número 
decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 = → Represente os números decimais na forma de fração;
= 257 + 163 = → Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los.
 100 100
= 420 = → Realize a divisão de 420 por 100.
 100
= 4,20
• Subtração de dois ou mais números decimais:
Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e 
assim por diante. Confira o exemplo abaixo:
3,15 – 2,04 – 1 =
Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da esquerda 
para a direita (3,15 – 2,04).
 3,15
- 2,04
1,11
Agora temos que subtrair 1,11 – 1 =
 1,11
- 1,00
0,11
5 A Potenciação e Radiciação de Números Racionais
5.1. Na forma Fracionária
Na potenciação dos números racionais devemos aplicar o expoente aos dois elementos da fração, o 
numerador e o denominador. Observe: 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacao-para-numeros-fracionarios.htm
,
Números Racionais e Expoente Negativo 
Nos casos em que o expoente é negativo, devemos trocar o sinal do expoente e inverter a base racional. Isto 
é, o numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser numerador. Observe: 
Radiciação de frações
Como a radiciação é o processo inverso da potenciação, podemos definir a raiz enésima (enésimo: número 
indeterminado de vezes) de uma fração da seguinte maneira:
Isso significa que, para calcular a raiz de uma fração, basta calcular separadamente a raiz do denominador e 
do numerador.
Exemplo: Observe o modo como a resolução da raiz abaixo é feita. Basta calcular separadamente as raízes 
do denominador e do numerador, uma vez que é assim que o processo de multiplicação é feito.
Outros exemplos:
5.2. Na forma decimal
Potenciação
As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesmas 
regras desta operação, já definidas. Assim:
(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25
(0,64)1 = 0,64
(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064
(0,18)0 = 1
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa 
fração decimal. Assim:
Referências:
https://www.somatematica.com.br/fundam/operacoes/operacoes8.php
http://escolakids.uol.com.br/potenciacao-radiciacao-fracoes.htm
http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/operacao-com-racionais.htm
http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/operacao-com-racionais.htm
http://escolakids.uol.com.br/potenciacao-radiciacao-fracoes.htm
https://www.somatematica.com.br/fundam/operacoes/operacoes8.php
CONTEÚDO DE NIVELAMENTO PARA A SEMANA 3
O que trabalhar?
1. Relacionar e comparar números racionais nas formas fracionária, decimal e
percentual.
As frações são utilizadas para representar partes de um todo, de alguma coisa. A origem das frações está 
relacionada à necessidade de se representar, numericamente, valores não inteiros, menores que 1. Com as 
frações podemos realizar operações de adição, multiplicação, subtração e divisão. Toda fração é considerada 
um elemento do conjunto dos números racionais, que é representado pela letra Q.
A palavra porcentagem apresenta ligações estreitas com a ideia de fração, uma vez que significa partes de 
100. Ora, se é parte de um todo então é uma fração. Vamos compreender melhor a relação entre
porcentagem e as frações.
Definição de porcentagem:
Se X é um número real, então X% é a representação percentual de 
X
100 .
Isso significa que:
Como a porcentagem pode ser escrita na forma de fração, podemos realizar facilmente cálculos que 
envolvam essas ideias. Veremos alguns exemplos de como isso pode ser feito.
Exemplo 1. Sabe-se que 55% dos estudantes de uma sala são do sexo feminino. Como na classe há 40 
estudantes, quantas meninas há nessa sala?
Solução: Vamos fazer uma interpretação simples do problema. Foi dito que:
55% dos alunos são do sexo feminino. Ou seja:
Número de meninas = 55% de 40
Nesse tipo de problema, a palavra “de” representa a operação de multiplicação.
Assim, teremos:
55% de 40=55% ∙40
Dessa forma não é possível realizar o cálculo. Devemos, então, escrever a porcentagem na forma de fração.
Assim, podemos afirmar que nessa sala há 22 alunos do sexo feminino.
Exemplo 2. Calcule:
a) 36% de 125
Solução:
b) 42% de 80
Solução:
c) 70% de 200
Solução:
d) 99% de 52
Solução:
Para facilitar os cálculos, as frações que representam a porcentagem podem ser simplificadas. Veja:
Além disso, podemos escrever a porcentagem na forma decimal, também a fim de facilitar os cálculos na 
resolução de problemas.
2. Juros Simples
Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada 
que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc.
A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 simples. Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% 
de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua 
comissão? Equacionando e montando a regra de três temos:
Na regra de 3, quando as grandezas são diretamente proporcionais (no caso, quanto maior a venda, maior a 
comissão) usamos setas paralelas e multiplicamos os termos em cruz, como se vê abaixo:
Ora, se 100 x = 3500 ⋅3 , então
X = 
3500⋅3
100 = 105.
Logo, a comissão será de R$ 105,00. Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar 
diretamente a definição: 3% = 
3
100
logo 3% de R$ 3.500,00 seriam 
3
100 x R$ 3.500,00 = R$ 105,00. 
Alguns termos de matemática financeira:
Como estamos falando de finanças, os termos mais usados, de acordo definições reduzidas, serão: 
Capital = o dinheiro em questão; 
Capital inicial = o capital antes de decorrido um tempo determinado; 
Capital final = o capital depois de decorrido o tempo determinado;
Tempo = determinado período em que se modifica o valor do capital;Lucro = Ganho obtido com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial; 
Prejuízo = Perda obtida com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;
Juros = Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de um capital; 
Taxa de juros = Taxa de juro percentual cobrada por intervalo de tempo. 
Juro simples pode parecer óbvio, mas o produto de uma sapataria é o sapato, da papelaria é o papel e 
similares. No caso de bancos e financeiras, o produto é o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do 
mesmo. Se você utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, empréstimos, carteira hipotecária, etc.), serão 
cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrário, o banco é que utiliza o seu dinheiro (caderneta de 
poupança, investimentos, etc.) você é que receberá os tais juros. De uma maneira geral o juro simples (J) 
produzido por um capital (C) a uma taxa de juro (i) por um prazo (t) é calculada assim: 
 J = c. i. t
Exemplo: Você coloca seu suado dinheiro na poupança, digamos R$ 1.000,00. Após um mês qual será o juro 
a receber se a taxa é de 0,5% ao mês?
J = 1000. 
0,5
100 . 1 = 5
Logo, o banco lhe pagará R$ 5,00 para utilizar os seus R$ 1000,00 por 1 mês. Veja que a taxa de juros 0,5% 
foi colocada em sua forma fracionária. 
3. resolução de Equações do 1º grau
Neste texto ensinaremos um método para resolver equações do primeiro grau em quatro passos. Antes 
de apresentarmos o passo a passo, é importante abordarmos algumas definições básicas das equações.
3.1 Definições básicas das equações
Toda equação possui igualdade e incógnita. A incógnita é um número desconhecido representado por uma 
letra (geralmente x). Resolver uma equação é encontrar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira.
Dada uma equação do primeiro grau qualquer, o conjunto de números, incógnitas e operações disposto à 
esquerda da igualdade é conhecido como primeiro membro da equação; e o que está à direita da igualdade é 
chamado de segundo membro da equação. Por exemplo, dada a equação:
7x + 80 = 4x – 7
O primeiro membro é composto por 7x + 80, e o segundo membro, por 4x – 7. Além disso, cada parcela que é
somada ou subtraída em uma equação é chamada de termo. Logo, tomando o mesmo exemplo acima, os 
termos dessa equação são: 7x, 80, 4x e 7.
De posse dessas definições, seguem os quatro passos para resolver uma equação do primeiro grau.
Os quatro passos da resolução de equações do primeiro grau
Passo 1 – Colocar no primeiro membro todos os termos que possuem incógnita.
Reescreva a equação colocando todos os termos que possuem incógnita no primeiro membro. Para tanto, 
utilize a seguinte regra: Trocou de membro, trocou de sinal. Observe o exemplo:
7x + 80 = 4x – 7
O termo 4x está no segundo membro e deve ser colocado no primeiro. Assim, troque 4x de membro trocando 
também seu sinal:
7x + 80 = 4x – 7
7x – 4x + 80 = – 7
Passo 2 – Colocar no segundo membro todos os termos que não possuem incógnita.
Repita o procedimento do passo anterior para transferir termos que não possuem incógnita do primeiro para o
segundo membro. No exemplo abaixo (continuação do exemplo anterior), observe que + 80 é um termo que 
não possui incógnita. Portanto, deve ser colocado no segundo membro. Ao fazer isso, lembre-se da regra: 
Trocou de membro, trocou de sinal.
7x – 4x + 80 = – 7
7x – 4x = – 7 – 80
Passo 3 – Simplificar as expressões em cada membro.
Para esse passo, basta realizar as operações indicadas na equação. 
7x – 4x = – 7 – 80
3x = – 87
Passo 4 – Isolar a incógnita no primeiro membro.
Em alguns casos, como no exemplo acima, a incógnita aparece sendo multiplicada (ou dividida) por um 
número qualquer. Para isolar a incógnita no primeiro membro da equação, deve-se considerar a seguinte 
regra: Caso o número esteja multiplicando a incógnita, passá-lo para o segundo membro dividindo. Caso o 
número esteja dividindo a incógnita, passá-lo para o segundo membro multiplicando. Por exemplo:
3x = – 87
Observe que a incógnita x está sendo multiplicada por 3. Portanto, 3 deve passar para o segundo membro 
dividindo. Logo, o quarto passo terá o seguinte resultado:
3x = – 87
x = – 87
 3
X = – 29
Exemplo:
Qual é o valor de x da equação seguinte?
2x + 9 = 4x – 18
4 4 
Primeiro passo:
2x – 4x + 9 = – 18
 4 4 
Segundo passo:
2x – 4x = – 18 – 9
 4 4 
Terceiro passo 
– 2x = – 27
 4 
Quarto passo: deve ser feito duas vezes, uma para o 4 que está dividindo e outra para o 2 que está 
multiplicando.
– 2x = – 27
 4 
– 2x = – 27∙4
– 2x = – 108
x = – 108
– 2
X = 54 Lembre-se de que o resultado é positivo em virtude do jogo de sinais.
Referências:
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao-porcentagem.htm
http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/quatro-passos-para-resolver-equacoes-primeiro-gra
u.htm
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/juros-simples-e-porcentagem-como-calcular.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao-porcentagem.htm
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/juros-simples-e-porcentagem-como-calcular.htm
http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/quatro-passos-para-resolver-equacoes-primeiro-grau.htm
http://m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/quatro-passos-para-resolver-equacoes-primeiro-grau.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao.htm
 
* Professor da UFC (www.paulobarguil.pro.br) e coordenador do Laboratório de Educação Matemática – LEDUM (www.ledum.ufc.br).
GOVERNO DO ESTADO DO CEARÁ 
Secretaria da Educação 
Coordenadoria de Cooperação com os Municípios 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície. 
Paulo Meireles Barguil * 
A medida de amar é amar sem medida 
Humberto Gessinger 
1 INTRODUÇÃO 
Qual é a importância de se ensinar e aprender grandezas e medidas na escola? Que metodologias e 
recursos podem ser utilizados pelo docente? Que momentos da vida escolar propiciam a abordagem dos conteúdos 
referentes a grandezas e medidas? 
No nosso cotidiano, várias são as situações que nos remetam a esse bloco de conteúdo, pois vivemos num 
mundo tridimensional, com objetos de formas, tamanhos e características diversas, os quais nos permitem estar, a todo 
momento, em contato com as grandezas estudadas na Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental: 
comprimento, área, capacidade, massa, tempo, temperatura e valor. 
Os estudantes precisam de (situações-)problemas para elaborar e ampliar suas noções sobre grandezas e 
medidas, seu raciocínio e sua criatividade. São expressões do cotidiano vinculadas à medição: perto, baixo, grande, 
pesado, quente... (LORENZATO, 2006, p. 49). 
O conceito de medida é abrangente e contempla as seguintes grandezas: distância 
(comprimento/largura/altura/espessura/profundidade/tamanho – noções de horizontalidade, verticalidade, 
perpendicularidade e paralelismo), superfície (área. Ela tem propriedades físicas: cor, brilho, extensão, aspereza), 
espaço (volume – cheio – e capacidade – vazio), massa (matéria. Peso é força), duração (tempo), movimento 
(deslocamento de um corpo no espaço. A velocidade é a relação entre a distância percorrida e o tempo gasto) e calor 
(força que dilata os corpos. Temperatura é o estado atmosférico do ar/de um corpo) (LORENZATO, 2006, p. 49-50). 
Vários são as unidades padronizadas e os instrumentos que utilizamos para medir tais grandezas, com os 
quais as crianças convivem desde cedo. Importante que esses conhecimentos sejam identificados pelo professor e, com 
a ajuda desse, ampliados. É necessário que, no início da vida escolar, as práticas pedagógicas abranjam as unidades de 
medidas não padronizadas para, progressivamente, avançarem rumo às unidades padronizadas e respectivos 
instrumentos de medição. 
2 UM POUCO DE HISTÓRIA 
“O Homem é a medida de todas as coisas.” 
(Protágoras, 2.500 a.C.). 
A Humanidade, para cultivar terras e construir casas, desenvolveu conhecimentos referentes a 
comprimentoe área. Para medir é necessário escolher um padrão (unidade de medida), o qual permitirá comparar: 
“Quantas vezes essa unidade de medida cabe, está contida nesse objeto?”. Desde o início da História da Humanidade, o 
corpo foi utilizado como referência para medições: polegada, mão, palmo, cúbito, jarda e braça; pé e passo. 
Figura 01 – Unidades de medidas não padronizadas 
Fonte: Adaptado de http://www.resumoescolar.com.br/wp-content/imagens/unidades-de-medida-ao-longo-da-historia.jpg 
Grandezas e medidas: comprimento, superfície, capacidade e massa Paulo Meireles Barguil 
2 
Tendo em vista que cada pessoa tem um corpo diferente das outras pessoas, essas unidades possuem 
valores distintos. Apresento, abaixo, os valores convencionados para essas unidades de medidas não padronizadas. 
1 polegada = 2,54 cm 
1 palmo = 9 polegadas (22,86 cm) 
1 pé = 12 polegadas (30,48 cm) 
1 jarda (da metade do peito à ponta do dedo médio da mão) = 3 pés = 4 palmos = 36 polegadas = 91,44 cm 
1 cúbito (do cotovelo à ponta do dedo médio da mão: ante-braço) = 18 polegadas (45,72 cm) 
1 braça = 2 jardas = 4 cúbitos = 1,8288 m 
1 passo = 1,6093 m 
No Egito Antigo, o cúbito era chamado de braça curta. Existia, ainda, a braça real (52,4 cm). O côvado é 
uma unidade de medida referente ao comprimento do antebraço, da ponta do dedo médio até o cotovelo. Ele possuía 
valores distintos para Hebreus e Romanos: 44,7 cm e 44,3 cm. Para ambos, portanto, cerca de 45 cm, um pouco menos 
de 2 palmos. Há várias passagens bíblicas apresentando a unidade de medida côvado. Segundo a Bíblia, a arca de Noé, 
com três andares, tinha o comprimento de 300 côvados, a largura de 50 côvados e a altura de 30 côvados (Gen 6: 
15-16). Para os Egípcios, o côvado equivalia a 52,4 cm. Em Portugal, ele vale 66 cm.
Légua era uma unidade de medida utilizada em Portugal, e posteriormente no Brasil, até a adoção do 
Sistema Métrico Decimal, que será apresentado a seguir. Em virtude da diversidade de espaços-tempos, a medida da 
légua variava de 2 a 7 quilômetros. A légua métrica em Portugal valia 5.000 metros. No Brasil, temos duas medidas mais 
conhecidas: no interior paulista, ela equivale a aproximadamente 2 quilômetros, que é a distância percorrida a pé por 
uma hora; e, no nordeste, ela equivale a 6 quilômetros. No período das navegações, havia uma légua nomeada de 
marítima ou naval. A medida da légua variava de acordo a quantidade de léguas atribuída ao navegador em cada grau. 
1 légua = 3.000 braças = 6.000 varas = 30.000 palmos = 666.000 centímetros = 6.660 metros 
Música 
Légua tirana 
Luiz Gonzaga e Humberto Teixeira 
Oh, que estrada mais comprida 
Oh, que légua tão tirana 
Ai, se eu tivesse asa 
Inda hoje eu via Ana 
Quando o sol tostou as foia 
E bebeu o riachão 
Fui inté o Juazeiro 
Pra fazer a minha oração 
Tô voltando estropiado 
Mas alegre o coração 
Padim Ciço ouviu a minha prece 
Fez chover no meu sertão 
Varei mais de vinte serras 
De alpercata e pé no chão 
Mesmo assim, como inda farta 
Pra chegar no meu rincão 
Trago um terço pra das Dores 
Pra Reimundo um violão 
E pra ela, e pra ela 
Trago eu e o coração 
Em virtude das unidades medidas não padronizadas variarem em virtude do tamanho das pessoas, as 
unidades de medidas distintas geram confusão nos processos de troca. O aumento do comércio favoreceu a criação de 
unidades de medidas padronizadas, não variáveis, para facilitar a comunicação e, consequentemente, o comércio. 
Com a Revolução Francesa, foram criados o metro (a décima milionésima parte do quadrante de um 
meridiano terrestre, entre o Pólo Norte e o Equador, passando por Paris), o litro (o volume de um decímetro cúbico, 
ou seja, um cubo com 10 cm de lado) e o quilograma (a massa de 1 litro de água a 4,4°C), dando origem ao Sistema 
Métrico Decimal (1795). 
Em 1960, foi proposto o Sistema Internacional de Unidades - SIU, que é composto de sete unidades 
básicas (Figura 2). 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
3 
Figura 02 – Unidades básicas do SIU com respectivos símbolos 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades 
O segundo é o tempo que um raio do sol a pino leva para riscar a distância de 1/86.400 da circunferência 
terrestre, ou seja, 462,962 metros na linha do Equador. Atualmente, o segundo é definido em termos da radiação 
característica de um átomo de 133Cs (Césio 133), que é empregado em relógio atômico. 
O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente 
 à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133. 
1s = 9.192.631.770 períodos da radiação característica do 133Cs. 
Charge 
Fonte: Adaptado de http://3.bp.blogspot.com/-1TegeM_Gp2k/T-
hsodlUnAI/AAAAAAAABG0/vsZ3YdyGIb0/s1600/mafalda_teste.jpg 
3 CONCEITOS: APRENDIZAGEM E ENSINO 
Nessa seção, apresento alguns conceitos relacionados à aprendizagem e ao ensino de grandezas e medidas, 
de modo especial, as grandezas comprimento, superfície, capacidade e massa. 
3.1 Um visão geral 
O que são grandezas? Como se pode medi-las? O que é medir? 
É importante, de início, destacar que esse campo de conhecimento matemático é fonte de muitos 
equívocos conceituais, principalmente quanto à utilização dos vocábulos grandezas e medidas como sinônimos. 
Grandeza, conforme o Houaiss e Vilar (2009, p. 985), é: “1 qualidade ou propriedade do que é grande, 
extenso; amplidão, vastidão [...] 8 valor (ou medida) associado a um objeto matemático ”. 
Conforme o Instituto de Pesos e Medidas de São Paulo, grandeza é um “Atributo de um fenômeno, corpo 
ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado.”. (IPEM, 2016). 
As características, as dimensões, os atributos de um objeto (ou de uma coleção) que podem ser 
quantificadas, mediante contagem ou medida, são chamadas de grandezas. Conforme Lorenzato (2006, p. 50-51), as 
grandezas podem ser contínuas – medição – e descontínuas – contagem. 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
4 
Miguel e Miorim (1986, p. 45) afirmam que uma grandeza é nomeada discreta quando “[...] é formada por 
um número finito de elementos (conjunto contável) que não podem ser quebrados. Por exemplo: o conjunto das cartas 
de um baralho”. Uma grandeza continua é “[...] formada por um número infinito de elementos (pontos) e admite, 
teoricamente, divisibilidade infinita. Por exemplo: um pedaço de barbante, um segmento de reta”. 
Sintetizando, grandeza é “O que pode ser contado (grandeza discreta) ou medido (grandeza contínua)” 
ou “É a característica, o atributo de objetos ao qual se pode associar um valor numérico (via contagem ou medição)”. 
No entendimento de Lima (1991, p. 07 apud ROCHA, 2006, p. 26), “[...] comparar uma grandeza discreta 
com a unidade significa efetuar uma contagem: o resultado é sempre um número inteiro”. Dessa forma, “Temos, pois, 
no conjunto dos números naturais, o modelo matemático para a contagem. Se, entretanto, a grandeza é contínua, 
compará-la com a unidade é medi-la, o resultado da comparação (medida) é um número real.”. (ROCHA, 2006, p. 26). 
É bastante frequente se dizer que “Medir é comparar grandezas de mesma natureza”, sendo necessária a 
indagação: “Quantas vezes cabe?”. Entendo que “mesma natureza” se refere, na verdade, à mesma grandeza, motivo 
pelo qual essa definição me parece inadequada, até mesmo porque o que se compara não são as grandezas, mas as suas 
extensões, os seus valores, a partir de um referencial. 
Medir, conforme o Houaiss e Vilar (2009, p. 1.264), é: “1 determinar ou avaliar por meio de instrumento 
ou utensílio de medida, ou algo us. como padrão; mensurar (tb. fig.) (m. uma área com trena) (quanto ele mede?) ( m. a 
inteligência) [...]”. 
Siqueira (2016) afirma que “Medir é comparar quantidades de uma grandeza com outra quantidade da 
mesma grandeza que se escolhe como unidade.”. 
Conforme Lorenzato (2006, p. 51), para medir é necessário:1) selecionar uma unidade de medida, [que deve ser da mesma natureza do atributo que se deseja medir e
considerando o tamanho do objeto] (BRASIL, 2007); 
2) comparar a unidade de medida com a grandeza a ser medida; [sem lacunas ou justaposição]
(DUHALDE; CUBERES, 1998, p. 77); 
3) expressar numericamente o resultado da comparação.
Diante do exposto, proponho as seguintes formulações para o que é medir: “É comparar quantidades da
mesma grandeza a partir de uma unidade de medida”, “Medir é comparar determinada quantidade de uma grandeza 
com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade” ou “É comparar objetos de mesma grandeza 
a partir de um parâmetro.”. 
Para medir, acontecem essas etapas: i) a identificação da grandeza; ii) a escolha da unidade, do parâmetro; 
iii) a comparação (do que se quer medir) com a unidade, o parâmetro; e iv) o resultado expresso numericamente.
Imprescindível, agora, que sejam esclarecidos os termos medida e unidade de medida. 
Medida, conforme o Houaiss e Vilar (2009, p. 1.263), é: “1 ato ou efeito de medir; medição. 2 FÍS 
avaliação de grandeza física; medição (m. de uma reta por meio de régua) (unidades de m.) 3 FÍS quantidade fixada por 
um padrão para determinar as dimensões ou o valor de uma grandeza da mesma espécie [...]”. 
As medidas podem ser qualitativas, prováveis e quantitativas (LORENZATO, 2006, p. 50). 
A medida, pois, é a relação entre grandeza e unidade, expressa num número que quantifica quantas vezes a 
grandeza contém a unidade (LORENZATO, 2006, p. 51). 
Lorenzato (2006, p. 51) declara que as medidas podem ser estimadas (mais – menos; muito – pouco e 
igual – diferente) e precisas (determinadas). 
No entendimento de Crump (1994, p. 31 apud BACKENDORF, 2010, p. 34), a medida pode ser definida 
como o meio conceitual pelo qual duas entidades diferentes de mesma grandeza podem ser comparadas em termos 
numéricos. 
Backendorf (2010, p. 35) esclarece que uma mesma dimensão (característica) pode ser medida com 
unidades diferentes. Ou seja, a grandeza de um objeto pode ter várias medidas, a depender do parâmetro escolhido, da 
unidade selecionada. As fases da compreensão de medida são: 
1ª A criança compara diretamente, sem unidade de medida, utilizando a percepção visual (geometria), a 
estimativa (“aritmética”) (LORENZATO, 2006, p. 51-52) e o “olhômetro” (DUHALDE; CUBERES, 1998, p. 75); 
2ª A criança é capaz de medir indiretamente: comparando os objetos A e B com o auxílio do objeto C 
(unidade não padronizada). 
Nas fases 1ª e 2ª, a criança acredita que a medida de um objeto não se conserva, pois não é propriedade do 
mesmo, mas é determinada por quem (ou pelo que se) mede; 
3ª A criança utiliza unidades de medida padronizadas, pois já é conservativa. 
Entendo, portanto, que medida é “O resultado numérico da comparação de objetos de mesma grandeza a 
partir de um parâmetro, uma unidade”. 
Unidade de medida é o parâmetro utilizado para quantificar determinada grandeza (de um objeto). 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
5 
Uma medida é expressa por um número acompanhado de uma unidade de medida, 
que pode ser não padronizada ou padronizada. 
Cada grandeza possui pelo menos um instrumento de medida, que é o artefato utilizado para encontrar a 
medida de acordo com uma unidade de medida, que pode ser padronizada ou não padronizada. 
Instrumentos (balanças, réguas, jarras graduadas, termômetros, ampulhetas, relógios...) precisam ser 
evitados no início do ensino de Grandezas e Medidas, pois a criança precisa percorrer o mesmo caminho da 
humanidade. O foco da ação docente é a compreensão discente (DUHALDE; CUBERES, 1998, p. 75), motivo pelo 
qual é necessário que ela realize várias medições utilizando diversas unidades de medida não padronizadas: palmo, pé, 
passo, barbante, palito... 
A mera aplicação de um instrumento de medida somente expressa um resultado numérico e isto não é medir, e 
sim ler uma medição. Podemos medir, por exemplo, o comprimento de um cinto; ao aplicar o metro ou a régua se 
dirá: são 25 cm. Saberão as crianças que esses 25 cm indicam as vezes que 1 cm está contido no cinto medido? 
(DUHALDE; CUBERES, 1998, p. 76). 
3.2 Comprimento 
A Unidade fundamental é o metro (m). 
São múltiplos do metro: decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
São submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
MÚLTIPLO 
UNIDADE 
FUNDAM. 
SUBMÚLTIPLO 
NOME Quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
SÍMBOLO Km hm dam m dm cm mm 
VALOR 1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 
Os instrumentos de unidades de medida padronizadas mais utilizados são a régua, a fita métrica e a trena. 
Na Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental, os objetos do cotidiano e experiências 
com plantas com placas de marcação se constituem em oportunidades interessantes para os estudantes desenvolverem 
seus conhecimentos referentes a comprimento (CERQUETTI-ABERKANE; BERDONNEAU, 1997, p. 211). 
A atividade de registrar a altura dos estudantes da turma é um momento interessante, em que eles 
participam com muito entusiasmo e contribui para a elaboração racional. A seguinte proposição é adequada para os 
anos iniciais do Ensino Fundamental. 
Inicialmente, eles preencherão informando o nome, a medida em Língua Portuguesa e Matemática: 
Estudante 
Altura 
Língua Portuguesa Matemática 
Paulo Um metro e setenta e quatro centímetros 1,74cm 
Em seguida, eles irão transportar as medidas para a seguinte tabela: 
Estudante 
Altura 
metro decímetro centímetro milímetro 
m dm cm mm 
Paulo 1 7 4 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
6 
O professor, então, perguntará: “Qual é a altura do Estudante 1: Em m? Em dm? Em cm? Em mm?”; “O 
que significa a vírgula?”. No caso, a vírgula indica a unidade de medida que está sendo considerada como padrão. 
Pode-se dizer, por exemplo, que Paulo mede: 
- 1,74m (1 metro, 7 decímetros e 4 centímetros);
- 17,4dm (17 decímetros e 4 centímetros);
- 174cm (174 centímetros); e
- 1740mm (1740 milímetros).
No final, o professor poderá indagar: “De que outras formas podemos expressar a altura de Paulo?”. 
Backendorf (2010, p. 37) afirma, baseada nos estudos de Piaget, que, do ponto de vista psicológico, 
comprimento é diferente de distância. O primeiro é uma propriedade do objeto, enquanto a segunda expressa um 
intervalo linear entre objetos e pressupõe que o espaço seja concebido como um meio comum aos diferentes objetos. 
O perímetro de um polígono – figura plana, fechada, simples e formada por segmentos de reta – é a 
soma da medida dos seus lados, dos seus segmentos de reta. Pode-se, também, dizer que o perímetro é a medida do 
comprimento de um contorno. 
O comprimento do lado do quadrado abaixo tem 2cm. 
Então, o seu perímetro é 2cm + 2cm + 2cm + 2cm = 8cm. 
A medida do lado do triângulo equilátero abaixo é 1,5cm. 
Então, o seu perímetro é 1,5cm + 1,5cm + 1,5cm = 4,5cm. 
As medidas oficiais de uma quadra poliesportiva estão indicadas abaixo. 
O perímetro dessa quadra poliesportiva, portanto, é 27m + 16m + 27m + 16m = 86m 
Uma atividade simples e bastante rica é distribuir figuras planas – quadrados, retângulos, triângulos – e 
régua, solicitando que os estudantes meçam, individualmente ou em dupla, as medidas dos lados dessas figuras e 
calculem o perímetro, escrevendo o resultado numa folha de papel. No momento seguinte, as respostas serão corrigidas 
por outros estudantes. 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
7 
3.3 Superfície 
A unidade fundamental é o metro quadrado (m2). 
São múltiplos do metro quadrado: decâmetro quadrado (dam2), hectômetro quadrado (hm2) e quilômetro 
quadrado (km2). 
São submúltiplos do metro quadrado: decímetro quadrado (dm2), centímetro quadrado (cm2) e milímetro 
quadrado (mm2). 
MÚLTIPLO 
UNIDADE 
FUNDAM. 
SUBMÚLTIPLO 
NOME 
quilômetro 
quadrado 
hectômetroquadrado 
decâmetro 
quadrado 
metro 
quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
SÍMBOLO km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
VALOR 1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 
1 ha = 1 hm2 (1 hectare é um quarteirão: 100 m x 100 m = 10.000 m2 = 1 hm2) 
1 km2 = 1.000 m (1 km) x 1.000 m (1 km) = 1.000.000 m2 
1 a = 100 m2 (1 are é um quadrado de lado 10 m: 10 m x 10 m = 100 m2 = 1 dam2) 
Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Pode-se dizer, também, que é área é 
a medida da superfície de um polígono. Assim, o valor da área depende do formato do polígono. Ou seja, cada 
polígono tem uma fórmula própria. 
Montar as figuras com as peças do tangram é uma estratégia didática que permite os estudantes ampliarem 
seus conhecimentos sobre área (CERQUETTI-ABERKANE; BERDONNEAU, 1997, p. 212). 
O retângulo tem dois lados iguais chamados de base (b) e dois lados iguais chamados de altura (h). A área 
do retângulo é obtida mediante a multiplicação da base pela altura. A = b * h. 
Dado um retângulo qualquer, ao se traçar um diagonal entre os ângulos opostos, são obtidos 2 triângulos. 
A área do triângulo, portanto, é a metade da área de um retângulo. Ou seja, A = (b * h) / 2. 
O quadrado tem quatro lados iguais (l). A área do quadrado é obtida mediante a multiplicação da medida 
de dois lados. A = l * l → A = l2. 
O comprimento do lado do quadrado abaixo tem 2cm. 
Então, a sua área é 2cm * 2cm = 4cm2 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
8 
As medidas oficiais de uma quadra poliesportiva estão indicadas abaixo. 
A área dessa quadra poliesportiva, portanto, é 27m * 16m = 432m2 
Na malha quadriculada abaixo, os dois retângulos são diferentes, mas possuem a mesma área: 6cm2. 
Enquanto o retângulo do lado esquerdo possui perímetro de 10cm (2cm + 3cm + 2cm + 3cm), o perímetro do 
retângulo que fica embaixo tem perímetro de 14cm (1cm + 6cm + 1cm + 6cm). 
O paralelogramo tem lados opostos paralelos congruentes, ou seja, as duas bases são iguais. Assim, a área 
do paralelogramo é obtida mediante a multiplicação da base pela altura. A = b * h. 
O trapézio tem duas bases com medidas diferentes (B e b). Assim, a sua área é obtida mediante a 
multiplicação da soma das bases pela altura, cujo total é dividido por 2: A = [(B + b) * h]/ 2. 
Grandezas e medidas: comprimento e superfície Paulo Meireles Barguil
9 
3.4 Leitura e escrita de unidades de medida e símbolos 
Os nomes das unidades de medidas são escritos sempre em letras minúsculas (quilograma, metro cúbico). 
Símbolo não é abreviatura, por isso não é seguido de ponto (é errado escrever “seg.”, o símbolo 
correto é “s”)! 
O símbolo é invariável, ou seja, não é seguido de “s” (não existe “kgs” ou “hs”)! 
Atenção para a concordância: o grama pertence ao gênero masculino (dois quilogramas, oitocentos e um 
gramas etc). 
A habilidade de leitura e escrita de medidas tem três níveis: i) ler e escrever medidas por extenso; ii) ler e 
escrever medidas com símbolo e sem vírgula; e iii) ler e escrever medidas com símbolo e na forma decimal. 
8 quilômetros e quatrocentos e noventa metros → 8 km e 490 m → 8,49 km 
3 litros e duzentos mililitros → 3 L e 200 mL → 3,2 L 
5 quilogramas e setecentos e um gramas → 5 kg e 701 g → 5,701 kg 
REFERÊNCIAS 
BACKENDORF, Viviane Raquel. Uma sequência didática de medidas de comprimento e superfície no 5º ano 
do Ensino Fundamental: um estudo de caso. 2010. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de 
Matemática) – Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2010. 
BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior. Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade 
e Tecnologia – INMETRO. Portaria nº 590, de 02 de dezembro de 2013, que aprova a atualização do Quadro Geral 
de Unidades de Medida adotado pelo Brasil. Disponível em: 
<http://www.inmetro.gov.br/legislacao/rtac/pdf/RTAC002050.pdf>. Acesso em: 17 out. 2015. 
CERQUETTI-ABERKANE, Françoise; BERDONNEAU, Catherine. O Ensino da Matemática na educação 
infantil. Tradução Eunice Gruman. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997. 
DUHALDE, María Elena; CUBERES, María Tereza González. Encontros iniciais com a Matemática: 
contribuições à educação infantil. Tradução Maria Cristina Fontana. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998. 
GESSINGER, Humberto. Números. Intérprete: Engenheiros do Hawaii. In: 10.000 destinos. Universal. 2000. Faixa 
16. 
HOUAISS, Antônio; VILLAR, Mauro de Salles. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: 
Objetiva, 2009. 
INSTITUTO DE PESOS E MEDIDAS DE SÃO PAULO – IPEM. Disponível em: 
<http://www.ipem.sp.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=358:grandezas-e-
unidades&catid=68:vocabulario-de-metrologia-geral&Itemid=284>. Acesso em: 07 set. 2016. 
LORENZATO, Sergio. Educação infantil e percepção Matemática. Campinas: Editores Associados, 2006. 
MIGUEL, Antônio; MIORIM, Maria Ângela. O Ensino de Matemática no primeiro grau. 6. ed. São Paulo: Atual, 
1986. 
ROCHA, Elizabeth Matos. Uso de instrumentos de medição no estudo da grandeza comprimento a partir de 
sessões didáticas. 2006. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Federal do 
Ceará, Fortaleza, 2006. 
SIQUEIRA, Fernando. Blog "MATEMÁTICA E BOATEMÁTICA" DO PROFESSOR FERNANDO 
SIQUEIRA. Disponível em: <http://fernandoacsiqueira.blogspot.com.br/2010/12/o-que-e-medir.html>. Acesso em: 
07 set. 2016. 
SUGESTÃO DE LEITURA 
BRASIL. Pró-Letramento: programa de formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino 
Fundamental: Matemática. Fascículo do tutor. Matemática. Brasília: MEC/SEF, 2007. Disponível em: 
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Proletr/tutormat.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2016. 
BRASIL. Ministério da Educação. Medidas e Grandezas. Brasília: FNDE/FUNDESCOLA, 2006a. Disponível em 
<http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/gestar/aaamatematica/mat_tp4.pdf>. Acesso em: 18 out. 2012. 
______. Medidas e Grandezas (Atividades de apoio à aprendizagem). Brasília: FNDE/FUNDESCOLA, 2006b. 
Disponível em <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/gestar/aaamatematica/mat_aaa3.pdf>. Acesso em: 18 out. 2012. 
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Grandezas e Medidas. 
Brasília: MEC, SEB, 2014. <http://pacto.mec.gov.br/images/pdf/cadernosmat/PNAIC_MAT_Caderno%206_pg001-
080.pdf>. Acesso em: 05 fev. 2017.
Universidade Aberta do Nordeste. Formação Continuada de professores da rede pública. Unidades de medidas de
comprimento e superfície. Fortaleza: Fundação Demócrito Rocha, s/d.
CONTEÚDO DE NIVELAMENTO PARA A SEMANA 4
O que trabalhar?
Triângulos
O triângulo é uma das formas geométricas mais importantes no estudo da geometria e é bastante utilizado 
em construções. Através dele são obtida várias relações importantes, a mais famosa é conhecida como 
Teorema de Pitágoras. O Triângulo é o polígono com o menor número de lados (3 lados) e a soma dos seus 
ângulos internos é igual a 180o.
Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados e de acordo com as medidas
de seus ângulos internos. Vejamos como isso ocorre.
Primeiro, vamos classificar os triângulos quanto aos lados. 
Quanto aos lados o triângulo pode ser: Equilátero, isósceles ou escaleno
Classificação quanto aos lados
Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos
que os três lados são congruentes.
Triângulo Isósceles: é todo triângulo que apresenta dois lados com a mesma medida, ou seja, dois lados de 
tamanhos iguais.
Triângulo Escaleno: é todo triângulo que apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados 
de tamanhos diferentes.
Quanto aos ângulos internos, o triângulo pode ser: acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
Classificação quanto aos ângulos
Triângulo acutângulo: é todo triângulo que apresenta os trêsângulos internos menores que 90o, ou seja, os 
três ângulos internos são agudos.
Triângulo obtusângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90o, ou seja, que possui 
um ângulo obtuso.
Triângulo retângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, ou seja, que possui um ângulo 
medindo 90o.
Quadriláteros
Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Suas características e propriedades específicas 
dizem respeito aos seus lados, ângulos e diagonais.
Retângulo, paralelogramo e trapézio 
Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Sendo assim, os quadriláteros herdam todas as
características e propriedades dos polígonos, como o fato de possuírem apenas duas diagonais ou de a soma
dos seus ângulos internos ser sempre igual a 360°.
Elementos de um quadrilátero
• Lados: São os segmentos de reta que contornam o quadrilátero;
• Vértices: São os pontos de encontro entre dois lados;
• Ângulos internos: São os ângulos determinados por dois lados consecutivos de um quadrilátero;
• Ângulos externos: são ângulos formados pelo prolongamento de um lado de um polígono. Um ângulo
externo sempre é suplementar ao ângulo interno adjacente a ele;
• Diagonais: Segmentos de reta cujas extremidades são dois vértices não consecutivos de um polígono.
Dessa maneira, são os segmentos de reta que ligam dois vértices e que, ao mesmo tempo, não são
lados.
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-angulos-internos-um-poligono-regular.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-dos-angulos-internos-um-poligono-regular.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/poligonos-convexos-regulares.htm
Um quadrilátero é convexo quando está completamente em um dos semiplanos formados pela reta que
resulta do prolongamento de um de seus lados.
Classificação de quadriláteros
Os quadriláteros podem ser classificados de acordo com a posição relativa entre seus lados. Aqueles que
possuem lados opostos paralelos são chamados de paralelogramos. Os quadriláteros que possuem um par
de lados opostos paralelos e outro não são chamados de trapézios. A terceira classe dos quadriláteros
contém aqueles que não possuem paralelismo algum entre seus lados.
Paralelogramos
Os paralelogramos possuem uma característica a mais que os quadriláteros, que é o fato de possuírem lados
opostos paralelos. Isso acarreta uma série de propriedades pertencentes somente a eles.
• Possuem lados opostos congruentes;
• Possuem ângulos opostos congruentes;
• Possuem ângulos adjacentes suplementares;
• As diagonais de um paralelogramo cruzam-se em seus pontos médios.
Existe uma classificação para os paralelogramos em retângulos, losangos, quadrados ou nenhum deles.
Retângulo
Os retângulos são paralelogramos cujos ângulos internos são retos (daí o nome retângulo). Eles possuem
todas as características dos paralelogramos e uma propriedade específica, a saber:
“As diagonais de um retângulo são congruentes. ”
Retângulo: apresenta ângulos retos e diagonais congruentes
Losango
Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes, isto é, são paralelogramos
equiláteros. Sua propriedade específica é a seguinte:
“As diagonais de um losango são perpendiculares. ”
O losango possui diagonais perpendiculares
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retangulos.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-1.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/poligonos-convexos-regulares.htm
Quadrado
Os quadrados são losangos e retângulos simultaneamente e, por isso, possuem todos os ângulos retos e
todos os lados congruentes. Sua propriedade específica é a seguinte:
“As diagonais do quadrado são perpendiculares e congruentes. ”
Trapézios
Diferentemente dos paralelogramos, os trapézios possuem apenas um par de lados paralelos. Esses lados
são chamados de bases. Os trapézios que possuem os outros dois lados que não são bases congruentes são
chamados de isósceles.
Exemplo de trapézio isósceles
As propriedades específicas do trapézio isósceles são:
“Os ângulos da base e as diagonais são congruentes”.
Os trapézios possuem as mesmas características e propriedades dos quadriláteros, uma vez que não são
paralelogramos.
Referências:
Quadriláteros.<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/quadrilateros.htm>. Acesso em 18 de Jan. 
2018.
Classificação dos Triângulos.<http://escolakids.uol.com.br/classificacao-dos-triangulos.htm> .Acesso em 18 
de Jan. 2018.
http://escolakids.uol.com.br/classificacao-dos-triangulos.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/quadrilateros.htm
	CONTEÚDO DE NIVELAMENTO PARA A SEMANA 4 9º anoPARTE 2.pdf
	 Quadriláteros