Apostila de Mecanica Quantica e Relatividade Prof.Lindemberg

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Apostila de Noções Básicas de
Mecânica Quântica e Relatividade
Prof. Lindemberg de Sousa Oliveira
A falta de material ou a sua existência de referência sobre o as-
sunto, foi o motivador para elaboração desta apostila voltada ao
ensino médio. Foi omitido a matemática diferencial e integral ou
de maneira tímida se apresenta nesta apostila. E Bom Estudo!
Maranguape-Ce 2013
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
Ensino Médio Prof. Lindemberg
1 Introdução
A Física é um ramo da ciência que se preza pela sua consistência de sua teoria.
Uma Lei da física é algo que deve ser seguida independentemente da situação em
que esteja sendo analisada. No início do século XIX a física parecia já ter mapeado
grande parte dos fenômenos naturais com suas leis. Até o momento grandes nomes já
haviam sido consagrados com suas teorias explicando fenômenos como o movimento
de corpos (mecânica newtoniana e gravitação), movimento da luz (óptica), máquinas
térmicas, eletromagnetismo... Foi exatamente então que começaram surgir furos
na teoria clássica; furos esses que só seriam explicados com teorias completamente
inovadoras e bem diferentes das tendências estudadas até então. Apresentaremos
agora alguns fenômenos (esses furos) que foram analisados, e que consequentemente
deram inicio à Mecânica Quântica.
2 A Catástrofe do Ultravioleta
A teoria clássica da física apresentava um dos seus primeiros furos ao se estudar a
emissão de um corpo negro. Corpo negro é qualquer corpo que absorve totalmente a
energia emitida sobre ele. Um corpo negro ao ser incidido com certa energia emitirá
energia na forma de energia eletromagnética (produzindo luz e calor). Natural-
mente, deveria existir uma lei matemática que nos dá a dependência da intensidade
emitida com a temperatura e a freqüência emitida. Os conhecimentos da Física Clás-
sica nos davam a seguinte expressão (elaborada pelo trabalho de Rayleigh-Jeans e
Boltzmann):
I =
8pikT
λ4
O gráfico da intensidade em função do comprimento de onda é decrescente com o
aumento do comprimento de onda. Isso gera o absurdo em questão. Para freqüências
no espectro do ultravioleta teríamos uma intensidade tendendo a infinito, o que
viola a lei da conservação de energia. Os gráficos experimentais mostravam que a
2
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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função deveria ter um máximo global, o que não acontecia até então com as teorias
conhecidas.
3 Efeito Fotoelétrico
O efeito fotoelétrico foi primeiramente estudado por Hertz, e posteriormente Eins-
tein. O fenômeno consiste do seguinte. A partir de uma placa metálica, incide-se
uma freqüência crescente de energia. A partir de certo instante, elétrons são ar-
rancados dessa placa. Isso pode ser evidenciado com o seguinte experimento de
Einstein. Um circuito é montado com duas placas metálicas. Ao aumentarmos a
freqüência de luz incidida sobre a placa metálica, o amperímetro indica passagem de
corrente. Tal fenômeno ajudará nas teses (que veremos mais a frente) da dualidade
partícula onda. Por enquanto fique registrado o caráter não usual de que apenas a
partir de certa freqüência houve emissão de elétrons, não importando a intensidade
de energia emitida. Por quê?
4 Teoria de Max Planck
Diante de tais impasses Planck propôs uma teoria que revolucionaria física. E se
tudo aquilo que até então acreditássemos fosse apenas uma parte da verdade? Obvia-
mente a teoria clássica não pode estar errada. Ela possui uma consistência suficiente
para acreditarmos nela. Planck então propôs um modelo que, apesar de alterar os
conceitos físicos já imaginados na época, funcionaria apenas como uma extensão da
3
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realidade. Ou seja, a teoria de Planck, de certa forma engloba a teoria clássica no
mundo macroscópico, mas também explica coisas novas no mundo microscópico. A
teoria de Planck primeiro surgiu ao tentar atacar o impasse do Corpo Negro. Planck
descobriu uma expressão, que nem ele mesmo conseguiu demonstrar teoricamente
ao apresentar para seus colegas da Berlin Physical Society. Em 1900, Planck apre-
sentou a função que se ajustava a todos experimentos da emissão do corpo negro,
porém que seguia uma teoria completamente inovadora. Eis a teoria de Planck:
Segundo Planck, um átomo oscilando com freqüência f só pode absorver ou emitir
energia em múltiplos inteiros de h.f onde h é uma constante (conhecida como Cons-
tante de Planck). Essa quantidade h.f foi denominada pelo cientista como quantum
de energia ou fóton.
E = n.h.f n � Z
A constante de Planck, determinada para que a equação matemática se ajustasse
aos dados experimentais (que a principio Planck não sabia se de fato tinha ou não
um significado físico) é dada por:
h = 6, 63.10−34J.s
É comum encontrar o termo ~ em livros do assunto (usaremos essa notação mais a
frente). Por convenção: ~ =
h
2pi
.
5 Voltando ao problema: Corpo Negro
Com base na sua recém teoria era possível encontrar uma função matemática que se
ajustasse aos experimentos feitos (uma que não violasse o principio da conservação
de energia). A expressão apresentada por Planck foi a seguinte:
I =
8pihc
λ5
.
1
e
hc
λKT − 1
4
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Fica como exercício para o leitor mostrar que essa função possui um maximo global
(usando noções básicas de derivada).
A figura abaixo mostra o gráfico dessa função.
Encontrando o máximo da função teremos que:
λImax =
b
T
Tal expressão é conhecida como lei do deslocamento de Wien, e a constante de Wien
é dada por: b ≈ 2, 89.10−3m.K
Exercício contextualizado
Sabemos que a temperatura média da superfície da estrela polar é de 8300K. Qual
das opções propostas pode melhor representar o comprimento de onda relativo a
radiação espectral máximo?
(a) 3500 Angstrons (b) 2100 Angstrons (c) 4500 Angstrons (d) 1500 Angstrons
(e) 5000 Angstrons
Solução:
5
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A expressão que nos dá o comprimento de onda para o pico de intensidade para uma
dada temperatura é a Lei de Deslocamento de Wien. Para obter a expressão, como
foi visto anteriormente, bastaria derivar a expressão de Planck para I em função de
lambda e T. O resultado nos diz que:
λImax =
0, 00289
T
⇒ λImax = 0, 00289
8300
≈ 3500.10−10m
Resposta: Item a
6 Voltando ao problema: Efeito Fotoelétrico
O fato que causava problema na compreensão de a intensidade da luz incidida não
ser fator no arrancamento dos elétrons podia ser agora explicada pela teoria de
Planck. A energia emitida é meramente função da freqüência. Discutimos que para
que o elétron seja libertado é preciso que receba uma freqüência mínima, chamada
de freqüência de corte. Recebendo uma energia correspondente a uma freqüência
maior ou igual à de corte há liberação de elétrons (obrigatoriamente deverá ser no
mínimo o valor da de corte). Incidindo uma energia h.f numa placa metálica (maior
que a energia de corte) parte da energia será usada para superar o corte e o restante
dará energia para os elétrons (a menos que haja uma força dissipativa, essa energia
será transformada em cinética). A conservação de energia, ou equação de Einstein
para o efeito fotoelétrico é dada por:
hf = h.f0 + Emax
OBS: A energia de corte (h. fo) é também denominada de função trabalho.
Sendo essa energia máxima transferida totalmente à energia cinética, temos:
1
2
.m.V 2 = h.(f − f0)
Sabendo que a energia de corte pode ser dada em função de um potencial (pela
definição física Energia = Potencial x Carga), temos:
6
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Ensino Médio Prof. LindembergV0 =
E0
e
Segue que:
V0 =
h
e
.(f − f0)
Isto é, o potencial de corte é uma reta em função da freqüência de luz incidente.
Um experimento de laboratório interessante é determinar a constante de planck
utilizando dados experimentais (é só lembrar que o coeficiente angular da reta re-
sultante será h/e). É importante então concluir que o potencial de corte depende
do material porém seu coeficiente angular h/e é constante para todos os materiais.
Podemos inclusive fazer uma análise de como é o comportamento do gráfico da cor-
rente de elétrons liberados em função da voltagem estabelecida.
Para uma dada intensidade de luz incidida temos um aumento de corrente com o
aumento da voltagem. Notar que basta aplicar uma ddp com a voltagem de corte
negativa para zerar a corrente. Tal ddp que zera a corrente é a mesma independente
da intensidade do feixe incidido, porém a corrente de saturação não é (veja a figura
acima).
Exercício contextualizado resolvido
Sobre um circuito de efeito fotoelétrico são incididos radiações de duas frequências
diferentes, de comprimentos λ1 e λ2 (maiores que a frequência de corte do material).
Os elétrons liberados por cada incidência têm velocidades V1 e V2 tais que a razão
7
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entreV1 e V2 é dada por k. Determine o valor da função trabalho do material usado
em função de k, h, c (velocidade da luz), λ1 e λ2.
Solução:
Da conservação de energia (lembrando que a função trabalho é constante para um
dado material):
1
2
.m.V 21 = h.f1 − E0
1
2
.m.V 22 = h.f2 − E0
Dividindo as duas equações:
(
V1
V2
)2 =
h.f1 − E0
h.f2 − E0
Lembrando que c = λ.f , e que
V1
V2
= k, segue:
k2 =
h.c
λ1
− E0
h.c
λ2
− E0
⇒ h.c.k
2
λ2
−k2.E0 = h.c
λ1
−E0 ⇒ (1−k2)E0 = h.c.( 1
λ1
− k
2
λ2
)⇒
E0 =
h.c
1− k2 .
(
1
λ1
− k
2
λ2
)
Exercícios Propostos:
1. (ITA) Incide-se luz num material fotoelétrico e não se observa a emissão de
elétrons. Para que ocorra a emissão de elétrons do mesmo material basta que
aumente(m):
a) a intensidade de luz
b) a frequência da luz
c) o comprimento de onda da luz
d) a intensidade e a freqüência da luz
e) a intensidade e o comprimento de onda da luz
2. Uma luz monocromática de comprimento de onda 450 nm incide sobre uma
placa de sódio cuja função trabalho é 3, 7.10−19J . Qual é a energia cinética
máxima dos elétrons emitidos? Qual é a frequência de corte para o sódio?
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3. Qual é o valor da razão entre a função trabalho e a frequência de corte do
efeito fotoelétrico?
4. (ITA 2006) Aplica-se instantaneamente uma força a um corpo de massa m=3,3
kg preso a uma mola, e verifica-se que este passa a oscilar livremente com a
frequência angular de 10 rad/s. Agora, sobre esse mesmo corpo preso à mola,
mas em repouso, faz-se incidir um feixe de luz monocromática de frequência
f = 500.1012 Hz, de modo que toda a energia seja absorvida pelo corpo, o
que acarreta uma distensão de 1mm da sua posição de equilíbrio. Determine
o numero de fótons contido no feixe de luz. Considere a constante de Planck
h = 6, 6.10−34 Js
5. Uma luz de comprimento de 7000 Å incide sobre uma placa metálica cuja fun-
ção trabalho vale 1,79 eV. O que é correto dizer a respeito do que acontecerá?
a) não ocorrerá efeito fotoelétrico
b) apenas existe energia para romper o vínculo com a placa
c) depende da intensidade de luz incidente
d) elétrons são emitidos da placa com energia cinética de 1,768 eV
e) depende da área luminada da placa.
Gabarito: 1. b 2. f= 0,56. 1015 Hz ; E=0,7.10-19 J 3. h 5. a
7 Rydberg e Balmer
No final dos século XIX , início do século XX a física mostrava ter mudanças em
sua teoria com a recente formada teoria de Planck a respeito da quantização de
emissão/absorção de energia. Enquanto isso, cientistas como Rydberg e Balmer es-
tudavam o fenômeno da emissão de luz na passagem de um elétron de uma camada
de seu átomo para o outro. O estudo ainda era muito limitado, mas Rydberg conse-
guiu encontrar uma expressão matemática que relacionasse o comprimento de onda
9
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da freqüência emitida com o número dos níveis do qual o elétron estaria saltando. O
trabalho de Balmer foi semelhante porém menos geral que o de Rydberg (incorpo-
rando apenas alguns níveis). Vale ressaltar que o trabalho de Rydberg foi encontrar
uma função de dados encontrados experimentalmente, e daí a complexidade de tal
trabalho.
1
λ
= RH .
(
1
n12
− 1
n22
)
Onde HR é a constante de Rydberg, obtida experimentalmente.
8 Modelo de Niels Bohr
O cientista dinamarquês Niels Bohr, no inicio do século XX se propôs a explicar
a tese de Rydberg, criando um modelo atomístico diferente do que já se conhecia
na época. Os experimentos até então, realizados por Rutherford mostravam que
o átomo consistia de uma nuvem eletricamente carregada em torno de um centro,
denso, e positivamente carregado chamado núcleo. Tal proposta de Rutherford leva
ao mundo da física propor o modelo planetário para os elétrons, onde o núcleo es-
taria agindo como o Sol e os elétrons em volta do núcleo como planetas em órbita.
Importante!
O modelo planetário tinha uma falha muito aparente, talvez uma das questões mais
interessantes a surgir na física moderna. Naquela época, os trabalhos de eletromag-
netismo desenvolvidos pelo modelo de Maxwell explicavam toda e qualquer mani-
festação eletromagnética conhecida. Uma das leis de Maxwell dizia que uma carga
acelerada, obrigatoriamente, emite radiação eletromagnética. Ora, um elétron em
volta de um núcleo está acelerado (aceleração centrípeta)! Se esse elétron emitir
onda eletromagnética, ele estará perdendo energia, e com isso sua órbita deveria
diminuir gradativamente até chegar ao núcleo, gerando uma colisão catastrófica.
Sabemos que isso não é verdade, e não poderia ser, uma vez que a estabilidade da
matéria é algo concreto.
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Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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Uma esperança de explicação
Experimentos da época de descarga elétrica em tubos de gás a baixa pressão mos-
travam que a emissão de luz ocorre (a emissão eletromagnética), mas apenas em
freqüências discretas. Baseado nisso e nas recém descobertas de Max Planck de
quantização, no início do século Bohr propôs um modelo que explicaria tais impas-
ses. O modelo de Bohr foi apresentado em 1913 por meio de postulados (regras
não demonstradas matematicamente, mas que explicariam o comportamento obser-
vado). A seguir, estão os postulados de Bohr.
- O elétron se move numa órbita circular em torno de um núcleo sob ação da força
elétrica como força centrípeta.
- As órbitas do elétron são restritas, isto é, nem todas órbitas são permitidas em
qualquer situação. A restrição é que o momento angular do elétron é necessariamente
quantizado:
m~v × ~r = n. h
2pi
= n.~
- Os elétrons em órbita NÃO emitem energia eletromagnética enquanto na órbita,
e com isso não perdem energia. A emissão de energia (ou absorção) só ocorre na
passagem de níveis (quando um elétron muda de um nível para outro).
- Cada órbita tem uma energia associada, e a diferença de energia entre dois níveis
é igual à energia emitida/absorvida na mudança.
9 A Matemática do Modelo de Bohr
Sabemos dos postulados de Bohr que a interação eletrostática núcleo/elétron atua
como força centrípeta no movimento circular. Sendo e a carga do elétron, a carga
do núcleo será Z.e onde Z é o numero atômico do átomo:
m.v2
r
= Z.
k.e2
r2
⇒ m.v2 = Z
4piε0
.
e2
r
A energia total do elétronno átomo de Bohr é dada pela soma de sua energia cinética
e energia potencial:
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Etotal = Ecinetica + Epotencial
=
1
2
.m.v21 + (−
k.Z.e2
r
)
=
1
2
.m.v21 −
Z
4piε0
.
e2
r
=
1
2
.
(
Z
4piε0
.
e2
r
)
− Z
4piε0
.
e2
r
= −Z.e
2
8piε0
.
1
r
Esse resultado é muito importante, e nele concluímos que a energia da órbita é uma
função do seu Raio de órbita.
Etotal ∝ −1
r
Exercício contextualizado
Mostre que o momento linear do elétron no átomo de hidrogêneo é dado por:
√
m.e2
4piε0r
Solução:
Vamos tentar expressar o raio da órbita em função do n.
Do postulado:
mvr = n.
h
2pi
⇒ v2 = h
2
4.m2.r2.pi2
.n2
Lembrando que:
mv2 =
Z
4piε0
e2
r
m.
h2
4.m2.r2.pi2
=
Z
4piε0
e2
r
ε0.h
2
m.e2.Z.pi
.n2 = r
Ou seja, o raio da órbita é uma função do numero n do nível:
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r(n) =
ε0.h
2
m.e2.Z.pi
.n2 ∴ r ∝ n2
Ou seja, conhecido o raio da primeira órbita R, teremos que o da 2
a
será 4R (ou
seja, 2
a
.R), o da 3
a
será 9R, o da 4
a
será 16 R e assim em diante.
Do postulado de Bohr que diz
mvr = n.
h
2pi
,
é possível expressarmos a energia total do elétron como sendo uma função de n (ou
seja, do nível em que se encontra o elétron), tornando-se possível então determinar
a energia de cada nível.
Vimos que:
E = −Z.e
2
8piε0
.
1
r
Como sabemos que a energia do nível é inversamente proporcional a r , podemos
expressar a energia como função do número n do nível, também.
r(n) = −
(
m.Z2.e4
9.h2ε20
)
︸ ︷︷ ︸
A
.
1
n2
∴ r ∝ − 1
n2
Substituindo os valores das constantes para o caso do Hidrogênio teremos:
E(n) = −13, 6. 1
n2
eV
Esse resultado se aproxima do resultado de Balmer e Rydberg, uma vez que a energia
emitida num salto será dada pela diferença das energias dos níveis em questão:
∆E =
(
−A. 1
n2f
)
−
(
−A. 1
n2i
)
∴ ∆E = A.
(
1
n2i
− 1
n2f
)
Lembrando do resultado de Planck que:
∆E = hf =
h.c
λ
chegamos matematicamente (a partir do modelo de Bohr) à função proposta por
Balmer e Rydberg numa abrangência ainda maior.
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Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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1
λ
= R.
(
1
n2i
− 1
n2f
)
Exercício contextualizado Resolvido
Determine, no átomo de Hidrogênio de Bohr, o valor do menor comprimento de
onda possível emitida por um fóton num salto de um elétron de um nível para seu
adjacente.
Solução:
A partir da expressão da diferença de energia entre 2 níveis adjacentes:
∆E = 13, 6.
(
1
n2i
− 1
n2f
)
= 13, 6.
(
1
n2
− 1
(n+ 1)2
)
= 13, 6.
(
(n+ 1)2 − n2
(n2 + n)2
)
= 13, 6.
(
2n+ 1
n2.(n+ 1)2
)
A expressão da diferença de energia em módulo em função de n é estritamente
decrescente pois:
d
dn
.|∆E| = 13, 6.
(
2n2.(n+ 1)2 − (2n+ 1)2.2.(n+ 1).n
n4.(n+ 1)4
)
= 13, 6.
2n2.(n+ 1)2 − (2n+ 1).
>(n+1)︷ ︸︸ ︷
(2n+ 1) .n.
>(n+1)︷ ︸︸ ︷
(2n+ 1) .n
n4.(n+ 1)4
 < 0
Portanto a diferença de energia é máxima no salto do nível 2 pro nível 1. Queremos
a diferença máxima para que a freqüência seja máxima e com isso, o comprimento
de onda seja mínimo.
∆Emax = 13, 6.
(
1
4
− 1
1
)
= 13, 6.
(
3
4
)
= 10, 2eV
14
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Segue que:
h.
c
λmin
= ∆Emax = 10, 2eV
∴ λmin =
10, 2
hc
Unidades de Comprimento
Exercícios Propostos:
1. (ITA 99) A tabela abaixo mostra os níveis de energia de um átomo do elemento
X que se encontra no estado gasoso.
E0 0
E1 7,0eV
E2 13,0eV
E3 17,4eV
Ionização 21,4eV
Dentro as possibilidades abaixo, a energia que poderia restar a um elétron
com energia de 15eV, após colidir com um átomo de X seria de:
a) 0 eV b) 4,4 eV c) 16,0 eV d) 2,0 eV e) 14,0 eV
2. (ITA 2006) O átomo de hidrogênio no modelo de Boh é constituído de um
elétron de carga e e massa m, que se move em órbitas circulares de raio r em
torno do próton, sob a influência da atração coulombiana. Sendo a o raio de
Bohr, determine o período orbital para o nível n, envolvendo a permissividade
do vácuo.
3. Suponha que o átomo de hidrogênio emita energia quando seu elétron sofre
uma transição entre os estados inicial n=4, e final n=1. Qual é a energia do
fóton emitido? Qual é a freqüência da radiação emitida (Constante de Planck
= 6, 63.10−34 J.s)
4. (ITA 2002) Sabendo que um fóton de energia 10,19 eV excitou o átomo de
hidrogênio do estado fundamental (n=1) até o estado p, qual deve ser o valor
15
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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de p? Justifique.
5. (ITA 2003) Utilizando o modelo de Bohr para o átomo, calcule o número apro-
ximado de revoluções efetuadas por um elétron no primeiro estado excitado
do átomo de hidrogênio, se o tempo de vida do elétron, nesse estado excitado,
é de 10−8 s. São dados: o raio da órbita do estado fundamental é de 5, 3.10−11
m e a velocidade do elétron nessa órbita é de 2, 2.106 m/s
6. Determine a expressão para a velocidade do elétron na órbita em função do
numero n do nível.
Gabarito:
1. d
2. T =
4.pi.ε0.n
3.
√
pi.ε0.m.a
e
3. E= 12,75 eV f = 3, 07.1015Hz 4. p=1 . A energia não é suficiente para levar
ao nível 2 . A energia necessária seria no mínimo 10,2 eV 5. Aproximadamente 8
milhões de revoluções
6. v(n) =
(
e2
2.ε0.h
)
.
1
n
∴ v(n) ∝ 1
n
Observação
A resposta à dúvida do caráter ora ondulatório e ora de partícula das emissões eletro-
magnética pôde ser analisada com o experimento do efeito fotoelétrico de Einstein.
O choque de uma emissão eletromagnética contra uma placa arrancava elétrons da
mesma, evidenciando sob certas condições (como vimos, a freqüência para o fenô-
meno é restrita) o caráter de partícula por parte de ondas. Estudaremos a seguir
um segundo fenômeno que corroborou a tese de Einstein.
10 Efeito Compton
O fenômeno descoberto pelo físico Arthur Holly Compton em 1923, chamado Efeito
Compton, analisa a diminuição de energia de um fóton quando esse colide com ma-
16
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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téria. A diminuição de energia ocorre com a mudança no comprimento de onda
(aumenta). Tal mudança nos evidencia que a luz, por exemplo, não tem caráter
puramente ondulatório (assim como Einstein já havia evidenciado em seu experi-
mento do efeito fotoelétrico). Usaremos um resultado do Eletromagnetismo de que
radiações eletromagnéticas carregam momento linear (p) :
E
eletromagnetismo︷︸︸︷
= p.c =︸︷︷︸
Planck
h.f ∴ p = hf
c
A situação descrita no efeito Compton está ilustrada abaixo. Deduziremos agora
uma expressão para o aumento no comprimento de onda do fóton após o choque.
É importante deixar claro que algumas passagens da dedução parecerão compli-
cadas a primeira vista, pois utilizaremos resultados da Física relativística. Pedimos
que mesmo que o conceito ainda não esteja completamente claro ainda (veremos
mais isso mais a frente nesse curso de Física Moderna), que o leitor acredite nos
resultados que estaremos usando.
Tais resultados são:
Energia associada à matéria (energia de repouso): E = mc2
Energia associada a matéria com velocidade: E =
√
(mc2)2 + (p.c)2
Voltando ao problema, considerando uma colisão entre o fóton e um elétron em
repouso (veja figura), temos da conservação de energia:
Erepouso particula + Efoton inicial = Evelocidade particula + Efoton inicial
m.c2 + hf1 =
√
(mc2)2+ (pe.c)2 + hf2
∴ (mc2 + hf1 − hf2)2 = (mc2)2 + (pe.c)2
p2 =
(mc2 + hf1 − hf2)2 − (mc2)2
c2
17
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Na direção da colisão, não há forças externas, portanto podemos conservar também
a quantidade de movimento naquela direção e na direção perpendicular a mesma.:
−−−−−−−−→pfoton inicial = −−−−−−−−→pfoton final +−−−−−−−−→peletron final
pfoton inicial = pfoton final cosφ+ pfoton final cos θ
pfoton inicial sinφ = pfoton final sin θ
Lembrando que
pfoton inicial = h.
f1
c
pfoton final = h.
f2
c
Temos então o sistema:

pe. cosφ =
hf1
c
− hf2
c
. cos θ
hf1
c
. sinφ =
hf2
c
. sin θ
Resolvendo e eliminando o parâmetro φ (Fica como exercício para o leitor), chegamos
à seguinte expressão para pe:
p2e =
h2.f 21
c2
+
h2.f 22
c2
− 2.h
2.f1.f2. cos θ
c2
Da conservação de energia já tínhamos obtido que:
p2e =
(mc2 + h.f1 − hf2) 2− (mc2)2
c2
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p2e =
(mc2 + h.f1 − hf2) 2− (mc2)2
c2
=
h2.f 21
c2
+
h2.f 22
c2
− 2.h
2.f1.f2. cos θ
c2
Arrumando a igualdade e lembrando que c= f (fica como exercício), chegamos à
expressão conhecida do efeito Compton:
λ2 − λ1 = h
mc
.(1− cos θ)
Exercício Proposto
1. Calcule a modificação percentual do comprimento de onda no espalhamento de
Compton a 180
o
a. de um raio X de 80 keV;
18
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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b. de um raio g oriundo da aniquilação de um par elétron-pósitron em repouso.
11 Hipótese de De Broglie
A esse ponto não restava dúvida de que de fato ondas poderiam se comportar como
partículas em certas situações (Efeito Fotoelétrico, Efeito Compton). Até esse ponto
na física sempre foi razoável testar o efeito contrário de cada fenômeno. No eletro-
magnetismo, Faraday e Lenz estudaram o fenômeno de geração elétrica a partir de
uma variação no campo magnético local, e foi razoável aceitar a tese provada por
Ampére de que uma variação do campo elétrico também gera campo magnético.
Esse é apenas um dos inúmeros exemplos de simetria que ocorrem na física. Bom,
os resultados conhecidos diziam que para ondas vale:
E = hf = p.c ⇒ h. c
λ
= p.c ∴ λ = h
p
De Broglie propôs então que a matéria teria um comprimento de onda associado
a ela, dado pela expressão:
λmateria =
h
mv
De acordo com a expressão o caráter ondulatório da matéria só seria perceptível
para massas extremamente pequenas. Ou seja, seria um absurdo propor que se ati-
rássemos inúmeras bolas de tênis numa fenda única, haveria difração...
A hipótese de De Broglie foi comprovada em 1927 (3 anos após a data em que
De Broglie fez sua proposta), por Davisson e Germer ao estudarem a natureza da
superfície de um cristal de Níquel. Eles perceberam que ao incidirem um feixe de
elétrons (partículas) contra a superfície, ao invés de haver reflexão difusa, houve uma
reflexão similar à observada na incidência de raios X. A incidência de raios X num
cristal geram uma forte reflexão a certo ângulo de tal maneira que haja interferência
19
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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construtiva e um reforço seja perceptível
Analisando os ângulos nos quais isso aconteciam para o Raio X e os ângulos nos
quais isso aconteciam para os elétrons, percebeu-se que nessas situações os elétrons
possuíam o exato comprimento de onda proposto por De Broglie.
Ora, então De Broglie estava certo! A interferência construtiva observada nos cristais
NUNCA ocorreria de acordo com a teoria corpuscular do elétron.
12 Conseqüências da hipótese de De Broglie pro
átomo de Bohr
Uma das mais importantes conseqüências da teoria de De Broglie é que a mesma
justificava os antes indemonstráveis postulados de Bohr (ver pp. 9-11).
De Broglie explicou que cada elétron do átomo de Bohr é acompanhado de uma
onda estacionária associada guiando seu movimento, dessa maneira a aceleração
não estaria contribuindo para a emissão de energia eletromagnética. Para que uma
onda estacionária se ajustasse à órbita circular do elétron, devemos ter que o com-
primento da órbita circular equivalha a um número inteiro de comprimento de ondas
do elétron. Ou seja:
2pir = nλ n �Z
Da hipótese de De Broglie: λ =
h
mv
2pir = n.
h
mv
n � Z
∴ mvr = n. h
2pi
n � Z
A expressão acima já é conhecida! É mais de uns previamente indemonstráveis pos-
20
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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tulados de Bohr. Concluímos que a teoria de De Broglie foi bastante razoável e
apresentava total consistência com a teoria de Bohr! A expressão acima já é conhe-
cida! É mais de uns previamente indemonstráveis postulados de Bohr. Concluímos
que a teoria de De Broglie foi bastante razoável e apresentava total consistência com
a teoria de Bohr!
Exercício Contextualizado Resolvido
1. Um elétron em movimento manifesta uma onda de matéria com comprimento de
onda de De Broglie igual a 10-10 m . Sendo a massa do elétron igual a 9, 1.10−31
kg, sua carga é 1, 6.10−19 C e a constante de Planck igual a 6, 63.10−34 J.s, qual a
DDP necessária para acelera-lo do repouso até a velocidade necessária?
Solução:
Da Hipótese de De Broglie, segue:
λ =
h
mv
⇒ v = h
mλ
=
6, 63.10−34
9, 1.10−31.10−10
∼= 7, 28.106ms
Utilizando o Teorema do Trabalho e Energia Cinética, desconsiderando o efeito
relativístico do elétron:
Wcampo eletrico = ∆Ecinetica
⇒ U.q = 1
2
.mv2 − 0
⇒ U = mv
2
2q
=
9, 1.10−31.7, 282.1012
2.1, 6.10−19
= 150, 7V
A DDP necessária é de aproximadamente 150,7 V.
13 Princípio de Incerteza de Heisenberg
Conforme foi dito na introdução desse artigo, muitos dos conceitos aqui apresenta-
dos carecem de demonstrações rigorosas. Isso é compreensível se formos pensar que
21
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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a teoria que estamos estudando levou a criação da Mecânica Quântica, um ramo da
física que envolve muita teoria e matemática pesada (fugindo então dos propósitos
desse curso). É importante que entendamos os conceitos extraídos dos resultados
desses cientistas, e sabermos como aplica-los (principalmente nos exercícios do ITA,
como o curso se propõe a fazer).
Werner Heisenberg é um cientista alemão que se propôs a mostrar, ou exprimir ma-
tematicamente, sua tese de que a posição e velocidade do elétron em torno do núcleo
do átomo são impossíveis de precisar simultaneamente. Para medir experimental-
mente a posição do elétron precisamos de instrumentos de medidas (um dos métodos
conhecidos na época consistia de incidir um tipo de radiação sobre o mesmo). Os
instrumentos de medida, por sua vez possuem incertezas de medição. Quanto menor
a incerteza, mais precisa é a localização do elétron.
Com base na base da teoria da mecânica quântica já desenvolvida, Heisenberg enun-
ciou que o produto da incerteza da posição pela incerteza do momento linear de um
elétron não pode ser inferior (em ordem de grandeza) à metade da constante de
Planck reduzida. Ou seja:
∆p.∆x ≥ ~
2
=
h
4pi
A conclusão é que o elétron não está bem definido na sua órbita do átomo. Quanto
mais preciso soubermos sua posição, menos preciso para nós será sua velocidade,
tornando assim impossível descrever o elétron em cada instante. Esse enunciado é
conhecido como Princípio da Incerteza de Heisenberg.
Exercícios Propostos de Revisão
1. Um arma dispara um projétil de 20 g a uma velocidade de 500 m/s . Determine
o comprimento de onda de De Broglie associado ao projétil e explique por que
o caráter ondulatório não é aparente nessa situação.
22
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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2. Um microscópioeletrônico pode resolver estruturas de pelo menos 10 vezes o
comprimento de onda de De Broglie do elétron. Qual é a menor estrutura que
pode ser resolvida num microscópio eletrônico, usando elétrons com energia
cinética de 10000 eV ?
3. (ITA 2003) Marque verdadeiro ou falso.
I No efeito fotoelétrico, quando um metal é iluminado por um feixe de luz
monocromática a quantidade de elétrons emitidos pelo metal é diretamente
proporcional à intensidade do feixe incidente, independente da freqüência da
luz.
II As órbitas permitidas ao elétron em um átomos são aquelas em que o mo-
mento angular é n~ para n=1,3,5...
III Os aspectos corpuscular e ondulatório são necessários para a descrição com-
pleta de um sistema quântico.
IV A natureza complementar do mundo quântico é expressa, no formalismo
da Mecânica Quântica, pelo princípio de incerteza de Heisenberg.
4. (ITA 2004) Um elétron é acelerado a partir do repouso por meio de uma
diferença de potencial U, adquirindo uma quantidade de movimento p. Sabe-
se que, quando o elétron está em movimento, sua energia relativística é dada
por E =
√
(m0c2)2 + p2c2 em que mo é a massa de repouso do elétron e c é a
velocidade da luz no vácuo. Obtenha o comprimento de onda de De Broglie
do elétron em função de U e das constantes fundamentais pertinentes. OBS:
Essa questão é muito parecida com o exercício contextualizado resolvido.
5. (ITA 2005) Um átomo de hidrogênio inicialmente em repouso emite um fó-
ton numa transição do estado de energia n para o estado fundamental. Em
seguida, o átomo atinge um elétron em repouso que com ele se liga, assim
permanecendo após a colisão. Determine literalmente a velocidade do sistema
átomo + elétron após a colisão. Dados: a energia do átomo de hidrogênio no
estado n é En =
E0
n2
; o momento linear do fóton é hf/c , e a energia deste é hf,
23
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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em que h é a constante de Planck, f é a freqüência do fóton e c é a velocidade
da luz.
6. (ITA 2005) Num experimento, foi de 5, 0.103m/s a velocidade de um elétron,
medida com precisão de 0,003%. Calcule a incerteza na determinação da po-
sição do elétron, sendo conhecidos: massa do elétron 9, 1.10−31 kg e constante
de Planck reduzida h 1, 1.10−34 J.s
Gabarito:
1) 6, 63.10−35 m 2) 5.10−10 m 3) F-F-V-V
4) λ =
hc√
(qU)2 + 2qUm0C2
5) v =
MH .E0
(MH +Me).c
.
(
1
n2
− 1
)
6) A incerteza mínima é de, aproximadamente, 0,04 %.
14 Relatividade de Einstein
14.1 Introdução Histórica
Com a publicação Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento , Albert Eins-
tein em 1905 enunciou sua teoria restrita da Relatividade. Nele é explicado que
a teoria até então seguida pelos físicos, proposta por Galileu, que explicavam os
conceitos de velocidade e movimento de um corpo de acordo com um dado sistema
referencial não valeriam mais para o eletromagnetismo (que havia sido fortemente
enriquecido pelo modelo de Maxwell). Estudaremos agora no que consiste essa teo-
ria.
14.2 O porquê da proposta
De acordo com os recentes estudos do eletromagnetismo, observar um fenômeno
eletromagnético depende do referencial do observador. Ou seja, dependendo da ve-
locidade com que um observador se aproxima da luz ele pode observar um campo
magnético ou um campo elétrico. Isso vai contraria as teorias da relatividade de
24
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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Galileu que dizia que um fenômeno mantinha sua natureza independente do referen-
cial. Tal teoria era válida para a física Newtoniana, porém precisaria ser reavaliada
para incluir os conceitos do eletromagnetismo.
14.3 A nova idéia de Simultaneidade
Antes de enunciarmos os dois postulados que regem a teoria da relatividade, vamos
descrever um fenômeno que nos dará uma noção da diferença do conceito de Galileu
para o conceito novo proposto por Einstein.
Imagine um trem passando por uma estação com velocidade constante. No mo-
mento exato em que o trem está passando, duas pessoas (uma em cada extremidade
do trem) enviam um sinal luminoso para uma pessoa localizada no centro do trem.
Para alguém fora do trem o sinal deve chegar ao centro simultaneamente, é claro.
Agora imagine o ponto de vista dessa pessoa que está fora do trem. Para ela o ob-
servador do centro do trem está se aproximando na direção do ponto de partida de
um dos raios luminosos, e se afastando do ponto de partida de outro raio luminoso.
Obviamente, então, para o referencial inercial o sinal luminoso de um chegará ao
observador central antes do outro.
Isso é um absurdo de acordo com a teoria da relatividade de Galileu. Para Galileu o
tempo é único independente do referencial (o tempo passa independentemente para
todos, simultaneamente). Então, como dois raios luminosos, emitidos ao mesmo
tempo, percorrendo a mesma distância, teriam tempos de chegadas diferentes?
14.4 A Transformação de Lorentz - Dilatação do Tempo
Em 1913, Einstein publicou um texto explicando como poderiam ser aplicadas trans-
formações conhecidas como transformações de Lorentz, para descrever a diferença
25
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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na simultaneidade de eventos de acordo com o seu sistema referencial.
Imagine dois espelhos paralelos, separados de uma distância d, no qual um deles
manda um raio luminoso retilíneo para o outro. O espelho receptor passa a se
mover com velocidade v para um lado. Vamos considerar essa situação em dois
referenciais distintos.
(i) Para um referencial fixo ao espelho receptor (Receptor II).
Nesse caso o sinal continua sendo vertical. O tempo de
percurso nesse referencial é ta que: t2.c = d
(ii) Para um referencial fixo ao espelho emissor (Referencial I)
Nesse caso o sinal é oblíquo em relação a vertical. Para o
observador fixo ao espelho em movimento, o sinal ainda
será vertical. De tal forma que podemos tirar a seguinte
relação de Pitágoras.
(t1.c)
2 = d2 + (vt1)
2
Das duas observações, eliminando o parâmetro d:
t21.(c
2 − v2) = t22.c2
t1.
√
(c2 − v2)
c2
= t2 ∴ t2 = t1.
√
1− (v
2)
c2
Devido a esse resultado, comumente encontramos em materiais didáticos a expressão
fator de Lorentz , que é dado por:
γ =
1√
1− v
2
c2
26
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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Ou seja, para um referencial com velocidade v em relação ao outro referencial, o
tempo é dividido pelo fator de Lorentz.
t1 = t0.γ
Nesse caso t0 = t2 é o tempo de travessia do raio sem o movimento de referencial.
Mostraremos com mais detalhes mais a frente que a velocidade de um corpo não
pode exceder a velocidade da luz, o que está coerente com nossa expressão uma vez
que o radicando deverá ser positivo. Vale notar que para quanto maior for a relação
v2/c2 mais influente fica o fator de Lorentz (que é sempre um número maior que 1).
É comum ouvir-se falar de um objeto como sendo relativístico ou não-relativístico.
O objeto será relativístico quanto mais próximo de 1 for a razão v/c.
No caso da velocidade entre dois referenciais, temos que o tempo é dilatado para o
observador do referencial I. O observador I vê o tempo dilatado em relação ao tempo
medido no referencial II. A esse fenômeno denominamos Dilatação do Tempo.
�O tempo passa mais lentamente para o referencial em movimento �
14.5 Contração do Espaço
Semelhantemente ao que fizemos para deduzir a expressão de Lorentz para a dila-
tação do tempo, poderíamos ter percebido uma alteração no espaço para os dois
referenciais. Considere o seguinte problema:
Uma pessoa A se encontra numa plataforma de trem de tamanho natural L0. Um
trem com uma velocidade v muito alta passa pela estação. A pessoa A medeo
tempo de travessia do trem (tempo entre o instante em que a frente do trem passou
pelo começo da plataforma e o instante em que a frente do trem passou pelo final
27
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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da plataforma). Sua medida foi: tA =
L0
v
.
Uma pessoa B, dentro do trem faz o mesmo procedimento. O seu tempo de medida
é dado por: tB =
LB
v
. Da dilatação do tempo temos que: tA = tB.γ
Logo,
L0
v
=
LB
v
.γ ∴ LB =
L0
γ
Ou seja, para o referencial em movimento, o comprimento da plataforma diminuiu.
A esse fenômeno chamamos de �Contração do Espaço� .
14.6 Experimento de Michelson e Morley
Antes de 1905, muitos acreditavam que o universo estava preenchido com um meio
com propriedades peculiares, conhecido com éter. Acreditava-se que a luz era uma
onda mecânica, que induzia vibrações em tal meio elástico. Este meio teria que ser
ao mesmo tempo um sólido com elevada densidade para suportar a luz propagando
a altíssimas velocidades e um fluido extremamente leve para que não exercesse qual-
quer interferência no movimento dos planetas.
No meio científico, o experimento de Michelson e Morley não foi capaz de detectar
a presença do éter e, além disso, indicou a invariância da velocidade da luz, ou seja,
a velocidade da luz era sempre a mesma, independentemente do movimento relativo
entre fonte e observador. É importante ressaltar que os experimentos de Michelson-
Morley nos anos de 1881 e 1887, mesmo não tendo detectado o movimento da Terra
em relação ao éter, foram interpretados por diversos cientistas sem descartar a teoria
do éter.
Portanto é inverídico do ponto de vista histórico que tenham sido cruciais para a
física clássica. O próprio Michelson aferrou-se à teoria do éter até o final de sua
28
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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vida. Tais experimentos também foram secundários para a gênese da teoria da re-
latividade restrita de Einstein.
Com esse experimento, Michelson e Morley concluíram que a velocidade da luz não
é influenciada pelo movimento da Terra. Tal resultado é facilmente compreendido
em termos dos postulados de Einstein.
14.7 Postulados de Einstein
Mais a frente, discutiremos algumas conseqüências do que acabamos de ver. Mas,
primeiramente, vamos citar os postulados de Einstein que definiram a teoria da re-
latividade:
- Todas as leis da física tornam a mesma forma em todos os referenciais inerciais;
É impossível realizar experiência, num determinado referencial, para medir o seu
próprio movimento do sistema de referência. (Princípio da Relatividade)
- A luz se propaga através do espaço vazio com uma velocidade constante c, in-
dependente do estado do movimento do corpo emissor (independe do referencial).
(Postulado da Luz)
Note que o segundo postulado justifica o primeiro, uma vez que um experimento que
medisse a luz num determinado referencial nos possibilitaria detectar o movimento
do mesmo.
14.8 O Múon
O múon é uma partícula de origem cósmica com um tempo de vida muito pequeno
(em torno de 2,2 microsegundos). Uma das evidencias para o estudo de contração
do espaço (dilatação do tempo) foi a evidência de abundância de partículas múon
29
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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no nível do mar. O tempo de queda da sua origem (cerca de 2km acima do nível do
mar) até o nível do mar seria maior do que seu tempo de vida, e portanto seria um
absurdo ter abundância dessas partículas a nível do mar.
Vamos ver que, com a teoria de Einstein, o fato evidenciado torna-se possível. A
velocidade em que viaja o múon é de aproximadamente 0,9952c.
O tempo de vida do múon, considerando a dilatação do tempo (para o referencial
terra é):
tvida =
2.2µs√
1−
(v
c
)2 = 2.2µs√
1− (0, 9952)2
∼= 22, 5µs
A distância que o múon pode percorrer a essa velocidade antes de desintegrar é:
∆S = 0, 9952.c.tvida ∼= 6, 712m
Como a distância permitida é maior que a distância que o múon teria que percorrer
para chegar ao lugar onde foi observado (devido à contração de espaço), a observação
torna-se possível.
14.9 Paradoxo dos Gêmeos
Vamos analisar a seguinte situação. Dois gêmeos idênticos A e B são tais que A
passará por uma viajem numa nave espacial sob uma velocidade muito próxima da
velocidade da luz, enquanto que B permanecerá parado na Terra. Sabemos que para
o gêmeo B, que está na Terra, a nave está se movendo, então, segundo a teoria que
vimos, ele afirma que o tempo para o seu irmão gêmeo dentro da nave está passando
mais lentamente. Enquanto isso, o irmão A vê a Terra se afastar dele com velocidade
perto de c, e afirma que o tempo passa mais de vagar para o seu irmão. Qual dos
dois está correto?
30
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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Na verdade, com o problema proposto, ambas as afirmações estão erradas. Segundo
o postulado de Einstein, não é possível comparar o passar do tempo entre duas
pessoas com referenciais movendo-se um em relação ao outro. O correto, sim, seria
dizer que o tempo passa mais devagar para B quando medido no referencial de A, e
vice-versa.
Porém, se analisarmos um problema segundo o referencial inercial Terra, existe uma
resposta para qual dos dois irmãos está mais envelhecido? . O gêmeo viajante
A mudou de referencial inercial ao sair da Terra, passando a um referencial com
velocidade constante próxima a da luz, e mais tarde, ao retornar voltou ao referencial
da Terra. Ou seja, como a comparação final é feita no referencial da Terra, conclui-se
que B está mais envelhecido que A, devido à dilatação do seu tempo em relação ao
referencial.
14.10 Massa de Repouso
Podemos definir massa pela segunda Lei de newton, como sendo:
m =
~F(
d~v
dt
)
Note que aumentando a força indefinidamente estaríamos aumentando indefinida-
mente sua velocidade. Ora, mas sabemos que a velocidade tem um limite (velocidade
da luz no vácuo c). Portanto é de se esperar que haja uma alteração no valor da
massa para velocidades próximas da luz.
A partir da 2
a
lei de Newton e da Lei da conservação do Impulso é possível demons-
trar que:
m =
m0√
1−
(v
c
)2 = m0γ
Onde m0 é a massa do objeto em repouso.
31
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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14.11 Energia Relativística
Junto com seu trabalho matemático sobre relatividade, Einstein mostrou que a ex-
pressão relativística precisa para a energia de uma massa de repouso mo e momento
linear p é: E =
√
(m0.c2)
2 + (pc)2
Devemos então notar a consistência, para os casos:
- Objeto de massa de repouso não-nula, com velocidade nula:
p = 0 ⇒ E = m0.c2 - (Famosa Relação de Einstein para energia de repouso)
- Objeto de massa de repouso nula:
m = 0 ⇒ E = pc - (Consistência com o resultado do eletromagnetismo)
Método Mnemônico de lembrar a expressão da energia
O Triângulo ao lado resume as expressões de energia:
E = E0 + Ecinetica ⇔ E = m0c2 + Ecinetica
Onde: E é a energia relativística e E0 é a energia de
repouso.
Do teorema de Pitágoras:
E2 = E20 + (pc)
2 ∴ E =
√
(m0c2)2 + (pc)2
Exercícios Propostos
1. Uma régua move-se com a velocidade v=0,6c na direção do observador e pa-
ralelamente ao seu comprimento.
a) Calcular o comprimento da régua, medida pelo observador, se ela possui
um metro no seu próprio referencial
b) Qual o intervalo de tempo necessário para a régua passar pelo observador?
2. A vida média própria dos mésons é pi = 2, 6.10−8 s. Imagine um feixe destas
32
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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partículas, com velocidade 0,9c.
a) Qual seria a vida-média medida no laboratório?
b) Que distância percorreriamantes de desintegrar-se?
c) Qual seria a resposta do item anterior, se desprezássemos a dilatação do
tempo?
3. A energia liberada quando o sódio e o cloro se combinam para formar NaCl é
4,2 eV.
a) Qual é o aumento de massa (em unidades de massa atômica) quando uma
molécula de NaCl se dissocia em um átomo de Na e outro de Cl?
b) Qual o erro percentual que se comete ignorando essa diferença de massa?
Dados: A massa atômica do Na é cerca de 23 u e a do Cl vale 35 u.
4. Um elétron, com energia de repouso 0,511 MeV, tem energia total 5 MeV.
a) Calcular o seu momento em unidade MeV/c.
b) Calcular a razão da sua velocidade e da velocidade da luz.
5. A energia em repouso de um próton é 938 MeV. Sendo a sua energia cinética
também igual a 938 MeV, calcular o seu momento linear em unidade MeV/c.
6. Um elétron desloca-se a uma velocidade tal que pode circunavegar a Terra, no
Equador, em 1,00 s no referencial da Terra.
a) Qual é a sua velocidade, em termos da velocidade da luz?
b) Qual é a sua energia cinética K?
c) Qual é o erro percentual cometido se a energia cinética K for calculada pela
fórmula clássica?
Gabarito:
1) a) 0,8 m. b) 4,44 ns.
2) a) 5, 96.10−8 s. b) 16,1 m. c) 7,02 m.
3) a) 4, 5.10−9 u. b) 8.10-9 %
4) a) 4,974 MeV/c. b) 0,9948.
33
Noção de Mecânica Quântica e Relatividade
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5)938
√
3 MeV/c.
6) a) 0,134c. b) 4,62 keV. c) 1,36 %.
Créditos
O material é original, digitado e compilado por mim, porém com várias referencias.
Utilizei o caderno anotações de Caio Guimarães e Eurico Nicacio. Foram utilizadas
informações de pesquisa no wikipedia.org . O material tem como intuito ser utilizado
para estudo apenas, principalmente para aqueles que não têm acesso tão facilmente
a informação.
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