Estruturas formularios

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Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 3 
Determinação dos esforços de cisalhamento, momentos fletores e 
deformação nos modelos de estruturas planas mais comuns 
 
 
Legenda 
 
H reação horizontal no apoio 
V reação vertical no apoio 
M reação momento no apoio 
Q esforço cortante ou cisalhante 
Mf momento fletor 
ymax deformação vertical máxima 
F carga concentrada 
W carga distribuída 
Wmax carga triangular 
E módulo de elasticidade do material 
I momento de inércia 
L comprimento da viga 
a b c distâncias entre componentes 
x distância medida em x a partir da 
origem 
A B apoios 
max valores máximos 
 
 
Convenções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 4 
Estruturas Isostáticas 
 
Viga engastada com carga concentrada em um ponto qualquer 
 
 
 
H=0 V=F=Qmax 
 
M=-F.a=Mfmax 
 
IE
LFy
..3
.
3
max = 
 
quando 0 ≤ x ≤ a 
 
Q=Qmax 
 
Mf=M+V.x=-F.a+V.x 
 
quando a ≤ x ≤ L 
 
Q=0 
 
Mf=0 
 
 
Viga engastada com carga distribuída uniformemente 
 
 
H=0 V=W.L=Qmax 
 
2
.
2
max
LWMM −== 
 
IE
WLy
.8
4
max = 
 
quando 0 ≤ x ≤ L 
 
 
Q=Qmax-Wx=WL-Wx 
 
2
)(
2
222
max
xLWWxMMf −−=+= 
 
 
 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 5 
 
Viga engastada com carga distribuída e carga concentrada num ponto qualquer 
 
H=0 WLFQV +== max 
)
2
(
2
max
WLFaMM +−== 
 
EI
WL
IE
LFy
8..3
.
43
max += 
 
quando 0 ≤ x ≤ a 
 
WxWLFWxQQ −+=−= max 
2
)
2
(
2
222
max
WxWLFaWxMMf ++−=+=
 
quando a ≤ x ≤ L 
 
WxWLWxFQQ −=−−= max 
22
222
max
WxWLWxFaMMf +−=++= 
 
 
 
Viga engastada com momento fletor na extremidade 
 
H=0 V=0=Q 
 
 
M=Me=Mmax 
 
 
EI
LMey
2
.
2
max = 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 6 
 
Viga engastada com carga triangular mais intensa no engaste 
 
 
 
H=0 
2
max
max
LWQV == 
 
6
2
max
max
LW
MM −== 
 
 
EI
LW
y
30
4
max
max = 
 
 
)(
22
maxmax
max xL
WxWQQ −=−= 
 
 
)(
66
22max
2
max
max Lx
WxW
MMf −=+=
 
Viga engastada com carga triangular mais intensa na extremidade oposta 
 
 
 
H=0 
2
max
max
LWQV == 
 
3
2
max
max
LW
MM −== 
 
 
EI
LW
y
15
4
max
max = 
 
)(
22
2
max
2
max
max L
xL
W
L
xWQQ −=−= 
 
)(
33
2
3
max
3
max
max LL
xW
L
xW
MMf −=+=
 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 7 
 
Viga bi-apoiada com carga concentrada em um ponto qualquer 
 
 
L
FbQVA == +max L
FaQVB == −max 
 
H=0 bVaVMf BA ==max 
)(
6
222
max LbxEIL
Fbxy −+= 
 
Obs: Mfmax e ymax ocorrem em x=a 
 
quando 0 ≤ x ≤ a 
 
Q=Qmax+ 
 
xVMf A= 
 
quando a ≤ x ≤ L 
 
Q=Qmax- 
 
)()( xLVaxFxVMf BA −=−−= 
 
Viga bi-apoiada com carga distribuída 
 
2max
WLQVV BA === H=0 
 
882
22
max
WLWLLVMf A =−= 
 
EI
WLy
384
5 4
max = 
 
Obs: Mfmax e ymax ocorrem em x=L/2 
 
 
)
2
( xLWWxVQ A −=−= 
 
)(
22
2
2
xLxWWxxVMf A −=−= 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 8 
 
Viga bi-apoiada com carga distribuída e carga concentrada num ponto qualquer 
 
 
 
2max
WL
L
FbQVA +== + 
2max
WL
L
FaQVB +== − H=0 
 
)2(
24
)(
6
222
222
max
LxLx
EI
Wx
Lbx
EIL
Fbxy
−−
+−+=
 
 
Obs: 
- Mfmax ocorre em x onde Q=0 
- ymax ocorre no ponto de MfMax 
 
quando 0 ≤ x ≤ a 
WxVQ A −= 2
2Wx
xVMf A −= 
quando a ≤ x ≤ L 
 
FWxVQ A −−= 
)(
2
2
aLFWxxVMf A −−−= 
Viga bi-apoiada com carga triangular 
 
 
 
H=0 
3
max
max
LWQVA == + 
6
max
max
LWQVB == − 
 
)
23
(
2 max
max xLWxWVQ A −=−= 
 
)(
33
2max
2
max xLx
WxW
xVMf A −=−= 
 
EI
LW
y
154
4
max
max = 
 
Obs: Mfmax e ymax ocorrem no ponto 
onde Q=0 ou x=2L/3 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 9 
Viga bi-apoiada com cargas concentradas em ponto qualquer 
 
 
H=0 
L
cFcbFQVA
.2).(1
max
++
== + 
L
baFaFQVB
).(2.1
max
++
==
−
 
 
0 ≤ x ≤ a 
AVQ = xVMf A= 
 
a ≤ x ≤ a+b 
1FVQ A −= 
).(1 axFxVMf A −−= 
 
a+b ≤ x ≤ L 
21 FFVQ A −−= 
).(2).(1 baxFaxFxVMf A −−−−−=
 
 
Obs: Mfmax e ymax ocorrem no ponto x 
onde Q=0 
)(
3
).)(21( 22
max xxLEIL
xLxFFy −−+= 
 
 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 10 
Estruturas Hiperestáticas 
 
Viga bi-engastada com carga concentrada em um ponto qualquer 
 
 
)3(3
2
ba
L
FbVA += 0== BA HH 
)3(3
2
ab
L
FaVB += 
2
2
L
FabM A −= 2
2
L
FbaM B = 
 
]3)3([
6 3
22
max aLbaaEIL
bFay −+= 
 
0 ≤ x ≤ a 
 
Q=VA 
])3([3
2
aLbax
L
FbMf a −+−= 
 
a ≤ x ≤ L 
 
Q=- VB )( axFMfMf ab −+= 
 
Viga bi-engastada com carga distribuída 
 
 
 
0== BA HH 
2
WLVV BA == 
 
12
2WLM A −= 12
2WLM B = 
 
 
)2(
2
xLWQ −= 
 
)66(
12
22 LxLxWMf −−= 
 
EI
WLy
384
4
max = 
Henriqs
Rectangle
Fundamentos do Projeto Mecânico – Jorge L. Ferreira Tabelas - 11 
 
Viga com engaste e apoio simples e carga concentrada em ponto qualquer 
 0== BA HH 
)3(
2
22
3 bLL
FbVA −= 
)3(
2 3
2
aL
L
FaVB −= 
 
)]3()(3[
12
2222
3
2
max bLaLbLEIL
Fbay −+−=
 
0 ≤ x ≤ a 
 
Q=VA 
)]3([
2
2232
3 bLxLLbL
FbMf a −+−−= 
 
a ≤ x ≤ L 
 
Q=- VB 
)33(
2
2
3
2
axaLLxL
L
FaMfb +−−= 
 
Viga com engaste e apoio simples e carga distribuída 
 
0== BA HH 
 
8
5WLVA = 8
3WLVB = 
 
8
2WLM A −= 
 
WxWLQ −=
8
5
 
 
)54(
8
22 LLxxWMf +−−= 
 
EI
WLy
185
4
max = 
 
Henriqs
Rectangle