Vetorial- prova 2 (resolvida)

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G A B A R I T O
Exame N. 2 - retas e planos
� Considere os planos: � : x+ y � z = 1; � : �x+ y = 0 e 
 : x� y �p6z = p6:
01. Determine (�; 
) ; o angulo entre os planos � e 
:
Solução: Temos que cos (�; 
) = jcos (~n�; ~n
)j, sendo ~n� e ~n
 os vetores normais aos
planos � e 
, respectivamente. Ora, ~n� =~i+~j � ~k e ~n
 =~i�~j �
p
6~k, e sendo assim:
cos (~n�; ~n
) =
j~n� � ~n
j
k~n�k k~n
k =
p
6p
3
p
8
=
1
2
:
Logo, o angulo entre os planos � e 
 é �=3 radianos ou 60o:
02. Encontre, na forma paramétrica, a reta r interseção de � e �:
Solução: A reta interseção de � e � é descrita pelo sistema:������ x+ y � z = 1�x+ y = 0
onde vemos que y = x e z = 2x � 1: Considerando x = t, obtemos y = t e z = �1 + 2t.
Assim, a reta r é descrita na forma paramétrica por:���������
x = t
y = t
z = �1 + 2t
03. Determine o ponto onde a reta r fura o plano 
. Esse é o ponto comum aos três planos.
Solução: Substituindo x; y; e z encontrados no ítem 02, na equação do plano 
, obtemos
t� t�
p
6 (�1 + 2t) =
p
6) t = 0
e o ponto procurado é A (0; 0;�1) :
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� Considere o plano � : 2x� y + z = 6 e escolha um ponto A fora do plano �.
04. Encontre, na forma paramétrica, a reta que passa no ponto A e é ortogonal ao plano �:
Solução: Escolhamos o ponto A (0; 0; 1) ; fora do plano �; e o vetor ~v = 2~i�~j+~k, paralelo
à reta r procurada. As equações paramétricas da reta são:���������
x = 2t
y = �t
z = 1 + t
05. Determine o ponto do plano � mais próximo do ponto A:
Solução: Substituindo os valores de x; y e z encontrados em 04 na equação do plano �,
obtemos:
2 (2t)� (�t) + (1 + t) = 6) t = 5=6:
Esse valor de t produz o ponto B (5=3;�5=6; 11=6) da reta r:
06. Calcule d (A;�) ; a distância do ponto A ao plano �:
Solução: O cálculo da distância d (A;�) se reduz ao cálculo da distância entre os pontos
A e B. Temos, portanto:
d (A;�) = d (A;B) =
q
(0� 5=3)2 + (0 + 5=6)2 + (1� 11=6)2 = 5=
p
6
� Considere a reta r : x� 1�1 = y � 1 =
z
2
e o ponto A (1; 1; 1) :
07. Veri…que que o ponto P (1� t; 1 + t; 2t) jaz sobre a reta r e calcule o valor de t de modo
que o ponto P seja o ponto da reta r mais próximo do ponto A:
Solução: Na forma paramétrica a reta r é descrita por:���������
x = 1� t
y = 1 + t
z = 2t
onde observamos que o ponto P tem as coordenadas descritas na equação da reta, isto é, o
ponto P está (jaz) sobre a reta r. O ponto P será o mais próximo do ponto A no instante
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que
�!
AP � ~v = 0;
onde ~v = �~i + ~j + 2~k é o vetor diretor da reta. A equação �!AP � ~v = 0 nos dá 6t � 2 = 0,
isto é, t = 1=3: Dessa forma encontramos P (2=3; 4=3; 2=3) :
08. Calcule d (A; r) ; a distância do ponto A à reta r:
Solução: A distância d (A; r) do ponto A á reta r é igual a d (A;P ). Temos:
d (A; r) = d (A;P ) =
q
(1� 2=3)2 + (1� 4=3)2 + (1� 2=3)2 =
p
1=3
� Considere as retas r1 : x = 1�t; y = 1+t; z = 2t e r2 : x = s; y = 1�s; z = 2+2s
e sobre essas retas dois pontos genéricos A (1� t; 1 + t; 2t) e B (s; 1� s; 2 + 2s) :
09. Calcule s e t, de modo que o segmento AB seja ortogonal às retas r1 e r2, simultanea-
mente. Os valores de s e t ocorrem quando
�!
AB � ~v1 = 0 e �!AB � ~v2 = 0:
Solução: Temos que
�!
AB = (s+ t� 1)~i+(�s� t)~j+(2 + 2s� 2t)~k e os vetores diretores
de r1 e r2 são, respectivamente, ~v1 = �~i+~j + 2~k e ~v2 =~i�~j + 2~k: Assim:
�!
AB � ~v1 = 0) 2s� 6t = �5
�!
AB � ~v2 = 0) 6s� 2t = �3
e resolvendo o ssitema, encontramos t = 3=4 e s = �1=4: Os pontos A e B são, portanto,
A (1=4; 7=4; 3=2) e B (�1=4; 5=4; 3=2) :
10. Calcule d (r1; r2) ; a distância entre as retas r1 e r2:
Solução: O cálculo da distância d (r1; r2) se reduz ao cálculo da distância entre os pontos
A e B. Temos, portanto:
d (r1; r2) = d (A;B) =
q
(�1=4� 1=4)2 + (5=4� 7=4)2 + 02 = 1p
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