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5 – Oscilações Física II Prof. Roberto Claudino Ferreira 1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Departamento de Estudos Básicos e Instrumentais 2 ÍNDICE 1. Algumas Oscilações; 2. Movimento Harmônico Simples (MHS); 3. Pendulo Simples; 4. Velocidade MHS; 5. Aceleração MHS; 6. Energia MHS; 7. MHS amortecido; 8. Oscilações Forçadas e Ressonância. Prof. Roberto Claudino 3 OBJETIVO GERAL Alcançar um entendimento das leis, princípios, grandezas e unidades de medidas que envolvem o estudo da oscilações, assim como suas aplicações práticas, através de abordagens conceituais, históricas e demonstrações matemáticas. Prof. Roberto Claudino 4 O que é Oscilação Efeito exprimível como uma quantidade que repetidamente e regularmente flutua acima e abaixo de algum valor médio. Prof. Roberto Claudino 5 Algumas Oscilações Prof. Roberto Claudino Ondas. Ondas de superfície. O Pêndulo. As principais formas de oscilação podem ser reduzidas a sistemas do tipo. Massa - Mola. Generalidade das Oscilações 7 Movimento Harmônico Simples (MHS) Prof. Roberto Claudino A BC h As oscilações de um corpo se caracterizam pelo período que apresentam e pela amplitude que alcançam. É possível explicar o (MHS) fazendo uma analogia com o sistema de pendulo simples. 8 Movimento Harmônico Simples (MHS) Prof. Roberto Claudino A BC h O seu valor também pode ser medido pela frequência (f), conhecendo o número de oscilações por unidade de tempo O período (T) corresponde ao intervalo de tempo de uma oscilação completa (vaivém). 9 Movimento Harmônico Simples (MHS) Prof. Roberto Claudino O período (T) tem unidade de medida no SI em segundos (s). E a frequência (f) em hertz, onde T = 1/f. )cos()( txtx m Deslocamento Amplitude Frequência Angular tempo Ângulo de Fase f 2 (1) (2) Movimento do Pêndulo Simples cteEEE MCMBMA max 0 0 P C C E E v max 0 0 P C B E E v A A B A BC h Num sistema conservativo, a energia mecânica total permanece constante. 0 max max P C E E v 11 Analogia: Pendulo e Oscilador Massa - Mola Prof. Roberto Claudino O movimento executado pelo pêndulo simples é semelhante ao do sistema massa-mola. 0 0 0 0 0 0 0 0 12 Velocidade do MHS Derivando (1) obtemos a expressão da velocidade de uma partícula em movimento harmônico simples. (3) Velocidade (4) Prof. Roberto Claudino )]cos([ )( )( tx dt d dt tdx tv m )()( tsenxtv m 13 Aceleração do MHS Derivando (4) obtemos a expressão da aceleração de uma partícula em movimento harmônico simples. (5) Aceleração (6) Combinando (1) com (6), temos: (7) Prof. Roberto Claudino )]([ )( )( tsenx dt d dt tdv ta m )cos(²)( txta m )(²)( txta 14 A lei do MHS Conhecendo como a aceleração de uma partícula varia com o tempo, podemos substituí-la na 2ª lei de Newton: (8) (9) (10) A equação (10) é uma força restauradora proporcional ao deslocamento, (Que é a Lei de Hooke). (11) (12) Prof. Roberto Claudino xmF xmF maF )( )( 2 2 2mk kxF 15 A lei do MHS A equação (10) pode ser uma definição alternativa para o MHS: O (MHS), é um movimento executado por uma força proporcional ao deslocamento da partícula e de sinal oposto. Isolando a frequência angular em (12): (13) 1º Problema: Mostre que: Combinando (13) com a frequência, encontramos o período do oscilador linear: (14) Prof. Roberto Claudino m k k m T 2 16 2º Problema: Um bloco cuja massa m é 680g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x = 11cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. (a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante? (b) Qual a amplitude das oscilações? (c) Qual a velocidade máxima (vm) do bloco e onde se encontra o bloco quando tem essa velocidade? (d) Qual o módulo (am) da aceleração máxima do bloco? Prof. Roberto Claudino 17 A Energia do MHS Energia Potencial: (15) Substituindo (1) em (15): (16) Energia Cinética: (17) Substituindo (4) em (16): (18) Prof. Roberto Claudino ² 2 1 )( kxtU ² 2 1 )( mvtk )²(cos 2 1 ² 2 1 )( 2 tkxkxtU m )²( 2 1 ² 2 1 )( 22 tsenxmmvtK m 18 A Energia do MHS Substituindo (13) em (18): (19) Energia Mecânica é dado por: E = K + U, substituindo (16) e (19), temos: (20) (21) (22) Prof. Roberto Claudino )( 2 1 )(cos 2 1 2222 senkxkxE mm )²( 2 1 )( 2 tsenmx m k tK m )]()([cos 2 1 222 senkxE m 2 2 1 mkxE 1 19 Pendulo Simples Prof. Roberto Claudino T P mgP Eixo horizontal Do movimento F S L P x F P F S Como θ é muito Pequeno h = L L xgm F Sendo: amF L xgm am L xg a L g x a 2 T g L T 2 L g T 2 xa 2 (7) x a (22) Período do Pêndulo Simples 20 MHS Amortecido Prof. Roberto Claudino Ocorre quando uma força externa reduz seu movimento. Ex: Um pendulo tende a perder seu movimento com o passar do tempo, devido aos efeitos da força de atrito do ar que “rouba” energia do pendulo. Para um sistema massa mola com uma força amortecedora, como o atrito com a água, temos: b = Constante de amortecimento. v = velocidade do bloco. bvFa Força de amortecimento KxFm Força exercida pela mola no bloco (23) (24) 21 MHS Amortecido A força resultante no sistema fica: Substituindo (v) e (a) por suas derivadas: A solução desta equação fica: Onde ω’ é a frequência angular que é dada por: Se b=0 eq.(27) se torna eq. (1). A energia makxbv )cos()( '2/ textx mbtm (25) (26) 0 ² ² kx dt dx b dt xd m (27) ²4 ² ' m b m k (28) mbt mekxtE /2 2 1)( (29) 22 3º Problema: Para um oscilador amortecido composto de um sistema massa mola fixado num teto e amortecido por uma palheta que fixada no bloco, mergulha em um recipiente de água a qual causa resistência ao movimento. Sendo m = 250g, k = 85 N/m e b = 70 g/s. (a) Qual o período do movimento? (b) Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial? (c) Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial? Prof. Roberto Claudino 23 Oscilações Forçadas e Ressonância Prof. Roberto Claudino Ocorre quando uma força externa aumenta seu movimento. Ex: Uma criança no balanço sem que ninguém o empurre, constitui uma oscilação livre. Porém se alguém o empurra temos uma oscilação forçada. A ressonância ocorre quando a frequência angular natural (ω) coincide com a frequência angular da força externa (ωe). (ω=ωe). Dando valores máximos para a velocidade e a amplitude. Efeitos da ressonância. )cos()( txtx em (29) Efeito do vento na estrutura de uma ponte incorretamente projetada. Ponte de Tacoma (1940) Simulação computacional do efeito do vento na estrutura de uma ponte.Resumo das equações
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