Lista de Exercícios I

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CÁLCULO I 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
L I S T A D E E X E R C Í C I O S I
Inst i tuto de Matemática e Computação/ Unife i
U n i f e i , I t a j u b á - M G • w w w. u n i f e i . e d u . b r
Lista de Exercícios
1) Calcule, justificando, os limites abaixo sem utilizar 
derivadas.
a) lim
x→−1
x3 +1
x2 +1 
b) lim
x→−1
x2 −1
x2 + 3x + 2 
c) lim
x→1
x3 − 3x + 2
x4 − 4x + 3
d) lim
h→0
x + h( )3 − x3
h
e) lim
x→5
x2 − 5x +10
x2 − 25
f) lim
x→2
x2 − 2x
x2 − 4x + 4
g) lim
x→1
1
1− x −
3
1− x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
h) lim
x→7
2 − x − 3
x2 − 49
i) lim
x→8
x − 8
x3 − 2
j) lim
x→1
x −1
x3 −1
k) lim
x→0
1+ x − 1− x
x
l) lim
h→0
x + h − x
h (x>0)
m) lim
x→3
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
n) lim
x→2
sen(x)
x
o) lim
x→0
sen(3x)
x
p) lim
x→0
sen(π x)
3π x
q) lim
x→0
1− cos(x)
x2
r) lim
x→a
sen(x)− sen(a)
x − a
s) lim
x→a
cos(x)− cos(a)
x − a
t) lim
x→−2
tan(π x)
x + 2
u) lim
x→π4
sen(x)− cos(x)
1− tan(x)
v) lim
x→0
cos(mx)− cos(nx)
x2
w) lim
x→π
1− sen x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
π − x
x) lim
x→0
tan(x)− sen(x)
x3
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1
y) lim
x→0
1+ sen(x) − 1− sen(x)
x
z) lim
x→0
3x −1
x
aa) lim
x→0
π x −1
x
bb) lim
x→0
ax −1
x (a > 0) 
cc) lim
h→0
e x+h( ) − ex
h
dd) lim
x→0
1− e− x
sen(x)
2) Discuta a Continuidade das funções abaixo
a) f (x) = x
3 − x − 3 se x < 2
5 − x se x ≥ 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
b) g(x) = 2x +1 se x ≤ 3
−x2 + 8x − 8 se x > 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
c) h(x) =
x2 +1 se x >1
x +1 se -1<x ≤1
x −1 se x ≤ −1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
d) f (x) = xsen
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ se x ≠ 0
0 se x = 0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
e) g(x) = e
2x−1 se x ≤1
ln −x2 −1 se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
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2
3) Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo
a) y = x5 − 4x4 − 3x +1
b) y = 3x + 2( ) x −1( )
c) y = 2x + 3x2 − 5x + 5
d) y = 22x −1 −
1
x
e) y = 1+ x1− x
f) y = 5sen(x)+ 3cos(x)
g) y = sen(x)+ cos(x)sen(x)− cos(x)
h) y = tan(x)− cot(x)
i) y = ex x − 3( )
j) y = e
x cos(4x)
3x +1
k) y = 3+ x
2( )4
ecos(4 x )
l) y = ln cos 6x( )( )
m) y = log x +1sec(x + 3)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n) y = 1+ arcsen(x)
o) y = sec(x)
p) y = csc(x)
q) y = tan(x)
r) y = cot(x)
s) y = xex + x
t) y = tan2(5x)
u) y = arctan ln(x)( )
v) y = eln π( )
w) y = arcsen cos 2x( )( )
x) y = log3
cos x3( )
x2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
y) y = senh(x) = e
x − e− x
2
z) y = cosh(x) = e
x + e− x
2
aa) y = tanh(x) = senh(x)cosh(x)
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3
4) Calcule, se possível, os limites abaixo.
a) lim
x→1
x3 − 2x2 − x + 2
x3 − 7x + 6
b) lim
x→0
xcos(x)− sen(x)
x3
c) lim
x→∞
= e
x
x5
d) lim
x→∞
= ln(x)
x
1
3
e) lim
x→0
1− cos(x)( )cot(x)
f) lim
x→1
x
x −1 −
1
ln(x)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
g) lim
x→0
1+ x2( )
1
x
h) lim
x→∞
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
tan(x )
i) lim
x→∞
x − sen(x)
x + sen(x)
5) Faça um estudo completo das funções abaixo, indicando o seu domínio, os pontos de descontinuidade, os seus extre-
mos, os intervalos de crescimento e decrescimento, seus pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais e faça 
um esboço de seu gráfico.
a) y = x3 − 3x2
b) y = xe− x
c) y = 4
4 − x2
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4
d) y = ln(x)x
e) y = 2 + x2( )e− x2
f) y = ex − x
g) y = senh(x) = e
x − e− x
2
h) y = cosh(x) = e
x + e− x
2
i) y = 1− x3
6) Resolva os problemas abaixo
a) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 60cm3. Os seis lados da caixa são feitos de 
metal com 1/4 cm de espessura. Se o preço do metal que vai ser usado na fabricação da caixa é de R$ 0,80 por cm3 use 
diferenciais para encontrar o valor aproximado de todo o metal necessário.
b) Use diferenciais para obter o número aproximado da área de uma esfera, quando o raio varia de 2 a 2,02 pés.
c) A altura de um cone circular reto é duas vezes o raio da base. A medida encontrada da altura é de 12 cm, com uma 
possibilidade de erro de 0,005cm. Encontre o erro aproximado no cálculo do volume do cone.
d) A resistência elétrica R de um fio é proporcional aos seu comprimento l e inversamente proporcional ao quadrado de 
seu diâmetro d. Suponha que a resistência de um fio de comprimento dado(fixo) , seja calculada a partir do diâmetro 
com uma possibilidade de erro de 2% na medida do diâmetro. Encontre a possível porcentagem de erro no cálculo do 
valor da resistência.
e) O volume de um balão esférico (em pés cúbicos) t horas após 13:00 é dado pela equação V (t) = 43π 9 − 2t( )
3 , com 
0 ≤ t ≤ 4 . Qual a variação média do volume por unidade de variação de tempo entre t = 0 e t = 4 . Qual a taxa de 
variação do volume por unidade de variação de tempo às 16 horas.
f) A relação entre a temperatura F, na escala Fahrenheit, e a temperatura C, em Celcius, é dada por C = 59 F − 32( ) . 
Qual a taxa de variação de F em relação a C?
g) Lança-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pés após t segundos dada por 
s(t) = 144t −16t 2 . Obtenha a velocidade e a aceleração iniciais e no instante t = 3s . Qual a altura máxima 
atingida? Quando o objeto atinge o solo?
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5
h) Uma escada com 5m de comprimento está apoiada numa parede vertical . Sua base , apoiada no chão, está sendo em-
purrada na direção da parede a uma velocidade de 0,5m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada(apoiada na 
parede) se move quando a base está a 4 m da parede?
i) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. Um garoto está empinando o papagaio de maneira que este 
se move horizontalmente a uma razão de 3m/s. Se a linha está esticada, com que razão o garoto deve dar linha quan-
do o comprimento da corda solta é 50 m.
j) Um tanque de água com forma de cone invertido e altura igual ao diâmetro está sendo enchido à razão de 3m3 / s . 
Qual a velocidade com que o nível de água sobe quando a parte cheia com água têm 2 m de altura?
k) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de largura. O ponto C está na mesma 
margem que B, rio abaixo. Uma compania telefônica deseja estender um cabo de A até C . Se o custo por km do cabo é 
25% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria mais econômica para a companhia?
l) Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem 200 cm de comprimento.
m) Roger Federer, o melhor tenista de todos os tempos, comprou uma Smart TV nova para assistir à Copa do Mundo. A 
TV tem uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distância dos olhos de Federer, quando ele estiver conforta-
velmente sentado em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando ε vezes o que deveriam para ganhar a 
copa ε → 0( ) . Sabendo que os olhos de Federer, ao sentar-se, estão a 1,5m de altura do solo e num nível entre os 
bordos inferior e superior da TV, a que altura do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão do maior 
recordista de Slams vencidos seja máximo?
7) Calcule as integrais abaixo.(Dica: a técnica mais complexa para resolver as integrais abaixo é a troca de variável, 
porém em alguns casos não é necessário.)
a) 5 + x − 6x2( )dx
−2
3
∫
b) 2r + 7 dr
1
9
∫
c)
2x +1( )2
2x dx∫
d) sec2(5x)dx∫
e)
ex
1+ e2x dx0
1
∫
f) 3x +1( )4 dx∫
g)
ln(x)
x dx∫
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6
h) x2 csc x3( )cot x3( )dx∫
i)
1
4 + 9x2 dx∫
j) xex2∫ dx
k)
e2x
4 + e2x
dx∫
l) ∫ x − 2x2 − 4x + 9 dx
m)
1
cos(2x)∫ dx
n)
ex
cos(ex ) dx∫
o) 2x
2 − 5x − 7
x − 3∫ dx
p) ∫ sen
2(x)
sec(x) dx
q)
1
x (1+ x)∫ dx
r)
ex − e− x
ex + e− x∫ dx
s)
sec 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 dx∫
t) sen∫ (2x) tan(2x)dx
u)
1
x ln(x)( )2
dx∫
v)
ex
ex +1∫ dx
w)
1
e2x − 25∫ dx
x) sec2(x) 1+ tan(x)( )2 dx∫
y)
ex +1( )
ex∫ dx
z)
1
x x4 −1∫ dx
aa) ∫ tan e
−3x( )
e3x dx
bb) 5x∫ exdx
cc) ∫ sec
2(x)
2 tan(x)+1dx
dd)
x −1
3x2 − 6x + 2∫ dx
ee) 1+ cos2(x)( )sen(x)dx∫
ff) ∫ t 4 − t 2( ) 10t 3 − 5t 2( )dt
gg) ∫ y + y−1( )2 dx
hh) ∫ x + csc(8x)( )dx
ii)
1
x2 +16∫ dx
jj)
3x
3x + 4∫ dx
kk) sen(x)ecos(x )+1 dx∫
ll)
sec(x) tan(x)
1+ sec2(x) dx∫
mm) csc2(x)2cot(x ) dx∫
nn)
ecos(x )
csc(x) dx∫
oo) xcot(x2 )dx∫
pp)
1
x x6 − 4∫ dx
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7
8) Utilize as técnicas de integração 
para calcular as integrais abaixo.
a) x∫ e2xdx
b) ln(x)dx∫
c) sec3(x)dx∫
d) cos3(x)dx∫
e) sen5(x)dx∫
f) sen4 (x)dx∫
g) cos2(2x)dx∫
h) sen3(x)cos4 (x)dx∫
i) cos(3x)sen(2x)dx∫
j) tan3(x)sec2(x)dx∫
k) sec4 (x)dx∫
l)
1
x 4 − x2
dx∫
m)
1
9 + x2∫ dx
n)
x2 −1
x∫ dx
o)
x2
4 − x2∫ dx
p) x∫ x2 + 9dx
q)
x2 +1
x∫ dx
r)
1
x4 x2 − 4∫ dx
s)
3
2x + 5( )2
dx∫
t)
x + 5
x2 + 6x +13∫ dx
u) ∫ 1
4x2 − 4x + 2( )2
dx
v)
6x − 9
x2 −1∫ dx
w)
x2 + x + 2
x + 3( ) x +1( )2
dx∫
x)
x3 + 3x − 2
x2 − 2 dx∫
y)
x5
x2 + 4( )2∫
dx
z)
x6 − x3 +1
x4 + x2∫ dx
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