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Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 1 Unidade 1 Conjuntos e Números naturais Metas Esta unidade apresenta a noção matemática de conjuntos, introduzindo este importante conceito para a estruturação do estudo da matemática. Trataremos ainda do conjunto numérico compreendido pelos números naturais, que traduz o processo de contagem. Objetivos Ao final desta unidade você deve: reconhecer conjuntos e elementos, relacionando-os por pertinência ou por inclusão; realizar operações de união, interseção e diferença entre conjuntos; conhecer os números naturais, assim como a sua representação em notação decimal; saber resolver problemas práticos por meio de contagem; saber aplicar métodos alternativos de contagens; conhecer uma representação geométrica dos números naturais; conhecer as duas operações básicas entre números naturais; entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos em contextos de Biologia. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 2 Conjuntos: Noções iniciais Parabéns! Você está dando início ao seu curso de Ciências Biológicas e estamos muito felizes em poder participar do começo de sua formação, através da revisita a alguns conceitos de Matemática que serão fundamentais para o bom desenvolvimento da sua graduação. É bom ter você conosco! Mas logo Matemática, pra que isso? Você escolheu Biologia! Por que então estudar Matemática? Mas você sabia que a Matemática ajuda muito no desenvolvimento dos estudos biológicos? Quer ver alguns exemplos? Verifique em http://cienciahoje.uol.com.br/noticias/2012/10/biologia-e-matematica-aplicadas-e- combinadas Você está matriculado no Consórcio CEDERJ, que é um conjunto de universidades públicas (UFRJ, UERJ, UNIRIO, UENF, UFRRJ, UFF) que se reuniram para oferecer cursos a distância. Atualmente, o Consórcio CEDERJ oferece um conjunto de cursos que transitam por diversas áreas: Administração, Administração Pública, Licenciatura em Ciências Biológicas, Licenciatura em Física, Licenciatura em História, Licenciatura em Letras, Licenciatura em Matemática, Licenciatura em Pedagogia, Licenciatura em Química, Licenciatura em Turismo, Tecnologia em Sistemas de Computação e Tecnologia em Turismo. A disciplina de Matemática Básica era oferecida para o curso de Biologia, mas quando consideramos as especificidades deste curso, percebemos as vantagens de se construir um curso de Matemática Básica específica para o curso de Biologia, com um conjunto de conteúdos voltados para o desenvolvimento instrumental dos estudos biológicos. Neste conjunto de conteúdos, podemos listar o estudo dos números e suas operações, linguagem algébrica (produtos notáveis, fatoração e equações), funções (noções iniciais, função afim, quadrática, exponencial e logarítmica). Nossa... como falamos em conjunto nos parágrafos anteriores! Mas que outra palavra poderíamos usar para substituir esta? Difícil, concorda? Esta é uma palavra que contém tanto significado associado a ela que é usada para definir um objeto matemático fundamental para a construção desta ciência e que é o tema do estudo desta unidade: os conjuntos em Matemática. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 3 Os conjuntos para a Matemática são a estrutura que usamos para organizar elementos e objetos que estejam em uma mesma categoria, ou seja, que apresentem alguma propriedade comum. Por exemplo, podemos pensar no conjunto dos polígonos (figuras planas fechadas formadas por segmentos de retas), que contém o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos triângulos, o conjunto dos pentágonos etc. Outro exemplo pertinente aqui é a organização dos seres vivos segundo as orientações da Biologia. A estrutura é formada pelo grande conjunto dos seres vivos no qual estão encontram contidos vários subconjuntos, esquematizados em ordem decrescente de dimensão como reino, filo, classe, ordem, família, gênero e espécie. Fonte: http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20- %20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf, acessado em 23/01/2013. Nesse modelo, são considerados cinco grandes conjuntos de seres vivos, chamados reinos: Plantae (plantas), Animalia (animais), Fungi (fungos), Protista (algas e protozoários) e Monera (bactérias e cianobactérias). Mais recentemente, um novo reino, denominado Chromista, foi proposto por Cavalier-Smith, em 1998, englobando os seres informalmente denominados como algas e alguns outros originalmente classificados como fungos. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 4 http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20- %20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf, acessado em 23/01/2013. Quer saber mais sobre isso? Consulte http://educar.sc.usp.br/ciencias/ ou http://www.zoo.feis.unesp.br/. Nestes nossos exemplos, um polígono é elemento do conjunto dos polígonos, assim como um losango é elemento do conjunto dos quadriláteros e um triângulo retângulo é elemento do conjunto dos triângulos. Da mesma forma, um urso e um gato são elementos do conjunto do reino Animalia e um arbusto, ou uma samambaia são elementos do conjunto do reino Plantae, sendo ainda todos (o urso, o gato, o arbusto e a samambaia) elementos do conjunto dos seres vivos. Um elemento qualquer sempre pertence ( ou não-pertence à algum conjunto. E, conjuntos também podem pertencer a conjuntos? Há situações em que todos os elementos de um conjunto também são elementos de outro conjunto. Todos os insetos, por exemplo, são elementos do conjunto dos seres vivos, mas também são elementos do conjunto dos animais do reino Animalia, do filo Artrópode e assim sucessivamente. Da mesma maneira, todos os quadrados são elementos do conjunto dos quadriláteros e ainda todos os quadriláteros são elementos do conjunto dos polígonos. Isso equivale a dizer que o conjunto dos insetos é subconjunto do conjunto dos seres vivos, ou que o conjunto dos quadrados é subconjunto do conjunto dos quadriláteros e do conjunto dos polígonos, sendo também o conjunto dos quadriláteros um subconjunto do conjunto dos polígonos. Quando um conjunto é subconjunto de outro conjunto, dizemos que o primeiro está contido no Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 5 segundo ou ainda que o segundo conjunto contém o primeiro. Entretanto, quando um conjunto tem quase todos os seus elementos pertencentes a um outro conjunto, excetuando-se algum, não podemos dizer que o primeiro é subconjunto do segundo . Fique atento aos conjuntos indicados abaixo e responda às atividades propostas a seguir. A – conjunto dos seres vivos do reino Animalia. B – conjunto dos números ímpares. C – conjunto dos quadriláteros. D – conjunto dos Estados da região Sudeste. E – conjunto das estruturas (orgânulos) das células encontradas no citoplasma. F – conjuntodos seres vivos da classe dos vertebrados. G – conjunto dos números naturais. H – conjunto dos Estados do Brasil. Atividade 1 – Escreva utilizando os símbolos vistos acima. a) Rio de Janeiro pertence ao conjunto dos Estados da região Sudeste. b) Bahia não pertence ao conjunto dos Estados da região Sudeste. c) Mitocôndria pertence ao conjunto das estruturas celulares encontradas no citoplasma. d) Intestino não pertence ao conjunto das estruturas celulares encontradas no citoplasma. e) Retângulo pertence ao conjunto dos quadriláteros. f) Cachorro pertence ao conjunto dos seres vivos do reino Animalia. g) Borboleta não pertence ao conjunto dos vertebrados. Atividade 2 – Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso): a) São Paulo D b) Brasil H c) 21 B d) 21 G e) Sabiá F f) Peixe A g) G B h) H D i) F A j) B G k) A C l) H B Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 6 Conjuntos: Operações (união, interseção e diferença) Usamos o símbolo de (união) para juntar os elementos de dois conjuntos. Assim, se temos dois conjuntos A e B, o conjunto A B é o conjunto formado pelos elementos que estão em A ou estão em B. O símbolo (interseção) é usado para destacar os elementos que estão ao mesmo tempo em dois conjuntos. Isso quer dizer que, se temos dois conjuntos A e B, o conjunto A B é o conjunto formado pelos elementos que estão em A e também estão em B. Vamos fazer uma atividade em que utilizamos e ? D. Sônia acaba de chegar do supermercado e está arrumando as compras na despensa. Ela é muito organizada e gosta que tudo fique arrumado bem direitinho! Lógico, assim ela facilita o seu trabalho, fica muito mais fácil encontrar as coisas, quando elas estão bem organizadas... Pois é, nessa organização, ela agrupa os itens que trouxe do supermercado, conforme características que eles têm, seja quanto ao tipo de embalagem, seja quanto ao tipo de produto, contido nestas embalagens. Por exemplo, quanto ao tipo de embalagem, D. Sônia estabeleceu algumas categorias, como latas ou caixas; em relação aos tipos de produtos comprados, D. Sônia organizou em alimentos ou limpeza. Veja alguns itens que D. Sônia trouxe nas suas últimas compras: Refrigerante 2L Detergente Sabão em pó Atum sólido Leite em caixa Inseticida Spray Óleo de Soja Creolina Leite em pó Leite de soja com fruta Sabão líquido Iogurte 1L Atividade 3 – A imagem abaixo apresenta uma visão superior de uma das prateleiras da despensa de D. Sônia. Na região de cor vermelha (A), ela vai colocar os alimentos que ela trouxe do supermercado e na região de cor verde, ela vai arrumar os produtos embalados em lata que ela trouxe nestas mesmas compras (T). Vamos ajuda-la? Organize na figura os produtos que D. Sônia comprou! A seguir, responda às perguntas propostas abaixo: Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 7 a) Você conseguiu arrumar todas as compras de D. Sônia nestas prateleiras? b) Que produtos ficaram na prateleira A dos alimentos? c) Que produtos ficaram na prateleira T das latas? d) Que produtos ficaram nas duas prateleiras ao mesmo tempo? e) Que produtos ficaram de fora dessas prateleiras? Atividade 4 Vamos organizar as compras de D. Sônia nos conjuntos A dos alimentos, L de limpeza, C dos produtos embalados em caixas e T dos produtos embalados em latas. Escreva no seu caderno os conjuntos A, L, C e T, representando seus elementos entre chaves. Depois de ter feito isso, responda também em seu caderno às perguntas propostas abaixo. a) Se juntarmos os produtos dos conjuntos A e C, quais produtos teremos? A T Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 8 b) Há produtos que estejam ao mesmo tempo em A e C? Quais são eles? c) Juntando L e C, que produtos encontramos? d) Há produtos que estejam ao mesmo tempo em L e T? e) Juntando A e L, que produtos obtemos? f) Há produtos que estejam em C e T simultaneamente? Atividade 5 Você se lembra da copa do mundo de 2006? Que países participaram dessa copa? Nossa, não tem muito tempo, mas já ficou tão distante! A seguir, colocamos uma tabela identificando esses países. Figura 5 - países participantes da Copa da Fifa 2006 Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_sele%C3%A7%C3%B5es_participantes_da_Copa_do _Mundo_FIFA_de_2006. E em 2010? Está mais recente! Vamos ver quais foram os países? Figura 6 - países participantes da Copa da FIFA 2010 Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Copa_do_Mundo_FIFA_de_2010 Pense em dois conjuntos: o conjunto S (de seis), com as seleções centro ou sul- americanas que participaram da copa de 2006 e o conjunto D (de dez) com as seleções centro ou sul-americanas, participantes da copa de 2010. a) Quantas seleções existem no conjunto S? Quais são elas? b) Escreva o conjunto o D? Quantas seleções pertencem à este conjunto? Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 9 c) Que seleções centro ou sul-americanas participaram das duas edições da copa do mundo de 2006 e de 2010? Represente esse conjunto (vamos chamá-lo de E) como uma operação entre os conjuntos S e D. Quantos elementos existem em E? d) Quando listarmos as seleções centro ou sul-americanas que participaram de pelo menos uma das duas últimas copas do mundo, que seleções seriam estas? Escreva-as no conjunto T. e) Represente T como uma operação entre os conjuntos S e D. Quantos elementos há em T? f) Represente essas seleções no diagrama que se segue. Muito bom! Vamos conhecer mais uma operação com conjuntos! É a Diferença entre conjuntos. Veja! A diferença entre dois conjuntos é a operação que resulta nos elementos que pertencem ao primeiro conjunto e não pertencem ao segundo conjunto. Representamos a diferença entre dois conjuntos por um sinal de menos ( ) ou ainda por uma barra invertida ( \ ). Para não gerarmos confusão, vamos usar nesse material apenas o sinal de menos ( ), combinado? Bem, ficamos assim então: se temos dois conjuntos A e B, então o conjunto A B é o conjunto dos elementos que estão no conjunto A e não estão no conjunto B. S D Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 10 Atividade 6 Vamos retomar então a atividade 5 e responder a alguns itens adicionais. a) Quais seriam as seleções que integrariam o conjunto S D? b) Que seleções estão no conjunto D S? c) As respostas aos itens (a) e (b) foram iguais? Por quê? Atividade 7 Vamos usar novamente os conjuntos A dos alimentos, L de limpeza, C dos produtos embalados em caixas e T dos produtos embalados em latas que vimos na atividade 4? Com base no que você fez naquela atividade, responda em seu caderno aos itens propostos abaixo! a) Que elementos estão no conjunto resultante de A T? b) Que elementos estão noconjunto resultante de T A? c) Que elementos estão no conjunto resultante de C A? d) Usando a operação diferença entre conjuntos, represente o conjunto que contém os produtos de limpeza que não estão acondicionados em latas. e) Novamente, usando a operação diferença entre conjuntos, represente o conjunto que contém os produtos acondicionados em caixas que não podem ser ingeridos como alimentos. Vamos praticar mais um pouco? Atividade 8 O curso de biologia de uma grande Universidade promoveu um estudo sobre as áreas em que seus alunos pretendiam se especializar. Dentre os 80 estudantes de Biologia investigados, percebeu-se que 50 pretendem especializar-se em botânica, 40 em zoologia e 30 em genética. Dentre os futuros botânicos, 15 não pensam em mais nenhuma outra área, 6 gostam de zoologia, botânica e genética, 22 simpatizam também com zoologia e não pensam em se aperfeiçoar em genética. Sabe-se que apenas um destes estudantes gosta de zoologia e genética e não gosta de botânica. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 11 O diagrama que está abaixo sugere uma organização para estes dados sob a forma de conjuntos. Utilize-o em conjunto com as informações acima para determinar quantos estudantes não gostam nem de botânica, nem de zoologia e nem de genética. Quer experimentar mais sobre esse assunto? Em http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/encomendas/opera_conjuntos/inde x.html encontramos alguns jogos bem interessantes envolvendo operações com conjuntos! Não deixe de visitar! Você viu nesta seção como os conjuntos podem ser encontrados em diversas partes e como eles são úteis para organizar elementos que tenham entre si algum tipo de propriedade em comum. Viu que é possível representar um conjunto simbolicamente e também as relações entre elementos e conjuntos e entre conjuntos. Conheceu as operações entre conjuntos – a união, para juntar os elementos de dois conjuntos, a interseção, para identificar os elementos que dois conjuntos têm em comum, e a diferença, que retira de um conjunto os elementos que estão em outro conjunto. Também usamos os conjuntos, em Matemática, para organizar os números. As estruturas criadas para isso são os chamados conjuntos numéricos. Vamos conhecê-los melhor? Conjuntos Numéricos Números naturais e o processo de contagem Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 12 A noção matemática que representa o processo de contagem é dada pelo conjunto dos números naturais. Bem a grosso modo, o conjunto dos números naturais é caracterizado por ser formado por um elemento, o sucessor deste elemento, o sucessor do sucessor, e assim por diante, sendo que o primeiro elemento mencionado não é sucessor de nenhum outro elemento. O primeiro número natural, aquele que não é sucessor de outro, costuma ser representado pelo algarismo 1. O próximo número natural, isto é, o sucessor de 1, é, então, representado pelo algarismo 2. Na sequência de sucessores, os números naturais seguintes são representados pelos algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, respectivamente. Como o processo de considerar o sucessor do sucessor não termina nunca, o problema de representar qualquer número natural por símbolos variados parece ser um tanto complicado. Felizmente, existe uma forma bem esperta de representar todo número natural somente através dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, além do algarismo 0. O sucessor do 9 é representado por 10, o sucessor do 10 é representado por 11, o do 11 é representado por 12, e assim por diante, até 19. Trabalhando sempre com agrupamentos de elementos de 10 em 10 quantidades, podemos representar qualquer número natural só com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9. A representação dos números naturais de acordo com este método é chamada representação decimal (ou representação na base 10). Segundo a representação decimal, o conjunto dos números naturais pode ser representado parcialmente por = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 21, ..., 100, 101, ..., 140, 141, ...}. Observação: Neste momento, o algarismo 0 tem apenas a função de marcar posição. Por exemplo, sem o zero, o significado de 1 2 poderia ficar confuso. Significa 12 ou 102? O algarismo 0 marcando a posição das dezenas, no caso, ajuda a definir este tipo de questão. A propósito, o homem realiza contagens, com certeza, desde que se organizou em sociedades, a milhares de anos atrás. Contudo, só um pouco antes do séc. XII o Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 13 conhecimento do sistema decimal de representação numérica foi universalizado. Você já parou para pensar sobre como a ideia de representação decimal é engenhosa, leitor? Atividade 9 a) A figura abaixo apresenta uma população de bactérias que um biólogo precisa contar. Vamos ajuda-lo? (Dica: faça grupos de 10 bactérias). b) Esta atividade ajudou você a perceber por que a representação simbólica dos números naturais é eficiente? Por exemplo, veja o espaço ocupado pelas bactérias e o espaço ocupado pela sua resposta. Ou, então, imagine este grupo de bactérias sendo comparado com outro grupo de bactérias. É muito diferente de comparar as quantidades representadas por números? Para entender esta última questão, considere a figura abaixo e diga qual grupo de bactérias tem a maior quantidade. Você consegue responder sem fazer contagem, só pelo aspecto visual? Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 14 Atividade 10 Em ônibus de viagem, temos o assento de número 1 atrás do motorista e perto da janela. O assento de número 2 fica ainda atrás do motorista, mas voltado para o corredor. O assento de número 3 é do lado oposto do corredor e voltado para a janela, enquanto que o assento de número 4 fica perto do corredor. A distribuição dos assentos segue este padrão, só mudando a fila, tendo os assentos numerados até 45, digamos. Por exemplo, o assento de número 5 fica atrás do motorista e perto da janela. Determine o conjunto dos números que representam assentos que estão perto da janela e atrás do motorista. (Faça um esquema gráfico que represente um ônibus e seus assentos.) O próximo exemplo descreve o processo de quantificação de segmentos de reta conhecido como medição de comprimento. Exemplo: Usamos números também para medir o comprimento de segmentos. Para fazer isso, consideramos o seguinte: dada uma reta r, fixamos dois pontos, O e U, pertencentes a esta. O segmento OU é, então, associado ao número 1 e é chamado de segmento unitário ou de unidade de medida de comprimento. O U r 1 Quando temos um segmento na reta r no qual o segmento OU caiba uma n quantidade inteira de vezes, então podemos associar o extremo deste segmento ao Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 15 número natural n. Por exemplo, a posição do número natural 3 é identificada na reta r pela extremidade A do segmento OA demarcado na retar a partir de três justaposições do segmento OU. O U A r O segmento OA coincide com a justaposição de 3 segmentos congruentes a OU, donde o comprimento de OA é 3. A partir destas convenções, temos uma reta graduada. Na reta graduada, o número que é representado por 1 também pode ser representado pelo segmento unidade, OU. Na reta graduada, o número que é representado por 2 também pode ser representado pelo segmento que coincide com a justaposição do segmento OU com o segmento côngruo a este. Assim, no desenho a seguir, que representa uma reta graduada, o segmento OA é uma representação alternativa para 2. Considerando justaposições sucessivas do segmento unidade, obtemos os números naturais representados por segmentos de uma reta graduada. Veja alguns números com as duas representações correspondentes. É sempre interessante fazer a correspondência entre a representação decimal de um número e sua representação na reta graduada, conforme o desenho acima. Contudo, a fim de não sobrecarregar a figura, é mais conveniente marcar a representação decimal sobre a extremidade do segmento correspondente. Fazendo isto, leitor, tente obter a seguinte representação dos números naturais sobre a sua reta graduada. 1 2 3 4 Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 16 Observe como este processo de construção dos números naturais sobre a reta reproduz a ideia que temos sobre os números naturais. Determinamos o primeiro segmento, determinamos o sucessor do primeiro segmento, depois o sucessor do sucessor e assim por diante. Deste modo, acabamos de descrever uma outra maneira de representar os números naturais, a representação geométrica dos números naturais. No desenho anterior, temos as duas representações ao mesmo tempo, a geométrica e a de base 10. Atividade 11 a) No desenho a seguir, a letra a simboliza a representação geométrica de um número. Dê a representação decimal deste mesmo número. b) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? c) No desenho abaixo, a indica a representação geométrica de um número. Note que o desenho não tem as marcas que representam os segmentos múltiplos da unidade. Você é capaz de deduzir quantas vezes o segmento representado por a é maior do que a unidade? Em caso afirmativo, dê a representação decimal de a. d) No desenho deste item, temos uma situação semelhante à do item anterior. Será que agora você consegue deduzir qual é a representação decimal de a? Agora a situação não é tão simples. O nosso conselho é que você faça uso de um compasso ou de um pedaço de papel ou madeira do tamanho da unidade de medida e conte o número de múltiplos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 O U Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 17 e) Seguindo o próximo desenho, dê a representação decimal de a. f) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? Até agora vimos alguns exemplos onde os números naturais foram úteis na comparação de grandezas. Podemos aplicar o conhecimento dos números naturais em outro tipo de problema bem interessante, a saber, o problema de previsão. Exemplo: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura ambiente de 20ºC? Solução: A resposta para este problema pode ser obtida por um simples processo de contagem. Na verdade, é uma contagem especial, pois é preciso contar de 12 em 12, a partir do 200 e diminuindo, mas não deixa de ser uma contagem. A sequência de valores contados pode ser acompanhada na seguinte tabela. x min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y o C 188 176 164 152 140 128 116 104 92 80 68 56 44 32 20 Assim, contando o tempo decorrido, em minutos, e a mudança sucessiva de temperatura, podemos antecipar que o forno vai alcançar a temperatura ambiente depois de 15 minutos. Veja como a contagem realizada nesta questão é interessante, não precisamos esperar passar os 15 minutos para ficar sabendo que o forno alcançou a temperatura Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 18 ambiente. Contudo, é bom ficar claro que isto é uma previsão. Estamos supondo que é isto que vai acontecer (sem precisar esperar os 15 minutos passarem). É evidente que podem aparecer outros fatores capazes de alterar esta previsão. Mas, a princípio, baseado nos dados fornecidos, o tempo de espera de 15 minutos parece ser uma boa estimativa. Por exemplo, se você utilizou um forno em condições semelhantes e possui uma criança pequena em casa, já pode prever que a criança só poderá entrar na cozinha em segurança depois de 15 minutos do forno ter sido desligado. Exemplo: Imagine que você comece a organizar áreas para o plantio experimental e comparado de mudas de uma planta. Estas áreas são organizadas com palitos, formando quadrados, como na figura a seguir, de forma que em cada quadrado fique uma muda e que se possa comparar a altura atingida por cada muda a cada dia, conforme a nutrição e o tratamento dado à terra ali presente. Quantos palitos são necessários para que se possam plantar 17 mudas? Solução: Como temos visto nesta unidade, para resolver este problema, o caminho é fazer uma contagem. Para montar um quadrado, precisamos de quatro palitos. Para montar dois quadrados, precisamos de 7 palitos. Para montar três quadrados, precisamos de 10 palitos. Bom, o processo segue assim, sempre juntando mais 3 palitos para obter um outro quadrado. Ficou com dúvida sobre o processo descrito? Monte os quadrados e verifique os números citados. Percebendo que a sequência de palitos necessários cresce de 3 em 3, a partir do 4, basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de quadrados e a segunda linha representando o número de palitos usados. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 19 Assim, são necessários 52 palitos para que possam ser plantadas as 17 mudas, uma em cada quadrado. Observação: Veja, neste último exemplo, mais um aspecto sobre a previsão matemática. Primeiro, lembre como a contagem já ajudou a antecipar um evento, como no caso de prever quando o forno atingiria a temperatura ambiente, sem precisar esperar o tempo decorrer. Agora, você viu como prever a quantidade de palitos necessários para a construção da sequência de quadrados sem precisar lançar mão de uma grande quantidade de palitos para o experimento, sem precisar arrumar espaço para montar a sequência de quadrados e sem perder tempo montando os quadrados. Com um simples esquema gráfico e a contagem numérica, o problema foi rapidamente resolvido, com grande economiade material, de espaço e de tempo. Atividade 12: Um tanque de criação de peixes foi esvaziado para que pudesse ser limpo. Ele tem capacidade para 1000 litros de água. Para enchê-lo novamente, há uma fonte de água de vazão constante. Como podemos estimar quando a piscina ficará cheia? a) Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para encher o balde, 2 minutos. Baseado nestas informações, faça a previsão de quando o tanque ficará cheio, caso utilize apenas o balde para enchê-lo. (Utilize os recursos de contagem que você aprendeu aqui.) b) Suponha que o tanque, de novo vazio, esteja agora com um pequeno vazamento e que esteja perdendo um litro de água a cada 10 minutos. Refaça a previsão de quando ele ficará cheio. O processo de contagem vai muito além disto. O processo matemático de contagem pode significar também a possibilidade de trabalhar com objetos, mesmo sem tê-los à frente, ou de trabalhar com quantidades inimagináveis. Assim, podemos fazer referências a manadas de elefantes, sem precisar juntá-los em um mesmo lugar. Podemos contar planetas, mesmo que não possamos vê-los. Podemos até falar sobre toda a massa do universo, algo em torno do 1 seguido de 54 zeros, sem precisar percorrer nossa vista sobre cada átomo existente no nosso universo. Vimos, por Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 20 exemplo, que, com a contagem, podemos inclusive adiantar o tempo e estimar prováveis resultados. As operações básicas dos números naturais Para os números naturais, definem-se as operações fundamentais adição e multiplicação. É a partir destas operações que a noção de número se mostra realmente importante. Em particular, muitas vezes temos o processo de contagem bastante simplificado através do uso das operações fundamentais. Exemplo: Voltemos ao problema do forno que é desligado quando a temperatura estava a 200ºC e cuja temperatura diminui 12ºC a cada minuto. Utilizando operações matemáticas, podemos representar o fenômeno da variação de temperatura do forno em função do tempo pela equação y = 12x + 200, onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. Foi pedido para determinar em quanto tempo o forno atinge a temperatura 20 o C, ou seja, quanto vale x quando y = 20. Assim, queremos resolver a equação 20 = 12x + 200. Com alguma habilidade matemática, é fácil encontrar a solução: 12x = 200 20 = 180 x = 180/12 = 15. Assim, o forno chegará à temperatura ambiente após 15 minutos. Exemplo: Voltemos ao problema de determinar o número de palitos para o plantio das mudas. Pelos dados do problema, precisamos de 4 palitos para a primeira mud e, daí por diante, mais 3 palitos para cada nova muda. Assim, a quantidade total de palitos necessária, y, para as x mudas plantadas pode ser expressa matematicamente pela fórmula y = 1 + 3x. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 21 No problema, foi pedido para determinar o número de palitos necessários para que fosse possível plantar 17 mudas. De posse da fórmula, precisamos calcular o valor de y quando x = 17. Portanto, y = 1 + 3x = 1 + 3.17 = 52. Observação: Não foi explicado, mas no futuro (aqui, em nossas aulas, e em outras disciplinas também) vocês verão como obter fórmulas para problemas como os ilustrados aqui. Exemplo: (Área de um retângulo) Uma técnica de estimativa da área ocupada por uma determinada alga é usar uma fotografia superior e quadricular a região, com quadrados, para aí poder-se estimar a área ocupada pela alga. A região representada a seguir tem, no tamanho real, 8cm de altura e 16cm de largura. Ela foi registrada por um estudante deste tipo de alga, que está fazendo uma comparação entre a região ocupada por esta alga há uma semana e a região ocupada por ela hoje. Há uma semana Hoje Para resolver este problema, a imagem foi quadriculada com quadradinhos com 1cm de lado, conforme o esquema a seguir sugere. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 22 Há uma semana Hoje Quando fizemos este quadriculado, como cada quadradinho tem 1cm de lado, então ele representa uma área de 1cm², facilitando a estimativa da área ocupada pela alga em uma e na outra observações. Quantos quadradinhos foram obtidos ao todo quando quadriculou-se a região toda? Como podemos determinar o número de quadrados unitários que compõem este retângulo? Ou seja, como podemos determinar a área deste retângulo? Pelo que vimos até agora, a resposta é muito simples, é só contar a quantidade de quadrados unitários. Entretanto, existe uma forma mais econômica de responder a esta pergunta, sem precisar contar um a um todos os quadrados unitários existentes no retângulo. Se a altura do retângulo mede 8 centímetros é porque ela é formada por uma coluna de 8 quadrados. Se a base do retângulo mede 16 centímetros é porque ela é formada por uma linha de 16 quadrados. Ou seja, o retângulo é formado por 16 colunas, cada uma com 8 quadrados. Assim, contando ao longo da linha da base, temos uma coluna com 8 quadrados, mais outra coluna com 8 quadrados, mais outra coluna com 8 quadrados, e assim por diante, até 16 colunas serem contadas. Logo, o número de quadrados que compõem o retângulo é dado pela a soma 8+8+8+8+...+8, sendo 16 parcelas ao todo. Tente acompanhar a explicação pelo próximo desenho. Assim, a quantidade de quadradinhos existentes nesse retângulo é igual ao resultado de 16 parcelas com 8 quadrados em cada uma, o que equivale à operação 16 x 8, ou seja, 128 quadradinhos. Vamos pensar em uma forma mais abrangente: se o retângulo tem a colunas com b quadradinhos em cada coluna, vamos ter ao todo b+b+b+b+...+b+b quadradinhos ao Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 23 todo no retângulo, num total de a parcelas, o que equivale a escrever que são a x b quadradinhos no retângulo. Assim, a área de um retângulo de base a e altura b, com a, b , é dada pela fórmula, A = ab, onde A denota a área. De outro modo, o número de quadrados unitários que compõem o retângulo dado é ab. Aplicação: Veja como a operação multiplicação aparece como um simplificador do processo de contagem. Suponha que você tenha uma grande quantidade de objetos a serem contados. Então, a princípio, você terá que fazer corresponder cada objeto com um número natural, um por um. Pelo último exemplo, uma boa estratégia é formar um retângulo com os objetos. Aí, em vez de contar um por um, basta contar os objetos da base e da altura do retângulo. Para encontrar o total de objetos, só é preciso fazer o produto dos dois valores encontrados. Veja a figura a seguir, que sugere uma população de bactérias a serem contadas. Olhando-as da forma desordenada que estão, a única maneira de contá-las é passando por cada uma delas, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir, formada com as mesmas bactérias, mas organizadas numa forma retangular. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores:Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 24 Ainda podemos contar bactéria por bactéria. Mas podemos também contar apenas as bactérias da base e da altura. Na base, temos 12 bactérias. Na altura, temos 11. Assim, o total de bactérias pode ser calculado por: total de objetos = 12×11 = 132. Observação: (Sobre a inclusão do número 0) Com a utilização das operações, o símbolo 0 passou a ter maior importância. Por exemplo, é interessante ter um símbolo para representar a operação a a, quando temos uma quantidade e depois a retiramos. Ficamos com o que? Com a evolução nas manipulações matemáticas dos números naturais, sentiu-se a necessidade de acrescentar um símbolo que representasse a ausência de quantidade. Assim, o 0 passou a ter esta função. Deste modo, os números naturais passaram a ter a seguinte representação: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 20, 21, ...}. Neste caso, quando for necessário fazer referência aos naturais diferentes de zero, usa-se a notação *. Ou seja, temos * = {1, 2, 3, 4, ...}. Já vimos como a representação geométrica dos números naturais pode ser útil no processo de contagem. Será que esta interpretação geométrica dos números também pode ser utilizada na realização das operações? Veja, leitor, o que acha das calculadoras dadas a seguir. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 25 (Calculadora analógica de somas) Trabalhando com duas réguas, como na figura abaixo, você obtém uma calculadora de soma bastante interessante. Por exemplo, para efetuar a soma, 4 + 7, posicione a origem da segunda superior sobre o número 4 da reta da base. Verifique que o número 7 da reta superior coincide com o valor da soma, 11. Se você trabalhar com réguas maiores, poderá efetuar somas maiores. Esta calculadora pode ser útil para perceber certas propriedades operacionais, como: a + b = b + a; a + 0 = a; a a = 0; a + x = b x = b a (desde que b > a). Experimente brincar com esta calculadora! Quer ver algo além disso? Visite http://escolovar.org/mat_numero_recta.gradua.htm e experimente! Comentários finais A resolução abreviada de problemas através de expressões matemáticas ilustra bem como as operações podem ser importantes na manipulação dos números. Em particular, mostra como o domínio de técnicas matemáticas pode ajudar a resolver os problemas mais variados, tanto os da própria Matemática, quanto os de fora desta. Caro leitor, ao longo deste curso, você deve rever algumas das técnicas matemáticas estudadas no ensino básico, principalmente no ensino médio. O domínio destas técnicas pode ajudar na resolução de problemas, como ilustrado aqui, mas também pode ajudar você a adquirir novos conhecimentos matemáticos, aqueles que serão motivo de estudo nas disciplinas do seu curso. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 26 Você está convidado a entrar nesta viagem de conhecimentos que pode te levar a horizontes infinitos. O conjunto dos números naturais é apenas o primeiro passo desta jornada. A seguir você encontra uma pequena lista de exercícios a fim de ajudar a complementar o seu estudo. Na sequência, você encontrará as respostas das atividades, assim como dos exercícios complementares. Exercícios complementares 1) Por uma goteira em uma caverna, jorram 4 litros de água por minuto. a) Quantos litros de água jorrarão em 11 minutos? b) Quantos litros jorraram em 2 horas e 21 minutos? c) Quanto tempo leva para a goteira despejar 98 litros de água? 2) Faça as divisões de a por b a seguir, indicando o quociente e o resto. Evite usar inicialmente a calculadora, deixe-a para conferir os seus resultados. a) a = 25 e b = 3; b) a = 25 e b = 7; c) a = 51 e b = 6; d) a = 94 e b = 3. 3) João vai ter que tomar um remédio por 130 dias. Ele começou a tomar o remédio no dia 20 de junho. Em que dia do ano ele tomará o último comprimido? E se João começar a tomar o remédio no dia 20 de novembro? Quantas semanas ele levará tomando o remédio? (Você pode utilizar qualquer recurso de contagem.) Respostas das atividades Atividade 1 a) {Rio de Janeiro} D b) {Bahia} D c) {mitocôndria} E d) {intestino} E e) {retângulo} C f) {cachorro} A Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 27 g) {borboleta} F Atividade 2 a) V b) F c) V d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) F k) F l) F Atividade 3 Refrigerante 2L Detergente Sabão em pó Atum sólido Leite em caixa Inseticida Spray Óleo de Soja Creolina Leite em pó Leite de soja com fruta Sabão líquido Iogurte 1L a) Não, há produtos que ficaram fora da prateleira. b) Veja à figura acima, na prateleira A ficaram os seguintes produtos: refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, leite de soja com fruta, óleo de soja, atum sólido e iogurte 1L. c) Veja à figura acima, na prateleira T ficaram os seguintes produtos: leite em pó, óleo de soja, atum sólido, inseticida spray e creolina. d) Veja na figura acima – leite em pó, óleo de soja, atum sólido. e) Sabão líquido, sabão em pó e o detergente. A T Refrigerante 2L Leite em caixa Leite de soja com fruta Iogurte 1L Leite em pó Óleo de Soja Atum sólido Inseticida Spray Creolina Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 28 Atividade 4 A={refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, leite de soja com fruta, óleo de soja, atum sólido, iogurte 1L} C={leite em caixa, leite de soja com fruta, sabão em pó} T={leite em pó, inseticida spray, óleo de soja, atum sólido, creolina} L={detergente, inseticida spray, sabão em pó, sabão líquido, creolina} a) Os produtos alimentícios ou produtos que são embalados em caixas. Podemos representar como AC= {refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, leite de soja com fruta, óleo de soja, atum sólido, iogurte 1L, sabão em pó}. b) Sim. Pertencerão à este conjunto os alimentos que são embalados em caixas. Podemos representar como AC={leite em caixa, leite de soja com fruta}. c) Produtos de limpeza ou produtos que são acondicionados em caixas. Podemos representar como LC={detergente, inseticida spray, sabão em pó, sabão líquido, creolina, leite em caixa, leite de soja com fruta} . d) Sim, pois existem produtos de limpeza em lata. Podemos representar como LT={inseticida spray}. e) Produtos alimentícios ou produtos de limpeza, ou seja, a lista toda de D. Sônia. Podemos representar como AL={ refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, leite de soja com fruta, óleo de soja, atum sólido, iogurte 1L, detergente, inseticida spray, sabão em pó, sabão líquido, creolina}. f) Não, pois não há produtos acondicionados em lata e caixa, ao mesmo tempo. Podemos representar como CT=. Atividade 5 a) S = {Argentina,Brasil, Equador, Paraguai, Trinidad e Tobago}. O conjunto S tem 5 elementos. b) O conjunto D tem 6 elementos: Brasil, Argentina, Honduras, Chile, Paraguai, Uruguai D. c) E = S D = {Brasil, Argentina, Paraguai}. O conjunto E tem 3 elementos. d) T = S D = {Argentina, Brasil, Equador, Paraguai, Trinidad e Tobago, Honduras, Uruguai,Chile}. e) A operação é de união entre S e D. O conjunto T tem 8 elementos. f) Veja no diagrama abaixo: Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 29 Atividade 6 a) S – D = {Equador, Trinidad e Tobago} b) D – S = {Honduras, Chile, Uruguai} c) Não, porque quando invertemos a ordem, as respostas se alteram. Observe que em (a), os elementos listados estão em S e não estão em D e em (b) ocorre exatamente o contrário. É por essa razão que as respostas são diferentes. Atividade 7 a) A – T = { refrigerante 2L, leite em caixa, leite de soja com fruta, iogurte 1L }. b) T – A = { inseticida spray, creolina}. c) C – A ={ sabão em pó}. d) C – A ={ sabão em pó}. e) L – T. f) C – A . Atividade 8 O diagrama é S D Equador Trinidad e Tobago Brasil Argentina Paraguai Honduras Chile Uruguai Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 30 11 + 22 + 15 + 1 + 6 + 7 + 16 = 78 80 – 78 = 2 Há apenas dois alunos que não têm interesse nem em Zoologia, nem em Botânica e nem em Genética. Atividade 9 a) Basta contar cada bactéria pela técnica sugerida. b) O primeiro grupo (esquerda) tem mais bactérias que o segundo. Visualmente, ele dá a impressão de ser mais “denso”. Atividade 10 O conjunto pedido é {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45}. Atividade 11 a) 11 b) c) 3 d) 10 e) 20 f) Atividade 12 Esta atividade é interessante. Vejamos o item (a). Você sabe que o volume de água do tanque aumenta em 6 litros a cada 2 minutos. Você tem noção de quanto tempo ele levará para ficar cheio? Bom, em vez de esperar o tanque encher, pode-se prever este tempo fazendo a contagem. Experimente fazer esta contagem diretamente, ou através da representação geométrica. Você verá que isto dá trabalho. Uma boa forma de realizar a contagem no item (a) é usar uma planilha eletrônica. Construa uma linha para o volume de água e use o recurso de arrastar até passar do valor 1000. Construa uma segunda linha para representar o tempo. A planilha começará assim: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 31 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 e terminará assim: 924 930 936 942 948 954 960 966 972 978 984 990 996 1002 308 310 312 314 316 318 320 322 324 326 328 330 332 334 Assim, o volume do tanque atingirá 1000 litros antes de 334 minutos. Ou seja, antes de 5 horas e 34 minutos (334 = 5.60min + 34min = 5h + 34min). Para o item (b), a questão é que o tanque passa a encher 29 litros a cada 10 minutos (se enche 6 litros em 2 minutos, enche 30 litros em 10 minutos, mas perde 1 litro). Se você montar uma planilha de contagem para estas informações obterá que a piscina ficará cheia antes de 350 minutos. A sua tabela começará assim. 29 58 87 116 145 174 203 232 261 290 319 348 377 406 435 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Respostas dos Exercícios Complementares 1) a) Montando a tabela, com a primeira linha representando o tempo em minutos e a segunda linha representando a quantidade de água em litros, temos min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 litros 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Logo, jorrarão de água em 11minutos. Veja que a quantidade Q de água que jorra em t minutos é dada por Q=4t. b) Primeiro, o tempo será convertido para minutos, então 2h 21min equivale a . Assim, a quantidade de água que jorra em 141min é dada por . c) Para determinar o tempo necessário para a torneira despejar de água devemos determinar , tal que , então dividindo 98 por 4, obtemos , portanto levaremos 24min adicionado ao tempo necessário para jorrar de água , que é meio minuto (ou 30segundos). Portanto, serão necessários 24min30s. 2) a) a = 25 e b = 3 q = 8 e r = 1. A figura a seguir mostra múltiplos 3. Com 8 múltiplos de 3, chegamos a 24 e 1 é o resto para chegar a 25. Matemática Básica para Biologia Unidade 1 Autores: Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 32 b) a = 25 e b = 7 q = 3 e r = 4. c) a = 51 e b = 6 q = 8 e r = 3. d) a = 94 e b = 3 q = 31 e r = 1. Obs: Estas são as respostas, mas vc pode realizar o procedimento geométrico para obter estes valores, conforme sugerido no item a. 3) O objetivo da maioria destas questões é mostrar que quando não sabemos nenhuma estratégia matemática para resolver uma questão, podemos apelar para a simples contagem. Esta questão é um bom exemplo. Para resolvê-la, basta pegar um calendário e contar os dias.
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