Lista 2 de cálculo

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 146 - CA´LCULO I
Professores: Ab´ılio, Anderson Tiago, Ariane (coordenadora), Gemma, Laerte,
Ma´ısa, Priscila.
2a Lista de Exerc´ıcios: Limite, Continuidade e Derivada1
1) Seja f a func¸a˜o definida pelo gra´fico a seguir:
Baseando-se no gra´fico de f responda os seguintes itens:
a) lim
x→10+
f(x)
b) lim
x→10−
f(x)
c) lim
x→10
f(x)
d) lim
x→6
f(x)
e) lim
x→+∞
f(x)
f) lim
x→−∞
f(x)
2) Determine os seguintes limites:
a) lim
x→−7
2x+ 5
b) lim
t→6
8(t− 5)(t− 7)
c) lim
x→2
x+ 3
x+ 6
d) lim
t→0
sen t
1 + cos t
e) lim
x→−1
x3 + 4x2 − 3
x2 + 5
f) lim
t→0
cos t
1− sen t
g) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
h) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
i) lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − x
j) lim
t→−5
t2 + 3t− 10
t+ 5
k) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
1Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
1
MAT 146 - Ca´lculo I 2
3) Encontre, quando existir, o limite. Caso na˜o exista, explique por queˆ.
a) lim
x→3
(2x+ |x− 3|)
b) lim
x→−6
2x+ 12
|x+ 6|
c) lim
x→−2
2− |x|
2 + x
d) lim
x→−2
|x+ 2|
x+ 2
4) Seja
f(x) =

x, se x < 1
3, se x = 1
2− x2, se 1 < x ≤ 2
x− 3, se x > 2
a) Calcule, caso exista:
(i) lim
x→1−
f(x)
(ii) lim
x→1
f(x)
(iii) f(1)
(iv) lim
x→2−
f(x)
(v) lim
x→2+
f(x)
(vi) lim
x→2
f(x)
b) Esboce o gra´fico de f .
5) Calcule os seguintes limites:
a) lim
t→9
9− t
3−√t
b) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
c) lim
x→7
√
x+ 2− 3
x− 7
d) lim
t→9
3−√t
9− t
e) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
f) lim
x→−1
√
x2 + 8− 3
x+ 1
g) lim
t→0
1− cos t
sen t
6) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→5+
6
x− 5
b) lim
x→5−
6
x− 5
c) lim
x→5
6
x− 5
d) lim
x→1
2− x
(x− 1)2
e) lim
x→−1
2x2 − 2x
x2 − 1
f) lim
x→1
2x
x− 1
g) lim
x→3+
4x2
9− x2
h) lim
x→1−
2x3 − 5x2
x2 − 1
7) Calcule os seguintes limites:
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 3
a) lim
x→−∞
1
x3
b) lim
x→+∞
1
2x+ 3
c) lim
x→+∞
x+ 1
x2 + 2x− 1
d) lim
x→+∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
e) lim
x→+∞
√
x2 + 1− x
f) lim
x→+∞
x2 + x
3− x
g) lim
x→−∞
x3 − 3x
x2 + 2x+ 1
8) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico de cada func¸a˜o dada:
a) y =
x
x+ 4
b) y =
x2 + 4
x2 − 1
c) y =
2x2 + x− 1
x2 + x− 2
9) Determine se a seguinte func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 1.
f(x) =
{
3x− 5, se x 6= 1
2, se x = 1
10) Para cada func¸a˜o determine os nu´meros nos quais a func¸a˜o e´ cont´ınua.
a) f(x) =
{
9− x2, se x ≤ 2
3x+ 2, se x > 2
b) f(x) =
{
x2 + 2x, se x ≤ −2
x3 − 6x, se x > −2
c) f(x) =

1 + x, se x ≤ −2
2− x, se −2 < x ≤ 2
2x− 1, se x > 2
d) f(x) =
{ |x− 3|, se x 6= 3
2, se x = 3
e) f(x) =
 x
2 − 4x+ 3
x− 3 , se x < 3
x− 2, se x ≥ 3
f) f(x) =

x, se x < 0
x2 + x, se 0 ≤ x ≤ 1
1
x− 1 , se x > 1
g) f(x) =
{
x2 − 3, se x < 2
x3 −√2x− 5, se x ≥ 2
11) Determine os valores das constantes a e b que tornam as func¸o˜es cont´ınuas para todo x real e
fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o resultante.
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
MAT 146 - Ca´lculo I 4
a) f(x) =
{
3x+ 7, se x ≤ 4
ax− 1, se x > 4
b) f(x) =

x, se x ≤ 1
ax+ b, se 1 < x < 4
−2x, se x ≥ 4
c) f(x) =
{
4, se x < 3
a2x− a, se x ≥ 3
12) Seja f(x) =

1 + x2, se x ≤ 0
2− x, se 0 < x ≤ 2
(x− 2)2, se x > 2
.
Fac¸a o que se pede:
a) Diga se f e´ continua em todos os pontos do seu domı´nio. Justifique sua resposta.
b) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f .
13) Deˆ exemplos (explicitando a expressa˜o e o esboc¸o de gra´fico) de:
a) Uma func¸a˜o de modo que somente a primeira condic¸a˜o de continuidade na˜o valha.
b) Uma func¸a˜o de modo que somente a segunda condic¸a˜o de continuidade na˜o valha.
14) Problema da reta tangente
O problema da reta tangente tem sido considerado como o precursor do conceito de derivada
de uma func¸a˜o em livros de ca´lculo. Segundo esse princ´ıpio, dada uma func¸a˜o f deriva´vel num
ponto a, a equac¸a˜o da reta que e´ tangente ao gra´fico dessa func¸a˜o no ponto (a, f(a)) e´ dada
por
y − f(a) = f ′(a)(x− a).
Ele se baseia no seguinte argumento geome´trico: Marque no gra´fico o ponto (a, f(a)). Agora
com esse ponto fixo, imagine um ponto distinto qualquer (x, f(x)) do gra´fico e trace a reta que
passa por ambos. O que acontece com a reta obtida se o ponto (x, f(x)) comec¸ar a se mover
ao longo do gra´fico na direc¸a˜o do ponto (a, f(a))? Note que nesse assim, temos que x → a.
Neste caso, escreva a expressa˜o que define o coeficiente angular dessa reta.
Segundo o problema dado acima e usando sua construc¸a˜o, determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico da func¸a˜o y = x2 − 16 no ponto (4, 0). Qual e´ o coeficiente angular obtido?
15) Use a definic¸a˜o para encontrar a derivada de cada func¸a˜o, em seguida calcule a derivada no
ponto indicado:
a) f(x) = 4− x2, x = −3
b) f(x) =
√
x, x = 2
c) f(x) = x2 − 8x+ 9, x = 4
d) f(x) =
1
x2
, x = −1
e) f(x) = x+
9
x
, x = −3
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MAT 146 - Ca´lculo I 5
16) Derive, utilizando as regras de derivac¸a˜o:
a) f(x) = 500
b) f(x) = 5x− 1
c) f(x) = 2x+ 7
d) f(x) =
1
4
(x4 + 8)
e) f(x) = x−2/5
f) f(x) =
√
x− 2ex
g) f(x) = 2x2 + 3x+ 1
h) f(x) = x3
i) f(x) =
1
x3/2
j) f(x) =
√
x(x− 1)
k) f(x) = −10x+ 3cosx
l) f(x) =
1
x
+ 5sen x
m) f(x) = ex
n) f(x) = ln x (lnx = loge x)
17) Derive:
a) f(x) = sen xcosx
b) f(x) = ex
√
x
c) f(x) = excosx
d) f(x) = (sen x+ cosx) secx
e) f(x) =
ex
1 + x
f) f(x) =
2x+ 5
3x− 2
g) f(x) =
1
x− 2
h) f(x) =
3x− 2
4x+ 3
i) f(x) =
x− 1
2x
j) f(x) =
3x
x2 + 4
k) f(x) =
x2 − 1
x2 + x− 2
l) f(x) =
cotg x
1 + cotg x
m) f(x) = x2sen xtg x
18) Derive as seguintes func¸o˜es:
a) y =
√
2− x
b) y = (4− 3x)9
c) y = sen3 x
d) y =
(
1 +
1
x2
)3
e) y = 9tg
(x
3
)
f) y = ln(x2 + 1)
g) y = e3x
2
h) y = 2x
2+3x+1
i) y =
(
x2
8
+ x− 1
x
)4
j) y =
√
sen x
19) Derive as seguintes func¸o˜es, utilizando as regras de derivac¸a˜o:
a) f(x) = x2 + 3x+ 2
b) f(x) =
1
x2 + 1
c) f(x) = x2ex
d) f(x) =
√
sen xcosx
e) f(x) =
√
x lnx
f) f(x) =
lnx
x+ x3
g) f(x) = (x4 − 3x2 + 5)3
h) f(x) = ln(ln x)
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i) f(x) = esen 2x
j) f(x) = 3x lnx
k) f(x) = tg2(sen x)
l) f(x) = ln (x4sen2 x)
m) f(x) = sec (1− x2)
20) Considere a func¸a˜o f(x) =
5x
1 + x2
.
a) Determine f ′(x) usando a definic¸a˜o de derivada.
b) Calcule f ′(2) e use o resultado para encontrar a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
y =
5x
1 + x2
no ponto (2,2).
c) Determine os pontos do gra´fico de f nos quais a reta tangente e´ horizontal.
d) Determine o coeficiente angular da reta normal ao gra´fico de f no ponto (2,2).
21) Seja f(x) = 2x2 − 4x+ 3.
a) Determine f ′(a) usando a definic¸a˜o.
b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1,1). O que podemos
afirmar sobre a reta normal a` curva neste ponto?
c) Encontre a equac¸a˜o das retas tangente e normal ao gra´fico de f nos pontos (0,3) e (2,3).
22) Em cada item determine uma equac¸a˜o para a reta tangente e a reta normal ao gra´fico de f no
ponto P dado.
a) f(x) = x3 − 4x+ 1; P = (2, 1).
b) f(x) =
√
x; P = (1, 1).
c) f(x) =
2x
(x+ 1)2
; P = (0, 0).
23) Sabendo-se que y e´ uma func¸a˜o impl´ıcita dex, determine y′
(
dy
dx
)
para cada uma das equac¸o˜es
seguintes.
a) x2y + xy2 = 6
b) 2xy + y2 = x+ y
c) x3 − xy + y3 = 1
d) ysen (y) = 1− xy
e) yx+ cos y = 2x
f) x2/3 + y2/3 = 1
g) (xy)2 = 1 + x2y
h) (x2 + 3y2)5 = 2xy
24) Verifique se o ponto dado faz parte da curva e encontre as retas tangente e normal a` curva no
ponto dado.
a) x2y + xy2 − y2 = 1; (1, 1)
b) x2y2 = 9; (−1, 3)
c) y2 − 2x− 4y − 1 = 0; (-2,1)
d) x2cos2y − sen y = 0; (0, pi)
e) 2xy + pisen y = 2pi; (1, pi/2)
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
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25) Em cada item calcule a derivada de ordem superior indicada.
a) f(t) =
√
4t+ 1; determine f ′′(t)
b) f(x) = sen 2x; determine f ′′′(x)
c) f(x) = x2ex; determine f ′′(x)
d) f(x) = x4+2x3−x2+5; determine f (4)(x)
e) f(x) =
x
1− x2 ; determine f
′′(t)
f) x6 + y6 = 1; determine y′′
Respostas
1) a) 9; b) −∞ ; c) na˜o existe pois lim
x→10−
f(x) na˜o existe; d) 11; e) 3; f) −∞.
2) a)−9; b) −8; c) 5/8; d) 0; e) 0; f) 1; g) 1/10; h) −1/2; i) 3; j) −7; k) 8.
3) a) lim
x→3
(2x + |x − 3|) = 6; b) Na˜o existe pois os limites laterias sa˜o diferentes: lim
x→−6−
2x+ 12
|x+ 6| = −2
e lim
x→−6+
2x+ 12
|x+ 6| = 2; c) limx→−2
2− |x|
2 + x
= 1; d) Na˜o existe pois os limites laterias sa˜o diferentes:
lim
x→−2−
|x+ 2|
x+ 2
= −1 e lim
x→−2+
|x+ 2|
x+ 2
= 1.
4) a)(i) 1; (ii) 1; (iii) 3; (iv) −2; (v) −1; (vi) Na˜o existe.
5) a)6; b) 1/2; c)1/6; d)1/6; e)4; f)−1/3; g) 0.
6) a)+∞; b)−∞; c) na˜o existe, pois os limites laterais na˜o existem; d)∞; e)Na˜o existe, pois:
lim
x→−1−
2x2 − 2x
x2 − 1 = +∞ e limx→−1+
2x2 − 2x
x2 − 1 = −∞, ou seja, nenhum dos limites laterais existem;
f) Na˜o existe, pois lim
x→1−
2x
x− 1 = −∞ e limx→1+
2x
x− 1 = +∞ ; g) −∞; h) +∞.
7) a)0; b)0; c)0; d)3/5; e)0; f)−∞; g)−∞.
8) a) A.V. : x = −4; A.H. : y = 1; b) A.V. : x = −1, x = 1; A.H. : y = 1; c) A.V. : x = 1, x = −2;
A.H. : y = 2
9) Na˜o.
10) a) {x ∈ R;x 6= 2}; b) {x ∈ R;x 6= −2}; c) {x ∈ R;x 6= −2 e x 6= 2}; d) {x ∈ R;x 6= 3};
e) {x ∈ R;x 6= 3}; f) {x ∈ R;x 6= 1}; g) R.
11) a) a = 5; b) a = −3 e b = 4; c) a = −1 ou a = 4/3.
12) a) f e´ cont´ınua em {x ∈ R;x 6= 0}.
14) O coeficiente angular dessa reta (secante) e´ dado por
f(x)− f(a)
x− a . A equac¸a˜o da reta tangente e´
dada y = 8x− 32. O coeficiente angular e´ 8.
15) a)f ′(x) = −2x, f ′(−3) = 6; b) f ′(x) = 1
2
√
x
, f ′(2) =
1
2
√
2
; c) f ′(x) = 2x− 8, f ′(4) = 0;
d) f ′(x) = −2/x3, f ′(−1) = 2; e) f ′(x) = 1− 9
x2
f ′(−3) = 0.
16) a) 0; b)5 ; c) 2; d) x3; e)
−2
5x7/5
; f)
1
2
√
x
− 2ex; g) 4x+ 3; h) 3x2; i) −3
2x5/2
; j)
3
2
√
x− 1
2
√
x
;
k) −10− 3sen x; l) − 1
x2
+ 5cosx; m) ex; n)
1
x
.
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17) a)cos 2x − sen2x; b) ex√x + e
x
2
√
x
; c) excosx − exsen x; d) 1 + tg2x; e) xe
x
(1 + x)2
; f) − 19
(3x− 2)2 ;
g)− 1
(x− 2)2 ; h)
17
(4x+ 3)2
; i)
1
2x2
; j)
−3x+ 12
(x2 + 4)2
; k)
1
(x+ 2)2
; l)
−cossec2x
(1 + cotg x)2
;
m) 2xsen xtg x+ x2(sen x+ sen xsec2x).
18) a)− 1
2
√
2− x ; b)−27(4− 3x)
8 ; c)3sen2xcosx; d) − 6
x3
(
1 +
1
x2
)2
; e) 3sec2
(x
3
)
; f)
2x
x2 + 1
;
g) 6xe3x
2
; h) (2x+ 3) ln 2 2x
2+3x+1; i) 4
(
x2
8
+ x− 1
x
)3(
x
4
+ 1 +
1
x2
)
; j)
cosx
2
√
sen x
.
19) a) 2x+ 3 ; b) − 2x
(x2 + 1)2
; c) (x+ 2)xex ; d)
cos 2x
2
√
sen x
− sen x√sen x; e) lnx
2
√
x
+
1√
x
;
f)
1 + x2 − (1 + 3x2) lnx
(x+ x3)2
; g) (12x3 − 18x)(x4 − 3x2 + 5)2; h) 1
x lnx
; i) 2cos 2x esen 2x;
j) (lnx+ 1)3x lnx ln 3; k) 2 tg(sen x) sec2(sen x)cosx; l)
4
x
+ 2cotg x;
m) −2x sec(1− x2) tg (1− x2).
20) a)
5− 5x2
(1 + x2)2
; b) f ′(2) = −3/5 e Reta tangente: 3x+ 5y = 16; c) (1, 5/2), (−1,−5/2); d) 5/3.
21) a) 4a−4; b) f ′(1) = 0. Reta tangente e´ y = 1. A reta normal e´ a reta vertical x = 1; c) Reta tangente
no ponto (0,3): y = −4x+ 3. Reta normal no ponto (0,3): y = x
4
+ 3. Reta tangente no ponto (2,3):
y = 4x− 5. Reta normal no ponto (2,3): y = −x
4
+
7
2
.
22) a) Reta tangente: y = 8x − 15 e reta normal: y = −x
8
+
5
4
; b) Reta tangente: y =
x
2
+
1
2
e reta
normal: y = −2x+ 3; c) Reta tangente: y = 2x e reta normal: y = −x
2
.
23) a)
−2xy − y2
x2 + 2xy
, b)
1− 2y
2x+ 2y − 1 c)
−3x2 + y
−x+ 3y2 ; d)
−y
sen y + ycos y + x
; e)
2− y
x− sen y ; f) −
3
√
y
3
√
x
;
g)
2y − 2y2
2xy − x ; h)
2y − 10x(x2 + 3y2)4
30y(x2 + 3y2)4 − 2x .
24) a) y′ =
−2xy − y2
x2 + 2xy − 2y , y
′
∣∣∣
(1,1)
= −3, reta tangente: y = −3x+ 4 e reta normal: y = x
3
+
2
3
;
b) y′ =
−y
x
, y′
∣∣∣
(−1,3)
= 3, reta tangente: y = 3x+ 6 e reta normal: y = −x
3
+
8
3
;
c) y′ =
1
y − 2 , y
′
∣∣∣
(−2,1)
= −1, reta tangente: y = −x− 1 e reta normal: y = x+ 3;
d) y′ =
2xcos y
2x2seny + 1
, y′
∣∣∣
(0,pi)
= 0, reta tangente e´ a reta horizontal y = pi e a reta normal e´ a reta
vertical x = 0;
e) y′ =
−2y
2x+ picos y
, y′
∣∣∣
(1,pi/2)
= −pi/2, reta tangente: y = −pi
2
x+ pi e reta normal:
y =
2x
pi
− 2
pi
+
pi
2
.
25) a) f ′′(t) = − 4√
(4t+ 1)3
; b) f ′′′(x) = −8cos (2x); c) f ′′(x) = (x2 + 4x+ 2)ex; d) f (4)(x) = 24;
e) f ′′(x) =
6x+ 2x3
(1− x2)3 ; f) y
′′ =
−5x4y6 − 5x10
y11
.
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