Equação e Inequação Modular

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Equação Modular e Inequação Modular 
 
Equação Modular 
 
 O módulo de um número real é definido por: 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0x,x
0x,x
:x 
 Assim 
 
66 = , 06≥ 
 
( ) 666 =−−=− , 06<− . 
 
 Uma equação modular é uma sentença aberta equivalente a 
 
bax =− . 
Onde .IRb,a ∈ 
 
1. Resolva: 
5x)a = 
 
1° Solução: 
Da definição 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xx
0x,x
x 
Logo 
1° caso 
5x0x =⇒≥ 
 
2° caso 
5x5x0x −=⇔=−⇒< 
 { }5,5S −= 
 
2° Solução: 
 
Podemos pensar na equação da seguinte forma 
50x5x =−⇔= 
Assim a associando ao módulo a palavra distância, a solução da equação são os números reais tais que 
distam de 5 unidades da origem, ou seja, { }5,5S5xou5x −=⇔−== . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51x)b =− 
 
1° Solução: 
Da definição 
( ) ⎩⎨
⎧
<−
≥−=−⇔
⎩⎨
⎧
<−−−
≥−−=−
1xx1
1x,1x
1x
01x1x
01x,1x
1x 
Logo 
1°caso 
6x51x1x =⇔=−⇒≥ 
 
2° caso 
4x5x11x −=⇔=−⇒< 
 { }6,4S −= 
 
2° Solução: 
 Associando ao módulo a palavra distância, a solução da equação são os números reais tais que 
distam de 5 unidades do número 1, ou seja, { }6,4S4xou6x −=⇔−== . 
 
3° Solução: 
Fazendo y1x =− temos 
{ }6,4S
4x51x5y
ou
6x51x5y
5y −=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇔−=−⇔−=
=⇔=−⇔=
⇔= 
 
 
Inequação Modular 
 
 Uma inequação modular é uma sentença aberta equivalente a 
 
bax
bax
bax
bax
>−
≥−
<−
≤−
 
Onde .IRb,a ∈ 
2. Resolva: 
8x)a ≤ 
1° Solução 
] [8,8S
x88x0x
ou
8x0x
−=⇒
≤−⇔≤−⇒<
≤⇒≥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2° Solução 
Podemos pensar na equação da seguinte forma 
80x8x ≤−⇔≤ 
Assim a associando ao módulo a palavra distância, a solução da equação são os números reais tais que 
distam no máximo 8 unidades da origem, ou seja, ] [8,8S8x8 −=⇒≤≤− . 
 
32x)b <−  
 
1° Solução: 
Da definição 
( ) ⎩⎨
⎧
<−
≥−=−⇔
⎩⎨
⎧
<−−−
≥−−=−
2xx2
2x,2x
2x
01x2x
01x,2x
2x 
Logo 
1°caso 
5x32x2x <⇔<−⇒≥ 
 
2° caso 
x13x22x <−⇔<−⇒< 
 ] [5,1S −=⇒ 
 
2° Solução 
 Associando ao módulo a palavra distância, a solução da equação são os números reais tais que 
distam no máximo de 3 unidades, exclusive, do número 2, ou seja, ] [5,1S5x1 −=⇒≤≤− . 
 
17x)c ≥−  
 
1° Solução: 
Da definição 
( ) ⎩⎨
⎧
<−
≥−=−⇔
⎩⎨
⎧
<−−−
≥−−=−
7xx7
7x,7x
7x
07x7x
07x,7x
7x 
Logo 
1°caso 
8x17x7x ≥⇔≥−⇒≥ 
 
2° caso 
x61x77x ≤⇔≤−⇒< 
 ] ] [ [∞+∪−∞=⇒ ,86,S 
 
2° Solução 
 Associando ao módulo a palavra distância, a solução da equação são os números reais tais que 
distam no mínimo de 1 unidade, inclusive, do número 7 , ou seja, 8xoux6 ≥≤ ] ] [ [∞+∪−∞=⇒ ,86,S . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31x)d >+  
 
1° Solução: 
Da definição 
( ) ⎩⎨
⎧
−<−−
−≥+=+⇔
⎩⎨
⎧
<++−
≥++=+
1x1x
1x,1x
1x
01x1x
01x,1x
1x 
Logo 
1°caso 
2x31x1x >⇔≥+⇒−≥ 
 
2° caso 
4x31x1x −<⇔>−−⇒−< 
 ] [ ] [∞+∪−−∞=⇒ ,24,S 
 
2° Solução 
 Associando ao módulo a palavra distância, a solução da equação são os números reais tais que 
distam no mínimo de 3 unidades, exclusive, do número 1− , ou seja, 2xoux4 >>− 
] [ ] [∞+∪−−∞=⇒ ,24,S . 
 
1. Resolva: 
84x4x)h
94x4x)g
3x1x2)f
x3x)e
x33x)d
3x3x)c
12x)b
31x)a
=++−
=++−
+=−
=−
−=−
−=−
−=+
=−
 
 
2. Determine os valores de a para que a equação 
6ax3x23x2 +=−++ 
Tenha infintas soluções. 
 
3. Resolva: 
53x2x)f
x1x2)e
22x)d
22x)c
11x)b
11x)a
>−++
>+
−≤+
<+
−>−
>−
 
 
 
 
Gabarito 
 
1. { }
{}
] ]
{ }
[ ]4,4S)h
2
9,
2
9S)g
4,
3
2S)f
5,1S)e
3,S)d
IRS)c
S)b
4,2S)a
−=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧−=
=
∞−
=
=
−=
 
 
2. 
0a = 
 
3. ] [ ] [
{}
] [ ] [
{}
] [ ] [∞+∪−∞−=
=
=
∞+∪∞−
=
∞+∪−∞=
,32,S)f
IRS)e
S)d
,20,)c
S)b
,20,S)a