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GUIDG.COM 1 
 
2/1/2013 – CDI-I: Tabela de Integrais Imediatas 
 
(u, v, w) são variáveis ; (a, b, c) constantes ; e ≈ 2,718 , ln u = log
e
u 
 
 # Integral imediata # Integral imediata 
 (1) Z du F dv` a=Z du FZ dv (2) Z b dw = bZ dw 
 
 (3) Z du = u + c (4) Z du
u
ffffffff
=Z u@ 1 du = ln uLL MM+ c 
 (5) Z u a du = u
a + 1
a + 1
ffffffffffffff+ c , a ≠@1 (6) Z a u du = a uln a
ffffffffff+ c 
 
 (7) Z e u du = e u + c (8) Z udv = vu@Z vdu 
9 
 
Z sin u du =@ cos u + c 
 
15 
 
Z sinh u du = cosh u + c 
10 Z cos u du = sin u + c 
 
16 Z cosh u du = sinh u + c 
11 
 
Z sec 2 u du = tan u + c 
 
17 
 
Z sech2 u du = tanh u + c 
12 
 
Z csc 2 u du =@ cot u + c 
 
18 
 
Z csch2 u du =@ coth u + c 
13 
 
Z sec u A tan u du = sec u + c 
 
19 
 
Z sech u A tanh u du =@ sech u + c 
14 Z csc u A cot u du =@ csc u + c 
 
20 Z csch u A coth u du =@ csch u + c 
21 ♦ Z du
1@ u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffff= arc sin u + c 
 
26 Z du
1@ u 2
fffffffffffffffff
=
arg tanh u + c , se | u | < 1
arg coth u + c , se | u | > 1
X\
Z ou = 12fffln
1 + u
1@ u
fffffffffffffff
LLLLL
MMMMM+ c
X\
Z 
22 ♦ Z du
a 2@ u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffff= arc sin u
a
ffff+ c 
 
27 Z du
1 + u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffff= arg sinh u + c = ln u + u 2 + 1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLL
MMMM+ c 
23 
 
Z du
1 + u 2
ffffffffffffffff
= arc tan u + c 
 
28 Z du
u 2@1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffff= arg cosh u + c = ln u + u 2@1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLL
MMMM+ c 
24 
 
Z du
u 2 + a 2
ffffffffffffffffffff
=
1
a
fffff g
arc tan
u
a
ffffd e+ c
 
 
29 Z du
u 1@ u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffff=@ arg sech | u | + c 
25 Z du
a 2@u 2
fffffffffffffffffffffa
=
1
2a
fffffffln u + a
u@a
ffffffffffffffffLLLL
MMMM+ c 30 Z du
u 1 + u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffff=@ arg csch | u | + c 
31 
 
Z tan u du = ln sec uLL MM+ c 
 
35 ♦ Z du
u u 2@ a 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffffff= 1
a
ffff
arc sin u
a
ffffLLLL
MMMM+ c 
32 Z cot u du = ln sen uLL MM+ c 
 
36 Z du
u u 2@ 1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffff= arc sec u + c 
33 
 
Z sec u du = ln sec u + tan uLL MM+ c 
 
37 Z du
u a 2F u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffff=@ 1
a
ffffln a + a
2
F u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
u
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
LLLLLL
MMMMMM+ c 
34 Z csc u du = ln csc u@ cot uLL MM+ c 
 
38 Z du
u 2F a 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffff= ln u + u 2F a 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLL
MMMM+ c 
 
 Substituições trigonométricas Identidades trigonométricas 
 
I a
2
@ u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
u = a A sin z
` a
X^^\
^^Z
 II a
2 + u 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
u = a A tan z
` a
X^^\
^^Z
 III u
2
@ a 2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
u = a A sec z
` a
X^^\
^^Z
 
 
 
(1) sin2 x = 1@ cos 2x2
fffffffffffffffffffffffffffff
 
 
(2) cos2 x = 1 + cos 2x2
ffffffffffffffffffffffffffff
 
(3) sin² x + cos²x = 1 
 
(4) sec² x =1 + tan² x 
 
(5) csc² x = 1 + cot² x 
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1 INTEGRAL INDEFINIDA, ANTI-DERIVADA E PRIMITIVA 
A seguir os conceitos básicos, definições, símbolos e notações para o estudo de Integrais. 
 
 
Z f x` adx = F x` a+ c ^ F x` a+ cb c. = F. x` a= f x` a 
 
A integral da função f (x) é F(x) se e somente a derivada da função ( F(x) + c ) for igual a f (x). 
 
Z . . . . . . . . . . . . é o sinal de integração. 
 
y = f (x) . . . . . . é a função integrando. 
 
 dx . . . . . . . . . . . isto indica a variável a que estamos nos referindo. 
 
 c . . . . . . . . . . . . é a constante arbitrária, pode variar, entre C, c, K, k, e etc. 
 
* Não esqueça de carregar a constante no final do processo de integração, caso contrário estará se referindo apenas a uma 
função “ F(x) + 0 ” , fazendo c = 0 , mas a integral não se refere propriamente a esta função, e sim a família de funções tais 
que suas respectivas derivadas são iguais a função integrando. 
 
Integração ou Anti-derivação é o processo para se determinar a função a qual queremos integrar. 
 
A primitiva de f (x) é a função F(x) tal que sua derivada F’(x) = f (x) . 
E a integral então é a família de todas a primitivas, isto por que pode-se adicionar uma constante arbitrária a primitiva, e 
mesmo assim a derivada será igual a função integrando. 
 
1 – Seja t = f (x) uma função e sua derivada dt = f’(x)dx. 
 
2 – Se queremos encontrar a integral de f’(x)dx , então procuramos pela primitiva f (x) . Por isso diz-se que a integração é o 
processo inverso ao da derivação, logo a integral é também conhecida como a Anti-derivada. 
Porém não existe regras para se integrar uma função assim como na derivação, o processo é bastante intuitivo, contudo existem 
as integrais imediatas, e métodos para transformar uma integral aparentemente impossível numa imediata, e é assim que 
acontece o processo de integração. As integrais imediatas são obtidas ao se derivar as funções elementares, compare a tabela de 
integrais imediatas (elementares) com a tabela geral de derivadas, você vai perceber que para se dar bem no estudo de integrais 
terá de saber muito sobre derivada. 
 
 
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2 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (MUDANÇA DE VARIÁVEL) 
Algumas integrais podem ser resolvidas aplicando-se o método da substituição de variável, este processo existe devido à regra 
da cadeia, que pode visto em derivada e diferencial. Veja a demonstração: 
 
Da regra da cadeia sabemos que: 
 
(1) [ F( g(x)) ]’ = F’[g(x)].g’(x) 
 
Da definição de integral: 
 
Z f t` adt = F t` a+ c ^ F. t` a= f t` a 
Substituindo t = g(x) F. g x` aB C= f g x` aB C 
 
Substituindo em (1): [ F( g(x)) ]’ = f [g(x)].g’(x) 
 
Integrando a equação: 
 
Z F g x` ab cD E. dx =Z f g x` aB CA g . x` adx
F g x
` aB C
=Z f g x` aB CA g . x` adx
 
 
Agora fazemos g(x) = u , então du = g’(x)dx , substituindo: 
 
Z f u` adu = F u` a+ c 
 
Na aplicação desse método deve analisar qual função devemos fazer a substituição, para que a integral obtida seja mais 
simples. 
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3 FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA 
No processo de integração podemos chegar a algumas das formas abaixo, então aplicamos as fórmulas 
para simplificar o cálculo da integral. As demonstrações foram omitidas(podem ser vistas em livros de 
cálculo). 
 
Trigonométricas: 
 
1 - Z sinn u` adu =@ 1
n
ffff
sinn@ 1 u
` a
A cos u
` a
+
n@ 1
n
fffffffffffffffZ sinn@ 2 u` adu 
 
2 - Z cosn u` adu = 1
n
ffff
cosn@ 1 u
` a
A sin u
` a
+
n@ 1
n
fffffffffffffffZ cosn@ 2 u` adu 
 
3 - Z tann u` adu = 1
n@ 1
ffffffffffffffftann@ 1 u` a@Z tann@ 2 u` adu 
 
4 - Z cotn u` adu =@ 1
n@ 1
fffffffffffffff
cotn@ 1 u
` a
@Z cotn@ 2 u` adu 
 
5 - Z sec n u` adu = 1
n@ 1
fffffffffffffff
sec n@ 2 u
` a
A tan u
` a
+
n@ 2
n@ 1
ffffffffffffffffZ sec n@ 2 u` adu 
 
6 - Z csc n u` adu =@ 1
n@ 1
fffffffffffffff
csc n@ 2 u
` a
A cot u
` a
+
n@ 2
n@ 1
ffffffffffffffffZ csc n@ 2 u` adu 
 
Integração por frações parciais, quando no denominador há funções quadráticas que se repetem e são 
irredutíveis. 
 
7 - Z du
u 2 + a 2
b cnffffffffffffffffffffffffffffff= u u
2 + a 2
b c1@ n
2a 2 n@ 1
` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff+ 2n@ 3
2a 2 n@ 1
` afffffffffffffffffffffffffffffffZ du
u 2 + a 2
b cn@ 1ffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
 
4 SUBSTITUIÇÕES PARA FUNÇÕES ESPECIAIS 
Substituições para funções integrando envolvendo raízes quadradas e trinômios quadrados. 
 
A seguir, mais substituições, isso quando houver um dos casos abaixo na função integrando. 
 
1 - ax 2 + bx + cq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=F apwwwwwwwwwwwwwwwwwwwx + t
 
* Se a > 0 no trinômio ax² + bx + c . 
 
2 - ax 2 + bx + cq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= xt F cpwwwwwwwwwwwwwwwww
 
* Se c > 0 no trinômio ax² + bx + c . 
 
3 - ax 2 + bx + cq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= x@ r
` a
t
 
* Se o trinômio ax² + bx + c tem raízes reais, r é qualquer uma das raízes do trinômio. 
 
 
OBS: Esse tipo de substituição é tão complicado quanto às trigonométricas, use um livro para auxiliá-lo. 
 
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5 EXEMPLOS 
Integral indefinida da tangente. 
 
Calcule a seguinte integral. Z tan x dx . 
 
Solução: 
 
Z tan x dx =Z sin x
cos x
fffffffffffffffdx = I 
 
Substituindo adequadamente: 
 
cos x = u , du = – sin x dx 
 – du = sin x dx 
 
I =Z @ du
u
fffffffff g
=@Z du
u
ffffffff
 , assim aplicando a integral #4 temos: 
 
I =@ ln u
LL MM=@ ln cos xLL MM+ c , mas por propriedades de logaritmos: 
I = ln cos x
` a@ 1LLLL
MMMM+ c
I = ln sec x
LL MM+ c 
 
Portanto Z tan x dx = ln |sec x| + c . 
 
 
*Estudo incompleto, poderá ser atualizado futuramente.