Ótima Apostila 3ª Unidade - MAT174 - UFBA - com exercícios resolvidos

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1 Interpolação......................................................................................................................................... 2 
1.1 Interpolação Linear ..................................................................................................................... 2 
1.2 Diferenças divididas.................................................................................................................... 3 
1.3 Diferenças Finitas ....................................................................................................................... 5 
1.4 Interpolação Parabólica............................................................................................................. 11 
2 Integração Numérica......................................................................................................................... 12 
2.1 Métodos de Newton-Cotes........................................................................................................ 12 
2.1.1 Método Dos Trapézios...................................................................................................... 15 
2.1.2 Método de Simpson (1ª regra) .......................................................................................... 17 
2.1.2.1 Outra dedução da 1ª regra de Simpson ......................................................................... 18 
2.1.3 Segunda Regra de Simpson .............................................................................................. 20 
3 Diferenciação Numérica ................................................................................................................... 21 
3.1 Solução numérica de um PVI de 1ª ordem ............................................................................... 24 
3.2 Método de Euler........................................................................................................................ 25 
3.3 Método de Runge-Kutta............................................................................................................ 29 
 
 
 
 
 
 
 
lucas
Lápis
lucas
Lápis
lucas
Lápis
lucas
Lápis
lucas
Lápis
lucas
Lápis
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1 Interpolação 
1.1 Interpolação Linear 
Seja a função )(xfy ==== dada pele tabela abaixo: 
 
)(
..................
)(
)(
)(
23
12
00
nn xfy
xfy
xfy
xfy
====
====
====
====
 
 
tabela esta obtida através da expressão analítica de )(xf , ou de determinações 
experimentais. Considerando a figura abaixo, temos: 
 
Temos 
____
____
____
____
CA
BA
EC
DB
==== , ou ∴∴∴∴
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
 )()(
)()(
12
1
12
1
xx
xx
xfxf
xfxf
 
 
(((( ))))1
12
12
1
)()()()( xx
xx
xfxf
xfxf −−−−
−−−−
−−−−
++++==== 
Exemplo: Interpolar o seno de 22º )º22(( f na tabela abaixo: 
 
64279,040
50000,030
34202,020
17365,010
00000,00 
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
 
 
37461,0)34202,05,0(
2030
202234202,022 ====−−−−





−−−−
−−−−
++++====sen 
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1.2 Diferenças divididas 
 
x )(xf .ª1 Dif ..ª2 divDif DivididaDif .ª3 DivididaDif .ª4 
0x -- )( 0xf ],[ 10 xxf ],,[ 210 xxxf ],,,[ 3210 xxxxf ],,,,[ 43210 xxxxxf 
1x -- )( 1xf ],[ 21 xxf ],,[ 321 xxxf ],,,[ 4321 xxxxf 
2x -- )( 2xf ],[ 32 xxf ],,[ 432 xxxf 
3x -- )( 3xf ],[ 43 xxf 
4x -- )( 4xf 
 
A primeira diferença dividida é definida como: 
 
[[[[ ]]]]
10
10
10
)()(
,
xx
xfxf
xxf
−−−−
−−−−
==== 
 
analogamente, as diferenças de ordem superior são definida como: 
 
10
2110
210
],[],[],,[
xx
xxfxxf
xxxf
−−−−
−−−−
==== 
 
 
30
321210
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−−−−
−−−−
==== 
 
....................................................................................... 
 
40
21110
110
],....,,[],....,,[],,...,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf nnnn
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
 
 
 
Desenvolvendo as expressões das diferenças divididas dos numeradores, resulta: 
 
 
 
))....()().....()((
)(],,,,[
11100
43210
pkkkkkkk
k
p
k xxxxxxxxxx
xf
xxxxxf
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
====
++++−−−−====
∑∑∑∑ 
Equação 1 
 
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Sendo por definição: 
 
[[[[ ]]]]
10
10
10
)()(
,
xx
xfxf
xxf
−−−−
−−−−
==== 
Resulta: 
 
],[)()()( 000 xxfxxxfxf −−−−++++==== 
Como: 
 
],,[)(],[],[ 101100 xxxfxxxxfxxf −−−−++++==== 
 
Se substituirmos teremos: 
 
],,[))(](,[)()()( 10101000 xxxfxxxxxxfxxxfxf −−−−−−−−−−−−++++==== 
 
Generalizando, temos: 
 
],,.........,,[))....()()((
],,.........,,[))....()()((
..........................],,,[))()((
],,[))(](,[)()()(
210210
2101210
3210210
10101000
nn
nn
xxxxfxxxxxxxx
xxxxfxxxxxxxx
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxf
−−−−−−−−−−−−−−−−++++
++++−−−−−−−−−−−−−−−−++++
++++++++−−−−−−−−−−−−++++
++++−−−−−−−−−−−−++++====
−−−−
 
Equação 2 
 
Que é fórmula de interpolação, por diferenças divididas, de Newton, onde a última parcela se 
refere ao erro de arredondamento. 
 
Das Equações 1 e 2, é obtida a Fórmula de Lagrange: 
 
)(()(
0
kk
n
k
xfLxf ∑∑∑∑
====
==== 
 
onde: 
 
))......()()......()((
).().........)(().........)(()(
1110
1110
nkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
====
++++−−−−
++++−−−− 
 
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Exemplo: Seja a tabela: 
x )(xP 
1 10 
2 15 
4 20 
5 30 
 
Interpolar o valor de )3(P . 
 
...66666,16533333,131066666,1 
30.)45)(25)(15(
)43)(23)(13(20.)54)(24)(14(
)53)(23)(13(
 
15.)52)(42)(12(
)53)(43)(13(10.)51)(41)(21(
)53)(43)(23()3(
====−−−−++++++++−−−−====
====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
++++
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
++++
++++
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
++++
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
====P
 
 
1.3 Diferenças Finitas 
Uma diferença finita de uma função )(xf é o valor da função no ponto 1x menos o valor da 
função no ponto 2x . 
 
Algebricamente é representada como )()( 21 xfxf −−−− . 
 
Geometricamente é: 
 
 
 
Onde: 
 
central. diferença de chamada é )(
 )regressiva (edescendent )(
); ouascendene( )(
i
i
i
xf
eoudifernçadechamadaéxf
aprogressivdifernçadechamadaéxf
δδδδ
→→→→∇∇∇∇
→→→→∆∆∆∆
 
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Considerando uma função )(xf , tabulada com espaçamentos iguais em seus valores de x, 
teremos: 
 
x )(xf ∆∆∆∆ 2∆∆∆∆ 3∆∆∆∆ 4∆∆∆∆ 5∆∆∆∆ 
0 0 10 0 20 60−−−− 150 
1 10 10 20 40−−−− 90 
2 20 30 20−−−− 50 
3 50 10 30 
4 60 40 
5 100 
 
As diferenças ascendentes (as quais utilizaremos no curso) na tabela anterior para o ponto 0x 
são: 
150)0(
60)0(
20)0(
0)0(
10)0(
5
4
3
2
====∆∆∆∆
−−−−====∆∆∆∆
====∆∆∆∆
====∆∆∆∆
====∆∆∆∆
f
f
f
f
f
 
 
Para o ponto 3====x , teremos: 
 
30.(3) 
 10(3) 
====∆∆∆∆
====∆∆∆∆
fedescendentDifernça
efascendenteDifernça
 
 
 
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A fórmula de Newton pode ser apresentada como: 
 
)).......()((............................................... 
))()(())(()()(
211
3214213121
nn xxxxxxa
xxxxxxaxxxxaxxaaxf
−−−−−−−−−−−−++++++++
++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++====
−−−−
 
 
se substituirmos x pornxxxx ,......,,, 321 teremos: 
 
...........................................................................
))(()()(
)()(
)(
2313313213
12212
11
xxxxaxxaaxf
xxaaxf
axf
−−−−−−−−++++−−−−++++====
−−−−++++====
====
 
 
)......(....................).........)((
.....))(()()(
121111
2111311211
nnnnn
nnnn
xxxxxxa
xxxxaxxaaxf
−−−−−−−−−−−−++++
++++++++−−−−−−−−++++−−−−++++====
++++++++++++++++
++++++++++++++++
 
 
Os coeficiente 1321 ,.......,, ++++naaaa podem ser achados por substituições sucessivas. 
 
Quando consideramos os intervalos iguais, temos: 
 
nn xxxxxxh −−−−========−−−−====−−−−==== ++++12312 ......... 
 
Substituindo h no sistema anterior vem: 
 
...........................................................................
))(2()2()2(
)()(
)(
3211
211
11
hhahaahxf
haahxf
axf
++++++++====++++
++++====++++
====
 
 
)..(].........)1)[((
.....)])1)[(()()(
1
3211
hhnnha
hnnhanhaanhxf
n −−−−++++
++++−−−−++++++++====++++
++++
 
 
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que, quando resolvido resulta em: 
 
...........................................................
2
)()(2)2(
)()(
)(
2
111
3
11
2
11
h
xfhxfhxf
a
h
xfhxf
a
xfa
++++++++−−−−++++
====
−−−−++++
====
====
 
 
É então possível simplificas estas expressões, notando que os denominadores podem ser 
expressos por: 
)!1(1 −−−−−−−− ihi 
 
Donde obtemos: 
n
n
n hn
xf
a
h
xf
a
h
xf
a
xfa
!
)(
.......................
!2
)(
!1
)(
)(
1
1
2
1
2
3
1
2
11
∆∆∆∆
====
∆∆∆∆
====
∆∆∆∆
====
====
++++
 
Que para o coeficiente ia , é: 
 
1
1
1
)!1(
)(
−−−−
−−−−
−−−−
∆∆∆∆
==== i
i
i hi
xf
a 
 
Logo: 
 
).......().........)((
!
)(
.......................
................))()((
!3
)(
.................
))((
!2
)()(
!1
)()()(
21
1
3213
1
3
212
1
2
1
1
1
nn
n
xxxxxx
hn
xf
xxxxxx
h
xf
xxxx
h
xf
xx
h
xf
xfxf
−−−−−−−−−−−−
∆∆∆∆
++++
++++++++−−−−−−−−−−−−
∆∆∆∆
++++
++++−−−−−−−−
∆∆∆∆
++++−−−−
∆∆∆∆
++++====
 
 
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Trocando a variável hporx , usando convenientemente a expressão: uhxx ++++==== 1 , Teremos: 
 
)]1([])1([)()(
....................................................................
)2()2()()(
)1()()()(
)(
11
113
112
1
−−−−−−−−====−−−−++++−−−−++++====−−−−
−−−−====++++−−−−++++====−−−−
−−−−====++++−−−−++++====−−−−
====−−−−
nuhhnxuhxxx
uhhxuhxxx
uhhxuhxxx
uhxx
n
 
 
Substituindo, teremos: 
 
)]1().......[2)(1(
!
)(
............ 
)1(
!2
)(
!1
)()()(
1
1
2
1
1
−−−−−−−−−−−−−−−−
∆∆∆∆
++++++++
++++−−−−
∆∆∆∆
++++
∆∆∆∆
++++====
nuuuu
n
xf
uu
xf
u
xf
xfxf
n
 
 
Exemplo: Consideremos a tabela de diferenças finitas, abaixo: 
 
x )(xf ∆∆∆∆ 2∆∆∆∆ 3∆∆∆∆ 4∆∆∆∆ 
1 30 20 10−−−− 30 30−−−− 
3 50 10 20 0 
5 60 30 20 
7 90 50 
9 140 
 
Aplicando a fórmula de Newton para intervalos iguais, teremos para o ponto 4====x : 
 
uhxx ++++==== 1 , e como 4 e 1 ,2 1 ============ xxh , vem: 
 
5,1
2
14
====∴∴∴∴
−−−−
==== uu 
Então: 
 
671875,53703125,0875,175,33030 
)5,1)(5,0(5,0.5,1.
24
)30()5,0(5,0.5,1.
6
305,0.5,1.
2
)10()5,1(2030 
)35,1)(25,1)(15,1(5,1.
!4
)30(
 
)25,1)(15,1(5,1.
!3
30)15,1(5,1.
!2
)10(5,1.
!1
2030)5,1(
====−−−−−−−−−−−−++++====
====−−−−−−−−
−−−−
++++−−−−++++
−−−−
++++++++====
====−−−−−−−−−−−−
−−−−
++++
++++−−−−−−−−++++−−−−
−−−−
++++++++====f
 
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Resolvendo o mesmo problema por diferenças divididas teremos: 
 
 
x )(xf ∆∆∆∆ 2∆∆∆∆ 3∆∆∆∆ 4∆∆∆∆ 
1 30 10 25,1−−−− 625,0 078125,0−−−− 
3 50 5 5,2 0 
5 60 15 5,2 
7 90 25 
9 140 
 
 
79
90140
−−−−
−−−−
 
 
 
Aplicando a fórmula de Newton para diferenças divididas, temos para o ponto 4====x : 
 
 
671875,53 
73125,0875,175,33030 
)74)(54)(34)(14)(078125,0( 
)54)(34)(14)(625,0()34)(14)(25,1()14)(10()30()(
====
====−−−−−−−−−−−−++++====
====−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++
++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++====xf
 
 
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1.4 Interpolação Parabólica 
Dada a tabela: 
x )(xP 
20 34202,0 
25 42252,0 
30 50000,0 
 
calcular o seno de 22º. 
 
Se usarmos a expressão 32
2
1)( axaxaxP ++++++++==== e nela substituirmos os valores dos pontos da 
tabela, vem: 
 
50000,030900
42262,025625
34202,020400
321
321
321
====++++++++
====++++++++
====++++++++
aaa
aaa
aaa
 
 
E resolvendo o sistema, teremos: 
 
3746464,0)22(01258,0019018,0.220000644,0.484)22(
logo,
01258,0 e 019018,0 ,0000644,0 321
====∴∴∴∴−−−−++++====
−−−−========−−−−====
PP
aaa
 
 
Outro sistema pode ser obtido, assumindo a parábola como: 
 
)25)(20()20()( 321 −−−−−−−−++++−−−−++++==== xxaxaaxP 
 
Substituindo os valores tabulados, temos: 
 
321
21
1
)5)(10(1050000,0
542262,0
34202,0
aaa
aa
a
++++++++====
++++====
====
 
 
Resolvendo por substituição sucessiva vem: 
 
0000644,0
01612,0
34202,0
3
2
1
−−−−====
====
====
a
a
a
 
 
 
37429864,0))3)(2(0000644,0()22(1612,034202,0)22( ====−−−−−−−−++++++++====P 
Material sujeito a correções 
 
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2 Integração Numérica 
2.1 Métodos de Newton-Cotes 
Surge da idéia de calcular )(xf em certo número finito de pontos, fazendo uma interpolação 
polinomial e integrando o polinômio ao invés de )(xf . 
 
Isto é: Se são conhecidos 1++++n pontos de )(xf 
 
)(,(, ....... ),(,( ),(,( ),(,( 1221100 ++++nn xfxxfxxfxxfx 
 
e como o objetivo é calcular a integral de )(xf , dxxfb
a∫∫∫∫==== )(ττττ e só dispomos de pontos da 
função, obtemos a expressão do polinômio )(xP de grau máximo n que passe por estes 
pontos e aproximamos o valor da integral para: 
 
 
dxxPb
a∫∫∫∫==== )(ττττ 
Equação 3 
 
 
 
 
A obtenção de )(xP pode ser feita pelos métodos de Newton ou pelo método de Lagrange. 
 
Quando os pontos constituem uma tabela de pontos equivalentes, este processo é conhecido 
como método de Newton-Cotes, no caso ainda de mais particular em que ax −−−−0 e bxn −−−− , 
obtemos as fórmulas fechadas de Newton-Cotes. 
 
No caso geral, o problema pode ser resolvido com a Equação 4, onde )(xP é obtido através de 
uma das fórmulas citadas no parágrafo anterior. 
 
Material sujeito a correções 
 
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Nos métodos fechados de Newton-Cotes, temos: 
 
nihhxx
bxax
ii
n
,......,3,2,1,0 e 0 com 
 ,
1
0
====>>>>====−−−−
========
++++
 
 
e podemos dizer que aos pontos conhecidos provêm da partição do intervalo de integração em 
n partes iguais, ou seja: 
 
n
xxh x −−−−==== 
 
A integral aproximada seria 
 
dxxPnx
x n∫∫∫∫==== 0 )('ττττ 
Equação 5 
 
onde )(xPn é um polinômio de interpolação obtido por diferenças finitas. 
 
Finalmente observamos que, como se trata de uma tabela de pontos eqüidistantes, podemos 
fazer uma mudança de variáveis de x para u , como método de Newton por diferenças 
finitas. 
 
Teremos então; 
 
duuPn n∫∫∫∫==== 0 )('ττττ 
Equação 6 
 
sendo: 
 
h
xx
u 0
−−−−
==== 
 
Esta última fórmula Equação 4 resolve o problema dos métodos“fechados” de Newton-Cotes. 
Estes métodos usuais, se entanto, se baseiam na partição do intervalo de integração em mn 
subintervalos que contém 1++++n pontos da tabela, sendo dois nas extremidades. 
 
Aplicando-se um método “fechado” de Newton-Cotes a cada subintervalo, o valor de 'ττττ será a 
soma de todas as integrais ao do intervalo ],[ ba , 
 
Obtêm-se assim as fórmulas compostas cuja precisão se revela plenamente satisfatória em 
casos ordinários. 
Material sujeito a correções 
 
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Por exemplo: 
 
 
Onde (P2= iP2 ) e: 
 
..
intervalo. ésimo-i do 2 grau de enterpolantpolinômioi o é 
..
..
intervalo, 1º do 2 grau de enterpolantpolinômioi o é 
2
1
2
iP
P
 
 
Assim: 
 
'
2
'
2
'
1 .........' nττττττττττττττττ ++++++++++++==== 
 
Donde: 
 
dxxPdxxPdxxP n
n
x
x
x
x
x
x ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
−−−−
++++++++++++====
2
4
2
2
0
)(......)()(' 121212ττττ 
 
Material sujeito a correções 
 
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2.1.1 Método Dos Trapézios 
 
No caso de 1====m , teremos o método dos trapézios, onde cada integral parcial é aproximada 
pela área de um trapézio. 
 
 
 
Calculando as expressões )....,,.........2,1(,' niττττ pela Equação 4, vem: 
 
111 1
)(
−−−−−−−−
∆∆∆∆





++++==== ii
i fufuP ou 111 )( −−−−−−−− ∆∆∆∆++++==== iii fufuP 
 
Por outro lado, para cada valor 'iττττ temos: h
xx
u i 1−−−−
−−−−
==== e usando a Equação 4 vem: 
 
11
1
0
2
11
1
0 11
'
2
 
2
( 
)(
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
∆∆∆∆++++====
====


∆∆∆∆++++====
====∆∆∆∆++++==== ∫∫∫∫
ii
ii
iii
fhhf
ufufh
dufufhττττ
 
 
Como: 11 −−−−−−−− −−−−====∆∆∆∆ iii fff , vem: )(2 1
'
−−−−
++++==== iii ffhττττ 
 
O valor de 'ττττ que chamaremos de tττττ , é: 
 
)2......22(
2 1210 nnt
fffffh ++++++++++++++++++++====
−−−−
ττττ 
Equação 7 
 
Que é a fórmula dos trapézios para a aproximação de integrais numericamente. 
Material sujeito a correções 
 
 Página 16 de 31 
Quando 1−−−−n temos a fórmula fechada de Newton-Cotes para um subintervalo. 
 
[[[[ ]]]]102' ff
h
++++====ττττ 
 
onde podemos notar que quanto maior o valor de n , mais exata será a aproximação, 
considerando-se apenas o erro intrínseco ao processo. 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 17 de 31 
2.1.2 Método de Simpson (1ª regra) 
Uma aproximação, bem melhor, da integral pode ser obtida quando usamos parábolas do 2º 
grau interpoladas em cada subintervalo. 
 
 
 
Neste caso 2====m e n deve ser par. 
 
Seja a Equação 5 dxxPi
i
x
x∫∫∫∫
−−−−
====
2
22
)(' '2ττττ onde temos h
xx
u i 22 −−−−
−−−−
==== , então: 
 
2222222 21
)(
−−−−−−−−−−−−
∆∆∆∆





++++∆∆∆∆





++++==== iii
i fufufuP 
Integrando, teremos: 
 



 ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++====
====








∆∆∆∆






−−−−++++∆∆∆∆++++====
====∆∆∆∆−−−−++++∆∆∆∆++++====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−∫∫∫∫
22
2
2222
2
0
22
2
23
22
2
22
2
0 22
2
2222
'
3
12 
 
462
 
))
2
)1((
iii
iii
iiii
fffh
fuufuufh
dufuufufhττττ
 
como: 
 
2212222
2
221222
2
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
++++−−−−====∆∆∆∆
−−−−====∆∆∆∆
iiii
iii
ffff
e
fff
 
 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 18 de 31 
vem: 
 
)
33
2
3
222( 22122221222' −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ++++−−−−++++−−−−++++==== iiiiiii
ffffffhττττ 
 
donde: 
 
[[[[ ]]]]22122' 43 −−−−−−−− ++++++++==== iiii fff
h
ττττ 
 
O valor de 'iττττ que chamaremos de sττττ , será: 
 
[[[[ ]]]]∑∑∑∑
====
−−−−−−−−
++++++++====
2
1
22122 43
n
i
iiis fffhττττ 
 
isto é: 
 
[[[[ ]]]]nnni fffffffh ++++++++++++++++++++++++++++==== −−−−−−−− 123210' 42.........4243ττττ 
 
Que é conhecida como fórmula da 1ª regra de Simpson e só pode ser aplicada para para um 
número de pontos ímpar. 
 
2.1.2.1 Outra dedução da 1ª regra de Simpson 
Consideremos um polinômio )(2 xP que passe pelos pontos 2 e 1 ,0 110 ============ xxx . 
 
 
que é um polinômio de segundo Grau. 
Material sujeito a correções 
 
 Página 19 de 31 
O polinômio tem a seguinte expressão: 
 
221100 )()()()( yxLyxLyxLxP ++++++++==== 
 
onde: 
 
)(
2
1
)12)(02(
)1)(0()(
)2()21)(01(
)2)(0()(
)23(
2
1
)20)(10(
)2)(1()(
2
2
2
1
2
0
xx
xx
xL
xxxx
xx
xL
xx
xx
xL
−−−−====
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====
++++−−−−====−−−−====
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====
++++−−−−====
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====
 
 
daí: 
 
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]21021020
210
2
0
2
0
23
2
2
0
23
1
2
0
23
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
1
2
0
2
0
2
0
2
0 22
2
0 11
2
0 00
2
0
2
0 22
2
0 11
2
0 00
2
0
2
0 221100
2
0
4
3
1
33
4
3
)(
2
3
8
2
14
3
84
2
12
3
8
2
1)(
232
1
2
2
3
2
2
3
32
1)(
)(
2
1)2()23(
2
1)(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
yyyyyydxxP
yyydxxP
ttyttytttydxxP
dxttydxttydxxxydxxP
dxxLydxxLydxxLydxxP
dxyxLdxyxLdxyxLdxxP
dxyxLyxLyxLdxxP
++++++++====++++++++====












−−−−++++



++++−−−−++++











++++−−−−====
















−−−−++++





++++
−−−−
++++
















++++−−−−====
−−−−++++++++−−−−++++++++++++====
++++++++====
++++++++====
++++++++====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
 
 
No caso geral em que hxxhxxhx ++++====++++====≠≠≠≠≠≠≠≠ 12010 e ,1 ,0 . Por meio de uma mudança de 
variável recaímos no caso anterior )1 e 0( 0 ======== hx . 
 
[[[[ ]]]]21020 43
1)( yyydxxP ++++++++====∫∫∫∫ 
Material sujeito a correções 
 
 Página 20 de 31 
Exemplo: Seja calcular a integral numérica da curva dada pela tabela abaixo ente os pontos 
10x e 2 ========x pelo método se Simpson 1ª regra: 
 
x y 
2 28 
4 54 
6 38 
8 27 
10 12 
 
Os intervalos entre os pontos x são constantes. Logo 2====h 
 
[[[[ ]]]] 44012)27(4)38(2)54(428
3
2'
====++++++++++++++++====iττττ 
 
2.1.3 Segunda Regra de Simpson 
De forma análoga a dedução da 1ª regra a expressão da segunda regra de Simpson é obtida 
aproximando-se a função )(xf por um polinômio interpolador de Gregory-Newton do 3º grau 
)(3 xP . 
∫∫∫∫∫∫∫∫ ========ΙΙΙΙ
b
a
b
a
dxxPdxxf )()( 3 
 
dxyuuuyuuuyyb
a∫∫∫∫ 


 ∆∆∆∆−−−−−−−−++++∆∆∆∆−−−−++++++++====ΙΙΙΙ 0
3
0
2
00 !3
)2)(1(
!2
)1(
 
 
3
0
0
3
234
0
2
23
0
2
0 4624462 







∆∆∆∆






++++−−−−++++∆∆∆∆






−−−−++++∆∆∆∆++++====ΙΙΙΙ yuuuyuuyuuyh 
 
Que resulta em: 
 
[[[[ ]]]]3210 338
3 yyyyh ++++++++++++====ΙΙΙΙ 
 
Que também é conhecida como a regra dos 
8
3
. 
A mesma só pode ser aplicada para os seguintes números de pontos: 19,...... 16, 13, 10, 7, 4,. 
 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 21 de 31 
3 Diferenciação Numérica 
Equações diferenciais ordinárias ocorrem com muita freqüência na descrição de fenômenos da 
Natureza. 
 
Ex.: Podemos supor que sob determinadas condições ambientais, a taxa de crescimento de 
uma colônia de bactérias seja proporcional ao número de indivíduos num dado tempo; se 
)(ty for o número de indivíduos num tempo t , temos a equação ))(()( tykty ==== . 
 
Nem sempre é possível obter uma solução analítica para uma Equação Diferencial Ordinária 
(EDO) e nestes casos os métodos numéricos são a saída para encontrar uma solução 
aproximada. 
 
Ex.: As equações xyyyxy ++++====++++==== 222 6'' e ' não podem ser resolvidas em termos de 
funções elementares. 
 
Consideremos a equação 2xy ==== , que é a equação de uma parábola. Consideremos, também, 
x
dx
dy 2==== . 
 
Esta última equação, à sua maneira descreve uma parábola. Ou seja: ao invés de termos, 
explicitamente o valor de y para cada x , ela descreve a inclinação (ou direção) da parábola 
em cada ponto da mesma. 
x
dx
dy 2==== 
é chamada de uma EDO. 
 
Diferencial, devido a relação entre derivadas e ordinária pois a derivada é comum (não uma 
derivada parcial 
x
y
∂∂∂∂
∂∂∂∂
). 
 
Além disso, como 2xy ==== satisfaz a exigência de que xdx
dy 2==== para cada x, dizemos que 
2xy ==== é uma solução da EDO xdx
dy 2==== . 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 22 de 31 
 
 
Do cálculo conhecemos a forma como se apresenta uma equação diferencial de ordem n. 
 (((( )))))()2()1( ..,,.........,,, nn yyyyxfy ==== 
 
onde: 
 
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]

→→→→
∈∈∈∈
========
Rbaydx
ydy l
l
l
,
ba,x
 n,1,2,3,....l 
 
1. yyy 23 )1()2( −−−−==== é uma EDO de segunda ordem com yyyyxf 23),,( )1()1( −−−−==== . 
 
Associadas a esta equação podem existir condições cujo número coincide com a ordem 
da EDO. Se tais condições se referem a um único valor de x , temos um problema de 
valor inicial (PVI), caso contrário temos um problema de valores de contorno. 
 
2. O PVI seguinte é de 2ª ordem: 
 
 





====
−−−−====
−−−−====
0)0(
1)0(
23
)1(
)1()2(
y
y
yyy
 Equação 8 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 23 de 31 
Trataremos de métodos numéricos para conseguir os valores de )(xy , em pontos distintos 
daqueles das condições iniciais associadas aos PVI’s. 
 
O tipo de PVI será o mais simples: (1ª ordem). 
 



========
====
dado. número um sendo )(
),(
00
)1(
ηηηηηηηηyxy
yxfy
 
 
PVI’s de ordem superior podem ser reduzidos a PVI’s de 1ª ordem através variáveis auxiliares. 
 
EX.: 





====
−−−−====
−−−−====
0)0(
1)0(
23
)1(
)1()2(
y
y
yyy
, para reduzir à 1ª ordem, basta fazer: 





====
====
====
0
e 
:teremos e '
)0(
)1()2(
z
zy
zy
, logo: 
 







====
−−−−====
−−−−====
====
0
23
1
)0(
)1(
)0(
)1(
z
yzz
y
zy
 
 
Este problema tem solução única se a função ),( yxf satisfaz: 
 
1. É definida e contínua na faixa: )( com , ∞∞∞∞<<<<<<<<−∞−∞−∞−∞≤≤≤≤≤≤≤≤ ybxa , onde a e b são finitos. 
2. Existe uma constante L tal que para todo [[[[ ]]]]bax ,∈∈∈∈ e todo par de números * e yy 
temos **,(),( yyLyxfyxf −−−−≤≤≤≤−−−− . 
 
Então existe uma função )(xy , satisfazendo: 
 
• )(xy é contínua e diferenciável para todo [[[[ ]]]]bax ,∈∈∈∈ ; 
• [[[[ ]]]] e , para )),(,()()1( baxxyxfxy ∈∈∈∈==== 
• ηηηη====)(ay , onde ηηηη é um número dado. 
 
Observemos que a condição 2 acima será satisfeita se ),( yxf tem derivada contínua em 
relação a y e limitada na faixa em questão, pois então, do teorema do valor médio: 
 
))(,(),(),( *
_
* yyyx
y
fyxfyxf −−−−∂∂∂∂
∂∂∂∂
====−−−− 
onde y é um valor entre y e *y . 
Material sujeito a correções 
 
 Página 24 de 31 
A existência de 
y
f
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 não é necessária para que a equação do item 2 seja satisfeita. É bom 
notar que L na é em geral, possível de ser computado. 
 
3.1 Solução numérica de um PVI de 1ª ordem 
Suponhamos que o PVI 





====
−−−−====
−−−−====
0)0(
1)0(
23
)1(
)1()2(
y
y
yyy
 satisfaça as condições de existência e unicidade. 
Para obtermos sua solução numérica, tomemos “m” subintervalos de [[[[ ]]]] )1( com ,, ≥≥≥≥mba , e 
façamos jhxx j ++++==== 0 onde 
m
abh )( −−−−==== para mj ...,,.........2,1,0==== e [[[[ ]]]]bax j ,∈∈∈∈ . 
 
 
A solução numérica )(xym é a função linear por partes, cujo gráfico é uma poligonal com 
vértice nos pontos ),( jj yx onde jy foi calculado usando algum método numérico 
 
 
Se por exemplo nm 2==== , então 
nn
abh
2
−−−−
==== para ,........2,1,0====n , teremos uma seqüência de 
funções poligonais {{{{ }}}})(xyn que convergem uniformemente para a solução )(xy do PVI. 
 
 
Convém observar que os métodos numéricos vistos em seguida têm por objetivo calcular os 
vértices {{{{ }}}},,,.........,, 21 no yyyy . 
 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 25 de 31 
Convencionou-se usar a notação mjxy j ,....,2,1,0 ),( ==== para indicar a solução exata o PVI nos 
pontos hx j ΙΙΙΙ∈∈∈∈ . 
 
A notação jj yxy ≅≅≅≅)( significa que jy é aproximação para )( jxy , com hx j ΙΙΙΙ∈∈∈∈ . 
 
 
3.2 Método de Euler 
Seja o PVI: 



========
====
ηηηη00
)1(
)(
),(
yxy
yxfy
 
 
Desejamos as aproximações nyyyy .,,.........,, 321 , para as soluções exatas 
nyxyxy .,,.........),(),( 21 . 
Observemos a figura abaixo: 
 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 26 de 31 
Como desconhecemos o valor de )( 1xy , tomemos 1y como aproximação de )( 1xy . Para isto 
tracemos a tangente T á curva )( xy no ponto (((( )))))(, 00 xyx , cuja equação é: 
 
)(')()()( 000 xyxxxyxy −−−−====−−−− 
 
Fazemos 1xx ==== e lembrando que (((( )))))(,)(' 000 xyxfxy ==== e )( 11 xyy ≅≅≅≅ , temos: 
 
(((( )))))(, 0001 xyxhfyy ++++==== 
 
O erro cometido na aproximação de )( 1xy por 1y é )( 111 xyye −−−−==== (diferença entre a 
solução numérica e a solução exata. 
 
Generalizando, teremos: 
 (((( )))) 1,.......,2,1,0 com 1 −−−−====−−−−++++====++++ mjyxhfyy jjjj 
Equação 9 
 
Cujo erro é: 
 
)( 111 ++++++++++++ −−−−==== jjj xyye 
 
O método de EULER consiste em calcular recursivamente as fórmulas: 
 



−−−−====++++====
========
++++ 1..,.........2,1,0 ),(
)(
)B(
)A(
1
0
mjyxhfyy
ayy
jjjj
ηηηη
 
 
 
Estas fórmulas admitem várias interpretações analíticas: 
 
1. Aproximando-se a derivada que aparece no PVI no ponto (((( ))))jj yx , por uma diferença 
dividida vem: 
 
),(1 jjjj yxfh
yy
====
−−−−++++ 
 
E resolvendo-se para 1++++jy , obtemos a Equação 2. 
 
2. Integrando-se (((( )))))(,)(' tytfty ==== entre x e kx ++++ obtemos: 
 
∫∫∫∫
++++
====−−−−++++
rx
x
dttytfxykxy ))((,()()( 
Material sujeito a correções 
 
 Página 27 de 31 
Fazendo-se jxx ==== e hk ==== , 
 
∫∫∫∫
++++
====−−−−++++
1 ))((,()()( 1 jj
x
xjj dttytfxyxy 
 
Aproximando-se a integral de forma bem grosseira: tamanho do intervalo vezes o valor 
do integrando à esquerda e identificando-se )( jxy com jy obtém-se a Equação 2. 
3. Supondo uma expansão da solução )(xy pela série de Taylor em torno de jx , 
 
(((( )))) ....)(
2
1)(,)()( )2(2 ++++++++++++====++++ jjjjhj xyhxyxhfxyxy 
 
Truncando-se a série após o termo em h e identificando-se jxy ==== com jx , teremos 
Equação2. 
 
Ex.: Achar as aproximações para a solução do PVI: 
 
[[[[ ]]]] 1,0 com 1;0 de 
2)0(
2'
====



====
++++−−−−====
h
y
yxy
 
 
onde: 00 ====x , 20 ====y , 0====a , 1====b , 101,0
01
====⇒⇒⇒⇒
−−−−
==== mm . 
 
Usando-se (((( )))) 9...,0,1,2,j ,)(,)()( ====++++====++++ jjjhj xyxhfxyxy 
 
teremos: 
0====j , 
(((( )))) 2)220(1,02)2;0(1,02)2y-(), 0000001 ====++++−−−−++++====++++====++++++++====++++==== fxhyyxhfyy 
 
1,01,00 1101 ====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒++++==== xxhxx 
 
1====j , 
(((( )))) 01,2)221,0(1,02)2;0(1,02)2y-(), 1111112 ====++++−−−−++++====++++====++++++++====++++==== fxhyyxhfyy 
 
2,0)1,0(202 2202 ====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒++++==== xxhxx 
 
2====j , 
(((( )))) 029,2)222,0(1,02)2;2,0(2,02)2y-(), 2222223 ====++++−−−−++++====++++====++++++++====++++==== fxhyyxhfyy 
 
Até o valor 9====j , teremos a tabela a seguir: 
Material sujeito a correções 
 
 Página 28 de 31 
j jx jy )( jxy )( jj xyy −−−− 
0 0 2 2 
1 0,1 2 2,004837 -0,004837 
2 0,2 2,01 2,018731 -0,0083731 
3 0,3 2,029 2,040818 -0,011818 
4 0,4 2,0561 2,070320 -0,014220 
5 0,5 2,09049 2,106531 -0,016041 
6 0,6 2,131441 2,148812 -0,017371 
7 0,7 2,1782969 2,196585 -0,018288 
8 0,8 2,2304672 2,249329 -0,118862 
9 0,9 2,2874205 2,306570 -0,019149 
10 1 2,348684 2,367879 -0,0192201 
 
Olhando-se a tabela notamos que o erro cresce em valor absoluto devido à propagação. 
 
Para determinarmos uma expressão matemática para o erro usamos a fórmula de Taylor e 
desenvolvendo )(xy em torno de 0x , vem: 
 
)(
!1
)()( 0)1(00 xy
xx
xyxy −−−−++++==== 
 
lembrando que: hxx ====−−−− 01 , (((( )))))(,)( 000)1( xyxfxy ==== e 11 )( yxy ==== , podemos escrever: 
 
),( 0001 yxhfyy ++++==== 
Equação 10 
 
O erro é então obtido a partir do resto da fórmula de Taylor: 
 
10
)2(
2
0
 );(
!2
)(
xxyxx <<<<<<<<−−−− εεεεεεεε 
 
como hxx ====−−−− 01 e usando a notação do erro como 1εεεε , vem: 
 
)(
!2
)2(
2
1 εεεεεεεε y
h
==== 
 
Numa etapa j de cálculo teremos: 
 
jjj xxy
h
<<<<<<<<====
−−−−
εεεεεεεεεεεε 1
)2(
2
 );(
!2
 
 
Que é chamado Erro local de truncamento. 
Material sujeito a correções 
 
 Página 29 de 31 
3.3 Método de Runge-Kutta 
Como vimos anteriormente, aumentando-se o número de pontos da malha, aumentamos o 
erro acumulado. 
 
Todos os métodos de passo simples são escritos na forma: 
 
1.,.........2,1,0 ),;;(1 −−−−====++++====++++ mjhyxhyy jjjj φφφφ 
 
onde: φφφφ é a função incremento e h p comprimento do passo. 
 
O método de EULER ),(1 jjjj yxhfyy ++++====++++ é um método de passo simples (ordem um). 
 
Supondo que )(xy possua derivadas sucessivas suficientes, pode-se desenvolver )( hxy ++++ 
em torno de x , através de Taylor: 
 
)(x ),("
!2
)('
!1
)()( hxyhxyhxyhxy ++++<<<<<<<<++++++++====++++ ξξξξξξξξ 
 
como: 
),();;( yxfhyx jj ====φφφφ 
vem: 
 
(((( ))))
[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))ξξξξξξξξ
ξξξξφφφφ
"
!2
)("
!2
,)()(')(
),()()("
!2
)('
!1
)();(,)()(
2
yhyhyxhfxyxhyxy
yxhfxyyhxyhxyhxyxhxyhxy
====++++−−−−−−−−++++====
====−−−−−−−−++++++++====−−−−−−−−++++
 
 
Logo Taylor fornece tantos métodos quantos se queira. 
 
Assim: 
1,......2,1,0 com )("
!2
)('
2
1 −−−−====++++++++====++++ mjxy
h
xhyyy jjjj 
 
Ex.: Achar as aproximações para a solução do PVI abaixo. 
 
[[[[ ]]]] 1,0 com 1;0 de 
2)0(
2'
====



====
++++−−−−====
h
y
yxy
 
 
onde: 00 ====x , 20 ====y , 0====a , 1====b , 101,0
01
====⇒⇒⇒⇒
−−−−
==== mm . 
Material sujeito a correções 
 
 Página 30 de 31 
 
Para 0====j 
 
(((( ))))
005,2
)102(
!2
)1,0()220(1,02
)1(
!2
)2(
)("
!2
)(
1
2
1
00
2
0001
0
2
001
====
−−−−−−−−++++++++−−−−++++====
−−−−−−−−++++++++−−−−++++====
++++++++====
y
y
xyhyxhyy
xyhxyhyy
 
 
1,01,00 1101 ====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒++++==== xxhxx 
 
Para 1====j 
 
(((( ))))
019025,2
)11,0005,2(
!2
)1,0()2005,21,0(1,0005,2
)1(
!2
)2(
)("
!2
)('
1
2
1
11
2
1112
1
2
112
====
−−−−−−−−++++++++−−−−++++====
−−−−−−−−++++++++−−−−++++====
++++++++====
y
y
xyhyxhyy
xyhxyhyy
 
 
2,0)1,0(202 2202 ====⇒⇒⇒⇒++++====⇒⇒⇒⇒++++==== xxhxx 
O que faremos até 9====j . 
 
j jx jy )( jxy )( jj xyy −−−− 
0 0 2 2 
1 0,1 2,005 2,004837 0,000163 
2 0,2 2,019025 2,018731 0,000264 
3 0,3 2,0412176 2,040818 0,000399 
4 0,4 2,0708020 2,070320 0,000482 
5 0,5 2,1070758 2,106531 0,000544 
6 0,6 2,1494036 2,148812 0,000591 
7 0,7 2,1972102 2,196585 0,000625 
8 0,8 2,2499753 2,249329 0,000646 
9 0,9 2,3072276 2,306570 0,000657 
10 1 2,3685410 2,367879 0,000662 
 
Se compararmos com a tabela do método anterior vemos que o erro e bem menor. 
 
 
Material sujeito a correções 
 
 Página 31 de 31 
 
 
)1(21)1).(2(1)("
),().,(),()("
0000000
0000000
−−−−−−−−====−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−++++====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
xyyxyxxy
yx
y
fyxfyx
x
f
xy
 
 
 
 
),(
),(
),()("
00
00
000
yx
y
f
yxf
yx
x
f
xy
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
++++++++
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
 
y) a relação em (y'
)(y'
x) a relação em (y'