EXERCICIO RESOLVIDOS DE ELETRONICA DE POTECANCIA (PARTE2)

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 1 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE RETIFICADORES NÃO CONTROLADOS 
COM CARGA RL E FCEM 
 
1Q) Dado o circuito abaixo, considerando o diodo ideal, determinar : 
a) O ângulo de condução do diodo 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente eficaz na carga 
d) A tensão média na carga 
e) A tensão eficaz na carga 
f) O fator de potência visto pela fonte 
g) Esboce as formas de onda da corrente e da tensão na carga 
 
 
onde e e 
A pode ser obtido das condições iniciais, como 
 
Portanto 
 
Solução do item (a) 
Esta corrente torna-se nula em , portanto: 
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 2 
 
Fixando uma expressão para o ângulo de extinção da corrente: 
Ou 
A derivada desta função é: 
 
O algoritmo de Newton Rapson nos diz que: 
 
Valores utilizados na solução do problema: 
 
 
Usando como valor inicial βo=π. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A corrente média na carga é dada por: 
 
 
Solução do item (b) 
Soluções obtida diretamente na HP. 
 
Solução do item (c) 
O valor eficaz da corrente é: 
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9,697A 
Solução do item (d) 
Tensão média na carga: 
 
Solução do item (e) 
Tensão eficaza na carga: 
 
 
Solução do item (f) 
O fator de potência é: 
 
 
2) Dado o circuito abaixo, determinar : 
a) O ângulo de condução de corrente no diodo 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente eficaz na carga 
d) A tensão média na carga 
e) A tensão eficaz na carga 
f) O fator de potência visto pela fonte 
g) Esboce as formas de onda da corrente e da tensão na carga 
 
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Aplicando o teorema da superposição ao circuito obtemos: 
Devido a fonte de tensão em regime: 
 
Devido a fonte CC 
 
Adicionando as duas situações e o efeito transitório temos para o intervalo : 
 
Observando que o diodo inicia sua condução apenas quando a tensão da fonte CC é 
superada pela tensão de fonte CA, ou seja quando então do a presença do indutor 
 . O valor do ângulo de condução inicial é 
 . 
 
Substituindo na equação original: 
 
Onde t0=0. 
Fazendo and podemos escrever: 
 
Calculando valores a partir dos dados temos: 
 
 
 
Portanto: 
 
Calculando o ângulo de extinção da corrente: 
 
 
 
Admitindo o valor inicial de 
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O ângulo de condução de corrente no diodo é: 
 
A corrente média na carga é: 
 
A corrente eficaz é: 
 
A tensão média na carga é: 
 
 
 
A tensão eficaz na carga é: 
 
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O fator de potência em relação a carga é: 
 
 
3Q) Dado o circuito abaixo, determinar : 
a) O ângulo de condução do diodo 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente eficaz na carga 
d) A tensão média na carga 
e) A tensão eficaz na carga 
f) O fator de potência visto pela fonte 
g) Esboce as formas de onda da corrente e da tensão na carga 
 
O diodo apenas conduz quando a tensão da rede supera a tensão da fonte CC, portanto o 
ângulo inicial de condução é: 
 
O ângulo final de condução ocorre quando a tensão da fonte CA fica menor que a do que a 
tensão CC, e por simetria pode ser calculada por: 
 
O ângulo de condução do diodo é: 
 
Durante a condução, no intervalo, a corrente que circula no circuito 
é dada por: 
 
A corrente média na carga pode ser calculada pela expressão: 
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A corrente eficaz na carga é: 
 
A tensão média na carga é: 
 
 
A tensão eficaz na carga é: 
 
 
O fator de potência visto pela carga é: 
 
 
4) No circuito abaixo, considere que a indutância do indutor é grande o suficiente para 
manter a corrente no mesmo constante e que o circuito opera em regime estacionário. Nesta 
situação determinar: 
a) A tensão nos terminais do diodo D2. 
b) A tensão nos terminais do diodo D1. 
c) As correntes eficazes da fonte, no diodo D1 e no diodo D2. 
d) As correntes médias na fonte, no diodo D1 e no diodo D2. 
e) O fator de potência visto pela carga. 
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Na condição de regime, a corrente na carga é dada por: 
 
A corrente média da fonte CA é dada por: 
 
A corrente eficaz da fonte CA é dada por: 
 
A corrente eficaz na carga é a mesma da corrente média. 
A potência na carga é dada por 
E o fator de potência visto pela fonte é: 
 
Circuito de simulação (PSIM) 
 
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Resultados da simulação de cima para baixo VD1 e VD2. 
 
Resultados da simulação: De cima para baixo, IL, ID1 e ID2. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE RETIFICADORES CONTROLADOS COM 
CARGA RL E FCEM 
 
5) Dado o circuito abaixo, considerando o SCR ideal, determinar : 
a) O ângulo de condução de corrente do SCR. 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente eficaz na carga 
d) A tensão média na carga 
e) A tensão eficaz na carga 
f) O fator de potência visto pela fonte 
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onde e 
A pode ser obtido das condições iniciais, como 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
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A corrente média na carga é dada por: 
Solução do item (b) 
 
Soluções obtida diretamente na HP. 
 
Solução do item (c) 
O valor eficaz da corrente é: 
 
Tensão média na carga: 
 
Solução do item (e) 
Tensão eficaz na carga: 
 
Solução do item (f) 
O fator de potência é: 
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6) Dado o circuito abaixo, considerando o SCR ideal, determinar : 
a) O ângulo de condução de corrente do SCR 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente eficaz na carga 
d) A tensão média na carga 
e) A tensão eficaz na carga 
f) O fator de potência visto pela fonte 
 
7) Dado o circuito abaixo, considerando o SCR ideal, determinar : 
a) O ângulo de condução de corrente do SCR 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente eficaz na carga 
d) A tensão média na carga 
e) A tensão eficaz na carga 
f) O fator de potência visto pela fonte. 
 
 
8) Dado o circuito abaixo, determinar para 
60
: 
a) A corrente média na carga. (1,0 ponto) 
b) A corrente média nos tiristores (1,0 ponto) 
c) A corrente média no diodo de rotação (1,0 ponto) 
d) A corrente eficaz do secundário do trafo (1,0 ponto) 
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e) O fator de potência no secundário do transformador. 
R = 2 O h m s
V p = 2 2 0 V
T 4
V s = 1 8 0 V
T 1
T 3
T 2
 
Considere todos os semicondutores e o transformador ideais e operação com 60Hz.. 
Solução: 
a) Como não existem elementos que armazenam energia na carga do retificador, o ponto de 
comutação dos tiristores coincide com a passagem da rede pelo zero, que é o ponto onde a 
tensão entre o anodo e o catodo dos tiristores em estado LIGADO fica negativa 
desligando-os.Isto ocorre nos semiciclos positivos da rede nos pontos correspondentes aos 
tempos 
 /)12(  kt
 e, para os semiciclos negativos em 
 /2kt 
 sendo k = 0, 1, 2, ... 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
0
50
100
150
200
250
300
tempo em segundo
Te
ns
ão
 e
 c
or
re
nt
e 
na
 c
ar
ga
Retificador controlado monofásico em ponte com carga resistiva
Tensão 
Corrente 
pi/377
2*pi/377
alfa(rad)/377 
 
Formas de onda da tensão e corrente na carga 
 
 
 
 
 
A tensão média na carga é dada por: 
 




coscos
2
1802*2
cos
*60**2
1802*2
)60**2(1802
2
377/
377/
/
/
  Tpi
dttsen
T
E
CC
 
  VE o
CC
54,12160cos1
180*2
 
 
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A
R
E
I CC
CC
77,60
2
54,121

 
b) A corrente média em cada tiristor é dada pela expressão: 
A
I
I CC
TCC
38,30
2
77,60
2

 
c) A corrente média nos diodos é zero. 
d) A corrente média no secundário do transformador é a mesma da carga exceto pelo fato 
da mesma na carga nunca ser negativa, por ser retificador com carga resistiva, enquanto no 
secundário a mesma será alternada, porém será uma onda senoidal distorcida . 
 
 
















 /
/
/
/
2
2
2
)60**2(*2cos122
60*2
22
dt
t
TR
V
dttsen
R
V
T
II SS
SRMS
 
 
   





 








   4
2cos2cos
2
22
2cos
2
122
/
/
/
/




 TR
V
dttdt
TR
V
I SS
S
 
 









4
2
2
22 

sen
TR
V
I S
S
=  








4
60*2cos
2
3/
2
2
2
180*2 

=80,72 A 
 
9) No circuito retificador abaixo, sabendo-se que a tensão eficaz no secundário do 
transformador é 180Vrms, a freqüência 60Hz, que a indutância de dispersão 1,5 mH e que o 
circuito está operando em regime permanente, calcular: 
a) A tensão média na carga. 
b) A corrente média na carga. 
c) A corrente média em cada diodo. 
d) A corrente eficaz no secundário 
e) A corrente eficaz em cada diodo. 
f) O fator de potência no secundário do transformador. 
g) A tensão eficaz medida no secundário do transformador. 
 
R = 2 O h m s4
V p = 2 2 0 V V x r m s
D
sL
D 1
D 3
D 2
o~L = o
E = 5 0 V
 
 
SOLUÇÃO: 
a) A tensão contínua na carga para a condição de transformador e tiristores ideais é: 
V
V
E s
idealCC
05,162
180*22*22
_
 
 
a tensão média subtraída da saída devido ao indutor de dispersão é dada por: 
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



CCcCCc
CC
ILILf
E 
***2*2
, assim: 
R
L
E
V
IIR
L
EEERIEE
c
s
CCCC
c
idealCCCCCCidealCC














2
*22
__
 
AII
dCC
48,47
2
10.5,1*377*2
50
180*22
3






 
 
 
 
b) A corrente média em cada diodo pode ser obtida de: 
 
AIII
dCCDdD
74,232/ 
 
 
a) A corrente eficaz no secundário é obtida da análise das formas de onda abaixo: 
 
 Formas de onda da tensão e corrente no secundário do transformador. 
V s2
- 2 V s
0
i ( t )
s
- I d
0
I d




v ( t )
s
T e n s ã o n o s e c u n d á r i o d o t r a n s f o r m a d o r
C o r r e n t e n o s e c u n d á r i o d o t r a n s f o r m a d o r
t
t
 + 





 +


2 
 
d
I
 é a corrente média na carga do retificador 
CCd
II 
. 
No intervalo 
 /0  t
 teremos o circuito equivalente com os diodos D1 e D4 
conduzindo simultaneamente devido a comutação com uma indutância muito grande na 
carga e considerando a resistência do enrolamento secundário zero.: 
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E = 5 0 V
R = 2 O h m s
L = oo~
V p = 2 2 0 V V s = 1 8 0 V
T 4
E m c o n d u ç ã o
E m c o n d u ç ã o
L s = 1 , 5 m H
T 1
T 3
T 2
 
 


)(
0
)(2)(2
)()(2
)(
ti
Id
t
s
s
s
s
ss
d
L
tsenV
d
L
tsenV
tditsenV
dt
tdi
L  onde λ e τ são 
variáveis auxiliares. A integração acima permite a obtenção da expressão: 
 )cos(1
2
)( t
L
V
Iti
s
s
d
 
 para a região 
 /0  t
 
Utilizando o mesmo raciocínio para a região 
 /)(/  t
 obtemos: 
 )cos(1
2
)( t
L
V
Iti
s
s
d



 para a região 
 /)(/  t
 
observe que esta última expressão também é válida para a região 
 /0  t
 se 
considerarmos a tensão aplicada igual a 
)(2 tsenV
s

, com isto utilizaremos o mesmo 
intervalo de integração para a obtenção do valor eficaz da corrente no secundário do 
transformador. 
 
O ângulo de comutação é calculado a partir da expressão da corrente de comutação no 
intervalo 
 /0  t
. 
  




















 
SS
d
s
s
d
s
s
dd
I
I
L
V
I
L
V
II
2
1cos
2
2
1coscos1
2 11

 
onde 
A
L
V
I
s
s
SS
14,450
10.5,1*377
180*22
3


 de onde 
o9,37
14,450
48,47*2
1cos 1 





 
 
A corrente eficaz no secundário pode ser obtida de 
     






  /)(
/
2
2/
/
/
0
22
)cos(12cos1
1
dttIIdtIdtII
T
I
SSddSSdS
 
lembrando que  
2
cos1 

SSd
II
 
  
  











 

4
)2(
cos1
2
22
)cos1(
)cos1(22
2
1
cos1
1
2
2
2
2
222
/
0
2



senI
senI
senIIIIdtII
T
SS
SS
SSSSSSSSSSd
 
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 20 
  
  











 


4
)2(
cos1
2
22
)cos1(
)cos1(22
2
1
)cos(1
1
2
2
2
2
222
/)(
/
2




senI
senI
senIIIIdttII
T
SS
SS
SSSSSSSSSSd







 
 2
)cos1(
)cos1(
22
12
22
22
2/
/



SS
SSd
I
IdtI
T
 
Somando estes termos obtemos: 
  






2
)2(
2)cos1(23)cos1(
22
2
2 
sen
sen
I
I SS
S
 
 
  






2
)9,37*2(
9,372
180
9,37)9,37cos1(23)9,37cos1(
22
14,450 2
2 o
o
o
ooo
S
sen
senI

AI
S
7,44
 
e) A corrente eficaz em cada diodo é dada por: 
A
I
I S
DRMS
61,31
2
7,44
2
_

 
f) O fator de potência é dado por: 
855,0
7,44*180
50*48,472*48,47 2
2





SS
dd
IV
EIRI
FP
 
g) A tensão eficaz medida no secundário do transformador será: 
  







  4
)*2(
2
1
2)(2
2
,_
/
/
2
__



sen
VdttsenV
T
V
mNoSNomSrealS
 
V
sen
V
oo
alS
86,174
4
)9,37*2(
2
180/*9,371
*180*2
Re_










 
Note que está tensão ocorre após a reatância de dispersão do trtansformador. 
 
A figura abaixo mostra a simulação deste exercício realizada com o MatLab. 
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 21 
0.15 0.155 0.160.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195
-50
0
50
100
150
200
250
co
rre
nt
e 
no
 s
ec
un
dá
rio
 e
m
 a
m
pe
re
tempo em segundo
Tensão na carga RLE 
Corrente no secundário do transformador 
 
 
 
CASO DE TRANSFORMADOR COM REATÂNCIA DE DISPERSÃO 
10) No retificador abaixo, sabe-se que a tensão eficaz no primário do transformador é 
180V, que o mesmo opera com 60Hz, que o resistor é de 5Ω, que a indutância em série com 
a carga é 0,2H e que o transformador tem uma indutância de dispersão igual a 1,2mH, 
determinar para a condição de operação em regime: 
a) A corrente média na carga, no diodo retificador e no diodo de roda livre. 
b) A tensão média na carga. 
c) A tensão eficaz na carga. 
d) A corrente eficaz no secundário do transformador. 
e) A corrente eficaz na carga, no diodo retificador e no diodo de roda livre. 
f) O fator de potência na saída do transformador. 
 
Re ( t )s
e ( t )p
1 : 1
L
s
E s e n ( t )= p i c oe ( t )p L > > R /
i ( t )
i ( t )
i ( t )
R L
D
L

 
SOLUÇÃO: 
)*60**2(*180*2)()( tsentete
sp
 
A tensão média na carga do circuito para a condição de transformador ideal pode ser 
calculada por: 

SS
CC
V
dttsen
T
V
E
2
)(
2
 
=
V03,81
180*2


 
Como 
 4,752,0*60**2 L e  5R ou seja RL  podemos considerar um 
caso de carga muito indutiva sendo a corrente na carga constante e seu valor médio 
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 22 
aproximadamente igual a seu valor eficaz. A indutância de dispersão tem o efeito de 
retardar a comutação da corrente entre o diodo D e o diodo de roda livre (RL) curto-
circuitando momentaneamente o secundário do transformador e conseqüentemente 
diminuindo o valor médio da tensão e da corrente na carga.. A análise abaixo mostra os 
efeitos da indutância de dispersão sobre os valores médio da tensão na carga e da corrente 
eficaz no transformador. 
Nos intervalos de comutação vale a expressão 
)()( titiII
RLDdCC

, ou seja o diodo de 
retificação e o diodo de roda livre operam com conduzindo simultaneamente durante as 
comutações da corrente. Com isto, durante as comutações, o circuito equivalente visto 
pelos terminais do transformador é: 
L
V sV p
c
 
e a corrente de comutação nos intervalos 
   /2/2  ktk com ...3,2,1,0k é 
dada por, 
 d
L
senV
tddt
L
tsenV
tditsenV
dt
tdi
L
t
c
s
ti
c
s
Ds
D
c
D
 
0
)(
0
)(2
)(
)(2
)()(2
)(
 
onde γ e τ são variáveis auxiliares. Resolvendo essas equações obtemos: 
)cos1()cos1(
2
)( tIt
L
V
ti
SS
c
s
D
 
 para 
   /2/2  ktk 
Note que a partir desta expressão podemos obter uma outra para calcular o vaç]lor do 
ângulo de comutação μ, em 
 t
 temos que 
dD
Ii )/( 
 ou 
)cos1( 
SSd
II
 o que implica que 






 
SS
d
I
I
1cos 1
. 
onde 
c
S
SS
L
V
I

2

 que é a corrente de curto-circuito no intervalo considerado. 
Ao consideramos os intervalos 
   /)12(/)12(  ktk onde ocorrem os 
semiciclos negativos da rede elétrica vemos que a forma de onda no diodo retificador é a 
mesma que no diodo de roda livre nos intervalos 
   /2/2  ktk , como 
)cos1()()(
)(
tIItitiIi
SSdRLDdtRL
 . Como )cos1(  SSd II temos que, 
  cos)cos()(  tIti
SSRL
 para 
   /2/2  ktk 
A figura abaixo mostra isto. 
METAHEURO.COM.BR Prof. José Roberto Marques V.1.0 
 23 
V s2
- 2 V s
0
i ( t )
s
I d


v ( t )
s
T e n s ã o n o s e c u n d á r i o d o t r a n s f o r m a d o r
C o r r e n t e n o s e c u n d á r i o d o t r a n s f o r m a d o r
t

+

 
2 
t

 + 



0
2
i ( t )
D
i ( t )
R L
 
A variação da tensão média na carga pode ser calculada pela expressão: 
)cos1(
2
)cos1(
2
22
)(2
2
/
0


 
SS
SCC
VV
dttsenV
T
E
 
Como 




dc
c
S
dS
SS
dS
CCSSd
IL
L
V
IV
I
IV
EII 
2
*
2
*
2
)cos1(
 
No ponto 
dD
Iit  )/( 
 com 
0)/( 
RL
i
 daí teremos 








 
SS
d
SSCCd
I
I
III 1cos)cos1( 1 
como 
AI
SS
68,562
10.2,1*60**2
180*2
3


 
A variação de tensão média na carga pode ser calculada por, 





dc
c
S
dS
SS
dsS
SCC
IL
L
V
IV
I
IVV
dttsenV
T
E  
2
22
)cos1(
2
)(2
2
/
0
 
a) Podemos então, calcular a corrente média na carga considerando o efeito da reatância de 
dispersão sobre o retificador ideal. 
A
L
R
V
IIRI
ILV
c
S
dCCd
dcS 75,15
10.2,1*60**2
5
180*22
2
3














 
As correntes médias no diodo retificador e no diodo de roda livre são iguais 
AII
DCCRLCC
875,72/75,15
__

 
b) A tensaão média na carga para o caso real será: 
VEE
CCCC
76,78
75,15*10.2,1*60**2
03,8103,81
3



 
c) A tensão eficaz na carga será: 
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 24 
  







  4
)*2(
22
1
2)(2
1
,_
/
/
2
__



sen
VdttsenV
T
V
mNoSNomSrealS
 
V
sen
V
oo
alS
10,127
4
)6,13*2(
2
180/*6,13
2
1
*180*2
Re_










 
d) A corrente de curto-circuito é 
AI
SS
68,562
10.2,1*60**2
180*2
3


 
O ângulo de comutação pode ser calculado de, 
rado 2372,06,13
68,562
75,15
1cos 1 





 
 
A corrente eficaz no secundário do transformador pode ser calculada de: 
         





  


   /
/
2
/
0
/
0
222
cos1cos)cos()cos(1
1
dtIdttIdttI
T
I
SSSSSSS
      





  


   /
/
2
/
0
/
0
22
2
2
cos1cos)cos()cos(1 dtdttdtt
T
I
I SS
S
 
      





 


  /
/
2
/
0
22
/
0
2
2
2
cos1)(cos)cos(cos2)(cos)(cos)cos(21 dtdtttdttt
T
I
I SS
S
  






2
)2(
2cos21)cos1(
2
1 2 
sen
senII
SSS
 
  AsensenI
o
o
o
oo
S
04,11
2
)6,13*2(
)6,13(2*
180
6,13
)6,13cos(21)6,13cos1(
2
1
68,562 2 





 
 e) A corrente eficaz na carga é igual a corrente média em função do ripple da corrente ser 
muito pequeno. 
g) O fator de potência pode ser calculado pela razão entre a potência dissipada pelo resistor 
de carga e a potência aparente fornecida pelo transformador. 
624,0
04,11*180
5*75,15 2
FP
 
pode-se observar do resultado, que os retificadores monofásicos de meia-onda apresentam 
valores muito baixos de fator de potência. 
 
11) No circuito retificador abaixo, sabendo-se que a tensão eficaz no secundário do 
transformador é 180Vrms, a freqüência 60Hz, que a indutância de dispersão 1,5 mH e que o 
circuito está operando em regime permanente, calcular: 
h) A tensão média na carga. 
i) A corrente média na carga. 
j) A corrente média em cada diodo. 
k) A corrente eficaz no secundário 
l) A corrente eficaz em cada diodo. 
m) O fator de potência no secundário do transformador. 
n) A tensão eficaz medida nosecundário do transformador. 
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 25 
 
R = 2 O h m s4
V p = 2 2 0 V V x r m s
D
sL
D 1
D 3
D 2
o~L = o
E = 5 0 V
 
 
SOLUÇÃO: 
a) A tensão contínua na carga para a condição de transformador e tiristores ideais é: 
V
V
E s
idealCC
05,162
180*22*22
_
 
 
a tensão média subtraída da saída devido ao indutor de dispersão é dada por: 




CCcCCc
CC
ILILf
E 
***2*2
, assim: 
R
L
E
V
IIR
L
EEERIEE
c
s
CCCC
c
idealCCCCCCidealCC














2
*22
__
 
AII
dCC
48,47
2
10.5,1*377*2
50
180*22
3






 
b) A corrente média em cada diodo pode ser obtida de: 
 
AIII
dCCDdD
74,232/ 
 
 
b) A corrente eficaz no secundário é obtida da análise das formas de onda abaixo: 
 
 Formas de onda da tensão e corrente no secundário do transformador. 
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 26 
V s2
- 2 V s
0
i ( t )
s
- I d
0
I d




v ( t )
s
T e n s ã o n o s e c u n d á r i o d o t r a n s f o r m a d o r
C o r r e n t e n o s e c u n d á r i o d o t r a n s f o r m a d o r
t
t
 + 





 +


2 
 
d
I
 é a corrente média na carga do retificador 
CCd
II 
. 
No intervalo 
 /0  t
 teremos o circuito equivalente com os diodos D1 e D4 
conduzindo simultaneamente devido a comutação com uma indutância muito grande na 
carga e considerando a resistência do enrolamento secundário zero.: 
E = 5 0 V
R = 2 O h m s
L = oo~
V p = 2 2 0 V V s = 1 8 0 V
T 4
E m c o n d u ç ã o
E m c o n d u ç ã o
L s = 1 , 5 m H
T 1
T 3
T 2
 
 


)(
0
)(2)(2
)()(2
)(
ti
Id
t
s
s
s
s
ss
d
L
tsenV
d
L
tsenV
tditsenV
dt
tdi
L  onde λ e τ são 
variáveis auxiliares. A integração acima permite a obtenção da expressão: 
 )cos(1
2
)( t
L
V
Iti
s
s
d
 
 para a região 
 /0  t
 
Utilizando o mesmo raciocínio para a região 
 /)(/  t
 obtemos: 
 )cos(1
2
)( t
L
V
Iti
s
s
d



 para a região 
 /)(/  t
 
observe que esta última expressão também é válida para a região 
 /0  t
 se 
considerarmos a tensão aplicada igual a 
)(2 tsenV
s

, com isto utilizaremos o mesmo 
intervalo de integração para a obtenção do valor eficaz da corrente no secundário do 
transformador. 
 
O ângulo de comutação é calculado a partir da expressão da corrente de comutação no 
intervalo 
 /0  t
. 
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 27 
  




















 
SS
d
s
s
d
s
s
dd
I
I
L
V
I
L
V
II
2
1cos
2
2
1coscos1
2 11

 
onde 
A
L
V
I
s
s
SS
14,450
10.5,1*377
180*22
3


 de onde 
o9,37
14,450
48,47*2
1cos 1 





 
 
A corrente eficaz no secundário pode ser obtida de 
     






  /)(
/
2
2/
/
/
0
22
)cos(12cos1
1
dttIIdtIdtII
T
I
SSddSSdS
 
lembrando que  
2
cos1 

SSd
II
 
  
  











 

4
)2(
cos1
2
22
)cos1(
)cos1(22
2
1
cos1
1
2
2
2
2
222
/
0
2



senI
senI
senIIIIdtII
T
SS
SS
SSSSSSSSSSd
 
  
  











 


4
)2(
cos1
2
22
)cos1(
)cos1(22
2
1
)cos(1
1
2
2
2
2
222
/)(
/
2




senI
senI
senIIIIdttII
T
SS
SS
SSSSSSSSSSd







 
 2
)cos1(
)cos1(
22
12
22
22
2/
/



SS
SSd
I
IdtI
T
 
Somando estes termos obtemos: 
  






2
)2(
2)cos1(23)cos1(
22
2
2 
sen
sen
I
I SS
S
 
 
  






2
)9,37*2(
9,372
180
9,37)9,37cos1(23)9,37cos1(
22
14,450 2
2 o
o
o
ooo
S
sen
senI

AI
S
7,44
 
e) A corrente eficaz em cada diodo é dada por: 
A
I
I S
DRMS
61,31
2
7,44
2
_

 
f) O fator de potência é dado por: 
855,0
7,44*180
50*48,472*48,47 2
2





SS
dd
IV
EIRI
FP
 
g) A tensão eficaz medida no secundário do transformador será: 
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 28 
  







  4
)*2(
2
1
2)(2
2
,_
/
/
2
__



sen
VdttsenV
T
V
mNoSNomSrealS
 
V
sen
V
oo
alS
86,174
4
)9,37*2(
2
180/*9,371
*180*2
Re_










 
Note que está tensão ocorre após a reatância de dispersão do trtansformador. 
 
A figura abaixo mostra a simulação deste exercício realizada com o MatLab. 
0.15 0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195
-50
0
50
100
150
200
250
co
rre
nt
e 
no
 s
ec
un
dá
rio
 e
m
 a
m
pe
re
tempo em segundo
Tensão na carga RLE 
Corrente no secundário do transformador 
 
 
 
 
 
12) Dado o circuito abaixo, determinar para 
60
: 
f) A corrente média na carga. (1,0 ponto) 
g) A corrente média nos tiristores (1,0 ponto) 
h) A corrente média no diodo de rotação (1,0 ponto) 
i) A corrente eficaz do secundário do trafo (1,0 ponto) 
j) O fator de potência no secundário do transformador. 
R = 2 O h m s
V p = 2 2 0 V
T 4
V s = 1 8 0 V
T 1
T 3
T 2
 
Considere todos os semicondutores e o transformador ideais e operação com 60Hz.. 
Solução: 
a) Como não existem elementos que armazenam energia na carga do retificador, o ponto de 
comutação dos tiristores coincide com a passagem da rede pelo zero, que é o ponto onde a 
tensão entre o anodo e o catodo dos tiristores em estado LIGADO fica negativa 
desligando-os. Isto ocorre nos semiciclos positivos da rede nos pontos correspondentes aos 
tempos 
 /)12(  kt
 e, para os semiciclos negativos em 
 /2kt 
 sendo k = 0, 1, 2, ... 
METAHEURO.COM.BR Prof. José Roberto Marques V.1.0 
 29 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
0
50
100
150
200
250
300
tempo em segundo
Te
ns
ão
 e
 c
or
re
nt
e 
na
 c
ar
ga
Retificador controlado monofásico em ponte com carga resistiva
Tensão 
Corrente 
pi/377
2*pi/377
alfa(rad)/377 
 
Formas de onda da tensão e corrente na carga 
 
 
 
 
 
A tensão média na carga é dada por: 
 




coscos
2
1802*2
cos
*60**2
1802*2
)60**2(1802
2
377/
377/
/
/
  Tpi
dttsen
T
E
CC
 
  VE o
CC
54,12160cos1
180*2
 
 
A
R
E
I CC
CC
77,60
2
54,121

 
b) A corrente média em cada tiristor é dada pela expressão: 
A
I
I CC
TCC
38,30
2
77,60
2

 
c) A corrente média nos diodos é zero. 
d) A corrente média no secundário do transformador é a mesma da carga exceto pelo fato 
da mesma na carga nunca ser negativa, por ser retificador com carga resistiva, enquanto no 
secundário a mesma será alternada, porém será uma onda senoidal distorcida . 
 
 















 /
/
/
/
2
2
2
)60**2(*2cos122
60*2
22
dt
t
TR
V
dttsen
R
V
T
II SS
SRMS
 
 
   





 








   4
2cos2cos
2
22
2cos
2
122
/
/
/
/




 TR
V
dttdt
TR
V
I SS
S
 
METAHEURO.COM.BR Prof. José Roberto Marques V.1.0 
 30 
 









4
2
2
22 

sen
TR
V
I S
S
=  








4
60*2cos
2
3/
2
2
2
180*2 

=80,72 A 
 
 
GRADADORES 
 
13) Dado o circuito da figura Grad1 abaixo, determinar os valores do ângulo de 
controle de modo a se obter um controle da potência aplicada na carga entre 30% e 
80% do valor máximo possível. Considere a fonte e os tiristores ideais. Admita que 
os SCR tem di/dtmax = 50 A/us e especifique um indutor de proteção para evitar 
falhas dos tiristores. Elabore um circuito de controle para a realização desta tarefa 
de controle entre os limites estabelecidos acima. 
 
+
~ V s = 3 4 0 V ( r m s )f = 6 0 H z
R = 8
T 1
T 2

 
Figura Grad1 
 
A potência máxima possível na carga é: 
A potências sob controle desejadas são: 
 e 
A tensão eficaz na carga é função do ângulo de controle, ou seja: 
 
Assim temos: 
 
A variável desejada no problema é α, portanto: 
 
Cuja derivada em relação a α é: 
 
Com isso temos: 
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e 
 
Substituindo os valores: 
 
 
e 
 
 
Determinação de 
Aplicando o método de Newton-Rapson usando um valor inicial para ambos os caso de 
 temos: 
 
 
Repetindo para a determinação de 
 
 
 
 
Assim 
 e 
. 
 
Proteção com relação a di/dt 
 
Por exemplo: 
 
14) Dado o circuito abaixo, determinar a corrente eficaz na carga para o ângulo e os valores 
especificados na figura Grad2 e o fator de potência. Verifique se a corrente é contínua ou 
descontínua.Admita que os tiristores e a fonte são ideais. 
Qual é a corrente de pico nos tiristores: 
 
 -0,4712 -1 
1,0996 -0,0334 -0,7939 
1,0575 -0,000728 -0,7589 
1,0566 -0,0000003944 -0,7581 
 
 -0,4712 -1 
1,0996 0,7520 -0,7939 
2,0468 -0,1275 -0,7900 
1,8854 0,0097 -0,9042 
1,8962 0,000034271 -0,8978 
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Figura Grad2 
A corrente na carga flui entre e tem a forma: 
 
Admitindo condução descontínua de corrente, temos para 
. Assim no intervalo 
especificado: 
 que uniformizando para ângulos em 
radianos dá: 
 
 
 
Programe sua HP para resolver o problema. Não se esqueça de colocá-la para operar com 
radianos: 
(n) I(n ) (I(n ))’  (n+1) 
 0,59573 -0,790522 3,92057 
3,92057 -0,134958 -0,98826 3,78401 
3,78401 0,0406262 -0,99542 3,78482 
3,78482 -0,000028753 -0,99655 3,784794 
3,784794 -0,0000000000017 -0,996548 3,7847944 
 
Observe que que é menor que 
 que é o ponto de gatilhamento do SCR companheiro no semiciclo negativo, 
isto caracteriza descontinuidade na corrente do circuito, ou seja, toda vez que um dos 
tiristores dispara a corrente no circuito, devido ao semiciclo anterior já caiu para zero. 
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A corrente eficaz na carga do circuito é: 
 
A potência dissipada na carga é: 
O fator de potência “visto” pela fonte é: )=0,768 
A corrente de pico no tiristores pode ser calculada utilizando-se o teorema de máximos e 
mínimos: 
 
 
 
Aplicando Newton-Rapson com valor inicial de 
(n) I(ωtn ) (I(tn ))’ t (n+1) 
 0,666935 -0,885006 2,32439 
2,32439 -0,836382 -1,025973 2,24287 
2,24287 0,000412876 -1,035064 2,24327 
2,24327 0,0000000058055 -1,035034 2,243268 
2,243268 -0,0000000000012 --1,035034 2,243268 
 
A corrente de pico ocorre em do início 
de cada semiciclo. A corrente de pico é: 
 
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A tensão eficaz a carga é calculada por: 
 
 
 
UTILIZANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPSON NA HP-48GX 
(RPN) 
Um problema de eletrônica de potência onde o ângulo de extinção da corrente no 
circuito abaixo somente pode ser obtido pela equação transcendental mostrada abaixo deve 
ser resolvido pelo método de Newton-Rapson. 
O problema: 
Determinar o valor de β (ângulo de extinção da corrente em cada ciclo da fonte de 
alimentação) no circuito esquematizado abaixo: 
 
Assim: 
 
A derivada da expressão acima em relação a β é: 
 
 
Admitindo o valor inicial de que corresponde a 
situação da fonte cc invertendo a polaridade do diodo no caso do indutor L curto-
circuitado. 
 O algoritmo de Newton-Rapson nos diz que: 
 
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Assim o cálculo dos valores de β poder ser calculados até obtermos um valor 
bastante próximo de zero para a corrente , que admitiremos como solução do 
problema. 
A solução do problema pode ser implementada em uma calculadora HP48GX 
utilizando o seguinte procedimento: 
 
Pressione as teclas na seguinte sequência: 
 
 
ENTER 
‘ 
Pressione alpha mantendo-a pressionada e digite 
FUNC 
Solte a tecla alpha e pressione 
ENTER 
O visor de sua calculadora deverá mostra uma opção FUNC que corresponde a função 
que você criou. 
Repita o procedimento para a derivada da função acima. 
 
 
ENTER 
‘ 
Pressione alpha mantendo-a pressionada e digite 
FLIN 
Solte a tecla alpha e pressione 
ENTER 
O visor de sua calculadora deverá mostra uma opção FLIN que corresponde a função 
que você criou. 
Você pode testar seus algoritmos usando o seguinte método (RPN) e a máquina deverá 
operar em radianos: 
Tecle 2.8815 ENTER 
‘ X’ STORE 
Com isso você armazenará o valor inicial de beta na variável X ( . 
Pressione alpha X ENTER e a função FUNC e você deverá, obter: 28.5030111. 
Pressione alpha X ENTER e a função FLIN e você deverá, obter: -15.121314. 
 
 
ENTER 
‘ 
Pressione alpha mantendo-a pressionada e digite 
NEWT 
Solte a tecla alpha e pressione 
ENTER 
STO 
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Se você for pressionando a tecla correspondente a NEWT você irá obtendo os valores de β 
Para cada interação. Da seguinte forma: 
4.7664559517 
3.75891074955 
3.88153369438 
3.87903166048 
3.8790308453 
3.87903084531 
3.87903084531 
Quando o valor de β começar a repetir, isso significa que a precisão possível da máquina 
foi atingida.