2017 06 26 Lista de exercícios 05 EDO de 1a ordem

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UFBA - Ca´lculo C - 2017/1 Turma 1
Lista de Exerc´ıcios 5 - EDO de 1a ordem
(1) Um pequeno lago conte´m, inicialmente, 1.000.000 de galo˜es (aproximadamente 4.550.000 litros)
de a´gua e uma quantidade desconhecida de um produto qu´ımico indeseja´vel. O lago recebe a´gua
contendo 0,01 grama dessa mesma substaˆncia por gala˜o a uma taxa de 300 galo˜es por minuto. A
mistura sai a mesma taxa, de modo que a quantidade de a´gua no lago permanece constante. Suponha
que o produto qu´ımico esta´ distribu´ıdo uniformemente no lago.
(a) Escreva uma equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o e´ a quantidade de produto qu´ımico no lago em
um instante qualquer.
(2) No exemplo dado em sala da bola de ferro em queda livre, a hipo´tese f´ısica de que a resisteˆncia do ar
e´ proporcional a velocidade e´ boa para objetos de massa pequena. Pore´m, para objetos com massa
maior, caindo mais rapidamente, e´ preciso supor que a resisteˆncia do ar e´ proporcional ao quadrado
da velocidade.
(a) Escreva uma equac¸a˜o diferencial para a velocidade de uma objeto em queda de massa m se a
resisteˆncia do ar e´ proporcial ao quadrado da velocidade.
(3) Sua piscina, contendo 60.000 galo˜es (cerca de 273.000 litros) de a´gua, foi contaminada por 5 kg de
uma tinta na˜o to´xica que a deixa a pele de um nadador com uma cor verde nada atraente. O sistema
de filtragem da piscina pode retirar a a´gua, remover a tinta e devolver a´gua para a piscina a uma
taxa de 200 gal/min (atenc¸a˜o com as unidades de medida).
(a) Seja q(t) a quantidade de tinta na piscina em qualquer instante de tempo t. Modele q(t) atrave´s
de uma equac¸a˜o diferencial.
(4) Nos itens abaixo, determine a ordem da equac¸a˜o diferencial e classifique em linear ou na˜o-linear.
(a) t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sent.
(b) (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et.
(c)
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
+
dy
dt
+ y = 1.
(d)
dy
dt
+ ty2 = 0.
(e)
d2y
dt2
+ sen(t+ y) = sent.
(f)
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2 t)y = t3.
(5) Nos itens abaixo, verique que a func¸a˜o (ou func¸o˜es) dada(s) e´ (sa˜o) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) da equac¸a˜o
diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et y2 = cosh t.
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t y2(t) = et.
(c) ty′ − t = t2; y = 3t+ t2.
(d) y′′′′ + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) =
t
3
y2(t) = e
−t +
t
3
.
(e) 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2 y2(t) = t−1.
(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t−2 y2(t) = t2 ln t.
(g) y′′ + y = sec t, 0 < t < pi2 ; y = (cos t) ln cos t+ tsent.
(h) y′ − 2ty = 1; y = et2
∫ t
0
e−s
2
ds+ et
2
.
1
2
(6) Com relac¸a˜o a Questa˜o 3.
(a) Resolva a EDO que modela o problema.
(b) Voceˆ convidou alguns amigos para uma festa em torno da piscina que esta´ marcada para comec¸ar
em 4 horas. Voceˆ ja´ verificou que o efeito da tinta e´ impercept´ıvel se a concentrac¸a˜o e´ menor
do que 0,02 g/gal. Seu sistema de filtragem e´ capaz de reduzir a concentrac¸a˜o de tinta a esse
n´ıvel em 4 horas?
(c) Encontre o instante t em que a concentrac¸a˜o de tinta alcance, pela primeira vez, o valor de
0,02 g/gal.
(d) Qual deveria ser a taxa do fluxo de a´gua no filtro suficiente para obter a concentrac¸a˜o de
0,02 g/gal dentro de 4 horas?
(7) Encontre a soluc¸a˜o da EDO linear de 1a ordem com condic¸a˜o inicial.
(a) y′ − y = 2tet, y(0) = 1.
(b) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0.
(c) ty′ + 2y = t2 − t+ 1, t > 0, y(1) = 1/2.
(d) y′ +
2
t
y =
cos(t)
t2
, t > 0, y(pi) = 0.
(e) y′ − 2y = e2t, y(0) = 2.
(f) ty′ + 2y = sen(t), t > 0, y(pi/2) = 1.
(g) t3y′ + 4t2 = e−t, t > 0, y(−1) = 0.
(h) ty′ + (t+ 1)y = t, t > 0, y(ln(2)) = 1.
(8) Mostre que a EDO e´ separa´vel e encontre a soluc¸a˜o.
(a) y′ =
x2
y
.
(b) y′ + y2sen(x) = 0.
(c) y′ = (cos2(x))(cos2(2y)).
(d)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
.
(e) y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6.
(f)
dr
dθ
=
r2
θ
, r(1) = 2.
(g) y′ =
2x
1 + 2y
, y(2) = 0.
(h) y′ =
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(9) Mostre que a EDO e´ exata e encontre a soluc¸a˜o.
(a) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0.
(b) 3x2 − 2xy + 2 + (6y2 − x2 + 3)dy
dx
= 0.
(c) 2xy2 + 2y + (2x2y + 2x)y′ = 0.
(d)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
(e) (exsen(y)− 2y sen(x))dx+ (ex cos(y) + 2 cos(x))dy = 0.
(f) (yexy cos(2x)− 2exysen(2x) + 2x)dx+ (xexy cos(2x)− 3)dy = 0
(g)
(y
x
+ 6x
)
dx = (2− ln(x))dy, x > 0.
(h)
x
(x2 + y2)3/2
dx+
y
(x2 + y2)3/2
dy = 0.
(10) Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a soluc¸a˜o.
(a) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0.
(b) y′ = e2x + y − 1.
(c) dx+ (x/y − sen(y)) dy = 0.
(d) y + (2xy − e−2y)y′ = 0.
(11) Mostre que a EDO e´ homogeˆnea e encontre a soluc¸a˜o.
(a)
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
.
(b)
dy
dx
=
x2 + 3y2
2xy
.
(c)
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y .
(d)
dy
dx
= −4x+ 3y
2x+ y
.
(e)
dy
dx
=
x+ 3y
x− y .
(f) (x2 + 3xy + y2) dx− x2 dy = 0.
(g)
dy
dx
=
x2 − 3y2
2xy
.
(h)
dy
dx
=
3y2 − x2
2xy
.
3
(12) Encontre a soluc¸a˜o da EDO de Bernoulli.
(a) x
dy
dx
+ y = y−2, x 6= 0.
(b)
dy
dx
= y(xy3 − 1), x 6= 0.
(c) t2
dy
dt
+ y2 = ty, t 6= 0.
(d) t2y′ + 2ty − y3 = 0, t > 0.
Respostas
(1) (a)
dq
dt
= 300(10−2 − q10−6)
(2) (a) m
dv
dt
= 9, 8m− γv2
(3) (a) q′ = − q
300
q(0) = 5000 g
(4) (a) segunda ordem, linear
(b) segunda ordem, na˜o-linear
(c) quarta ordem, linear
(d) primeira ordem, na˜o-linear
(e) segunda ordem, na˜o-linear
(f) terceira ordem, linear
(5) (a) sim e sim
(b) sim e sim
(c) na˜o
(d) sim e sim
(e) sim e sim
(f) sim e na˜o
(g) sim
(h) sim
(6) (a) q(t) = 5000e−t/300
(b) Na˜o
(c) t = 300 ln(25/6) ∼= 7, 136 h
(d) 250 ln(25/6) ∼= 256, 78 gal/min
(7) (a) y = 3et + 2(t− 1)e2t
(b) y = (t2 − 1)e−2t/2
(c) y = (3t4 − 4t3 + 6t2 + 1)/12t2
(d) y = (sen(t))/t2
(e) y = (t+ 2)e2t
(f) y = t−2
[
(pi2/4)− 1− t cos(t) + sen(t)]
(g) y = −(1 + t)/t4
(h) y = (t− 1 + 2e−t)/t
(8) (a) 3y2 − 2x3 = c, y 6= 0
(b) y = 0 ou y−1 + cos(x) = c se y 6= 0
(c) y = ±(2n+ 1)pi/4 ou 2 tg(2y)− 2x− sen(2x) = c se cos(2y) = 0
(d) y2 − x2 + 2(ey − e−x) = c; para y + ey 6= 0
(e) y = 1/(x2 − x− 6)
(f) r = 2/ [1− 2 ln(θ)]
(g) y = −12 + 12
√
4x2 − 15
(h) y = −34 + 14
√
65− 8ex − 8e−x
(9) (a) x2 + 3x+ y2 − 2y = c
(b) x3 − x2y + 2x+ 2y3 + 3y = c
(c) x2y2 + 2xy = c
(d) ax2 + 2bxy + cy2 = k
(e) y = 0 ou ex sen(y) + 2y cos(x) = c
(f) exy cos(2x) + x2 − 3y = c
(g) y ln(x) + 3x2 − 2y = c
(h) x2 + y2 = c
4
(10) (a) µ(x) = e3x; (3x2y + y3)e3x = c
(b) µ(x) = e−x; y = cex + e2x + 1
(c) ν(y) = y; xy + y cos(y)− sen(y) = c
(d) ν(y) = e
2y
y ; y = 0 e xe
2y − ln |y| = c
(11) (a) arctg(x/y)− ln |x|
(b) x2 + y2 − cx3 = 0
(c) y = −3x ou |y − x| = c|y + 3x|5
(d) |y + x|(y + 4x)2 = c
(e) y = −x ou 2x/(x+ y) + ln |x+ y| = c
(f) y = −x ou x/(x+ y) + ln |x| = c
(g) |x3||x2 − 5y2| = c
(h) c|x3| = |y2 − x2|
(12) (a) y = 3
√
1 + cx−3
(b) y−3 = x+ 13 + ce
3x
(c) et/y = ct
(d) y = ± [5t/(2 + 5ct5)]1/2