Tarefa 3 Equações Lineares

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Tarefa 3: Equações Lineares - EDO/ MAT II
1. (Boyce, 2020) Considere uma tanque com 50 libras de sal dissolvido em 100 galões de água,
conforme figura abaixo.
Supondo que está sendo lançado neste tanque, a uma taxa de 3 galões por minuto, água
contendo 1/4 de libra de sal por galão (Ce = 1/4lb/gal), e que a mistura bem mexida está
saindo do tanque à mesma taxa (ve = vs = 3gal/min). Para analisar a quantidade de libras
de sal no tanque em qualquer instante de tempo,Q(t), observamos que:
- a variação da quantidade de libras de sal no tanque em função do tempo é dada por:
dQ
dt
= taxa de entrada - taxa de sáıda;
- os fluxos de entrada e sáıda de água são iguais, logo a quantidade da mistura salina no
tanque permanece sempre 100 galões;
- a taxa de entrada é dada por: Qe = ve × Ce = 3gal/min.1/4lb/gal;
- a concentração de sal no tanque é dada por: Cin =
Q(t)
100
lb/gal;
- a taxa de sáıda é dada por: Qs = vs × Cin = 3gal/min.
Q(t)
100
lb/gal = 3
Q(t)
100
(lb/min).
Deste modo, a equação diferencial linear que rege a variação da quantidade de libras de sal
no tanque é dada por:
dQ
dt
=
3
4
− 3Q(t)
100
Calcule o tempo t necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 40 libras,
resolvendo a equação diferencial linear e usando que, Q(0) = 50.
2. (Zill, 2016) Um marca-passo card́ıaco consiste em uma chave, uma bateria de tensão cons-
tante E0, um capacitor com capacitância constante C, e o coração como um resistor com
resistência constante R, conforme figura abaixo:
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Quando a chave está na posição P , o capacitor está sendo carregado. Quando a chave é
movida para a posição Q, o capacitor descarrega, enviando um est́ımulo elétrico para o
coração. Durante o tempo (ms) em que o coração é estimulado, a tensão E em todo o
coração satisfaz a equação diferencial linear:
dE
dt
= − 1
RC
E
Determine em quantos milésimos de segundos a tensão E cai para metade do seu valor inicial,
resolvendo a equação diferencial e sabendo que: E(4) = E0 e RC = 0, 36.
3. (Çengel, 2014) O circuito mostrado na figura abaixo é usado para encaixar a engrenagem do
motor de partida do carro com o volante do motor.
Esse circuito é constrúıdo pelo enrolamento de um fio ao redor de um núcleo de ferro para
construir um eletromagneto. A resistência R é dada pelo fio, e a indutância L é devida ao
efeito eletromagnético. O chaveamento da tensão de entrada vs ativa o eletromagneto, que
move a engrenagem de partida. Usando a lei de tensão de Kirchhof, que estabelece que o
somatório das tensões em um caminho fechado de um circuito deve ser zero, em virtude da
lei de conservação de energia, obtemos o seguinte modelo para a corrente i:
vs −Ri− L
di
dt
= 0
Quando aplicamos a condição vs = E, que é constante, temos:
di
dt
+
R
L
i =
E
L
Sabendo que E = 30 volts, L = 0, 1henry e R = 50 ohms. Ache a corrente i(t) se i(0) = 0.
4. (Abunahman, 1989) Uma determinada cidade é abastecida por um lago cujo manancial é de
108 l e, que é alimentado por um rio cuja vazão é de 200 l/min. Algumas fábricas localizadas
à beira deste rio o poluem na ordem de 80 g/l. A quantidade máxima de poluente admisśıvel,
por decisão das autoridades sanitárias, é da ordem de 26 g/l. O prefeito municipal, muito
preocupado com as constantes reclamações que colocam em perigo a eleição de seu candidato,
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pede ao engenheiro hidráulico, responsável pelo abastecimento, que resolva o grave problema
em um prazo máximo de 4 meses (para não ultrapassar o dia das eleições). O engenheiro
resolve desviar o curso de um outro rio (considerando-se que condições topográficas impeçam
que seja desviado o curso do rio polúıdo), cujas águas estão com um grau de poluição de
10 g/l, fazendo com que o mesmo alimente o lago com uma vazão de 800 l/min, conforme
esquema indicado na figura abaixo:
Observe que, como o lago tem um volume constante, a quantidade que entra é a mesma que
sai (ve = vrio 1 + vrio 2 = vs). Dessa forma, chamando de Q a quantidade de poluente em
g/l, tem-se o seguinte modelo:
dQ
dt
= taxa de entrada - taxa de sáıda
sendo,
- taxa de entrada: vrio 1.Crio 1 + vrio 2.Crio 2 = 200 l/min.80 g/l + 800 l/min.10 g/l
- taxa de sáıda: vs.Cin = 1000 l/min.
Q(t)
108
g/l
Desprezando-se a evaporação e outros fatores que viessem a alterar o volume do manan-
cial (considerando-o, portanto, constante), pergunta-se: Haverá tempo hábil para reduzir a
quantidade de poluente até a quantia máxima admisśıvel de 26g por litro antes das eleições?
Sugestão: Escreva a equação diferencial linear do modelo e a resolva, considerando Q(0) = 80×108.
Determine então o valor de t para que Q(t) = 26× 108.
5. (Brannan, Boyce, 2013) Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 10 milhões de litros
de água fresca. Supondo que a água de um rio contendo um produto qúımico indesejável flui
para a lagoa à uma taxa de 5 milhões de litros por ano e a mistura sai da lagoa através de
um canal à mesma taxa (ve = vs = 5×106l/ano). A concentração Ce(t) do produto qúımico
na água que entra varia periodicamente com o tempo t, medido em anos, de acordo com a
expressão, Ce(t) = 2 + sen(2t)g/l (gramas/litro). Para analisar a quantidade do produto
qúımico na lagoa em qualquer instante de tempo, Q(t), observamos que:
- a variação da quantidade do produto qúımico na lagoa em função do tempo é dada por:
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dQ
dt
= taxa de entrada - taxa de sáıda;
- os fluxos de entrada e sáıda de água são iguais, logo a quantidade de água na lagoa
permanece sempre 107 litros;
- a taxa de entrada é dada por: Qe = ve × Ce = (5× 106)l/ano.(2 + sen(2t))g/l;
- a concentração do produto qúımico na lagoa é dada por: Cin =
Q(t)
107
g/l;
- a taxa de sáıda é dada por: Qs = vs × Cin = (5× 106)l/ano.
Q(t)
107
g/l =
Q(t)
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(g/ano).
Deste modo, a equação diferencial linear que rege a variação da quantidade do produto
qúımico na lagoa é dada por:
dQ
dt
= (5× 106).(2 + sen(2t))−Q(t)/2,
ou ainda, tornando os coeficientes mais facilmente administráveis, podemos dividir a equação
por 106, da seguinte maneira:
dq
dt
= 10 + 5sen(2t)− q(t)/2, com q(t) = Q(t)/106.
Sabendo que originalmente não havia produto qúımico na lagoa, temos q(0) = Q(0)/106 = 0,
determine a quantidade de produto qúımico na lagoa após 1 ano de lançamento dessa água
contaminada na lagoa.
REFERÊNCIAS:
• ABUNAHMAN, S. A. Equações Diferenciais, 2ed,Rio de Janeiro: Editora
Didática e Cient́ıfica, 1989, Caṕıtulo 2, páginas 26 a 42.
• BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C; MEADE D. B. Equações diferenciais
elementares e problemas de valores de contorno. 11. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2020. Seção 2.3.
• BRANNAN, J. R.; BOYCE,W. E.Equações Diferenciais: uma introdução
a métodos modernos e suas aplicações, Rio de Janeiro: LTC, 2013. Seção
2.3.
• Çengel, Y. A. Equações Diferenciais, Porto Alegre: AMGH, 2014. Seção
2.3.
• ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem, 3ed,
São Paulo: Cengage Learning, 2016. Seção 3.1.
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