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Graduação em Engenharia Civil ELETROTÉCNICA (ENE078) PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br Aula Número: 08 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES Revisão Aula Anterior... • Revisão da aula 7 • A 1.ª Lei de Kirchhoff ou Lei dos nós diz que: A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma algébrica das correntes que saem deste nó. • A 2.ª Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas diz: Percorrendo-se uma malha, num mesmo sentido, a soma das tensões nos elementos de circuito encontrados é igual a zero. 2 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO • No circuito abaixo, há duas fontes aplicando tensão. O comportamento das correntes dependerá da contribuição que cada fonte dá ao circuito: 3 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO • O teorema da superposição estabelece que, em um circuito elétrico contendo duas ou mais fontes de tensão, a corrente em qualquer ponto do circuito é a soma algébrica das correntes que cada fonte produz individualmente, como se as outras não estivessem presentes. • Para aplicar o teorema da superposição e obter a corrente produzida por uma das fontes de tensão, as demais devem ser substituídas por curtos- circuitos. • São adotadas as seguintes premissas: não serão consideradas as resistências internas das fontes; será admitido que o valor dos resistores se mantém constante para qualquer corrente fluindo por eles. 4 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO • Para considerar os efeitos produzidos pela fonte V1 do circuito em estudo, a fonte V2 é substituída por um curto-circuito: 5 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO • A resolução deste circuito conduz a: • R4||5= 60×15 60+15 = 12Ω • R4||5+ R3= 30 + 12 = 42Ω • I3‘=63/42=1,5A 6 Divisor de corrente: I4‘= 12 15 × 1,5 = 1,2𝐴 I5‘= 12 60 × 1,5 = 0,3𝐴 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO • Para calcular os efeitos da fonte de tensão V2, V1 é substituída por um curto-circuito e as correntes decorrentes de V2 são as seguintes: • R3||5= 60×30 60+30 = 20Ω • R3||5+ R4= 15 + 20 = 35Ω • I4‘‘=70/35=2,0A 7 Divisor de corrente: I3‘‘= 20 30 × 2,0 = 1,333𝐴 I5‘‘= 20 60 × 2,0 = 0,667𝐴 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO • A soma algébrica das correntes correspondentes às contribuições das fontes V1 e V2 é mostrada a seguir: 8 I4 = I4’ – I4” I3 = I3’ – I3” I5 = I5’ + I5” Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO Então: I3 = 1,5 – 1,333 = 0,167 A I4 = 1,2 – 2 = – 0,8 A I5 = 0,3 + 0,667 = 0,967 A As correntes supridas pelas fontes são: I1 = I3 = 0,167 A I2 = – I4 = 0,8 A 9 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO E as tensões nos resistores: V3 = R3 · I3 = 30 · 0,167 = 5,0 V V4 = R4 · I4 = 15 · ( – 0,8) = – 12 V (I4 tem sentido oposto ao adotado) V5 = R5 · I5 = 60 · 0,967 = 58 V 10 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 11 Equações de Malha ou Laço (2a Lei de Kircchoff) 1º Determina-se o número de correntes de laço necessário para o circuito analisado: L = Nramos – Nnós + 1 Observação: Nramos: Número de ramos Nnós: Número de nós entre os ramos 1 2 3 2 1 L = 3-2+1 = 2 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 2º Escolhe-se as correntes de laço de maneira que todos os elementos no circuito sejam percorridos por pelo menos uma das correntes. I1 I2 Observação: Os sentidos das correntes de laço são escolhidos de maneira arbitrária. 3º Aplica-se a 2ª lei de kirchhoff para cada corrente de malha. Laço 1 Laço 2 10I1 + 20(I1- I2) – 100 = 0 20(I2- I1) + 10 = 0 Resolve-se o Sistema Linear I1 = 9A I2 = 8.5A 12 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO Consiste em aplicar a Lei das Malhas (2.ª Lei de Kirchhoff) para determinar as correntes do circuito elétrico em estudo. Por exemplo: 13 L = Nramos – Nnós + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 laços Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO Arbitrando as correntes IA e IB: As correntes nos resistores deverão ser relacionadas com IA e IB. Essas correntes fictícias são determinadas em primeiro lugar. Em seguida, as correntes individuais nos resistores são obtidas por comparação ou superposição. 14 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO Para a malha da esquerda: – V1 + V3 + V4 + V2 = 0 – V1 + R3 · IA + R4 (IA – IB) + V2 = 0 – 120 + 10 IA + 30 (IA – IB) + 90 = 0 4 IA – 3 IB = 3 (I) 15 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO E para a malha da direita: – V2 + R4 · (IB – IA) + R5 · IB + R6 · IB = 0 – 90 + 30 · (IB – IA) + 5 IB + 15 IB = 0 – 3 IA + 5 IB = 9 (II) 16 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO O sistema de duas equações e duas incógnitas: 4 IA – 3 IB = 3 (I) – 3 IA + 5 IB = 9 (II) tem como resultado: IB = 4,091 A IA = 3,818 A 17 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO I4 = IA – IB I4 = 3,818 – 4,091 = – 0,273 A I4 tem polaridade oposta à adotada no início. I5 = I6 = IB = 4,091 A 18 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO As tensões nos resistores: V3 = R3 · I3 = 10 · 3,818 = 38,18 V V4 = R4 · I4 = 30 · (–0,273) = – 8,19 V V5 = R5 · I5 = 5 · 4,091 = 20,46 V V6 = R6 · I6 = 15 · 4,091 = 61,37 V 19 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 20 Exemplo: Determine a corrente de cada elemento no circuito da figura abaixo: 3Ω 4 Ω 10 V 2 Ω 13 V 14 V 3,5 V 1 Ω Resposta: I1 = 1,5 A ; I3 = 2A ; I2 = 3,5A (Correntes nos ramos da esquerda para a direita L = Nramos – Nnós + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 laços Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES Laço a: -10 + 2.Ia + 3.(Ia-Ib) + 13 = 0 Laço b: -14 + 4.Ia + 3,5 + Ib -13 + 3.(Ib-Ia) = 0 O MÉTODODAS CORRENTES DE MALHA OU LAÇO 21 Exemplo: Determine a corrente de cada elemento no circuito da figura abaixo: 3Ω 4 Ω 10 V 2 Ω 13 V 14 V 3,5 V 1 Ω Ia Ib 5.Ia - 3.Ib = -3 -3.Ia + 8.Ib = 23,5 Ia = 1,5A Ib = 3,5A I1 = Ia I2 = Ib I3 = Ib – Ia = 3,5 – 1,5 = 2A I1 I2 I3 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DOS NÓS Equações de Nó (1a Lei de Kircchoff) 22 1º Determina-se o número de nós que separam os ramos e escolhe-se a referência zero do circuito: Observação: N: Número de nós que separam os ramos N = 2 10 Ω 20 Ω 100 V 2 A 1 2 VREFERENCIA= V2 = 0 V Escolhe-se um dos nós para ser o nó de referência (“terra”) do circuito (arbitrário) Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 2º Determina-se as correntes em cada ramo de um Nó ao terra. 10 Ω 20 Ω 100 V 2 A 2 1 I1 I3 I2 Lembrando que : V12 = V1 – V2 ∑ I = 0 I1 + I2 + I3 = 0 3º Aplica-se a 1ª Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes). R e s o lv e -s e o S is te m a L in e a r O MÉTODO DOS NÓS 23 Observação: Para facilitar o equacionamento é melhor considerar todas as correntes saindo do nó em que está sendo aplicada a 1ª Lei de Kirchhoff. Na resolução em questão este no é o nó 1. Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DOS NÓS 24 Exemplo: Calcule a potência entregue pela fonte de 50 V no circuito abaixo. 2 A 50 V 20 Ω 10 Ω 20 Ω 10 Ω 10 Ω20 Ω Resposta: Pfonte = 200W, pois Ifonte = 4A e Vfonte = 50V DICA: Reduzir o circuito até o equivalente mínimo possível Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 2 A 50 V 20 Ω 10 Ω 20 Ω 10 Ω 10 Ω20 Ω O MÉTODO DOS NÓS Exemplo: Calcule a potência entregue pela fonte de 50 V no circuito abaixo. 1 2 N = 2 VREFERENCIA= V2 = 0 V 25 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES O MÉTODO DOS NÓS Exemplo: Calcule a potência entregue pela fonte de 50 V no circuito abaixo. 1 2 26 I1 I3 I2 𝐼1 = 𝑉12 − 50 10 = 𝑉1 − 𝑉2 − 50 10 = 𝑉1 − 0 − 50 10 𝐼2 = 2 𝐼3 = 𝑉12 5 = 𝑉1 5 1ª.Lei de Kirchhoff: 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 𝑉1 − 50 10 + 2 + 𝑉1 5 = 0 𝑉1 − 50 + 20 + 2𝑉1 10 = 0 𝑉1 = 10𝑉 𝑃 = 50 × −𝐼1 𝐼1 = 𝑉1 − 50 10 = −4𝐴 𝑃 = 50 × 4 = 200𝑊 Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 08 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES Superposição e Métodos das Malhas e dos Nós • Alguma dúvida? E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br Sala: 4272, ao lado do R.U. Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira pela manhã 27
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