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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 2 – Questões 2 Questão 1 Obtenha uma expressão para a determinação da variação de g com a altura h acima da superfície terrestre para h muito menor do que RT. Resolução: A expressão para g em um ponto a uma altura h da superfície é dada por: ( )2 T h T GM g R h = + (1.1) Onde MT é a massa da Terra. Na eq. (1.1), poderemos ainda escrever: 2 2 1Th T T GM h g R R − = ⋅ + (1.2) Para h<<RT, teremos: ( )2 2 2 2 32 1 1 ... 2! 2 1 1 T T T T T h h h R R R h h R R − − ⋅ − + ≅ − − ⋅ + + ≅ − (1.3) Aqui consideramos apenas até a segunda parcela. Substituindo o resultado de (1.3) em (1.2), teremos: 2 2 1 2 . T h T T T h T GM h g R R h g g g R ≅ ⋅ − ∴∆ = − ≅ (1.4) Onde 2 T T T GM g R = é o valor de g na superfície terrestre. Questão 2 Massas m, supostas iguais, pendem de cordas de diferentes comprimentos dos braços de uma balança na superfície da Terra, como mostra a figura abaixo. Se as cordas têm massa desprezível e diferem no comprimento por h. (a) Mostre que o erro de pesagem, associado ao fato de que w’ está mais próximo à Terra do que w, é 8 3 G mh w w π ρ ′ − = . Em que ρ é a densidade média da Terra (5,5g∙cm-3). (b) Determine a diferença de comprimento que dará um erro de uma parte por milhão. Resolução: a) Sejam w e w’ os pesos dados por: ( )2 TGM mw r h = + (2.1) e 2 TGM mw r ′ = (2.2) Onde r é o raio da Terra. Agora subtraindo a equação (2.1) da equação (2.2), teremos: ( )22 1 1 Tw w GM m r r h ′ − = − + h w w’ m m www.profafguimaraes.net 2 ( )22 2 T h r w w GM mh r r h +′ − = + (2.3) Agora, utilizando a densidade da Terra, e desprezando o valor de h dentro do colchete, teremos: ( )2 32 3 2 2 4 3 T h r rr r h r M π ρ + → + = (2.4) Substituindo os resultados de (2.4) em (2.3), teremos: 8 3 G mh w w π ρ ′∴ − = (2.5) b) Utilizando as equações (2.2) e (2.5), teremos: 6 36 2 6 1 10 8 13 ; 410 3 10 2 T T w w w G mh M GM m r r r h π ρ ρ π − ′ − = ′ = = ∴ = ⋅ (2.6) Questão 3 Um observador se encontra no interior de um trem que se desloca em linha reta com uma aceleração a. (a) O observador resolve medir o valor da aceleração da gravidade no interior deste trem usando um pêndulo simples preso ao teto do trem; qual é a expressão correta para o cálculo da aceleração da gravidade g’ no interior do trem? (b) Determine o período das pequenas oscilações de um pêndulo simples de comprimento l preso ao teto do trem. Resolução: Um cálculo semelhante foi desenvolvido no tópico Física 2, arquivo Física 2-01, exercício 11, página 8. Onde a aceleração resultante será dada por: ( ) 1 2 2 2g g a′ = + E o período é dado por: 2 l T g π= ′ Questão 4 Um corpo está suspenso de um dinamômetro em um navio que viaja ao longo da linha do equador, com velocidade v. (a) Mostrar que a leitura do dinamômetro será muito aproximadamente 0 2 1 v w g ω ± , sendo � a velocidade angular da Terra e w0 a leitura quando o navio se encontra em repouso. (b) Explicar o duplo sinal. Resolução: a) Levando em consideração que o navio se encontra em repouso com relação às águas do mar, o peso do corpo será a resultante centrípeta que aponta para o centro da Terra. Assim, o dinamômetro marcará: 2 0 Tw mg m Rω= = (4.1) Onde RT é o raio da Terra e � é a velocidade angular de rotação da Terra. Quando o navio se encontra em movimento com relação às águas do mar, com uma velocidade v, a favor da rotação (+) ou contra (-), o peso medido pelo dinamômetro também será igual a força centrípeta no corpo. Assim, teremos: ( ) 2 2R T T T mv m w R v R R ω′ = = ± (4.2) Desenvolvendo o quadrado da equação (4.2) e desprezando o termo v2, teremos: ( )2 2 2T T T m w R R v R ω ω′ ≅ ± (4.3) www.profafguimaraes.net 3 Utilizando a equação (4.1) em (4.3), teremos: 0 0 2 2 1 w w vm v w w g ω ω ′ ≅ ± ′∴ ≅ ± (4.4) Questão 5 O problema seguinte é extraído do exame “Olímpico” da Universidade Estatal de Moscou, em 1946, (veja figura abaixo). Faz-se uma cavidade esférica em uma esfera de chumbo de raio R, tal que sua superfície toque a superfície externa da esfera de chumbo e passe pelo centro desta. A massa primitiva da esfera de chumbo era M. De acordo com a lei de gravitação universal, qual será a força com que a esfera de chumbo atrairá uma pequena esfera de massa m localizada à distância d ao longo da reta que passa pelos centros das esferas e da cavidade? Resolução: Seja F1 a força gravitacional que a esfera primitiva de massa M exerceria em m: 1 2 GMm F d = (5.1) E seja F2 a força gravitacional que a esfera menor exerceria na massa m: ( ) 2 2 2 GMm F Rd ′ = − (5.2) Onde M’ é a massa da esfera menor. Que será dada por: 3 3 4 4 3 2 8 3 M R M M R π π ′ = ⋅ ⋅ = (5.3) Agora, se descontarmos de F1 a força F2, teremos a força que a esfera com a cavidade exerce em m. Logo, utilizando as equações (5.1), (5.2) e (5.3), teremos: ( ) ( ) ( ) 1 2 22 22 2 22 1 1 8 2 1 1 8 1 2 1 1 8 1 2 F F F F GMm d Rd F GMm d Rd d GMm F d R d = − = − − = − − ∴ = − − Questão 6 Considere uma partícula de massa m num ponto qualquer P no interior de uma casca esférica de matéria. Suponha que a casca seja de densidade e espessura uniformes. Construa um duplo cone, estreito, de vértice em P que intercepta as áreas dA1 e dA2 da casca (figura). (a) Mostre que a força gravitacional resultante sobre a partícula no ponto P, exercida pelos elementos de massa interceptados, é nula. (b) Mostre, em seguida, que a força gravitacional resultante, devido a toda casca, sobre uma partícula interna em qualquer ponto é nula. (Este resultado foi inventado por Newton). Resolução: Sejam dF1 e dF2 os elementos de forças exercidas pelos elementos de massas dA1 e dA2. R d m P dA1 dA2 r1 r2 www.profafguimaraes.net 4 Assim, teremos: 1 12 1 2 22 2 Gm dF dM r Gm dF dM r = ⋅ = ⋅ (6.1) Onde dM1 e dM2 são os elementos de massas dados por: 1 12 2 22 4 4 M dM dA r M dM dA r π π = = (6.2) Onde M e r são respectivamente, a massa e o raio da esfera. Assim, o elemento de força resultante sobre o corpo de massa m no ponto P será: 1 2 dF dF dF= − (6.3) Utilizando as expressões (6.1) e (6.2), teremos: 1 1 2 2 2 1 1 4 dA dAGMm dF r r rπ = − (6.4) Em (6.4) temos os ângulos sólidos dados por: 1 1 2 1 2 2 2 2 dA d r dA d r Ω = Ω = (6.5) Mas em P, d�1 = d�2. Logo, de (6.4), teremos: 0dF = (6.6)Integrando a equação (6.4) teremos: ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 22 2 4 4 2 2 4 0. dA dAGMm F r r r GMm F d d r GMm F r F π π π π π = − = Ω − Ω = − ∴ = ∫ ∫ ∫ ∫ (6.7) Onde cada integral foi efetuada para cada metade da casca esférica. Questão 7 Usando coordenadas polares, deduza a Segunda Lei de Kepler (lei das áreas). Resolução: Sabemos que o momento angular do planeta em translação em torno do Sol é constante e vale: 2 2L dL m r r m dt θ ω = ⇒ = ⋅ (7.1) Da equação (7.1) podemos escrever: 2 Lr d dt m θ = (7.2) Das coordenadas polares teremos: 21 2 A r dθ= ∫ (7.3) Onde A é a área. Assim, podemos calcular as áreas varridas de 1 para 2 e de 3 para 4. Logo: 2 2 1 1 4 4 3 3 2 1 2 1 1 2 2 3 4 2 3 4 1 2 2 2 1 2 2 2 t t t t L L A r d dt t m m e L L A r d dt t m m θ θ θ θ θ θ → → → → = ⋅ = = ∆ = ⋅ = = ∆ ∫ ∫ ∫ ∫ (7.4) Então, de (7.4), se Δt1→2 = Δt3→4, teremos: 1 2 3 4 A A→ →= (7.5) Θ1 ΘΘΘΘ2 ΘΘΘΘ3 Θ4 A1→2 A3→4 1 2 3 4 www.profafguimaraes.net 5 Questão 8 Três corpos idênticos, de massa M, estão localizados nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. A que velocidade eles devem mover-se se todos giram sob a influência da gravidade mútua, em uma órbita circular que circunscreve o triângulo, mantido sempre equilátero? Resolução: Considere na figura abaixo o triângulo como sendo equilátero. Cada partícula experimenta duas forças de atração gravitacional dadas por: 2 2 Gm F L = (8.1) Assim, a força resultante em cada partícula será dada por: 2 0 2 3 2 30R Gm F Fcos L = = (8.2) A força resultante em questão é uma força centrípeta. Logo teremos: 2 2 0 2 1 2 3 ; cos30 3 2 mv Gm L R L R R L Gm v L = = ⇒ = ∴ = (8.3) Onde R é o raio da trajetória. Questão 9 Considere uma esfera homogênea com massa específica ρ constante em todos os pontos do interior da esfera, que possui raio R e massa total M. Determinar o campo gravitacional para os pontos situados: (a) no exterior da esfera, (b) no interior da esfera, (c) sobre a superfície da esfera. Resolução: Seja da densidade da esfera dada por: 3 3 3 4 4 3 M M M RV R ρ π π = = = (9.1) a) Para pontos externos teremos: r > R 2 GM g r = (9.2) Onde r é a distância do ponto em questão até o centro da esfera. b) No interior da esfera: 0 < r < R 2 33 3 3 ; 3 4 4 3 GM g r M r r M V M R R GM g r R π ρ π ′ ′ = ′ ′= = ⋅ = ′∴ = ⋅ (9.3) c) Sobre a superfície: r = R 2 GM g R = (9.4) Questão 10 Suponha que a Terra seja uma esfera homogênea com massa específica uniforme. Seja g0 o valor da aceleração da gravidade na superfície terrestre. Obtenha uma expressão para a determinação do campo gravitacional a uma profundidade z abaixo da superfície terrestre. Resolução: Observando a figura podemos concluir: L L/2 R 30 0 30 0 v v v F F m m m FR R r z www.profafguimaraes.net 6 r R z= − (10.1) Agora, aproveitando o resultado de (9.3) e utilizando (10.1), teremos: ( ) 3 2 3 0 0 GM g R z R GM GM g z R R z g g g R = − = − ⋅ ∴ = − ⋅ (10.2) Onde 0 2 GM g R = . Questão 11 Um foguete é acelerado, para cima, até uma velocidade 2 Tv gR= , perto da superfície terrestre e, a seguir, sua propulsão é desligada. (a) Mostre que ele escapará da Terra. (b) Mostre que sua velocidade será 2 TV gR= em pontos muito afastados da Terra. Resolução: a) Utilizando os valores de g e RT, teremos: 6 1 2 9,8 6,37 10 15,8v km s−= ⋅ ⋅ ≅ ⋅ (11.1) Esse resultado suplanta o valor mínimo para a velocidade de escape que é de 11,2 km∙s-1. b) Para pontos muito afastados da Terra, a energia potencial é praticamente nula. Assim, teremos: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 ; 2 2 2 T T T T T mv GMm mV R gR GM V GM g R R V gR / / /− = − = = ∴ = (11.2) Questão 12 Duas partículas, de massas m e M, estão em repouso, separadas por uma distância infinita. Mostrar que, em qualquer instante, sua velocidade relativa de aproximação, atribuível à atração gravitacional, é ( )2G m M d + , sendo d a distância entre elas naquele instante. Resolução: Pela conservação do momento linear, teremos: mv MV= (12.1) Onde v e V são as velocidades instantâneas das partículas de massa m e M. Inicialmente as partículas estão muito afastadas e também se encontram em repouso. E para um determinado instante, as partículas estão separadas por uma distância d e com as velocidades citadas acima. Assim pela conservação da energia mecânica, teremos: 2 2 2 2 0 2 2 2 2 mv MV GMm d mv MV GMm d = + − + = (12.2) Utilizando a relação (12.1) em (12.2), teremos: ( ) 2 2 1 2 2 2 MV GMm MV m d G V m d M m + = ∴ = + (12.3) Lembrando que as partículas se movimentam em sentidos opostos, teremos: ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 MV v V V m M m G m m d M m G M m v V d + = + + = ⋅ ⋅ + + ∴ + = (12.4) www.profafguimaraes.net 7 Questão 13 Duas esferas se atraem mutuamente no espaço de acordo com a lei da atração universal. Uma das esferas possui massa m1 e a outra massa m2. Provar que para um observador situado num sistema de referência inercial as duas esferas giram em torno do centro de massa do sistema com a mesma velocidade angular �. Obtenha a expressão do quadrado desta velocidade angular. Resolução: Observando a figura abaixo, podemos escrever: 1 1 2 2 m r m r= (13.1) Para o centro de massa na origem. A fora de atração é dada por: ( ) 1 1 2 1 2 Gmm F r r = + (13.2) Para m1 a força centrípeta será dada pela equação (13.2) e para m2, a força centrípeta também será dada pela equação (13.2). Assim, teremos: ( ) ( ) 2 21 2 1 1 1 1 12 11 2 2 21 2 2 2 2 2 22 21 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Gmm m v m r rr r e Gm m m v m r rr r m r m r ω ω ω ω = = + = = + = (13.3) Da equação (13.1), podemos concluir que: 1 2 ω ω= (13.4) Utilizando as expressões de (13.3), teremos: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 Gm r r r ou Gm r r r ω ω ω ω = = + = = + (13.5) Questão 14 Considere uma esfera maciça e homogênea de raio R. (a) Calcule a distância r ao centro da esfera num ponto exterior à esfera tal que o potencial deste ponto seja igual à metade do potencial gravitacional na superfície da esfera. (b) Em que ponto no interior da esfera o potencial gravitacional se reduz a (3/2) do potencial na superfície da esfera? Resolução: a) O potencial gravitacional na superfície da esfera é dado por: S GM V R = − (14.1) Para pontos externos à esfera, teremos: GM V r = − (14.2) De (14.1) e (14.2), teremos:2 2 2 SVV GM GM r R r R = = ∴ = (14.3) b) Acredito que a relação deva ser 2/3 e não 3/2. Essa última não se configura como uma redução. Assim, tomando a expressão da equação (14.2), teremos: GM V r ′ = − cm r1 r2 v1 v2 F F m2 m1 www.profafguimaraes.net 8 3 3 2 3 3 4 ; 4 3 M r M V V R GM V r R π π ′ ′ ′= ⋅ = = − ⋅ (14.4) Agora utilizando a equação (14.1) e o resultado de (14.4), teremos: 2 3 2 3 2 3 GM GM r R R r R ⋅ = ⋅ ∴ = (14.5) Questão 15 Considere dois satélites A e B, de mesma massa m, que se movem na mesma órbita circular de raio r em torno da Terra T, os satélites têm sentidos de rotação opostos, de forma que irão chocar-se (figura). (a) Determinar a energia mecânica total EA + EB do sistema Terra + satélites, antes da colisão, em função de G, MT, m e r. (b) Se a colisão for completamente inelástica, de forma que os destroços permaneçam unidos como um emaranhado de massa 2m, determine a energia mecânica total imediatamente após o choque. (c) Descrever o movimento subsequente dos destroços. Resolução: a) Para um satélite em órbita circular, a energia total é dada por: 2 2 2 T TGM m GM mmvE r r = − = − (15.1) Assim, utilizando a expressão (15.1), para cada satélite, a energia total será: 2 2 T A B T A B GM m E E mv r GM m E E r + = − ∴ + = − (15.2) Onde v é a velocidade dos satélites. Os dois satélites, estando na mesma órbita, possuindo a mesma massa, terão a mesma velocidade. b) Ocorrendo uma colisão elástica, a energia cinética do sistema se reduz a zero e teremos apenas a energia potencial com a Terra. Logo, 2 T A B GM m E E r ′ ′+ = − (15.3) c) Queda em direção à superfície da Terra. Questão 16 Uma partícula de massa m está sujeita a uma força atrativa central de módulo k/r2, sendo k uma constante. Se no instante em que a partícula se encontra em uma posição extrema de sua órbita fechada, à distância a do centro de força, sua velocidade é 2 k ma , determine: (a) a outra posição extrema e (b) a velocidade da partícula nesta posição. Resolução: a) Para uma força que depende do inverso do quadrado da distância, a energia potencial é dada por: 2 k dU F r dr k U r = = − ∴ = − (16.1) Para uma partícula em órbita circular, a energia total será constante e é dada por: MT A B r www.profafguimaraes.net 9 2 k E r = − (16.2) Esse resultado também pode ser aplicado para uma partícula em órbita elíptica. Desde que r seja a média dos extremos (raio médio): 2 a b r + = (16.3) Quando a partícula estiver ocupando a posição A, sua energia total será: 2 2 A A mv k E a = − (16.4) Aqui, utilizamos o resultado de (16.1). Mas a energia total é constante. Logo, utilizando (16.2), (16.3), em (16.4), teremos: 2 2 2 1 3 4 k m k k a b ma a a b a − = ⋅ − + = + 3 a b∴ = (16.5) b) O momento angular da órbita da partícula é dado por: L mvr= (16.6) Também o momento angular deve ser constante. Assim, podemos escrever as expressões dos momentos angulares da partícula em A e em B e compará-las. Logo de (16.6), teremos: A Bmv a mv b= (16.7) Agora, utilizando (16.5), teremos: 3 3 A B B A a v a v v v = ⋅ ∴ = (16.8) Onde 2 A k v ma = . Questão 17 Um par de estrelas gira em torno do centro de massa comum. A massa de uma delas é M, o dobro da massa m da outra, M = 2m. A distância d entre os centros das estrelas é grande, comparada ao tamanho de qualquer delas. (a) Deduza uma expressão para o período de rotação das estrelas em torno de seu centro de massa, em função de d, m e G. (b) Compare os momentos angulares das duas estrelas em relação ao seu centro de massa comum determinando a razão Lm/LM. (c) Compare as energias cinéticas delas, determinando a razão Km/KM. Resolução: a) Da questão 13 podemos utilizar o fato que as velocidades angulares das estrelas em torno do centro de massa são iguais. Assim, utilizando um dos resultados de (13.5) teremos: ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 Gm T r r r r r r T Gm π ω π = = + + = (17.1) Porém, 1 2 r r d+ = (17.2) Tomando o centro de massa comum na origem, teremos também: 1 2 1 2 2 2 mr mr r r = = (17.3) De (17.2) e (17.3), teremos: a b A B www.profafguimaraes.net 10 1 2 2 ; 3 3 d d r r= = (17.4) Utilizando (17.2) e (17.4) em (17.1), teremos: 2 3 2 2 32 2 2 3 d d T Gm d T Gm π π ⋅ = ∴ = ⋅ (17.5) b) Para os momentos angulares teremos: 2 1 2 2 2 2 m M m M L m r L m r L L ω ω ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∴ = (17.6) c) Para as energias cinéticas teremos: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 m M m M m r K m rK K K ω ω = ∴ = (17.7) Questão 18 Uma astronave se desloca com velocidade constante numa região muito afastada da Terra e dos demais astros. A astronave gira em torno do seu eixo de simetria com uma velocidade angular � constante. (a) Qual seria o “peso” de um objeto de massa m no interior da astronave? (b) Se você estivesse no interior desta nave e deixasse “cair” uma borracha, como seria a “queda livre” da borracha? Resolução: Em 2000, o diretor Brian De Palma, dirigiu o filme “Mission to Mars”. Estrelado por Tim Robbins, Gary Sinise, Don Cheadle, Kim Delaney entre outros, o diretor aborda em uma cena este tipo de situação. Na cena em questão, o personagem Phill Ohlmyer vivido pelo ator Jerremiah O'Connell, caminha na astronave como se estivesse na Terra. A astronave possui uma um anel (ver figura abaixo) que pode girar em torno do seu eixo de simetria, logo, os passageiros que se encontram nesse anel experimentam uma gravidade artificial. Essa gravidade artificial existe porque os passageiros que se encontram nesse anel são referenciais não inerciais, pois estão sujeitos a uma força centrípeta (para esses referenciais – força centrífuga). Para uma pessoa que se encontra nesse anel a “força centrífuga” exerce o papel do peso. Logo: 2w m rω= (18.1) A queda de um objeto nesse anel em rotação, é semelhante à queda de um objeto na Terra, como podemos observar da figura abaixo: O movimento acima só será sincronizado se r >> h (ou seja a≈r), onde h é a altura que se encontra o objeto. É interessante observar que o objeto gira em torno de seu centro de massa ao mesmo tempo em que cai, por possuir diferentes velocidades ao longo de sua extensão. Para imitar o campo gravitacional na superfície terrestre, seria necessário um campo praticamente uniforme, que é o caso da gravidade na superfície da Terra. No anel girante, o raio deveria ser muito grande para que a aceleração “centrífuga” pudesse chegar o mais próximo de ser uniforme. v rω r �r �r �a r a