P1-fvv-2013-19h

Prévia do material em texto

Universidade Federal do ABC - UFABC
1
a
Avaliação de FVV - 2/set/2013
Nome:
Questão 1. Seja a função
x2 +
y4
4
− z2 = −1 .
(a) Encontre o domínio e a imagem e represente-os graficamente;
(b) Represente as curvas de nível correspondentes a z = ±√2. No mesmo gráfico, repre-
sente (em escala) o vetor gradiente no ponto (0, 2).
(c) No mesmo ponto, encontre a equação do plano tangente à função.
Questão 2. Seja f : S ⊂ R2 → R, tal que
f(x, y) =
3x2y3
7x6 + 5x4
.
(a) Determine o domìnio máximo de f ;
(b) Determine lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) pelo caminho γ(t) = (t2, t3).
(c) Existe uma extensão contínua para f na origem? Justifique sua resposta.
Questão 3. Seja
f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0) .
Mostre que o gráfico de f não admite plano tangente em (0, 0, f(0, 0)).
Questão 4. Seja z = f(x, y) onde x = r cos θ e y = r sen θ. Mostre que
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
=
∂2z
∂r2
+
1
r2
∂2z
∂θ2
+
1
r
∂z
∂r
ENTREGUE A FOLHA DE QUESTÕES JUNTO COM A RESOLUÇÃO DA PROVA.
1