Mat Disc AULA04

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Matemática Discreta - AULA04 - Prof. Rafael Matos 
 
Bibliografia utilizada: 
ROSEN, K. H. Matemática Discreta e suas aplicações. 
Capítulo I.5. 
 
Tema: 
Regras de equivalência e regras de inferência. Exercícios de fixação. 
 
Notas: 
 
Regras de inferência 
 
Demonstrações em matemática são argumentos válidos que estabelecem a veracidade de 
sentenças matemáticas. 
 
Argumento -> sequência de sentenças (ou proposições), chamadas premissas, que terminam 
com uma conclusão; 
 
Válido -> a conclusão, ou sentença final do argumento deve seguir o valor-verdade das 
sentenças precedentes (premissas). 
 
As regras de inferência são os moldes para a construção de argumentos válidos (dedução de 
novas sentenças a partir de outras preexistentes). 
 
Se todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também será. Caso haja uma forma de 
argumento com 10 variáveis proposicionais, é possível chegar a uma rápida conclusão através 
das regras de inferência. 
 
Falácias -> assemelham-se a regras de inferência, porém baseiam-se em contingências ao 
invés de tautologias. 
 
Exemplo: 
 
Dada a premissa ,então . Neste caso: . O argumento é √2 > 2
3 ( )√2 2 > ( )2
3 2 ( )√2 2 = 2 > ( )2
3 2 = 4
9 
válido, porém a premissa é inválida. Assim sendo, a conclusão é falsa. 
 
 
Regra de inferência Tautologia Nome 
p 
p )( → q 
∴ q 
p p )][ ⋀ ( → q → q Modus ponens 
q¬ ¬q p )] p[ ⋀ ( → q → ¬ Modus tollens 
p )( → q 
∴ p¬ 
p )( → q 
q )( → r 
∴ p )( → r 
(p ) q )] p )[ → q ⋀ ( → r → ( → r Silogismo hipotético 
p )( ⋁ q 
p¬ 
∴ q 
(p ) p][ ⋁ q ⋀ ¬ → q Silogismo disjuntivo 
p → q q p¬ → ¬ Contrapositiva 
p q¬ → ¬ q → p Contrapositiva 
p 
∴ p )( ⋁ q p )p → ( ⋁ q Adição 
p )( ⋀ q 
∴ p p )( ⋀ q → p Simplificação 
p 
q 
∴ p )( ⋀ q 
(p) q)] p )[ ⋀ ( → ( ⋀ q Conjunção 
p )( ⋁ q 
¬p )( ⋁ r 
∴ q )( ⋁ r 
(p ) ¬p )] q )[ ⋁ q ⋀ ( ⋁ r → ( ⋁ r Resolução 
 
Exemplo: Dadas as hipóteses , e . A conclusão desejada é .p → q p¬ → r r → s q¬ → s 
 
Passo | Razão 
1. p → q | Hipótese 
2. q p¬ → ¬ | Contrapositiva de (1) 
3. p¬ → r | Hipótese 
4. q¬ → r | Silogismo hipotético usando (2) e (3) 
5. r → s | Hipótese 
6. q¬ → s | Silogismo hipotético usando (4) e (5) 
 
Exercício: Dadas as hipóteses , , e . A conclusão desejada é .p¬ ⋀ q r → p r¬ → s s → t t 
 
Passo | Razão 
1. p¬ ⋀ q | Hipótese 
2. p¬ | Simplificação usando (1) 
3. r → p | Hipótese 
4. r¬ | ​Modus tollens​ usando (2) e (3) 
5. r¬ → s | Hipótese 
6. s | ​Modus ponens​ usando (4) e (5) 
7. s → t | Hipótese 
8. t | ​Modus ponens​ usando (6) e (7)