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A´lgebra Linear Andre´ Arbex Hallack 2017 I´ndice 1 Sistemas Lineares 1 1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de um sistema - como produzir sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Operac¸o˜es elementares sobre linhas de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Matrizes linha-reduzidas a` forma em escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Multiplicac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Matrizes invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Espac¸os Vetoriais 27 2.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Combinac¸o˜es lineares: gerac¸a˜o de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Dependeˆncia e independeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Base e dimensa˜o de um espac¸o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Transformac¸o˜es Lineares 59 3.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Resultados imediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 i 3.3 Nu´cleo e Imagem de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Transformac¸o˜es injetoras, sobrejetoras, bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.6 Representac¸a˜o de transformac¸o˜es por matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.7 Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.8 Posto e Nulidade de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Formas Canoˆnicas 89 4.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Obtendo autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Forma diagonal: a primeira forma canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4 Polinoˆmio minimal (ou mı´nimo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5 Matriz companheira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.6 A forma canoˆnica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A Respostas dos exerc´ıcios 117 Refereˆncias 143 Cap´ıtulo 1 Sistemas Lineares 1.1 Corpos Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas operac¸o˜es: Adic¸a˜o: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x+ y ∈ IK. Multiplicac¸a˜o: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x.y ∈ IK. Suponhamos que estas duas operac¸o˜es possuam as seguintes propriedades: 1. x+ y = y + x para todos (∀) x, y ∈ IK ; (comutatividade da adic¸a˜o) 2. x+ (y + z) = (x+ y) + z ∀x, y, z ∈ IK ; (associatividade da adic¸a˜o) 3. Existe um u´nico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x ∀x ∈ IK ; (elemento neutro da adic¸a˜o) 4. A cada x ∈ IK corresponde um u´nico elemento (−x) ∈ IK tal que x+ (−x) = 0 ; (sime´trico na adic¸a˜o) 5. x.y = y.x ∀x, y ∈ IK ; (comutatividade da multiplicac¸a˜o) 6. x.(y.z) = (x.y).z ∀x, y, z ∈ IK ; (associatividade da multiplicac¸a˜o) 7. Existe um u´nico elemento na˜o-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x ∀x ∈ IK ; (elemento neutro da multiplicac¸a˜o) 1 2 CAPI´TULO 1 8. Para cada x 6= 0 em IK existe um u´nico elemento x−1 (ou 1/x) em IK tal que x.x−1 = 1 ; (inverso na multiplicac¸a˜o) 9. x.(y + z) = x.y + x.z ∀x, y, z ∈ IK . (distributividade da multiplicac¸a˜o com relac¸a˜o a` adic¸a˜o) O conjunto IK, munido das duas operac¸o˜es com as propriedades acima, e´ denominado um CORPO. Exemplos: A) O conjunto Z = { ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } dos nu´meros inteiros, com as operac¸o˜es usuais, na˜o e´ um corpo. B) O conjunto Q = { p/q : p, q ∈ Z, q 6= 0 } dos nu´meros racionais, com as operac¸o˜es usuais, e´ um corpo. C) O conjunto IR dos nu´meros reais (que fazemos corresponder geometricamente aos pontos de uma reta orientada), com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, e´ um corpo. D) O conjunto C = { x+ iy : x, y ∈ IR } dos nu´meros complexos, onde{ x e´ a parte real de x+ iy , y e´ a parte imagina´ria de x+ iy i2 = −1 com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, dadas por: Adic¸a˜o: (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) Multiplicac¸a˜o: (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1), e´ um corpo. Observac¸o˜es: • Os elementos de um corpo IK sera˜o chamados ESCALARES. • Neste curso iremos trabalhar com os corpos IR e C . Sistemas Lineares 3 1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determinac¸a˜o de n escalares (elementos de IK) x1, x2, ..., xn que satisfac¸am a`s condic¸o˜es: (*) a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym onde y1, y2, ..., ym e aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, sa˜o elementos dados de IK. Definic¸a˜o 1.1. (*) e´ dito um SISTEMA DE m EQUAC¸O˜ES LINEARES A n INCO´GNITAS. Uma SOLUC¸A˜O do sistema (*) e´ uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de escalares em IK que satisfaz simultane- amente a`s m equac¸o˜es. Observac¸a˜o: Se, em particular, y1 = y2 = ... = ym = 0, enta˜o o sistema e´ chamado um SIS- TEMA HOMOGEˆNEO e, neste caso, a n-upla (0, 0, ..., 0) sera´ uma soluc¸a˜o, denominada SOLUC¸A˜O TRIVIAL. Exemplos: A) x = 5, y = 3, z = −1, ou seja (5, 3,−1), e´ (a u´nica) soluc¸a˜o do sistema linear: 2x− y + 2z = 5 −x+ 3y − z = 5 x+ 2y + 3z = 8 B) O sistema linear 2x− y = 7 −x+ 3y = 4 x+ 2y = 10 na˜o admite nenhuma soluc¸a˜o. C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema: 2x+ y − 3z = 0 x− y + z = 0 x+ 2y − z = 0 D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homogeˆneo: 2x+ y − 3z = 0 x− y + z = 0 x+ 2y − 4z = 0 4 CAPI´TULO 1 E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear:{ ix+ 2y = 3− 6i 3x+ y = 2 F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema{ 2x+ y − z = 1 −x− y + z = 2 1.3 Sistemas equivalentes Seja (x1, x2, ..., xn) uma soluc¸a˜o do sistema (*). Dados m escalares c1, c2, ..., cm em IK, temos c1(a11x1 + ...+ a1nxn) = c1y1 ... ... cm(am1x1 + ...+ amnxn) = cmym Somando as m equac¸o˜es, temos uma nova equac¸a˜o (c1a11 + ...+ cmam1)x1 + ...+ (c1a1n + ...+ cmamn)xn = (c1y1 + ...+ cmym) Esta equac¸a˜o e´ dita uma COMBINAC¸A˜O LINEAR das equac¸o˜es do sistema (*) e e´ imediato que a soluc¸a˜o (x1, x2, ..., xn) atende a esta equac¸a˜o. (Exemplo) Consequeˆncia: Se tivermos um outro sistema de equac¸o˜es lineares: (**) b11x1 + b12x2 + ... + b1nxn = z1 b21x1 + b22x2 + ... + b2nxn = z2 ... ... ... ... bk1x1 + bk2x2 + ... + bknxn = zk no qual cada uma das k equac¸o˜es e´ combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es de (*), enta˜o toda soluc¸a˜o de (*)e´ tambe´m uma soluc¸a˜o de (**). Observac¸a˜o: Pode acontecer de (**) ter soluc¸o˜es que na˜o sa˜o soluc¸o˜es de (*). Isto na˜o ocorrera´ se tambe´m cada equac¸a˜o de (*) for uma combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es de (**). Sistemas Lineares 5 Definic¸a˜o 1.2. Dizemos que dois sistemas de equac¸o˜es lineares sa˜o EQUIVALENTES se cada equac¸a˜o de cada sistema for combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es do outro sistema. Temos enta˜o o Teorema 1.3. Sistemas equivalentes de equac¸o˜es lineares teˆm exatamente as mesmas soluc¸o˜es. Nosso objetivo: Dado um sistema de equac¸o˜es lineares, vamos tentar produzir um outro sistema equivalente ao sistema dado e que seja mais fa´cil de resolver! 1.4 Operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de um sistema - como produzir sistemas equivalentes Consideremos as seguintes operac¸o˜es, chamadas ELEMENTARES, sobre as equac¸o˜es de um sis- tema linear: (i) multiplicac¸a˜o de uma equac¸a˜o por um escalar na˜o-nulo; (ii) substituic¸a˜o de uma equac¸a˜o pela soma dela com uma outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar; (iii) troca entre duas equac¸o˜es. Qualquer uma destas operac¸o˜es ira´ produzir um sistema equivalente (e, portanto, com as mesmas soluc¸o˜es) ao sistema original. Assim, basta produzirmos um sistema mais fa´cil de resolver. Exemplos: A) { 2x+ y = 5 −x− 2y = 2 B) 2x− y = 7 −x+ 3y = 4 x+ 2y = 10 C) 2x− y − 3z = 0 x− y + z = 0 x+ 2y − 4z = 0 Observac¸a˜o: Ao realizar operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es dos sistemas lineares, buscando produzir sistemas equivalentes mais simples de resolver, no´s trabalhamos efetivamente apenas com os coeficientes aij e os escalares y1, ..., ym. Isto motiva a definic¸a˜o de um novo tipo de objeto. 6 CAPI´TULO 1 1.5 Matrizes Definic¸a˜o 1.4. Uma MATRIZ m × n sobre um corpo IK e´ uma func¸a˜o A do conjunto dos pares de inteiros (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n em IK. Os elementos da matriz A sa˜o os escalares A(i, j) = aij ∈ IK. E´ conveniente descrever uma matriz exibindo seus elementos em uma tabela retangular com m linhas e n colunas: A = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... . . . ... am1 am2 ... amn As m-uplas verticais a11 a21 ... am1 ... a1n a2n ... amn sa˜o as chamadas colunas da matriz A. As n-uplas horizontais ( a11 a12 ... a1n ) ... ( am1 am2 ... amn ) sa˜o as chamadas linhas da matriz A. Um elemento aij esta´ disposto na linha i e na coluna j. Tambe´m denotaremos uma matriz A com m linhas e n colunas por Am×n. Exemplos: A) A = 2 1−3 0 0 1 e´ uma matriz 3× 2 sobre IR. B) B = [ 2i 7 √ 2 + 5i 3 2 4 0 i ] e´ uma matriz 2× 4 sobre C. Igualdade de Matrizes: Duas matrizes Am×n e Br×s sa˜o iguais quando m = r, n = s e aij = bij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, ou seja, quando possuem os mesmos nu´meros de linhas e colunas, e os elementos “correspondentes” sa˜o todos iguais. Sistemas Lineares 7 Alguns tipos de matrizes A) Matriz Quadrada: Uma m×n matriz e´ dita quadrada quando tem o mesmo nu´mero de linhas e colunas (m = n). Exemplo: A2×2 = [ i 1 −2 1 ] A diagonal principal de uma matriz quadradaA = (aij)n×n consiste nos elementos a11, a22, ..., ann. B) Matriz Diagonal: Uma matriz A = (aij) e´ diagonal quando e´ quadrada e seus elementos que na˜o esta˜o na diagonal principal sa˜o todos nulos, ou seja, aij = 0 se i 6= j. Exemplo: B = 3i 0 00 1 0 0 0 35 Um exemplo especial de matriz diagonal e´ a chamada matriz identidade: ela e´ uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a 1. Denotaremos uma n × n matriz identidade por In×n ou simplesmente I quando for claro (pelo contexto) qual a ordem da matriz. C) Matriz Nula: Uma matriz A = (aij)n×m e´ dita nula se aij = 0 para todo i, j, 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m. A matriz nula sera´ representada por O. D) Matriz Triangular Superior: Uma matriz A = (aij) e´ triangular superior quando e´ quadrada e seus elementos abaixo da diagonal principal sa˜o todos nulos, isto e´, aij = 0 se i > j. Exemplo: D = 1 9 0 −6 0 16 −2 i 0 0 0 8 0 0 0 1 E) Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A = (aij) e´ triangular inferior quando e´ quadrada e seus elementos acima da diagonal principal sa˜o todos nulos, isto e´, aij = 0 se i < j. Exemplo: E = 6 0 04 56 0 2 1 1 8 CAPI´TULO 1 F) Matriz Coluna: Matriz formada por uma u´nica coluna. Exemplo: N = 62 8 G) Matriz Linha: Matriz formada por uma u´nica linha. Exemplo: P = [ −1 0 −6i 6 34 ] Adic¸a˜o de matrizes e multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar Adic¸a˜o de matrizes: A soma das matrizes Am×n e Bm×n e´ a m× n matriz denotada por A+ B e dada por: A+B = a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n ... ... . . . ... am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn Multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar: Se k ∈ IK, o produto k.A e´ a m × n matriz denotada por kA e dada por: kA = k.a11 k.a12 . . . k.a1n k.a21 k.a22 . . . k.a2n ... ... . . . ... k.am1 k.am2 . . . k.amn Tambe´m definimos : −A = (−1).A e A−B = A+ (−1).B Propriedades Ba´sicas : Sejam A,B e C matrizes quaisquer m× n sobre um corpo IK e k1, k2 ∈ IK escalares em IK. Valem as seguintes propriedades: (1) A+ (B + C) = (A+B) + C (2) A+O (matriz nula) = A (3) A+ (−A) = O (matriz nula) (4) A+B = B +A (5) k1(A+B) = k1A+ k1B (6) (k1 + k2)A = k1A+ k2A (7) (k1k2)A = k1(k2A) (8) 1.A = A (9) 0.A = O (matriz nula) Sistemas Lineares 9 1.6 Operac¸o˜es elementares sobre linhas de uma matriz Ao buscar as soluc¸o˜es de um sistema linear (*) a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym realizamos operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es do sistema ate´ produzir um sistema equivalente mais simples de resolver. Neste processo, no´s essencialmente trabalhamos com os coeficientes aij e com os escalares y1, ..., ym. A`s operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es do sistema (*) correspondem, portanto, operac¸o˜es “semelhantes” sobre as linhas da matriz a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... . . . ... am1 am2 ... amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2 ... ym chamada a MATRIZ COMPLETA (ou AMPLIADA) do sistema (*). (Exemplo) Definic¸a˜o 1.5. Se A e B sa˜o m × n matrizes sobre um corpo IK, dizemos que B e´ LINHA- EQUIVALENTE a A se B pode ser obtida aplicando-se sobre A uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares sobre linhas. Resumindo: Sistema Linear operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es −→ Sistema equivalente mais simples l l Matriz completa do sistema operac¸o˜es elementares sobre as linhas −→ Matriz linha-equivalente mais simples Pergunta natural: A que tipo de matriz linha-equivalente estamos tentando chegar? 10 CAPI´TULO 1 1.7 Matrizes linha-reduzidas a` forma em escada Definic¸a˜o 1.6. Uma matriz m× n e´ LINHA-REDUZIDA A` FORMA EM ESCADA se as seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas: 1. o primeiro elemento na˜o nulo de cada linha na˜o nula e´ igual a 1; 2. cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de uma linha tem todos os seus outros elementos iguais a 0; 3. toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas; 4. o primeiro elemento na˜o-nulo da primeira linha ocorre “antes”(em termos de coluna) do primeiro elemento na˜o-nulo da segunda linha, que por sua vez ocorre “antes” do primeiro elemento na˜o- nulo da terceira linha, e assim por diante ... Exemplos: A = 1 0 0 00 1 −1 0 0 0 1 0 B = 0 1 −3 0 30 0 0 1 2 0 0 0 0 0 C = 0 2 11 0 −3 0 0 0 D = 10 20 0 0 0 −1 2 Teorema 1.7. Toda matriz Am×n e´ linha-equivalente a uma u´nica matriz linha-reduzida a` forma em escada. Exemplos: A) 2x − y = 7 −x + 3y = 4 x + 2y = 10 B) { ix + 2y = 3− 6i 3x + y = 2 C) { 2x + y − z = 1 −x − y + z = 2 Sistemas Lineares 11 Exerc´ıcios: 1) Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2× 2, 2× 3 e 3× 3 que esta˜o na forma linha-reduzida a` forma escada. 2) Resolva os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares pelo me´todo do escalonamento: rea- lizando as 3 operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema ate´ que a matriz dos coeficientes fique linha-reduzida a` forma escada, produzindo assim um sistema equivalente (portanto com as mesmas soluc¸o˜es do original) e mais fa´cil de resolver: a. { 2x + y = 5 x − 3y = 6 b. { √ 3x − iy = 0 x − y = −3 + i√3 c. { x − 2y + 3z = 0 2x + 5y + 6z = 0 d. 2x − y + 3z = 11 4x − 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 e. ix + z = 2i 2x − iz = 4 −ix + z = −i f. y + 3z = −2 2x + y − 4z = 3 2x + 3y + 2z = −1 g. x − 2y + 3z = 0 2x − y + 2z = 0 3x + y + 2z = 0 h. 3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y − z = 0 12 CAPI´TULO 1 i. x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14 2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2 x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1 j. x − 3y + z = 2 −2x + 3y − 3z = −1 2x − 9y + z = 5 k. x + 3y − 2z = 4− 4i −ix + 2y + z = 8 x + y − z = 1 l. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1 m. { 2x − i√2y = 0 ix + y = 0 n. { x + y + z = 4 2x + 5y − 2z = 3 o. x + y + z = 4 2x + 5y − 2z = 3 x + 7y − 7z = 5 p. 2y + 2z = 0 x + y + 3z = 0 3x − 4y + 2z = 0 2x − 3y + z = 0 q. x + y + z + w = 0 x + y + z − w = 4 x + y − z + w = −4 x − y + z + w = 2 r. −2x + y + 5z = 0 x − 2y − 4z = −3i x − y − 3z = −i Sistemas Lineares 13 3) Determine k para que o sistema abaixo admita soluc¸a˜o (e exiba a soluc¸a˜o): −4x + 3y = 2 5x − 4y = 0 2x − y = k 4) Determine k para que o sistema homogeˆneo abaixo admita soluc¸a˜o na˜o trivial (e exiba-a): 2x − 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + kz = 0 5) Dado o sistema linear 3x + 5y + 12z − w = −3 x + y + 4z − w = −6 2y + 2z + w = 5 (a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema. (b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistema imposs´ıvel. 6) Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as soluc¸o˜es) tenha x + y + kz = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y − z = 1 (a) Soluc¸a˜o u´nica. (b) Infinitas soluc¸o˜es. (c) Nenhuma soluc¸a˜o. 7) Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares: x − 2y + z = y1 2x + 4y + z = y2 5y − z = y3 − 1 (a) Quais as condic¸o˜es (se houver) sobre y1, y2 e y3 para que o sistema acima tenha soluc¸a˜o ? (b) Cite uma terna (y1, y2, y3) tal que o sistema acima tenha soluc¸a˜o. (c) Apresente a soluc¸a˜o correspondente a` terna citada acima em (b). 14 CAPI´TULO 1 1.8 Multiplicac¸a˜o de matrizes Definic¸a˜o 1.8. Sejam Am×n e Bn×p matrizes sobre um corpo IK. O PRODUTO DE A POR B e´ uma m× p matriz C = A.B dada por: cij = n∑ r=1 airbrj = ai1b1j + ai2b2j + ...+ ainbnj . Exemplos: A) A = 2 −11 0 3 4 , B = [ 1 −2 5 3 4 0 ] B) C = [ 1 0 −1 1 ] , D = [ 5 −1 2 15 4 8 ] Observac¸a˜o: O produto AB de A por B so´ esta´ definido quando o nu´mero de colunas da matriz A e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz B. Propriedades: 1. Seja A uma m× n matriz se Im×m e´ a m×m matriz identidade, enta˜o Im×m.A = A se In×n e´ a n× n matriz identidade, enta˜o A.In×n = A 2. Seja A uma m× n matriz se Op×m e´ a p×m matriz nula, enta˜o Op×m.A = Op×n (p× n matriz nula) se On×s e´ a n× s matriz nula, enta˜o A.On×s = Om×s (m× s matriz nula) 3. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e Cp×n, temos: A(B + C) = AB +AC . 4. Dadas matrizes An×p, Bm×n e Cm×n, temos: (B + C)A = BA+ CA . 5. Dadas matrizes Am×n, Bn×p e Cp×k, temos: A(BC) = (AB)C . 6. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e qualquer escalar λ, temos: λ(AB) = (λA)B = A(λB) . Sistemas Lineares 15 Observac¸a˜o: Em geral AB 6= BA (o produto de matrizes na˜o e´ comutativo). Por exemplo: A = 1 −1 1−3 2 −1 −2 1 0 e B = 1 2 32 4 6 1 2 3 Temos que, AB = O3×3 e BA = −11 6 −1−22 12 −2 −11 6 −1 Consequeˆncias importantes da definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes: 1a) Cada linha da matriz C = AB e´ uma combinac¸a˜o linear das linhas de B. A combinac¸a˜o linear que “fornece” a i-e´sima linha de C e´ dada pela i-e´sima linha de A. (Exemplo) 2a) Cada coluna da matriz C = AB e´ uma combinac¸a˜o linear das colunas de A. A combinac¸a˜o linear que “fornece” a j-e´sima coluna de C e´ dada pela j-e´sima coluna de B. (Exemplo) 3a) Todo sistema linear (*) a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym pode ser descrito por uma u´nica equac¸a˜o matricial AX = Y , onde: A = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... . . . ... am1 am2 ... amn e´ a matriz dos coeficientes do sistema, X = x1 x2 ... xn e Y = y1 y2 ... ym Observac¸a˜o: Uma soluc¸a˜o (x1, x2, ..., xn) do sistema corresponde a uma matriz X = x1 x2 ... xn que satisfaz a` equac¸a˜o AX = Y. (Exemplo) 16 CAPI´TULO 1 Exerc´ıcio: Considere o sistema { x + 6y − 8z = 1 2x + 6y − 4z = 0 , que na forma matricial fica[ 1 6 −8 2 6 −4 ] . xy z = [ 1 0 ] (a) Verifique que a matriz X1 = −11/3 0 e´ uma soluc¸a˜o particular para o sistema. (b) Resolva o sistema e verifique que toda soluc¸a˜o e´ da forma X = λ. −42 1 + −11/3 0 (c) Mostre que λ. −42 1 e´ a soluc¸a˜o de [ 1 6 −8 2 6 −4 ] . xy z = [ 0 0 ] (d) Generalize os resultados obtidos acima e mostre que toda soluc¸a˜o de um sistema linear AX = Y e´ a soma de uma soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0 com uma soluc¸a˜o particu- lar de AX = Y . 4a) Consideremos um sistema linear AX = Y como (*). Se existir uma n×m matriz A˜ tal que { A˜.A = In×n A.A˜ = Im×m , enta˜o o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o dada por X = A˜.Y . (Exemplo) 1.9 Matrizes invert´ıveis Definic¸a˜o 1.9. Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e´ dita INVERTI´VEL se existir uma n × n matriz B tal que B.A = A.B = In×n. Neste caso B e´ dita a INVERSA da matriz A e escrevemos B = A−1. (Exemplo) Sistemas Lineares 17 Observac¸o˜es: 1. Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A−1 tambe´m e´ invert´ıvel e (A−1)−1 = A. 2. Se A e B sa˜o invert´ıveis, enta˜o AB tambe´m e´ invert´ıvel e (AB)−1 = B−1A−1. Teorema 1.10. Seja A uma n× n matriz quadrada sobre um corpo IK. Temos: A e´ uma matriz invert´ıvel ⇐⇒ Cada sistema AX = Y possui uma u´nica soluc¸a˜o ⇐⇒ A e´ linha-equivalente a` n× n matriz identidade Procedimento para inversa˜o de matrizes: Consideremos a matriz A2×2 = [ 2 1 −1 −2 ] e o problema de determinar a inversa de A, se ela existir. Estaremos procurando uma matriz B = [ b11 b12 b21 b22 ] tal que A.B = [ 1 0 0 1 ] . E´ fa´cil ver que este problema e´ equivalente a resolver os seguintes sistemas lineares (escritos na forma matricial):[ −2 1 3 1 ] . [ b11 b21 ] = [ 1 0 ] [ −2 1 3 1 ] . [ b12 b22 ] = [ 0 1 ] Para resolvermos estes sistemas, executamos sobre a matriz completa de cada um deles as operac¸o˜es elementares sobre linhas ate´ transformar a matriz A dos coeficientes em uma matriz linha-reduzida a` forma em escada (A sera´ invert´ıvel se, e so´ se, for linha-equivalentea` 2× 2 matriz identidade). Pore´m, como a matriz dos coeficientes de ambos os sistemas e´ a mesma (A), podemos resolver os sistemas simultaneamente. Para tal, colocamos a matriz identidade ao lado de A e realizamos sobre I2×2 a mesma sequeˆncia de operac¸o˜es sobre linhas que aplicada a` matriz A devera´ produzir a identidade. A matriz resultante sera´ a inversa da matriz A. Observac¸a˜o: Se A na˜o for linha-equivalente a` matriz identidade, enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel. 18 CAPI´TULO 1 Exerc´ıcios: 1) Considere as seguintes matrizes: A = 2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1 −1 0 0 3 B = 3 −3 −3 2 −5 6 6 −4 4 −5 −4 3 1 −1 −1 1 (a) Obtenha os produtos: A.B e B.A . (b) Sabemos que cada sistema abaixo possui uma u´nica soluc¸a˜o (por que ?). Obtenha-as diretamente. 3x − 3y − 3z + 2w = 2 −5x + 6y + 6z − 4w = −1 4x − 5y − 4z + 3w = 3 x − y − z + w = 1 2x + y = 0 x − z + w = 1 y + z + w = −2 −x + 3w = 0 (c) Verifique as soluc¸o˜es obtidas. 2) O objetivo deste exerc´ıcio (dirigido) e´ mostrar que se A e B sa˜o duas n × n matrizes tais que A.B = In×n , enta˜o B.A = In×n (ou seja, na definic¸a˜o de matriz invert´ıvel, basta que um dos produtos seja verificado). Suponhamos enta˜o que A e B sejam duas n× n matrizes tais que A.B = In×n . 1o passo: Mostre que o sistema homogeˆneo BX = O so´ admite a soluc¸a˜o trivial. 2o passo: Conclua que cada sistema BX = Y admite uma u´nica soluc¸a˜o. 3o passo: Sem utilizar o resultado do Teorema 1.10, mostre diretamente do resultado do 2o passo que existe uma n× n matriz C tal que B.C = In×n . 4o passo: Conclua que C = A obrigatoriamente e portanto B.A = In×n . 3) Identifique quais matrizes, entre as dadas abaixo, sa˜o invert´ıveis, obtenha as inversas (caso sejam invert´ıveis) e verifique as inversas. (Sugesta˜o: Realize operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ate´ obter uma matriz linha- reduzida a` forma escada e use que uma matriz An×n e´ invert´ıvel se, e somente se, A e´ linha-equivalente a` n× n Matriz Identidade In×n) A = −2 −1 15 3 −1 3 1 −3 B = [ i −1 1 + 2i −3 ] C = 1 0 1−1 3 1 0 1 1 Sistemas Lineares 19 1.10 Determinantes Seja (x, y) uma soluc¸a˜o do seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:{ a11x + a12y = b1 a21x + a22y = b2 que na forma matricial e´ escrito como:[ a11 a12 a21 a22 ] . [ x y ] = [ b1 b2 ] ou AX = Y sendo A = [ a11 a12 a21 a22 ] a matriz dos coeficientes do sistema, X = [ x y ] e Y = [ b1 b2 ] Multiplicando cada equac¸a˜o por constantes adequadas e somando-as, buscando “isolar” x e y nas equac¸o˜es do sistema, chegamos a: (a11a22 − a12a21).x = (b1a22 − a12b2) e (a11a22 − a12a21).y = (a11b2 − b1a21). Se (a11a22 − a12a21) 6= 0 , podemos obter: x = (b1a22 − a12b2) (a11a22 − a12a21) e y = (a11b2 − b1a21) (a11a22 − a12a21) . Existe portanto uma forte relac¸a˜o entre o nu´mero (a11a22−a12a21) e o sistema A.X = Y dado. Temos enta˜o: Definic¸a˜o 1.11. Seja A = [ a11 a12 a21 a22 ] uma 2× 2 matriz (de nu´meros reais ou complexos). Definimos o DETERMINANTE da matriz A ( detA ou |A| ) como: detA = a11a22 − a12a21. O racioc´ınio e a definic¸a˜o anteriores podem ser generalizados de forma que possamos definir o determinante de uma matriz de ordem n× n , com n ≥ 3 , atrave´s de um me´todo conhecido como Desenvolvimento de Laplace. 20 CAPI´TULO 1 Definic¸a˜o 1.12. Seja A = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... . . . ... an1 an2 ... ann uma n × n (n ≥ 3) matriz sobre um corpo IK (IR ou C). Escolhendo qualquer linha i ∈ {1, 2, ..., n} , definimos detA = n∑ j=1 aij∆ij = ai1∆i1 + ai2∆i2 + ...+ ain∆in sendo ∆ij (COFATOR do elemento aij da matriz A) o escalar dado por ∆ij = (−1)i+j .detA(i|j). onde A(i|j) e´ a (n− 1)× (n− 1) matriz obtida retirando-se de A a linha i e a coluna j. Obs.: O resultado independe da linha i escolhida. (Exemplos) Observac¸a˜o: Em geral, para o ca´lculo de determinantes de matrizes de ordem maior ou igual a 4 e´ conveniente combinar as propriedades dos determinantes (a seguir) com a definic¸a˜o (Desenvolvi- mento de Laplace). Propriedades fundamentais dos determinantes: A) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz quadrada por uma constante, enta˜o seu determinante fica multiplicado por esta constante. B) Trocando a posic¸a˜o de duas linhas de uma matriz quadrada, seu determinante muda de sinal. C) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 ... a1n ... ... ... bi1 + ci1 bi2 + ci2 ... bin + cin ... ... ... an1 an2 ... ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 ... a1n ... ... ... bi1 bi2 ... bin ... ... ... an1 an2 ... ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 ... a1n ... ... ... ci1 ci2 ... cin ... ... ... an1 an2 ... ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ D) Se A e B sa˜o n× n matrizes, enta˜o det(A.B) = detA.detB Sistemas Lineares 21 E) Se A e´ uma n×n matriz e At e´ sua transposta, ou seja, Atij = Aji (as colunas de At sa˜o as linhas de A e as linhas de At sa˜o as colunas de A, ordenadamente), enta˜o detAt = detA . Observac¸a˜o: Esta u´ltima propriedade nos permite estender as propriedades anteriores referentes a linhas para propriedades semelhantes referentes a colunas. Tambe´m temos, como detAt = detA, que detA = ∑n i=1 aij∆ij , ou seja, o Desenvolvimento de Laplace na nossa definic¸a˜o pode ser feito “ao longo” das colunas da matriz A. F) Seja [ A B O C ] uma n× n matriz na forma de blocos, onde A e C sa˜o matrizes quadradas e O e´ uma matriz nula, enta˜o det [ A B O C ] = detA.detC (Exemplos) A matriz adjunta: caracterizac¸a˜o das matrizes invert´ıveis Seja A = a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... . . . ... an1 an2 ... ann uma n× n matriz quadrada. Chamamos de MATRIZ ADJUNTA DE A, a` transposta da matriz dos cofatores de A adjA = ∆11 ∆12 ... ∆1n ∆21 ∆22 ... ∆2n ... ... . . . ... ∆n1 ∆n2 ... ∆nn t = ∆11 ∆21 ... ∆n1 ∆12 ∆22 ... ∆n2 ... ... . . . ... ∆1n ∆2n ... ∆nn (Exemplo) Teorema 1.13. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Enta˜o: A. adjA = adjA.A = (detA).In (Exemplo) 22 CAPI´TULO 1 Finalmente, chegamos ao resultado pretendido: Teorema 1.14. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Enta˜o: A e´ invert´ıvel ⇐⇒ detA 6= 0 Demonstrac¸a˜o: (⇒) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o existe uma n× n matriz B tal que A.B = In×n. Segue enta˜o detA.detB = det(A.B) = det I = 1 ⇒ detA 6= 0 . (⇐) Se detA 6= 0 , segue do Teorema anterior que 1 detA (A. adjA) = 1 detA ( adjA.A) = 1 detA (detA).In . Logo A. ( 1 detA adjA ) = ( 1 detA adjA ) .A = In . Portanto A e´ invert´ıvel, e A−1 = 1 detA adjA . Resumo dos principais resultados deste cap´ıtulo: Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Enta˜o Cada sistema linear AX = Y possui uma u´nica soluc¸a˜o. m O sistema homogeˆneo AX = O possui apenas a soluc¸a˜o trivial X = O. m A e´ linha-equivalente a` n× n matriz identidade In×n. m A e´ invert´ıvel. m detA 6= 0 . Sistemas Lineares 23 Exerc´ıcios: 1) Dada a matriz A = 2 1 −30 2 1 5 1 3 calcule (a) adjA (b) detA (c) A−1 2) Prove as seguintes propriedades dos determinantes, utilizando outras propriedades conhecidas ou a pro´pria definic¸a˜o de determinante: (a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz sa˜o nulos, enta˜o seu determinante e´ igual a 0 (zero). (b) Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) iguais enta˜o seu determinante e´ igual a 0 (zero). (c) Se em uma matriz quadrada, duas linhas (ou colunas) teˆm seus elementos correspondentes pro- porcionais, o determinante e´igual a 0 (zero). (d) O determinante de uma matriz na˜o se altera se somarmos a uma linha (coluna) uma outra linha (coluna) multiplicada por uma constante. Para cada uma das propriedades acima, deˆ um exemplo com uma aplicac¸a˜o da propriedade. 3) Propriedade: O determinante de uma matriz triangular An×n e´ igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal. (a) Prove esta propriedade no caso em que A e´ uma matriz triangular superior (gene´rica) 4 × 4. (Sugesta˜o: Use Laplace) (b) O que voceˆ pode dizer sobre o determinante da matriz abaixo ? λ− 2 0 0 0 1 λ− 2 0 0 52 27 λ+ 1 0 0 pi √ 3 5 4) Identifique, entre as matrizes dadas, quais sa˜o invert´ıveis, obtenha as inversas (daquelas que forem invert´ıveis) e verifique as inversas. (Sugesta˜o: Para identificar as invert´ıveis, calcule os determinantes e use que uma matriz An×n e´ invert´ıvel se, e somente se, detA 6= 0 - deˆ uma olhada no enunciado do pro´ximo exerc´ıcio) 24 CAPI´TULO 1 A = 1 0 11 2 3 0 2 2 B = 2 0 −13 0 2 4 −3 7 C = [ 2 + i 3 1 2− i ] D = 4 −1 2 −2 3 −1 0 0 2 3 1 0 0 7 1 1 E = 1 0 21 1 4 2 2 4 F = 2 3 1 −2 5 3 1 4 0 1 2 2 3 −1 −2 4 G = 3 −3 −3 2 −5 6 6 −4 4 −5 −4 3 1 −1 −1 1 H = 3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 −6 pi −5 0 0 4 2 √ 3 0 0 8 3 5 6 −1 J = 0 −i −2 i 1 −1 i 1 0 −1 1 −i 1 1 1 0 L = [ 6 2 11 4 ] M = 1 1 3 9 −2 1 6 3 0 0 3 −1 0 0 −1 1 N = 2 −3 71 0 3 0 2 −1 P = 2 0 i1 −3 −i i 1 1 Q = [ 2 −4−5i 7i ] R = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 5) Calcule os determinantes das matrizes do exerc´ıcio anterior. 6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo e´ verdadeira ou falsa (considere matrizes n × n). Se for verdadeira, justifique-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo mostrando que e´ falsa: (a) Se I e´ a matriz identidade, enta˜o det I = 1 (b) Se A e´ invert´ıvel enta˜o detA−1 = 1detA (c) Para todas matrizes A e B temos que det(A+B) = detA+ detB (d) Para todas matrizes A e B temos que det(AB) = det(BA) (e) Se existe uma matriz invert´ıvel P tal que B = P−1.A.P enta˜o detB = detA (f) Se detA = 1 enta˜o A−1 = A (g) Para toda matriz A temos que det(k.A) = k.detA Sistemas Lineares 25 7) Para cada um dos n× n sistemas homogeˆneos AX = λX (λ ∈ IK) dados a seguir (“arrume” os sistemas e observe que sa˜o de fato homogeˆneos), fac¸a: (1) Determine os valores de λ para os quais o sistema admite pelo menos uma soluc¸a˜o na˜o trivial. (Sugesta˜o: CX = 0 so´ admite a soluc¸a˜o trivial X = 0 se, e somente se, detC 6= 0). (2) Obtenha as soluc¸o˜es de AX = λX para os valores de λ obtidos no item anterior. a. { −3x + 4y = λx −x + 2y = λy Sobre o corpo IR b. 5x − 6y − 6z = λx −x + 4y + 2z = λy 3x − 6y − 4z = λz Sobre o corpo IR c. 1 −3 13 1 1 0 0 −1 . xy z = λ. xy z Sobre o corpo IR d. 1 −3 13 1 1 0 0 −1 . xy z = λ. xy z Sobre o corpo C Observando que o sistema homogeˆneo AX = λX corresponde a (A − λI)X = 0 (onde I e´ a n× n matriz identidade) e baseado na resoluc¸a˜o dos ı´tens (1) e (2) acima, descreva a condic¸a˜o sobre λ para que AX = λX possua pelo menos uma soluc¸a˜o na˜o trivial. Obs.: No futuro, ao estudarmos as transformac¸o˜es lineares, sera´ fundamental obtermos uma matriz na˜o nula X = x1 x2 ... xn tal que, dada uma n× n matriz A, AX seja um mu´ltiplo de X, ou seja, AX = λX (X 6= 0). 26 CAPI´TULO 1 Cap´ıtulo 2 Espac¸os Vetoriais Ao estudarmos o “plano” IR2, o “espac¸o tridimensional” IR3, o conjunto Mm×n(IK) das m × n matrizes sobre um corpo IK, o conjunto P (IK) = {anxn+ ...+ a1x+ a0, ai ∈ IK} dos polinoˆmios com coeficientes num corpo IK ou o conjunto C(IR) das func¸o˜es f : IR→ IR cont´ınuas, por exemplo, com suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar, comec¸amos a perceber uma “estrutura comum” a todos estes conjuntos (com estas operac¸o˜es). Seria enta˜o natural estudar esta estrutura da maneira mais geral poss´ıvel, de modo que os resul- tados obtidos possam ser aplicados a todos os conjuntos que possuam esta estrutura. A estrutura comum a` qual nos referimos acima e´ a estrutura de espac¸o vetorial e a A´lgebra Linear estuda (de modo geral) os espac¸os vetoriais, bem como certos tipos de func¸o˜es naturais entre espac¸os vetoriais, as chamadas transformac¸o˜es lineares. 2.1 Definic¸a˜o e exemplos Definic¸a˜o 2.1. Um ESPAC¸O VETORIAL SOBRE UM CORPO IK e´ um conjunto V , cujos objetos sa˜o denominados VETORES, munido de duas operac¸o˜es: • Adic¸a˜o de vetores: que associa a cada par de vetores u, v em V um vetor u+ v ∈ V ; • Multiplicac¸a˜o por escalar: que associa a cada escalar a ∈ IK e cada vetor u ∈ V um vetor a.u ∈ V , as quais possuem as seguintes propriedades: 27 28 CAPI´TULO 2 EV.1) u+ v = v + u ∀u, v ∈ V EV.2) u+ (v + w) = (u+ v) + w ∀u, v, w ∈ V EV.3) Existe um u´nico vetor 0 ∈ V , chamado o VETOR NULO, tal que u+ 0 = u ∀u ∈ V EV.4) Para cada vetor u ∈ V , existe um u´nico vetor −u ∈ V tal que u+ (−u) = 0 (nulo) EV.5) 1.u = u ∀u ∈ V EV.6) (a.b).u = a.(b.u) ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V EV.7) a.(u+ v) = a.u+ a.v ∀a ∈ IK, ∀u, v ∈ V EV.8) (a+ b).u = a.u+ b.u ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V Exemplos: A) Consideremos o conjunto IR2 = {(x, y) : x, y ∈ IR} com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2 a.(x, y) = (ax, ay) ∀a ∈ IR, ∀(x, y) ∈ IR2 Identificamos geometricamente IR2 com o plano cartesiano (estudado na geometria anal´ıtica): Figura 2.1: Um ponto (vetor) no plano cartesiano IR2, com as operac¸o˜es usuais acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR. Espac¸os Vetoriais 29 B) Consideremos o conjunto IR3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ IR} com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ IR3 a.(x, y, z) = (ax, ay, az) ∀a ∈ IR, ∀(x, y, z) ∈ IR3 Identificamos geometricamente IR3 com o espac¸o euclidiano “tridimensional”: Figura 2.2: Um ponto (vetor) no espac¸o tridimensional IR3, com as operac¸o˜es usuais acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR. C) Consideremos o conjunto IRn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ IR, i = 1, ..., n}, onde esta´ fixado n ∈ IN, com as operac¸o˜es: (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ∀ (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn a.(x1, x2, ..., xn) = (ax1, ax2, ..., axn) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn IRn, com as operac¸o˜es usuais acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR. n = 1⇒ IR (reta) n = 2⇒ IR2 (plano) n = 3⇒ IR3 (espac¸o tridimensional) Observac¸a˜o: Analogamente, considerando Cn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ C, i = 1, ..., n} (n ∈ IN fixado) com as operac¸o˜es usuais, temos que Cn e´ um espac¸o vetorial sobre C. D) Fixados m,n ∈ IN, o conjunto Mm×n(IK) das m× n matrizes sobre um corpo IK (IR ou C), com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IK. 30 CAPI´TULO 2 E) O conjunto P (IK) = {anxn + ... + a1x + a0 : ai ∈ IK} dos polinoˆmios sobre um corpo IK (IR ou C), com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar, e´ espac¸o vetorial sobre o corpo IK. F) Seja X um conjunto na˜o vazio. Fixado um corpo IK (IR ou C), consideremos o conjunto F(X; IK) = {f : X → IK} das func¸o˜es de X em IK, com as seguintes operac¸o˜es: Dadas f, g ∈ F(X; IK), definimos (f + g) : X → IK como (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ X. Dados a ∈ IK e f ∈ F(X; IK), definimos (af) : X → IK como (af)(x) = a.f(x) ∀ x ∈ X. F(X;IK), com as operac¸o˜es acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IK. G) Consideremos o conjunto IR∞ = {(x1, x2, x3, ...) : xi ∈ IR, i = 1, 2, 3, ...}, com as operac¸o˜es: (x1, x2, x3, ...) + (y1, y2, y3, ...) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ...) ∀ (x1, x2, ...), (y1, y2, ...) ∈ IR∞ a.(x1, x2, x3, ...) = (ax1, ax2, ax3, ...) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ...) ∈ IR∞ IR∞, com as operac¸o˜es acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR. H) Consideremos IR2 com as seguintes operac¸o˜es: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2 a(x, y) = (ax, y) ∀ a ∈ IK, ∀(x, y) ∈ IR2 Com estas operac¸o˜es, IR2 na˜o e´ um espac¸o vetorial sobre IR. De fato, tomando a = 1, b = −3 ∈ IR e u = (2, 5) ∈ IR2 , temos (a+ b).u = (−2).u = (−4, 5) mas a.u + b.u = (2, 5) + (−6, 5) = (−4, 10) e assim o conjunto IR2 , COM AS OPERAC¸O˜ES ACIMA, na˜o possui a propriedade (EV.8), na˜o sendo portanto um espac¸o vetorial. Algumas consequeˆncias “imediatas” da definic¸a˜o de espac¸o vetorial: (a) Se w + u = w + v enta˜o u = v ; Como existe (−w) no espac¸o tal que w+(−w) = 0 , temos: w+u = w+v ⇒ (−w)+(w+u) = (−w) + (w + v)⇒ (−w + w) + u = (−w + w) + v ⇒ 0 + u = 0 + v ⇒ u = v. (b) Se 0 e´ o vetor nulo e a ∈ IK e´ um escalar qualquer, enta˜o a.0 = 0 ; Temos: (a.0) + 0 = a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 e da´ı segue de (a) acima que 0 = a.0 . (c) Dados 0 ∈ IK e u ∈ V , temos 0.u = 0 ; Temos: (0.u) + 0 = 0.u = (0 + 0).u = 0.u+ 0.u e da´ı segue de (a) acima que 0 = 0.u . Espac¸os Vetoriais 31 (d) Se a.v = 0 enta˜o a = 0 (zero) ou v = 0 (vetor nulo) ; Se a 6= 0 enta˜o a possui um inverso multiplicativo a−1 e assim temos: 0 = a−1.0 = a−1.(a.v) = (a−1.a).v = 1.v = v e portanto a = 0 ou v = 0. (e) (−1).u = −u . (−1).u + u = (−1).u + 1.u = (−1 + 1).u = 0.u = 0 e como o inverso aditivo do vetor u e´ u´nico devemos ter necessariamente (−1).u = −u Exerc´ıcios: 1) Descreva o vetor nulo de cada um dos espac¸os vetoriais abaixo (nos quais sa˜o consideradas as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar) : (a) IR2 (b) IR3 (c) IRn (d) Cn (e) M2×3 (C) (f) P (IR) (polinoˆmios com coeficientes em IR) (g) F (IR) = {f : IR→ IR} (func¸o˜es de IR em IR) 2) Em cada item abaixo definimos em IR2 operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar com as quais IR2 na˜o e´ espac¸o vetorial. Mostre (atrave´s de contra-exemplos), em cada caso, quais propriedades de espac¸os vetoriais na˜o sa˜o atendidas pelas operac¸o˜es dadas: (a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2) a.(x, y) = (ax, ay) (b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) a.(x, y) = (ay, ax) 3) Seja V = {(1, x, 2) ; x ∈ IR} munido das operac¸o˜es: (1, x1, 2) + (1, x2, 2) = (1, x1 + x2, 2) ∀ (1, x1, 2), (1, x2, 2) ∈ V a.(1, x, 2) = (1, ax, 2) ∀ a ∈ IR, ∀ (1, x, 2) ∈ V Mostre que V e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR e obtenha o vetor nulo de V . 2.2 Subespac¸os Vetoriais Definic¸a˜o 2.2. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Um subconjunto W ⊂ V e´ dito um SUBESPAC¸O VETORIAL DE V quando W tambe´m e´ um espac¸o vetorial se considerarmos W munido das mesmas operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar definidas em V . 32 CAPI´TULO 2 Teorema 2.3. Sejam V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK e W ⊂ V . W e´ um subespac¸o vetorial de V se, e somente se: (i) O vetor nulo de V pertence a W (0 ∈W ) (ii) Dados u, v ∈W , enta˜o u+ v ∈W (iii) Dados u ∈W e a ∈ IK, enta˜o a.u ∈W . Exemplos: A) Seja W = {(x,−2x) : x ∈ IR} ⊂ IR2 (operac¸o˜es usuais). W e´ um subespac¸o vetorial do IR2. E´ claro que o vetor nulo do IR2 , (0, 0) , per- tence a W . (1) Dados u = (x,−2x) e v = (y,−2y) em W , temos u+ v = (x+ y,−2x− 2y) ∈W . (2) Dados u = (x,−2x) e a ∈ IR , temos a.u = (ax,−2ax) ∈W . (3) Por (1), (2) e (3) segue (do Teorema acima) que W e´ subespac¸o vetorial do IR2 . Figura 2.3: Subespac¸o W ⊂ IR2 B) Seja S = {(x, x2) : x ∈ IR} ⊂ IR2. S na˜o e´ subespac¸o do IR2. Se tomarmos a = 3 ∈ IR e u = (−2, 4) ∈ S , temos a.u = (−6, 12) 6∈ S . Assim o subconjunto S na˜o atende ao item (iii) do Teorema acima e portanto S na˜o e´ sub- espac¸o vetorial do IR2 . Figura 2.4: O subconjunto S ⊂ IR2 na˜o e´ sub- espac¸o vetorial do IR2 Espac¸os Vetoriais 33 C) Seja W = {(x1, 0, x3, x4) : x1, x3, x4 ∈ IR} ⊂ IR4. W e´ um subespac¸o do IR4. E´ imediato que o vetor nulo do IR4, (0, 0, 0, 0), pertence a W . (1) Dados u = (x1, 0, x3, x4), v = (y1, 0, y3, y4) ∈W , temos u+v = (x1+y1, 0, x3+y3, x4+y4) ∈W .(2) Dados a ∈ IR e u = (x1, 0, x3, x4) ∈W , temos a.u = (ax1, 0, ax3, ax4) ∈W . (3) Por (1), (2) e (3) segue que W e´ subespac¸o vetorial do IR4. D) Sejam W = X = x1 x2 ... xn tais que AX = O ⊂Mn×1(IR) , A ∈Mm×n(IR) fixada. W e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo AX = O. W e´ subespac¸o de Mn×1(IR). De fato, e´ claro que o vetor nulo de Mn×1(IR), a n× 1 matriz nula, pertence a W , pois todo sistema linear homogeˆneo admite trivialmente a matriz nula como soluc¸a˜o. (1) Se X1 , X2 ∈W , temos A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = O +O = O e assim X1 +X2 ∈W . (2) Dados a ∈ IR e X ∈W , temos A(aX) = a(AX) = aO = O e assim aX ∈W . (3) Por (1), (2) e (3) segue que W e´ subespac¸o vetorial de Mn×1(IR). E) Se A e´ uma 3× 3 matriz sobre IR e Y 6= 00 0 enta˜o o conjunto soluc¸a˜o do sistema na˜o- homogeˆneo AX = Y dado por W = X = xy z tais que AX = Y ⊂M3×1(IR) na˜o e´ um sub- espac¸o de M3×1(IR). E´ imediato que a 3 × 1 matriz nula (vetor nulo de M3×1(IR)) na˜o pertence a W , pois um sistema linear na˜o-homogeˆneo na˜o admite a matriz nula como soluc¸a˜o. Portanto o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear na˜o homogeˆneo na˜o e´ um subespac¸o vetorial (resultado geral). F) Uma n× n matriz A e´ dita sime´trica quando At = A (A e´ igual a sua transposta). Seja W = {A2×2 : At = A} ⊂M2×2(IR), ou seja, W = {[ a b b c ] : a, b, c ∈ IR } . Enta˜o W (conjunto das 2× 2 matrizes sime´tricas sobre IR) e´ um subespac¸o de M2×2(IR). Na˜o e´ dif´ıcil verificar que a 2×2 matriz nula e´ sime´trica, a soma de matrizes sime´tricas e´ uma matriz sime´trica e a multiplicac¸a˜o de uma matriz sime´trica por um escalar qualquer resulta em uma matriz sime´trica. Portanto, o conjuntoW das 2×2 matrizes sime´tricas e´ um subespac¸o vetorial de M2×2(IR) . 34 CAPI´TULO 2 G) Seja P3(IK) = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 : ai ∈ IK} ⊂ P (IK) o conjunto dos polinoˆmios de grau ≤ 3 sobre um corpo IK (IR ou C). P3(IK) e´ um subespac¸o vetorial de P (IK). O polinoˆmio nulo o(x) = 0 (vetor nulo de P (IK) ) pertence a P3(IK) . A soma de dois polinoˆmios de grau menor ou igual a treˆs e´ ainda um polinoˆmio de grau menor ou igual a treˆs. A multiplicac¸a˜o de um polinoˆmio de grau menor ou igual a treˆs por um escalar qualquer e´ ainda um polinoˆmio de grau menor ou igual a treˆs. Assim, P3(IK) e´ subespac¸o vetorial de P (IK) . H) Seja A = {f : IR→ IR tais que f(−x) = f(x) ∀x ∈ IR} ⊂ F(IR) o subconjunto das func¸o˜es pares. A e´ um subespac¸o de F(IR). Analogamente, o subconjunto das func¸o˜es ı´mpares em F(IR), dado por B = {f : IR→ IR tais que f(−x) = −f(x) ∀x ∈ IR}, tambe´m e´ um subespac¸o vetorial de F(IR). De fato: (1) A func¸a˜o nula o : IR → IR dada por o(x) = 0 para todo x ∈ IR e´ uma func¸a˜o par. (2) Se f e g sa˜o func¸o˜es pares, temos: (f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) e assim f + g e´ tambe´m uma func¸a˜o par. (3) Se f e´ uma func¸a˜o par e a um escalar qualquer, temos (af)(−x) = a.f(−x) = a.f(x) = (af)(x) e assim (af) e´ tambe´m uma func¸a˜o par. Por (1), (2) e (3) segue que o conjunto das func¸o˜es pares A e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o de todas as func¸o˜es de IR em IR. O resultado para B (func¸o˜es ı´mpares) e´ ana´logo. I) Consideremos o espac¸o IR∞ de todas as sequeˆncias de nu´meros reais. Denotaremos por coo osubconjunto de IR∞ formado pelas sequeˆncias que teˆm um nu´mero FINITO de termos na˜o nulos, ou seja, as sequeˆncias que sa˜o nulas a partir de um determinado termo. Por exemplo: (1,−3, pi, 0,√2, 0, 0, 0, . . .) ∈ coo e (1, 1, 1, . . . , 1, . . .) 6∈ coo. coo e´ um subespac¸o vetorial de IR∞. E´ claro que a sequeˆncia nula (0, 0, 0, . . . , 0, . . .) (vetor nulo de IR∞ ) pertence a coo, a soma de duas sequeˆncias em coo e´ uma sequeˆncia em coo e a multiplicac¸a˜o de uma sequeˆncia em coo por um escalar qualquer e´ ainda uma sequeˆncia em coo. Portanto coo e´ subespac¸o vetorial de IR∞ . Observac¸o˜es: 1. Fixado u ∈ V , o conjunto W = {a.u : a ∈ IK} ⊂ V e´ um subespac¸o vetorial de V . (exerc´ıcio) 2. O subconjunto W = {0} ⊂ V , formado apenas pelo vetor nulo 0 ∈ V , e´ um subespac¸o de V , denominado SUBESPAC¸O NULO. (imediato) 3. Todo espac¸o V e´ subespac¸o de si mesmo. (imediato) 4. Os subespac¸os V e {0} de V sa˜o denominados SUBESPAC¸OS TRIVIAIS. Espac¸os Vetoriais 35 Exerc´ıcios: 1) Considere C2 = {(x, y) ; x, y ∈ C} que, com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar, e´ espac¸o vetorial sobre o corpo C. Temos que IR2 = {(x, y) ; x, y ∈ IR} ⊂ C2 . IR2 e´ subespac¸o vetorial de C2 ? Justifique. 2) Considere os espac¸os V dados abaixo munidos das operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W e´ subespac¸o vetorial de V e prove que sua resposta esta´ correta: (a) V = IR2 , W = { (x, x3) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente) (b) V = IR2 , W = {(3y, y) ; y ∈ IR} (ilustre geometricamente) (c) V = IR2 , W = {(x, 3x) ; x ∈ IR ; x ≥ 0} (ilustre geometricamente) (d) V = IR2 , W = {(x, 2x− 1) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente) (e) V = IR3 , W = IR2 (f) V = IR3 , W = { (x, y, z) ∈ IR3 ; y = 3z − x} (g) V = IR3 , W = {(3a− b, 2a+ b, a− 2b) ; a, b ∈ IR} (h) V = IR3 , W e´ o conjunto dos vetores do IR3 com pelo menos uma coordenada ≥ 0 (i) V = IR4 , W = { (x, y, z, w) ∈ IR4 ; 2x+ y − w = 0 e z = 0} (j) V = C4 , W e´ o conjunto dos vetores do C4 que teˆm pelo menos duas coordenadas iguais (k) V = IR4 , W = {(x, y, x, z) ; x, y, z ∈ IR} (l) V = IR5 , W e´ o conjunto dos vetores do IR5 com duas ou mais coordenadas nulas (m) V = C3 , W = { (x, y, z) ∈ C3 ; x.y = 0} (n) V = IRn , W = {(x, 2x, 3x, . . . , nx) ; x ∈ IR} (o) V =M2×2(C) , W = { [ a 0 0 b ] ; a, b ∈ C } (p) V =M3×3(IR) , W e´ o conjunto das matrizes triangulares superiores (q) V = M2×3(C) , W e´ o conjunto das 2 × 3 matrizes sobre C que teˆm alguma coluna formada 36 CAPI´TULO 2 por elementos iguais. (r) V =M2×2(C) , W = { A ∈ V ; At = −A} (matrizes anti-sime´tricas) (s) V =M4×4(IR) , W = {A ∈ V ; detA = 0} (t) V =M2×2(IR) , W = { [ 0 1 0 a ] ; a ∈ IR } (u) V = P (IR) , W e´ o conjunto dos polinoˆmios de grau par, acrescido do polinoˆmio nulo (v) V = F(IR) , W = {f : IR→ IR ; f(−7) = 0} (w) V = F(IR) , W = {f : IR→ IR ; f(1) = 1} (x) V = F(IR) , W = {f : IR→ IR ; f(x+ 2pi) = f(x) ∀ x ∈ IR} (conjunto das func¸o˜es perio´dicas de per´ıodo 2pi) (y) V = IR∞ , W = `∞ = conjunto das sequeˆncias LIMITADAS de nu´meros reais, ou seja, (x1, x2, x3, . . .) esta´ em `∞ quando existir algum nu´mero real M tal que |xi| ≤ M para todos os termos xi da sequeˆncia. Por exemplo: ( 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . . ) ∈ `∞ e (1,−2, 1,−4, 1,−6, 1,−8, 1,−10, 1, . . .) 6∈ `∞. (z) V = IR∞ , W e´ o conjunto das sequeˆncias de nu´meros reais que teˆm uma quantidade INFINITA de termos iguais a zero. Nosso objetivo agora sera´ construir subespac¸os a partir de outros subespac¸os dados. Como sub- espac¸os sa˜o ainda subconjuntos dos espac¸os vetoriais nos quais esta˜o inseridos, e´ natural tentarmos usar as operac¸o˜es de intersec¸a˜o, unia˜o entre conjuntos para tentar produzir outros subespac¸os: Teorema 2.4 (Intersec¸a˜o de subespac¸os). Se W1 e W2 sa˜o subespac¸os de um espac¸o vetorial V , enta˜o sua intersec¸a˜o W1 ∩W2 e´ tambe´m um subespac¸o de V . Observac¸a˜o: O resultado acima pode ser generalizado para intersec¸a˜o de uma famı´lia qualquer (finita ou infinita) de subespac¸os vetoriais de V . Espac¸os Vetoriais 37 Exemplos: A) Consideremos os conjuntos W1 = {(x, y, z) ∈ IR3 ; 3x− y + 2z = 0} ⊂ IR3 e W2 = {(x, y, z) ∈ IR3 ; x+ 2y + z = 0} ⊂ IR3, subespac¸os de IR3 (veja exemplo D). E´ fa´cil ver que a intersec¸a˜o W1 ∩W2 e´ dada por W1 ∩W2 = { (x, y, z) ∈ IR3 ; 3x− y + 2z = 0 e x+ 2y + z = 0} (a intersec¸a˜o e´ soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo com as duas equac¸o˜es acima). Resolvendo o sistema, chegamos a W1 ∩ W2 = { (5y, y,−7y) ; y ∈ IR} = { y.(5, 1,−7) ; y ∈ IR} . Note que W1 ∩W2 e´ de fato um subespac¸o do IR3 (uma reta passando pela origem) e que este resul- tado era esperado, uma vez que W1 e W2 sa˜o dois planos na˜o-paralelos no IR3. B) Sejam W1 = {[ a b c 0 ] ; a, b, c ∈ C } , W2 = {[ a 0 0 b ] ; a, b ∈ C } ⊂M2×2(C). W1 e W2 sa˜o subespac¸os de M2×2(C) (verifique!). Obtenha W1 ∩W2. Pela simples descric¸a˜o dos subespac¸os W1 e W2 chegamos diretamente a W1 ∩W2 = {[ a 0 0 0 ] ; a ∈ C } Observac¸a˜o: Com a intersec¸a˜o de subespac¸os, obtemos naturalmente novos subespac¸os MENORES que os dados. Se pretendemos, indo em outra direc¸a˜o, obter subespac¸os MAIORES que certos sube- spac¸os dados, somos naturalmente levados a tentar fazer a unia˜o de subespac¸os. Pore´m, e´ fa´cil obter contra-exemplos (tente) para mostrar que EM GERAL A UNIA˜O DE SUBESPAC¸OS NA˜O E´ UM SUBESPAC¸O. Por este motivo, se desejamos obter subespac¸os maiores que certos subespac¸os dados, devemos usar o conceito de SOMA DE SUBESPAC¸OS: Definic¸a˜o 2.5. Dados k subconjuntos S1, S2, ..., Sk ⊂ V (espac¸o vetorial), definimos sua SOMA como S1 + S2 + ...+ Sk = {v = u1 + u2 + ...+ uk : ui ∈ Si} ⊂ V . Teorema 2.6 (Soma de subespac¸os). Se W1 e W2 sa˜o subespac¸os de um espac¸o vetorial V , enta˜o sua soma W1 +W2 e´ tambe´m um subespac¸o de V . Observac¸a˜o: O resultado acima e´ imediato tambe´m para a soma W1 + ...+Wk de uma colec¸a˜o finita de subespac¸os de V . 38 CAPI´TULO 2 Definic¸a˜o 2.7. Sejam W1 e W2 dois subespac¸os de um espac¸o V . Quando W1 ∩W2 = {0} enta˜o W1 +W2 e´ chamada SOMA DIRETA DE W1 E W2 e denotada por W1 ⊕W2. Exemplos: A) Sejam W1 = {[ a b c 0 ] ; a, b, c ∈ C } , W2 = {[ a 0 0 b ] ; a, b ∈ C } ⊂ M2×2(C). Ja´ temos W1 +W2 ⊂M2×2(C) . (1) Dada qualquer matriz A = [ a b c d ] ∈M2×2(C), temos A = A1 +A2 , com A1 = [ 0 b c 0 ] ∈W1 e A2 = [ a 0 0 d ] ∈W2 ou seja, A ∈W1 +W2 . Da´ı resulta M2×2(C) ⊂W1 +W2 . (2) Por (1) e (2) podemos concluir que W1 +W2 = M2×2(C) e essa soma na˜o e´ direta, pois (ja´ vimos que) W1 ∩W2 6= {0} . B) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} e W2 = {(0, 0, z) : z ∈ IR} subespac¸os do IR3. Ja´ temos W1 +W2 ⊂ IR3 . (1) Dado qualquer vetor u = (x, y, z) ∈ IR3, temos u = u1 + u2, com u1 = (x, y, 0) ∈W1 e u2 = (0, 0, z) ∈W2 ou seja, u ∈W1 +W2 . Da´ı resulta IR3 ⊂W1 +W2 . (2) Por (1) e (2) podemos concluir que W1+W2 = IR3 e essa soma e´ direta, pois W1∩W2 = {(0, 0, 0)} . Escrevemos enta˜o IR3 =W1 ⊕W2 . Exerc´ıcios: 1) Sejam W1 = { (x, y, z, t) ∈ IR4 ; x+ y = 0 e z − t = 0} e W2 = { (x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0} (subespac¸os de IR4). Determine W1 ∩W2. 2) Sejam W1 = { (x, y, z, t) ∈ IR4 ; 2x+ y − t = 0 e z = 0} e W2 = { (x, y, z, t) ∈ IR4 ; x+ y = 0 e z − t = 0} (subespac¸os de IR4). Determine W1 ∩W2. 3) Sejam W1 = {(x, y, 0) ; x, y ∈ IR} , W2 = {(z, z, z) ; z ∈ IR} ⊂ IR3. Mostre que W1 e W2 sa˜o subespac¸os de IR3 e que IR3 =W1 ⊕W2. 4) Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2) , sejam W1 e W2 respectivamente as retas que passam pela origem de IR2 e conteˆm u e v. Mostre que IR2 =W1 ⊕W2. Espac¸os Vetoriais 39 5) Sejam W1 = {[ aa 0 0 ] ; a ∈ IR } , W2 = {[ b 0 0 b ] ; b ∈ IR } ⊂ M2×2(IR). Obtenha W1 +W2 e responda se esta soma e´ direta. 2.3 Combinac¸o˜es lineares: gerac¸a˜o de subespac¸os Definic¸a˜o 2.8. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Uma COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores v1,v2, ..., vn ∈ V e´ um vetor v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn onde a1, a2, ..., an sa˜o escalares do corpo IK. Exemplos: A) Seja V = IR3. Consideremos os vetores v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1). O vetor u = (−3,−1, 5) e´ uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2, pois u = (−3).v1 + 5.v2 . De fato: (−3).(1, 2, 0) + 5.(0, 1, 1) = (−3,−6, 0) + (0, 5, 5) = (−3,−1, 5) = u . Ja´ o vetor w = (2, 3,−3) na˜o e´ combinac¸a˜o linear de v1 e v2, pois na˜o existem a, b ∈ IR tais que w = a.v1 + b.v2 . De fato, para que um vetor v = (x, y, z) ∈ IR3 seja combinac¸a˜o linear de v1 e v2, devemos ter a, b ∈ IR tais que (x, y, z) = a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) = (a, 2a+ b, b) , ou seja, devemos ter a = x 2a+ b = y b = z Resolvendo o sistema acima (inco´gnitas a e b), obtemos a = x, b = z, com y = 2x+z . Isto significa que, para que v = (x, y, z) seja combinac¸a˜o linear de v1 e v2, devemos ter y = 2x + z e o vetor w = (2, 3,−3) na˜o satizfaz essa condic¸a˜o (note que o vetor u = (−3,−1, 5) satisfaz). B) Seja V = P (IR) (espac¸o dos polinoˆmios em IR). Consideremos combinac¸o˜es lineares dos vetores v1 = 1, v2 = x2, v3 = x3 . O polinoˆmio p(x) = 4x3 − x2 + 2 e´ uma combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios v1, v2 e v3, pois p = 2.v1 + (−1).v2 + 4.v3 . E´ tambe´m fa´cil ver que o polinoˆmio q(x) = x3 − 4x2 + 2x − 7 na˜o e´ combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3. 40 CAPI´TULO 2 C) Seja M2×2(C). Sejam A = [ 1 0 0 0 ] e B = [ 0 0 0 1 ] . A matriz M = [ 3i 0 0 −2 ] e´ claramente uma combinac¸a˜o linear das matrizes A e B acima, pois M = 3i.A+ (−2).B . E´ tambe´m fa´cil ver que a matriz N = [ −3 i 0 1 ] na˜o e´ combinac¸a˜o linear de A e B. Note que as combinac¸o˜es lineares de A e B sa˜o exatamente as matrizes da forma [ a 0 0 b ] , ou seja, as 2× 2 matrizes diagonais de nu´meros complexos. O conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares dos vetores de um subconjunto S ⊂ V e´ um sub- espac¸o de V , denominado SUBESPAC¸O GERADO PELO CONJUNTO S e denotado por [S] . Observac¸o˜es: 1. Se, em particular, S = {v1, v2, ..., vn} e´ finito , escrevemos W = [v1, v2, ..., vn] para denotar o subespac¸o gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn. 2. Se W1 = [S1] e W2 = [S2] enta˜o W1 +W2 = [S1 ∪ S2] (exerc´ıcio: tente provar). 3. Se duas matrizes m×n em um corpo IK (IR ou C) sa˜o linha-equivalentes, enta˜o os espac¸os de IKn gerados pelos vetores linha de cada matriz sa˜o exatamente os mesmos. Isto decorre do fato de que se duas matrizes sa˜o linha-equivalentes, enta˜o cada cada linha de cada uma delas e´ combinac¸a˜o linear das linhas da outra. Por exemplo: Consideremos a matriz A = 1 −2 0−1 1 1 −2 −1 5 . Ela e´ linha-equivalente a` matriz (escalonada-reduzida) B = 1 0 −20 1 −1 0 0 0 (verifique, escalonando a matriz A ate´ obter B). Segue da observac¸a˜o acima que o subespac¸o do IR3 gerado pelos vetores (1,−2, 0), (−1, 1, 1) e (−2,−1, 5) e´ o mesmo subespac¸o gerado por (1, 0,−2) e (0, 1,−1) (note que o vetor nulo (0, 0, 0) na˜o tem efeito algum na gerac¸a˜o do subespac¸o). Note tambe´m que, como a matriz B e´ escalonada reduzida (e bem mais simples que A), fica mais fa´cil descrever as combinac¸o˜es lineares das linhas de B do que as combinac¸o˜es lineares das linhas de A, apesar de serem os mesmos conjuntos (subespac¸o gerado). Retomaremos essa ide´ia nos exemplos a seguir. Espac¸os Vetoriais 41 Exemplos: A) Seja V = IR3. Sejam v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1). W = [v1, v2] = ? Ja´ vimos anteriormente que W = [v1, v2] = { (x, y, z) ∈ IR3 ; y = 2x+ z} = { (x, 2x+ z, z) ; x, z ∈ IR} Observemos que W (subespac¸o do IR3 gerado por v1 e v2 = conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares de v1 e v2) e´ um plano que passa pela origem: Figura 2.5: W = Subespac¸o gerado por v1 e v2 B) Seja S = {1, x, x2, x3} (conjunto de polinoˆmios). O subespac¸o W = [1, x, x2, x3] ⊂ P (IR) gerado por S e´ o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares de 1, x, x2, x3 , ou seja... [S] = { ax3 + bx2 + cx+ d ; a, b, c, d ∈ IR} = P3(IR) C) Dadas A = [ 1 0 0 0 ] , B = [ 0 0 0 1 ] ∈M2×2(C), encontre W = [A,B]. Ja´ vimos que W = [A,B] = { [ a 0 0 b ] ; a, b ∈ C } D) Dado qualquer (x, y, z) ∈ IR3, temos: (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) e com isso IR3 ⊂ [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] . Como ja´ temos (trivialmente) [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] ⊂ IR3 podemos concluir que [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] = IR3 42 CAPI´TULO 2 E) Seja V =M2×2(IR). Obtenha geradores para o seguinte subespac¸o de V : W = { [ a b b 0 ] ; a, b ∈ IR } ⊂ M2×2(IR) Temos: W = { [ a b b 0 ] ; a, b ∈ IR } = { [ a 0 0 0 ] + [ 0 b b 0 ] ; a, b ∈ IR } = = { a. [ 1 0 0 0 ] + b. [ 0 1 1 0 ] ; a, b ∈ IR } = [ [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 1 0 ] ] F) Obtenha geradores para o subespac¸o do IR3 dado por: W = { (x, y, z) ∈ IR3 ; 2x− y + 3z = 0 } Temos: W = { (x, y, z) ∈ IR3 ; 2x− y + 3z = 0 } = { (x, 2x+ 3z, z) ; x, z ∈ IR } = = { x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1) ; x, z ∈ IR } = [(1, 2, 0), (0, 3, 1)] G) Consideremos os vetores u1 = (1, 2, 0,−1), u2 = (1, 1,−1, 3), u3 = (1, 4, 2,−3) no IR4. E´ poss´ıvel obter um conjunto menor de geradores para o mesmo subespac¸o [u1, u2, u3] ⊂ IR4 ? A resposta sera´ SIM se algum dos vetores acima for combinac¸a˜o linear dos demais (pois neste caso na˜o precisaremos dele para gerar o mesmo subespac¸o). Pensando nisso, vamos montar a matriz A cujas linhas sa˜o os vetores dados e escalona´-la. A situac¸a˜o em que algum dos vetores (linhas) e´ combinac¸a˜o dos demais ocorre quando a u´nica matriz escalonada reduzida que e´ linha-equivalente a A possui uma ou mais linhas nulas. A = 1 2 0 −11 1 −1 3 1 4 2 −3 ↔ . . . ↔ 1 0 −2 00 1 1 0 0 0 0 1 Como a u´nica matriz escalonada reduzida que e´ linha-equivalente a A na˜o possui nenhuma linha nula, segue que nenhum dos vetores originais e´ combinac¸a˜o linear dos demais e portanto neste caso na˜o e´ poss´ıvel obter um conjunto menor de geradores para o subespac¸o W = [u1, u2, u3] . Espac¸os Vetoriais 43 Exerc´ıcios: 1) Responda V ou F, justificando: (a) [ 4 −4 −6 16 ] e´ combinac¸a˜o linear de [ 1 2 3 4 ] , [ −1 2 3 −4 ] , [ 1 −2 −3 4 ] (b) (1,−1, 2) ∈ [(1, 2, 3), (3, 2, 1)] (c) [(−5, 3, 2), (3,−1, 3)] = IR3 2) Descreva o subespac¸o W ⊂ M3×2(IR) gerado por 0 01 1 0 0 , 0 10 −1 1 0 , 0 10 0 0 0 . O vetor 0 23 4 5 0 pertence a W ? 3) Sejam U o subespac¸o de IR3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespac¸o de IR3 gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1) . Mostre que IR3 = U ⊕W . 4) Sejam V = M3×3(C) , W1 o subespac¸o de V formado pelas matrizes triangulares inferiores e W2 o subespac¸o de V formado pelas matrizes triangulares superiores. Descreva W1 ∩W2. Mostre que V =W1 +W2. A soma V =W1 +W2 e´ direta ? Justifique. Obtenha conjuntos de vetores que geram W1, W2 e W1 ∩W2. 5) Considere V = IR3. Exprima o vetor z = (1,−3, 10) como combinac¸a˜o linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0), e w = (2,−3, 5). Responda: z ∈ [u, v] ? Justifique. 6) Dados os vetores u1 = (0, 1,−2), u2 = (−1, 0, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (2,−1, 0) em IR3, descreva os subespac¸os W1 = [u1, v1] , W2 = [u2, v2] , W1 ∩W2 e obtenha geradores de W1 ∩W2. 7) Seja W o subespac¸o de M2×2(C) definido por W = { [ 2a a+ 2b 0 a− b ] ; a, b ∈ C } [ 0 −2i 0 i ] ∈ W ? [ 0 2 3i 1 ] ∈ W ? [ 4i 4 0 −2 + 3i ] ∈ W ?8) Mostre que os polinoˆmios 1 − x3, (1 − x)2, 1 − x e 1 geram o espac¸o P3(IR) dos polinoˆmios reais de grau ≤ 3. 44 CAPI´TULO 2 9) Dados os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0,−1) no IR3, obtenha um conjunto mais simples (se poss´ıvel menor) de vetores que gere o mesmo subespac¸o que v1, v2 e v3. A partir da´ı, descreva esse subespac¸o e responda se o vetor v = (2, 2, 1) esta´ nesse subespac¸o. 10) Para cada subespac¸o obtido no segundo exerc´ıcio da primeira lista da Sec¸a˜o 2.2, da letra (a) ate´ a letra (u), obtenha um conjunto de vetores que gera o subespac¸o. 2.4 Dependeˆncia e independeˆncia linear Definic¸a˜o 2.9. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Um conjunto na˜o-vazio S ⊂ V e´ dito LINEARMENTE INDEPENDENTE (L.I.) quando nenhum vetor de S e´ combinac¸a˜o linear dos demais elementos de S, ou enta˜o quando S e´ composto apenas de um vetor na˜o-nulo. Do contra´rio, ou seja, se S = {0} ou algum vetor de S e´ combinac¸a˜o linear de outros vetores de S, enta˜o S e´ dito LINEARMENTE DEPENDENTE (L.D.) O resultado abaixo facilita a identificac¸a˜o da dependeˆncia ou independeˆncia linear. Teorema 2.10. Um subconjunto S ⊂ V e´ linearmente independente (L.I.) se, e somente se, sempre que c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 com v1, v2, ..., vn ∈ S e c1, c2, ..., cn ∈ IK, enta˜o obrigatoriamente c1 = c2 = ... = cn = 0, ou seja, “a u´nica combinac¸a˜o linear de vetores de S capaz de produzir o vetor nulo, 0, e´ aquela em que todos os escalares sa˜o iguais a 0 (zero)” . Exemplos: A) V = IR3, v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1). Se a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) = (0, 0, 0), temos (a, 2a + b, b) = (0, 0, 0) . Resolvendo o sistema linear homogeˆneo, obtemos a = b = 0 obrigatoriamente e portanto os vetores (1, 2, 0) e (0, 1, 1) sa˜o L.I. B) V = IR3, S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1) }. Se a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) + c.(−2,−3, 1) = (0, 0, 0), temos (a− 2c, 2a+ b− 3c, b+ c) = (0, 0, 0), o que nos leva ao seguinte sistema linear homogeˆneo a − 2c = 0 2a + b − 3c = 0 b + c = 0 o qual admite soluc¸o˜es na˜o-triviais ( { (2c,−c, c) ; c ∈ IR} ). Portanto o conjunto S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2,−3, 1)} e´ L.D. Espac¸os Vetoriais 45 C) S = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } ⊂ IR3 e´ L.I. D) “As linhas na˜o-nulas de umam×nmatriz linha reduzida a` forma escada (escalonada-reduzida) sobre IK correspondem a um conjunto LI de vetores do IKn”. Exemplo: Seja S = { (1, 0,−1 + 2i, 0), (0, 1, 3− i, 0), (0, 0, 0, 1)} ⊂ C4 . Como a 3× 4 matriz A = 1 0 −1 + 2i 00 1 3− i 0 0 0 0 1 e´ escalonada-reduzida, segue da observac¸a˜o acima que o conjunto S e´ L.I. (fac¸a tambe´m as contas nesse exemplo e tente enxergar porqueˆ a observac¸a˜o funciona). Observac¸o˜es: (Consequeˆncias imediatas da definic¸a˜o) 1. Todo conjunto que conte´m o vetor nulo e´ LD. 2. Se S e´ LD e S ⊂ Q enta˜o Q e´ LD. 3. Se S e´ LI e R ⊂ S enta˜o R e´ LI. Exerc´ıcios: 1) Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Dados dois vetores u, v ∈ V , mostre que eles sa˜o linearmente dependentes (LD) se, e somente se, um e´ mu´ltiplo escalar do outro. 2) Determinar treˆs vetores em IR3 que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer deles sejam linearmente independentes. 3) Considere os espac¸os V dados abaixo munidos das operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar. Para cada caso abaixo, responda se S ⊂ V e´ um conjunto de vetores LI (linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes) em V . (a) V = C3 , S = {(1, 1, 1), (i, 2i, i), (2, 1, 2)} . (b) V = IR3 , S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} . (c) V = IR3 , S = {(1, 2, 3), (2, 1,−2), (3, 1, 1), (4,−1,−2)} . (d) V = IR2 , S = {(1, 1), (−1, 1)} . (e) V =M2×2(C) , S = { [ 1 1 0 0 ] , [ 1 0 0 1 ] , [ 1 1 1 1 ] } . 46 CAPI´TULO 2 (f) V = P (IR) , S = { x3 − 5x2 + 1, 2x4 + 5x− 6, x2 − 5x+ 2 }. (g) V = P2(C) , S = { 1, x+ i, (x+ i)2 } . 2.5 Base e dimensa˜o de um espac¸o vetorial Definic¸a˜o 2.11. Um conjunto β ⊂ V (espac¸o vetorial sobre um corpo IK) e´ dito ser uma BASE de V quando: (i) β gera V (qualquer vetor de V e´ combinac¸a˜o linear de vetores de β); (ii) β e´ linearmente independente (LI). Exemplos: A) V = IR3 e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} . Ja´ vimos que [α] = IR3 (α gera o IR3) e α e´ L.I. Portanto α e´ uma base do IR3 (a chamada BASE CANOˆNICA DO IR3). B) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} . β e´ L.I. (pois possui dois vetores e nenhum deles e´ mu´ltiplo escalar do outro). Para ver qual o espac¸o gerado por β, vamos escalonar a matriz que tem os vetores de β como linhas:[ 1 1 −1 2 ] ↔ [ 1 1 0 3 ] ↔ [ 1 1 0 1 ] ↔ [ 1 0 0 1 ] Da´ı o espac¸o gerado por β e´ o mesmo espac¸o gerado por {(1, 0), (0, 1)} (base canoˆnica do IR2), ou seja, β gera o IR2 todo. Portanto β e´ uma base do IR2. C) Sejam W = [(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)] e γ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)} . Ja´ vimos que o espac¸o gerado por (1, 2, 0) e (0, 1, 1) e´ dado por { (x, 2x+ z, z) ; x, z ∈ IR}. Sendo assim, e´ fa´cil ver que (−2,−3, 1) esta´ neste espac¸o, ou seja, e´ combinac¸a˜o linear dos demais vetores. Portanto o conjunto γ e´ L.D., na˜o sendo portanto base de W (apesar de gerar W ). Espac¸os Vetoriais 47 D) O conjunto δ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} , apesar de ser claramente L.I., na˜o e´ base do IR3, pois ele na˜o gera todo o IR3 (de fato, o subespac¸o gerado por δ tem necessariamente os vetores na forma (x, 2x+ z, z) e nem todo vetor do IR3 e´ dessa forma). E) Obtenha uma base de W = {[ a 0 0 b ] ; a, b ∈ C } ⊂M2×2(C) . Ja´ vimos que W e´ gerado pelas matrizes A = [ 1 0 0 0 ] e B = [ 0 0 0 1 ] , as quais formam um conjunto claramente L.I., sendo portanto uma base de W . F) Obtenha uma base para W = [(0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 2), (−1, 1, 1,−2)] . 0 1 1 01 1 1 2 −1 1 1 −2 ↔ 1 1 1 20 1 1 0 0 2 2 0 ↔ 1 0 0 20 1 1 0 0 0 0 0 Como as linhas de matrizes linha-equivalentes geram os mesmos espac¸os, temos queW e´ gerado pelos vetores (1, 0, 0, 2) e (0, 1, 1, 0), os quais sa˜o L.I. (claro). Portanto o conjunto { (1, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 0)} e´ uma base de W . G) Sejam V = P (IR) e β = {1, x, x2, ..., xn, ...} . E´ imediato que β gera P (IR) (todo polinoˆmio em P (IR) e´ combinac¸a˜o de polinoˆmios de β) e na˜o e´ dif´ıcil ver que β e´ L.I., sendo portanto uma base de P (IR). Observac¸o˜es: 1. Todo espac¸o vetorial V 6= {0} possui uma base. 2. Se um espac¸o vetorial V possui uma base finita, dizemos enta˜o que ele possui DIMENSA˜O FINITA. Caso contra´rio, diremos que V possui DIMENSA˜O INFINITA. Teorema 2.12. Sejam v1, v2, ..., vn vetores na˜o-nulos que geram um espac¸o vetorial V . Enta˜o, dentre estes vetores, podemos extrair uma base de V . Prova: Se β = { v1, v2, . . . , vn} e´ L.I. enta˜o este conjunto ja´ e´ uma base de V e portanto o resultado e´ va´lido. Se, por outro lado, o conjunto e´ L.D. enta˜o algum desses vetores, digamos vi1 , e´ combinac¸a˜o linear dos demais e portanto desnecessa´rio na gerac¸a˜o de V , ou seja, β1 = β − {vi1} ainda gera V (como vi1 e´ combinac¸a˜o dos demais, podemos descarta´-lo e ainda geraremos V com os demais). Olhamos enta˜o para β1 ⊂ β. Se β1 e´ L.I. enta˜o este conjunto e´ uma base de V (contida em β) e o resultado e´ va´lido. Se, por outro lado, β2 e´ L.D. enta˜o algum de seus vetores, digamos 48 CAPI´TULO 2 vi2 , e´ combinac¸a˜o linear dos demais e pelo mesmo racioc´ınio de antes β2 = β1 − {vi2} ainda gera V . Prosseguindo nessa linha, apo´s um nu´mero finito de passos chegamos a um conjunto β′ ⊂ β que gera V e e´ L.I., ou seja, e´ uma base de V contida em β e obtemos assim o resultado pretendido. Consequeˆncias: (tente prova´-las) 1a) Se um espac¸o vetorial V e´ gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Enta˜o qualquerconjunto com mais de n vetores e´ LD. 2a) Se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, enta˜o qualquer base de V tem sempre o mesmo nu´mero de elementos. Este nu´mero e´ chamado DIMENSA˜O DE V , e denotado por dimV . 3a) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dimV = n. Se um conjunto β, com n vetores, gera V , enta˜o β e´ LI e, portanto, uma base de V . Exemplos: A) V = IR3 . Vimos que α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ base do IR3 (BASE CANOˆNICA). Portanto o IR3 tem dimensa˜o finita, todas as bases do IR3 teˆm 3 vetores e dim IR3 = 3. B) W = {[ a 0 0 b ] ; a, b ∈ C } . Ja´ vimos que as matrizes A = [ 1 0 0 0 ] e B = [ 0 0 0 1 ] , formam uma base de W . Portanto W tem dimensa˜o finita, todas as bases de W teˆm dois vetores e dimW = 2 . C) P3(IR) E´ imediato que { 1, x, x2, x3 } e´ uma base de P3(IR). Portanto P3(IR) tem dimensa˜o finita, todas as bases de P3(IR) teˆm 4 vetores e dimP3(IR) = 4 . D) Seja W = [ (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (2, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 1) ] ⊂ IR4 . Vamos obter uma base para W : 1 0 0 0 1 1 0 0 2 3 0 0 1 0 0 1 ↔ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 ↔ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Espac¸os Vetoriais 49 Portanto {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} e´ uma base de W , W tem dimensa˜o finita, todas as bases de W teˆm 3 vetores e dimW = 3. Teorema 2.13. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Qualquer conjunto de vetores LI em V pode ser completado de modo a formar uma base de V . Prova: Seja β ⊂ V um conjunto L.I. Se β gera V enta˜o β ja´ e´ uma base de V e o resultado e´ va´lido. Se, por outro lado, β na˜o gera V , enta˜o existe pelo menos um vetor (na˜o-nulo) em V , digamos v1, tal que v1 na˜o pertence a [β] (espac¸o gerado por β). Como β ja´ era L.I. e v1 na˜o e´ combinac¸a˜o linear de vetores de β segue que β1 = β ∪ {v1} e´ um conjunto L.I. contendo β. Olhemos enta˜o para β1. Se β1 (que e´ L.I) gera V , enta˜o β1 e´ base de V contendo β e o resultado enunciado e´ va´lido. Se, por outro lado, β1 na˜o gera V , enta˜o existe pelo menos um vetor (na˜o-nulo) em V , digamos v2, que na˜o pertence a [β1]. Pelo mesmo racioc´ınio de antes, segue que β2 = β1 ∪ {v2} e´ um conjunto L.I. Prosseguindo desta forma e como V tem dimensa˜o finita, apo´s um nu´mero finito de passos obtemos um conjunto L.I. β′ ⊃ β que gera V , ou seja, obtemos uma base de V contendo β e o resultado esta´ provado. Consequeˆncias: (tente prova´-las) 1a) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dimV = n. Se um conjunto β, com n vetores, e´ LI, enta˜o β gera V e e´ portanto uma base de V . 2a) Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e W um subespac¸o de V (W ⊂ V ). Enta˜o: W 6= V ⇔ dimW < dimV . 3a) Se S ⊂ V (espac¸o) tem n elementos e e´ LI, enta˜o dimV ≥ n . Em particular, se existir um conjunto INFINITO e LI em V , enta˜o V tem dimensa˜o infinita. Exemplos: A) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} . Sabemos que o IR2 tem dimensa˜o 2. Como o conjunto β ⊂ IR2 tem 2 vetores e e´ claramente L.I., segue que β gera o IR2 e e´ portanto uma base do IR2. B) P2(C) e γ = {1, (x− i), (x− i)2} . Sabemos que P2(C) tem dimensa˜o 3 e como γ ⊂ P2(C) tem 3 vetores, provar que γ e´ L.I. e´ suficiente para concluirmos que γ gera P2(C) e e´ portanto uma base de P2(C). De fato, supondo a.1+b.(x−i)+c.(x−i)2 = 0 (polinoˆmio nulo), obtemos a+bx−bi+c(x2−2xi−1) = 0 50 CAPI´TULO 2 e da´ı (a− bi− c) + (b− 2ci)x+ cx2 = 0 , o que nos leva a a− bi− c = 0 b− 2ci = 0 c = 0 ⇒ a = b = c = 0 Logo γ e´ L.I. e o resultado segue. C) Verifique se IR4 = [(1,−1, 3,−1), (2, 1, 3, 0), (0, 1,−1, 1), (1, 3,−1, 2)] . Seja W ⊂ IR4 o subespac¸o gerado pelos quatro vetores acima. Teremos W = IR4 se, e somente se, dimW = dim IR4 = 4. Vamos enta˜o descobrir qual a dimensa˜o de W obtendo uma base para W : 1 −1 3 −1 2 1 3 0 0 1 −1 1 1 3 −1 2 ↔ 1 −1 3 −1 0 3 −3 2 0 1 −1 1 0 4 −4 3 ↔ 1 0 2 0 0 1 −1 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ↔ 1 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Assim dimW = 3 6= 4 = dim IR4 e portanto W ⊂ IR4 na˜o e´ todo o IR4. D) Consideremos em IR∞ o seguinte conjunto INFINITO de vetores: S = {w1, w2, w3, . . .} , com w1 = (1, 0, 0, 0, . . .) w2 = (0, 1, 0, 0, . . .) w3 = (0, 0, 1, 0, . . .) ... O conjunto infinito S ⊂ IR∞ e´ claramente L.I. (verifique) e a partir disto podemos concluir que o espac¸o IR∞ (das sequeˆncias de nu´neros reais) tem dimensa˜o infinita. Teorema 2.14. Se W1 e W2 sa˜o subespac¸os de dimensa˜o finita de um espac¸o vetorial V , enta˜o W1 +W2 possui dimensa˜o finita e dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim (W1 ∩W2) Exemplo: Se W1 = {(x,−x, y, z) : x, y, z ∈ IR} e W2 = {(a, b,−a, c) : a, b, c ∈ IR} (subespac¸os de IR4), obtenha W1 ∩W2, dimW1, dimW2 e dimW1 ∩W2 e responda se W1 +W2 = IR4. W1 = {x.(1,−1, 0, 0) + y.(0, 0, 1, 0) + z.(0, 0, 0, 1) ; x, y, z ∈ IR} = [(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] e como os vetores geradores de W1 acima sa˜o L.I. (mostre), enta˜o eles formam uma base de W1 e dimW1 = 3. W2 = { a.(1, 0,−1, 0) + b.(0, 1, 0, 0) + c.(0, 0, 0, 1) ; a, b, c ∈ IR} = [(1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)] e como os vetores geradores de W2 acima sa˜o L.I. (mostre), enta˜o eles formam uma base de W2 e dimW2 = 3. Espac¸os Vetoriais 51 Agora: (W1 ∩W2) = { (x,−x,−x,w) ; x,w ∈ IR} = {x.(1,−1,−1, 0) + w.(0, 0, 0, 1) ; x,w ∈ IR} = [(1,−1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)]. Estes dois u´ltimos vetores que geramW1∩W2 sa˜o claramente L.I. (mostre) e portanto formam uma base de W1 ∩W2, sendo enta˜o dim(W1 ∩W2) = 2. Finalmente, usando o Teorema anterior, temos: dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim(W1 ∩W2) = 3 + 3− 2 = 4 Como W1 +W2 ⊂ IR4 tem dimensa˜o igual a 4 = dim IR4 segue que W1 +W2 = IR4. Exerc´ıcios: 1) Mostre que β = { [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , [ 0 0 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ] } e´ uma base de M2×2(IR) (espac¸o das 2× 2 matrizes reais). 2) V = C e´ (com as operac¸o˜es usuais) um espac¸o vetorial sobre o corpo IR (mostre se quiser). Determine uma base e sua dimensa˜o. 3) Considere o subespac¸o de IR3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1), e v3 = (1, 1, 1). [v1, v2, v3] = IR3 ? Justifique. 4) Seja W = [ v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1), v4 = (1, 0, 0, 0) ] ⊂ IR4. (a) (2,−3, 2, 2) ∈W ? Justifique. (b) Exiba uma base para W . Qual a dimensa˜o ? (c) W = IR4 ? Por queˆ ? 5) Considere os seguintes vetores do IR3 : v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1,−2), v3 = (3, 1, 1), v4 = (4,−1,−2) . (a) Estes vetores sa˜o LD. Justifique. (b) Expresse o vetor nulo como combinac¸a˜o linear destes vetores, na qual os coeficientes da com- binac¸a˜o na˜o sa˜o todo iguais a zero. 6) Considere o sistema linear homogeˆneo 2x + 4y − 6z = 0 x − y + 4z = 0 6y − 14z = 0 (a) Se W ⊂ IR3 e´ o subespac¸o soluc¸a˜o do sistema acima, obtenha uma base e a dimensa˜o de W . (b) Se U ⊂ IR3 e´ o espac¸o gerado pelos vetores-linha da matriz de coeficientes do sistema acima, obtenha uma base e a dimensa˜o de U . 52 CAPI´TULO 2 7) Deˆ exemplo de uma 3× 3 matriz sobre IR cujos vetores-linha geram um subespac¸o de IR3 DIFER- ENTE do espac¸o gerado pelos vetores-coluna. 8) Sejam W1 = { (x, y, z, t) ∈ IR4 ; x+ y = 0 e z − t = 0} e W2 = { (x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0} subespac¸os de IR4. (a) Determine W1 ∩W2 (b) Exiba uma base para W1 ∩W2 (c) Determine W1 +W2 (d) A soma W1 +W2 e´ direta ? Justifique. (e) W1 +W2 = IR4 ? Justifique. 9) Sejam W1 = { [ a b c d ] ; a = d e b = c } e W2 = { [ a b c d ] ; a = c e b = d } subespac¸os de M2×2(C). (a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base. (b) Determine W1 +W2. e´ soma direta ? (c) W1 +W2 =M2×2(C) ? 10) Seja V =M2×2(IR) e seja W o subespac¸o de V gerado por β = { [ 1 −5
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