Exercícios resolvidos integrais indefinidas.

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1. Ache a integral indefinida geral.
(a)
∫
(x2 + x−2) dx
=
∫
x2 +
∫
x−2dx =
x3
3
+
x−1
−1 =
x3
3
− 1
c
+ C, onde C e´ uma constante.
(b)
∫
(
√
x3 +
3
√
x2) dx
=
∫
x
3
2 dx+
∫
x
2
3 dx =
x
5
2
5
2
+
x
5
3
5
3
=
2
5
x
5
2 +
3
5
x
5
3 + C, onde C e´ uma
constante.
(c)
∫
(x3 + 6x+ 1)dx
=
∫
x3dx+ 6
∫
xdx+
∫
dx =
x4
4
+
6x2
2
+ x =
x4
4
+ 3x2 + x+C, onde C
e´ uma constante.
(d)
∫
x(1 + 2x4)dx =
∫
(x+ 2x5) dx
=
∫
x dx+ 2
∫
x5 dx =
x2
2
+
2x2
6
=
x2
2
+
x6
3
+ C, onde C e´ uma
constante.
(e)
∫
(1− t) (2 + t2) dx =
∫
(2 + t2 − 2t− t3)dt
=
∫
2 dt+
∫
t2 dt− 2
∫
t dt−
∫
t3 dt = 2t+
t3
3
− 2t
2
2
− t
4
4
= 2t+
t3
3
− t2 − t
4
4
+ C, onde C e´ uma constante.
(f)
∫
u(u2 + 2)
2
du
=
∫
u
(
u4 + 4(u)2 + (2)2
)
du =
∫
u(u4 + 4u2 + 4) du
=
∫
u5 + 4u3 + 4u du =
∫
u5 du+ 4
∫
u3 du+ 4
∫
u du
=
u6
6
+
4u4
4
+
4u2
2
+ C =
u6
6
+ u4 + 2u2 + C, onde C e´ uma constante.
1
(g)
∫
x3 − 2√x
x
dx
=
∫
x3
x
dx− 2
∫
x
1
2
x
dx =
∫
x3 · x(−1) dx− 2
∫
x
1
2 · x(−1) dx
=
∫
x2− 2
∫
x
−1
2 dx =
x3
3
− 2x
1
2
1
2
=
x3
3
− 2 · 2
1
x
1
2 +C =
x3
3
− 4√x+C,
onde C e´ uma constante.
(h)
∫ (
x2 + 1 +
1
x2 + 1
)
dx
=
∫
x2 dx+
∫
dx+
∫ (
1
x2 + 1
)
dx =
x3
3
+ arc tgx+ C, onde C e´ uma
constante.
(i)
∫
(θ − cossec θ cotg θ )dθ
=
∫
θ dθ −
∫
cossec θ cotg θ dθ =
θ2
2
+ cossec θ + C, onde C e´ uma
constante.
(j)
∫
(cossec2 t− 2 et)dt
=
∫
cossec2 t− 2
∫
et dt = −cotgt− 2et + C, onde C e´ uma constante.
(k)
∫
sec t (sec t− tg t) dt
=
∫
sec2 t−
∫
sect tgt dt =
∫
sec2 t−
∫
sec t tg t dt = tg t− sec t+ C,
onde C e´ uma constante.
(l)
∫ (
cos x+
1x
2
)
dx
=
∫
cos x dx+
1
2
∫
x dx = sen x+
1
2
· x
2
2
+ C = sen x+
x2
4
+ C, onde C
e´ uma constante.
(m)
∫
ex − 2x2 dx∫
ex dx− 2
∫
x2 dx = ex − 2x
3
3
+ C, onde C e´ uma constante.
2