Aplicações de Derivadas

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Lista de Exercícios: Funções, Limite,
Continuidade e Derivadas
1) Descreva a região R no plano xy que corresponde ao domínio da função dada.
a)f(x, y) = ln(x+ y − 1) b)f(x, y) = x2e3xy
c)f(x, y) =
√
4− x2 − y2 d)f(x, y) =
√
4− x2 − 4y2
e)z =
x+ y
xy
f)f(x, y) = ln(4− x− y)
g)f(x, y) = ex/y h)f(x, y) =
√
4− x2 − y2
y
2) Descreva as curvas ou superfícies de nível de cada função, correspondentes aos ní-
veis c dados:
a)f(x, y) =
√
25− x2 − y2 em c = 0, c = 3 e c = 5
b)f(x, y) = xy em c = 1, c = −1
c)f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 em c = 9
d)f(x, y) = x+ y2 em c = 0, c = 1
3) Esboce o gráfico da superfície definida pela função:
a) z = 4− x2 − y2 b) f(x, y) =
√
x2 + y2 c) z =
√
1− x2 − y2
4) Nos seguintes problemas calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0, 0)
ao longo de cada caminho indicado em i, ii, iii e iv e depois determine o limite de
f(x, y) caso exista.
a) f(x, y) =
5xy2
x2 + y2
(i) Ao longo do eixo x, (ii) Ao longo do eixo y, (iii) Ao longo
da reta y = 5x, (iv) Ao longo da parábola y = x2;
b) f(x, y) =
xy
x2 + y2
(i) Ao longo do eixo x, (ii) Ao longo do eixo y, (iii) Ao longo
da reta y = x, (iv) Ao longo da reta y = mx;
c) f(x, y) =
 (x+ y)sen
1
y
se y 6= 0
0 se y = 0
(i) Ao longo do eixo x, (ii) Ao longo do
eixo y, (iii) Ao longo da curva y = x3, (iv) Ao longo da curva y = 5x3;
5) Calcule os seguintes limites:
a) lim
(x,y)7→(0,0)
x2 − 2
3 + xy
b) lim
(x,y)7→(π2 ,1)
y + 1
2− cosx
c) lim
(x,y) 7→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
d) lim
(x,y)7→(0,0)
x2
x2 + y2
6) Verifique se cada função dada é contínua no ponto indicado.
a)f(x, y) =
√
25− x2 − y2 em (−3, 4) b)f(x, y, z) = 1
x2 + y2 + z2
em (0, 0, 1)
c)g(x, y) =
{ xy
y − 2x
se y 6= 2x
1 se y = 2x
em (1, 2) d)h(x, y) =
xy
1 + ex
em (0, 0)
Fonte: Livro do Munem-Foulis e Apostila UFPEL 2013, do professor VALDECIR BOTTEGA
1
DERIVADAS
1) Encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
a)fx efy ondef(x, y) = 8x− 2y + 13 b)f1(−1, 2) onde f(x, y) = −7x2 + 8xy2
c)
∂
∂x
f(x, y) ondef(x, y) = 3x2 + 5xy + 7y3 d)
∂
∂z
f(x, y, z) ondef(x, y, z) = 2xy2 − 7xz + 3xyz2
e)f2(1,−1) onde f(x, y) = 5xy3 + 6x2 + 11 f)
∂z
∂y
onde z = −7x3y + xy + 3
2) Usando as regras de diferencial, encontre as derivadas parciais indicadas das se-
guintes funções.
a)hx(x, y) e hy(x, y) onde h(x, y) = senxcos7y b)f2(x, y) onde f(x, y) = e−2xtang(y)
c)
∂
∂x
(x2seny) d)
∂w
∂x
onde w =
x2 + y2
y2 − x2
e)Dx(xseny − ylnx) f)f1(r, θ), onde f(r, θ) = r2cos7θ
3) Encontre as derivadas parciais indicadas usando a regra da cadeia.
a)
∂w
∂x
, onde w =
√
u e u = 3x2 + 7y2 b)
∂
∂x
g(x, y), onde g(x, y) = sen(xy)2
c)
∂w
∂x
, onde w = lnu e u = 7x2 + 4y3 d)
∂
∂y
ln(x2/y)
e)D1f(x, y), onde f(x, y) = ex
2+y2 f)g3(x, y, z), onde g(x, y, z) = xz2exycos(yz)
4) Dado que w = x3y2 − 2xy4 + 3x2y3, verifique que x∂w
∂x
+ y
∂w
∂y
= 5w
5) w = ex/y + ey/z + ez/x, verifique que
∂w
∂x
+ y
∂w
∂y
+ z
∂w
∂z
= 0
Aplicações Elementares
1) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a super-
fície e o plano nos pontos dados.
a) A superfície z = 3x− 5y + 7 e o plano y = 2 no ponto (1, 2, 0).
b) A superfície z =
√
4− x2 − y2 e o plano x = 1 no ponto (1, 1,
√
2).
c) ) A superfície x2 + y2 + z2 = 14 e o plano x = 1 no ponto (1, 3, 2).
2) A área A da superfície lateral de um cone circular reto de abertura h e raio da
base r é dada por A = πr
√
h2 + r2.
I) Se r é mantido fixo em 3 centímetros, enquanto h varia, encontre a taxa de variação
de A em relação a h no instante em que h = 7 centímetros.
II) Se h é mantido fixo em 7 centímetros, enquanto r varia, encontre a taxa de variação
de A em relação a r no instante em que r = 3 centímetros.
3) Encontre a diferencial total.
a) f(x, y) = 5x3 + 4x2y − 2y3 b) dz onde z =
√
x2 + y2
2
4) Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
a)
dz
dt
, onde z = x3y2 − 3xy + y2, x = 2t e y = 6t2;
b)
dw
dt
, onde w = ex
2y, x = sent e y = cost;
c)
dw
dx
, onde w = usenv + cos(u− v), u = x2 e v = x3;
d)
dz
du
e
dz
dv
, onde z = 3x2 − 4y2, x = uv e y = cosu+ senv;
e)
dz
du
e
dz
dv
, onde z = 4x3 − 3x2y2, x = ucosv e y = vsenu;
f)
dw
dx
e
dw
dy
, onde w = ln(u2+v2), u = x2+y2 e v = 2x2+3xycosu+senv;
g)
dw
du
e
dw
dv
, onde w = 2x2 + 3y2 + z2, x = ucosv, y = usenv e z = uv
Derivadas Direcionais
1) Em cada problema a seguir, encontre (a) o gradiente ∇z de cada campo escalar, (b)
o valor de∇z no ponto (x0, y0) e (c) a derivada direcional D~uz em (x0, y0) na direção
do vetor unitário ~u
a) z = 7x− 3y + 4, em (x0, y0) = (1, 1), e ~u =
√
3
2
i+
1
2
j;
b) z = xy, em (x0, y0) = (2,−1), e ~u =
√
2
2
i+
√
2
2
j;
c) z = 2x2+3y2− 1, em (x0, y0) = (0, 0), e ~u = (cosθ)i+(senθ)j, θ = −π/3;
d) z = exy, em (x0, y0) = (1, 1), e ~u = (cosθ)i+ (senθ)j, θ = −π/4;
e) f(x, y) = x2y + 2xy2, em (x0, y0) = (1, 2), e ~u =
1
2
i+
√
3
2
j;
2) Nos problemas que se seguem, determine (a) o valor máximo da derivada direci-
onal e (b) um vetor unitário ~u na direção da derivada direcional máxima para cada
função no ponto indicado.
I) f(x, y) = x2 − 7xy + 4y2 em (1,−1);
II) g(x, y) = (x+ y − 2)2 + (3x− y − 6)2 em (1, 1);
III) h(x, y, z) =
x
x2 + y2
+
y
x2 + z2
em (3, 1, 1);
IV) f(x, y) = x2 − 7xy + 4y2 em (1,−1);
3) A temperatura T no ponto (x, y) de uma placa de metal circular aquecida com
centro na origem é dada por T =
400
2 + x2 + y2
, onde T é medido em graus C e x e
y em centímetros.
(a) Que direção se deve tomar a partir de (1, 1) a fim de que T aumente o mais rápido
possível?
(b) Qual a velocidade do aumento de T quando passamos por (1, 1) na direção esco-
lhida no item (a)?
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
1) Considerando que y seja dada implicitamente com uma função diferenciável g
de x pela equação dada f(x, y) = 0, encontre
dy
dx
usando o fato que
dy
dx
= −f1(x, y)
f2(x, y)
.
3
a) 6x3 − 12xy + 4y2 + 2 = 0 b) sen(x− y) + cos(x+ y) = 0
2) Considerando que y seja dada implicitamente com uma função diferenciável das
demais variáveis das equações, encontre a derivada parcial indicada.
a) xy2z − 3x2yz + 2xz
y
− z2 = 0, ache ∂y
∂x
e
∂y
∂z
b)
sen(y − x)
z2
=
cos(x+ y)
w2 − 3
= 0 ache
∂y
∂x
,
∂y
∂z
e
∂y
∂w
RETA NORMAL E PLANO TANGENTE
4) Encontre as equações do plano tangente e da reta normal para cada superfície no
ponto dado.
a) x2 + 2y2 + 3z2 = 6 em (1, 1, 1);
b) xyz = 6 em (1, 2, 3);
c) x3 + y3 − 6xy + z = 0 em (2, 2, 8);
d) cox(xy) + sen(yz) = 0 em (1, π/6,−2);
e)
√
x+
√
y +
√
z = 6 em (9, 4, 1);
Bons estudos!
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