Aula 2_Operações envolvendo Matrizes

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Matrizes
Operações envolvendo matrizes
Operações com matrizes
1- Adição
	
Dadas as matrizes  , 
 chamamos de soma dessas matrizes a matriz 
tal que Cij = aij + bij , para todo  : A + B = C
 
Exemplos
1.
2.
Observação: 
A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo 
( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
2- Subtração
Dadas as matrizes
 chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A - B = A + ( - B ).
Observe:
 
3- Multiplicação de um número real por 
 uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bi j = x ai j : 
 B = x.A
Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (y A) = (x y) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
4- Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.
 Assim, o produto das matrizes 
 A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n 
 em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
Vamos multiplicar a matriz
	para entender como se obtém cada Cij:
Exemplo 1
1ª linha e 1ª coluna
1ª linha e 2ª coluna
Exemplo 1
2ª linha e 1ª coluna
2ª linha e 2ª coluna
Exemplo 1
 Assim, 
Observe que: A.B ≠ B.A
Ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Exemplo 2:
Observações importantes:
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Assim:
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , podemos realizar o produto, pois m=n=2, então ( A . B ) 3 x 5
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto, pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.
Propriedades
 Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: 
	A . ( B + C ) = A . B + A . C ou (à esquerda)
	( A + B ) . C = A . C + B . C (à direita)
Propriedades
c) elemento neutro: 
 A . In = In . A = A, 
sendo In a matriz identidade de ordem n
d) (A B)’ = B’ A’ (Observe a ordem!)
e) 0 . A = 0 e A . 0 = 0
Nota importante
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. 
Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Exemplo
 Sejam 
	
 A = e B = 
Então:
 
 AB = e BA =
Note que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0 
Exemplos Práticos
A tabela a seguir fornece as quantidades das vitaninas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos da cada tipo de vitamina?
A
B
C
Alimento I
4
3
0
Alimento II
5
0
1
Exemplo prático
Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz “consumo”:
 
Assim, a operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida da cada vitamina é o produto entre as matrizes:
 . = 
Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C
Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In (onde In é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A-1.
Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz 
 
	A =
Exemplo
Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos. Então:
 
 A-1 =
Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, A e A-1 , obteremos a matriz identidade .
Exemplo
Desta forma, teremos a seguinte igualdade:
 A . A-1 = In
 . = 
Realizando o processo de multiplicação de matrizes obtemos:
 
 = 
Exemplo
Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas.
1) 2)
Exemplo
Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas.
Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição, encontramos os valores de:
 a = 5/4 e c = - ½
Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obtemos os valores da incógnitas:
 b = -3/4 e d = 1/2
Exemplo
Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, vamos esboçá-la: 
	
	 A-1 =
Podemos verificar se de fato, ela corresponde a matriz inversa, basta pra isso usar a equação:
				A . A-1 = In