Resuno Cap 4 Castellan

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Cap 4 - 
 
1 
 
Capítulo 04 - Teoria Cinética dos Gases (TCG) 
 
 
CASTELLAN, Gilbert. Fundamentos de Físico-Química. Editora LTC 
1986. 1ª ed. 12ª reimpressão. 527p. 
Atkins, Peter W. Physical-chemistry. Editora Oxford, 5ª edição. 
 
 
1.3 A Teoria Cinética dos Gases 
 
 - - - Propriedades do Gás Ideal (Perfeito) - - - 
Qualitativamente: Movimento Caótico Contínuo 
Quantitativamente – (TCG): Assume-se que a única contribuição para 
a ENERGIA do gás provém da ENERGIA CINÉTICA DAS 
MOLÉCULAS e que a energia potencial é negligenciável! 
 
 
TEORIA CINÉTICA DOS GASES: BASEADA EM TRÊS 
PRINCÍPIOS 
 
1) O gás é formado por moléculas, de massa m e diâmetro d, em 
movimento caótico incessante; 
 
2) O tamanho das moléculas é negligenciado; seus diâmetros são muito 
menores que a distância média percorrida entre as colisões; 
 
3) As moléculas não interagem, exceto quando elas apresentam colisões 
perfeitamente elásticas, quando a separação de seus centros sejam igual 
a d. 
 
 
 
Cap 4 - 
 
2 
- - - Colisão Elástica - - - 
É aquela na qual a energia cinética da molécula é a mesma antes e depois 
da colisão. Não há transferência para outros modos de movimento interno 
(vibração, rotação, etc.). 
 
Força de Colisão = Massa x Velocidade = MOMENTUM 
Momentum = Momento = Quantidade de Movimento 
 
Importância do Momento: Determina o impacto que a moléculas 
causam quando colidem com a parede do recipiente, resulta na 
PRESSÃO DO GÁS! 
 
 
Atenção! momentum  força (nas paredes) 
 
Lei de Newton para Movimento: Relaciona quantitativamente 
“momentum” de moléculas com a FORÇA DE COLISÃO. 
 
Força: Variação (diferença) do “MOMENTUM”; variação da 
quantidade de movimento de um grande número de moléculas num breve 
intervalo requer uma grande força. 
 
Estratégia Para o Cálculo: Calcular a velocidade da variação da 
quantidade de movimento das moléculas no gás e interpretá-las como se 
fosse uma força exercida na parede do recipiente (três etapas); 
1) Cálculo da variação da quantidade de movimento que ocorre quando 
uma molécula se choca na parede; 
2) Cálculo do número total de colisões com a parede de área “A”, num 
dado intervalo; 
3) Conversão da variação total de quantidade de movimento para força 
por unidade de área; p (pressão). 
 
 p. V = 1/3 n .M. c2 (4.13) 
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3 
onde, 
c é o Root Mean Square Speed 
M é a massa molar 
p é a pressão 
V é o volume 
 n é o número de moles 
 
 
 
 
JUSTIFICATIVA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variação da Quantidade de Movimento = Q. M2 - Q. M1 
 = (-m. vx) – (m. vx) = -2 m. vx 
 
Observação: y e z são constantes! 
Intervalo de tempo (∆t): Muitas moléculas colidem; 
 
(-2 m. vx) x número de moléculas que colidem 
 
- Molécula com velocidade vx percorre distância em x (eixo) no intervalo 
de tempo ∆t; 
vx. ∆t 
 
 
 
(4.14) 
 
c =�(< 𝒗𝒙𝟐 > + < 𝒗𝒚𝟐 > + < 𝒗𝒛𝟐 >) 
 
 
Figura 1.11 
 
Antes: m. Vx 
Depois: - m. Vx 
Partícula = Massa = m 
Velocidade Vx = Eixo x 
 
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4 
- Todas as moléculas no espaço vx. ∆t da se chocarão com a parede; 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Se todas as partículas que se movimentam na direção x se chocam com 
a parede, o número de partículas por unidade de volume é: 
 
onde, 
 
n é a quantidade de mol 
NA é constante de Avogadro 
 
No volume V = (A. vx. ∆t) = A. vx. ∆t. 
𝑛.𝑁𝐴
𝑉
 
 
- Em média: Metade percorre para a direita 
 Metade percorre para a esquerda 
- O número médio de colisões no intervalo ∆t: 
 
- A Variação total na quantidade de movimento=Número total de 
colisões x 2 m. vx 
- Variação da Quantidade de Movimento = (∆Q.M) 
 
 
 
 
Mas, NA. m = M (Massa Molar) 
= n. M. A. ∆t. vx2 
Volume = A. vx. ∆t 
 
X 
 
n. NA 
 V 
.n. NA. A. vx. 
 
vx. ∆t 
Se Chocarão Não se Chocarão Área A 
12 ∆𝑡𝑉 
𝑛.𝑁𝐴.𝐴. 𝑣𝑥 .∆𝑡
𝑉
 
x 2 m. vx = 1. 2 
V 
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5 
Força (Segunda Lei de 
Newton) 
 
- Para identificar a força: Calcular a razão da variação da quantidade de 
movimento; 
 
Variação da Q.M. = n. M. A. vx2 ≡ 
 V 
 
Pressão = F = n. M. A. vx2 = n. M. vx2 
 A V. A V 
 
Observação: Todas as moléculas possuem mesmo componente vx! 
 
- Pressão (p): É uma média da quantidade calculada. Representada por 
<...> 
V
VMnp x ><=
2.
 ou ><=
2.. xVMnpV 
 
- Movimento Caótico: Supor o movimento nas direções x, y,z: 
 
<vx> = <vy> = <vz> 
 
><+><+><= 222 zyx VVVc 
 
 
 
 
 
Substituindo na 13ª 
 
 
 
 
(4.10) 
(4.9) 
(4.11) 
c - é a raiz quadrada da 
velocidade média 
quadrática 
(4.11) 
Raiz quadrática da 
velocidade média 
 
∆t 
>=<>⇒<=→><= 2x
2222 V
3
133 cVcVc xx
2..
3
1 cMnpV =
2..
3
1 cMnpV =
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6 
 
Se c só depende da temperatura 
Então à temperatura constante ; p. V = Constante (Lei de Boyle) 
 
 
- - - Velocidade Molecular - - - 
 
Se: 
 
 
2
1
3





=
M
RTc 
 
 A raiz quadrada da velocidade média quadrática é proporcional à RAIZ 
QUADRADA DA TEMPERATURA e inversamente proporcional á raiz 
quadrada da massa molar. 
 
 
 
 
onde, 
N é o número de partículas 
m é a massa 
 
 
- - - Energia Cinética de Qualquer Molécula - - - 
 
- Para qualquer molécula: E = ½ m. c2 
- Para a média de todas as moléculas: <E> = ½ m. <c2> 
 
 
 
1/3 n. M. c2 = n. R. T 
(15º) 
13º Atkins 4.11 Castellan 
p. V = 1/3 n. M. c2 
p. V = n. R. T 
2
3
1 nMcpV = ≡ ><= 23
1 cNmpV
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Substituindo na equação (4.11): p. V = 1/3 N. 2 <E> 
 
 
 
 
Equação de Clapeyron: p. V = n. R. T 
 p. V = 2/3 N. <E> 
 n. R. T = 2/3 N. <E>; mas n = N 
 NA 
onde, 
NA é o Número de Avogadro 
 
 
 
 
Energia Cinética total de 1 mol de gás (U): 
 
 
 
 
“Temperatura é uma medida da ENERGIA CINÉTICA MÉDIA de um 
grande número de moléculas”: 
- Conceito estatístico; 
- Sistema com uma ou poucas moléculas não tem “uma temperatura”; 
- Zero absoluto = Cessa Movimento; 
- Movimento térmico = Caótico! 
 
 
- - - Lei dos Gases Geral (nada específico) - - - 
 
- Todos os gases possuem a mesma energia cinética (U). 
 
Aplicando a equação 4.13 para dois gases diferentes, 
(4.12) 
(4.13) 
(4.14) 
><= ENpV
3
2
><= ENRT A.3
2
U = NA. <E> 2
3RTU =
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<E1>. NA = 3/2 R. T <E2>. NA = 3/2 R. T 
 
Se <E1> = <E2> ; 
1
2
 m1. <c12> = 
1
2
 m2. <c22> 
 
A velocidade média quadrática = vmqc 
 
 
 
 
A relação entre V.m.q. (Velocidade Média Quadrática) de 2 moléculas 
de massas diferentes é igual á raiz quadrada
do inverso da relação das 
massas. 
 
Observação: Mesma Temperatura (T) = Mesma Energia (<E>) 
 
 
 
 
 
(M = m. NA) 
Gás Mais pesado = Menor Velocidade Média Quadrática! 
 
 
- - - Cálculo da Velocidade Média Quadrática - - - 
 
<E> = ½ m. <c2> , substituindo na equação 4.13:
 
 
Obtêm-se: 
R. T = 2/3 NA. ½ m. <c2> ; onde NA. m = M 
 
(4.15) 
(4.16) 
><= 2ccvmq
( )
( ) 1
2
1
2
2
1
M
M
m
m
c
c
vmq
vmq ==
><= ENRT A.3
2
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9 
M
RT3
3 R. T = M. <c2> 
 
 <c2> = 
 
Mas cv.m.q. = ><
2c = M
RT3
 
 
 cv.m.q.= 
 
 
Exemplo 4.1- Comparar cv.m.q. do H2 e do O2 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4.2 – Calcular cv.m.q. para O2 à 20 ºC (293 K). 
 M = 0,032 kg. mol-1 
 
 
 O2 
 
 
 
 
Para H2 a 20 ºC 1,912 m. s-1 
Para CO2 a 25 ºC 411 m. s-1 
Para CO2 a 20 ºC 407 m. s-1 
 
 
 
 
(4.17) 
Portanto H2 possui uma velocidade 
média quadrática 4 vezes maior que a do 
O2. Mas mesma energia cinética <E>! 
 
M
RT3
sm
mol
KgmolK
KJ
M
RTcvmq /478
032,0.
293314,833
=
××
==
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10 
4.6 A Distribuição de Maxwell 
 
- Probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade (c) e (c + dc), 
em qualquer direção: 
u é a velocidade na direção x 
v é a velocidade na direção y 
w é a velocidade na direção z 
 
U  dnU: Número de moléculas na direção x com velocidade (U + dU) 
 
 
 
 = 
 
 
c2 = u2 + v2 + w2 
 
 
 
 
 
 
<∈>
=
4
3mβ ; TkTN
R
A
.
2
3
2
3
=





<∈>= ; kT
m
2
=β 
 
 
 
 
 
 
 
 
É a probabilidade de encontrar uma molécula com 
velocidade entre (U) e (U + dU) 
(4.20) (4.29) 
(4.34) 
(4.54) 
=
N
dnU
dUuf
N
dnU )( 2= dueA
N
dn uU .. 2β−=
c
c
c dceANdn
2.3 ...4 2βπ −=
23
3
.2 



=
kT
mA
π
dcec
Tk
mNdn ktmcc ......2
...4 2/2
2
3
2−




=
π
π
dcec
kT
m
N
dn ktmcc ...
2
4 2/2
2
3
2−




=
π
π
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11 
onde, 
dnc é igual ao número de moléculas com velocidades entre c e c + dc em 
função do: 
- Número total de moléculas (N); 
- Massa da molécula; 
- Da temperatura; 
- E da velocidade. 
 
LEMBRAR QUE: m = m. NA = M 
 k k. NA R 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4.55) 
16º 
(Atkins) 
kTmcc ec
kT
m
dc
dn
N
2/2
2
3
2..
2
41 −




=
π
π
RTMses
RT
Msf 2/2
2
3
2..
2
4)( −




=
π
π
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12 
Curva Parabólica 
- Próximo da Origem: c2 » exp (≈1); 
- Para (c) maiores: exp. domina, ƒ(S)  rápido; 
- Valor Máximo = cm.p. 
 
Máximo: 
- Derivada igual à zero; 
-Tangentes horizontais. 
 
Derivada = 
 
 
Três tangentes horizontais: 
- c = 0; 
- c = ∞ (exp (-1/2 m. c2/k. T) = 0; 
- 2 – m. c2 = 0 
 k. T 
 m. c2 = 2 
 k.T 
 
 
m
kTcmp
2
= M
RTcmp
2
= 
 
 
 
 
 
4.9 Cálculo de Valores Médios usando a Distribuição de Maxwell 
 
- Maxwell: Cálculo de qualquer quantidade (g) depende da velocidade; 
 
(4.56) 
02..
2
2/2 =




 −−
kT
mcec kTmc
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13 
- Valor Médio de g (qualquer) = <g> 
 
<g> . dnc (velocidade c) 
(integrar de 0  ∞ (c)) 
(dividir por N) 
 
 
 
 
4.9.1 Exemplo de Cálculos de Valores Médios 
 
Exemplo 4.3 – Cálculo da Energia Cinética Média das Moléculas 
 
 
g(c) = E = ½ m. c2 
 
 
 
 
Integrando= 
 
 
 
Exemplo 4.4 - Cálculo da Velocidade Média (4.57) 
 
 
54.4=cdn 
 
 
 
 
 
(4.57) 
dcec
kT
mNdn kTmcc ..2
4 2/2
2
3
2−




=
π
π 
(4.54) 
(4.13a) 
∫ ><>=<
∞=
=
c
c
cdncgg
0
∫<∈>=
∞=
=
c
c
cdnmc
0
2
2
1
kT
2
3
<∈>=
N
cdn
c
c
c
c∫
>=<
∞=
=0
∫




>=<
∞
−
0
2/3
2
3
..
2
4 2 dcec
kT
mc ktm
π
π
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14 
Integral = Tab.4.1 – pág. 67 = ∫
∞
−>=<
0
.
.
.8 dxex
m
kTc x
π 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade Média = m
kTc
m
Tk .54,2
.
..8
>==<
π 
 
Velocidade Média Quadrática = vmqcm
Tk
=
..3
 
 
Velocidade mais provável = m
Tkcmp
..2
= 
(4.58) 
m
kTcdxex x
π
81.
0
>=⇒<=∫
∞
−