LISTAS DE EXERCICIOS

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Lista IV CRP 250
Questa˜o I- Nos exerc´ıcios abaixo, encontre ∂f
∂x
e ∂f
∂y
.
(1) f(x, y) = 2x2 − 3y − 4
(2) f(x, y) = x2 − xy + y2
(3) f(x, y) = (x2 − 1)(y + 2)
(4) f(x, y) = 5xy − 7x2 − y2 + 3x− 6y + 2
(5) f(x, y) = (xy − 1)2
(6) f(x, y) = (2x− 3y)3
(7) f(x, y) =
√
x2 + y2
(8) f(x, y) = (x3 + y
2
)
2
3
(9) f(x, y) = 1
(x+y)
(10) f(x, y) = x
x2+y2
(11) f(x, y) = x+y
xy−1
(12) f(x, y) = arctg(x
y
)
(13) f(x, y) = ex+y+1
(14) f(x, y) = exyln(y)
(15) f(x, y) = cos2(3x− y2)
(16) f(x, y) = logyx
Questa˜o II- Encontre ∂f
∂x
, ∂f
∂y
e ∂f
∂z
.
(a) f(x, y, z) = x−√y2 + z2
(b) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)
−1
2
(c) f(x, y, z) = arcsen(xyz)
(d) f(x, y, z) = yzln(xy)
Questa˜o III- Encontre as derivadas de segunda ordem:
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(a) f(x, y, z) = sen(xy)
(b) f(x, y, z) = xey + y + 1
(c) f(x, y, z) = ln(x+ y)
Questa˜o IV- Encontre o valor de ∂z
∂x
no ponto (1, 1, 1), sabendo que a
equac¸a˜o xy + z3x − 2xy = 0 define z como uma func¸a˜o de duas varia´veis
independentes x e y e que a derivada parcial existe.
Questa˜o V- Encontre o valor de ∂x
∂z
no ponto (1,−1,−3), sabendo que a
equac¸a˜o xz+yln(x)−x2 +4 = 0 define x como uma func¸a˜o de duas varia´veis
independentes y e z e que a derivada parcial existe.
Questa˜o VI-(a) Expresse ∂w
∂t
como uma func¸a˜o de t usando a regra da ca-
deia.
(b) Calcule ∂w
∂t
no valor dado de t.
(1) w = x2 + y2;x = cos(t) + sen(t); y = cos(t)− sen(t); t = 0
(2) w = x
z
+ y
z
;x = cos2(t); y = sen2(t); z = 1
t
; t = 3
(3) w = ln(x2 + y2 + z2);x = cos(t); y = sen(t); z = 4
√
t; t = 3
(4) w = 2yex − ln(z);x = ln(t2 + 1); y = arctg(t); z = et; t = 1
(5) w = z − sen(xy);x = t; y = ln(t); z = et−1; t = 1
Questa˜o VII-(a) Expresse ∂z
∂r
e ∂z
∂θ
como func¸o˜es de r e θ.
(b) Expresse ∂z
∂r
e ∂z
∂θ
no ponto dado (r, θ).
(1) z = 4exln(y);x = ln(rcos(θ)); y = rsen(θ); (r, θ) = (2, pi
4
)
(2) z = arctg(x
y
);x = rcos(θ); y = rsen(θ); (r, θ) = (1, 3, pi
6
)
Questa˜o VIII- Encontre ∇f no ponto indicado:
(a) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 + zln(x); (1, 1, 1)
(b) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z + arctg(xz); (1, 1, 1)
(c) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)
−1
2 + ln(xyz); (−1, 2,−2)
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(d) f(x, y, z) = ex+ycos(z) + (y + 1)arcsen(x); (0, 0, pi
6
)
Questa˜o IX- Encontre a derivada da func¸a˜o em P0 na direc¸a˜o de A.
(a) f(x, y) = 2xy − 3y2;P0(5, 5);
→
A= 4
→
i +3
→
j
(b) f(x, y) = 2x2 + y2;P0(−1, 1);
→
A= 3
→
i −4
→
j
(c) g(x, y) = x− y2
x
+
√
3arcsec(2xy);P0(1, 1);
→
A= 12
→
i +− 5
→
j
(d) h(x, y) = arctg(x
y
) +
√
3arcsen(xy
2
);P0(1, 1);
→
A= 3
→
i +− 2
→
j
(e) f(x, y, z) = xy + yz + xz;P0(1,−1, 2);
→
A= 3
→
i +6
→
j −2 →k
(f) f(x, y, z) = x2 + 2y2 − 3z2;P0(1, 1, 1);
→
A=
→
i +
→
j
→
k
Questa˜o X- Encontre as direc¸o˜es nas quais as func¸o˜es crescem e decrescem
mais rapidamente em P0. Depois encontre as derivadas das func¸o˜es nessas
direc¸o˜es.
(a) f(x, y) = x2 + xy + y2;P0(−1, 1)
(b) f(x, y) = x2y + exysen(y);P0(1, 0)
(c) f(x, y, z) = x
y
− yz;P0(4, 1, 1)
(d) g(x, y, z) = xey + z2;P0(1, ln(2),
1
2
)
(e) f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz);P0(1, 1, 1)
(f) h(x, y, z) = ln(x2 + y2 − 1) + y + 6z;P0(1, 1, 0)
Questa˜o XI- Determine uma reta que seja tangente a elipse 2x2 + y2 = 3 e
paralela a reta 2x+ y = 5.
Questa˜o XII- Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal a
superf´ıcie no ponto dado.
(a) x2 + 3y2 + 4z2 = 8; (1,−1, 1)
(b) 2xyz = 3; (1
2
, 1, 3)
(c) zex−y + z3 = 2; (2, 2, 1)
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Questa˜o XIII- Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 no
ponto (x0, y0, z0) = (1, 1, 1) na direc¸a˜o de
→
V= (1, 1, 1)
Questa˜o XIV- Em uma soluc¸a˜o, a concentrac¸a˜o C e´ dada por C(x, y, z) =
x2 + 2y2 + 3xyz+ 4. determine o vetor unita´rio de direc¸a˜o em que a variac¸a˜o
cresce mais rapidamente a partir do ponto (1, 1, 1).
Questa˜o XV- Admita que T (x, y) = 16 − 2x2 − y2 represente uma dis-
tribuic¸a˜o de temperatura no plano xy. Ache uma paramentrizac¸a˜o para a
trajeto´ria descrita por um ponto P que se desloca a partir do ponto (1, 2)
sempre na direc¸a˜o e sentido de ma´ximo crescimento da temperatura.
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