GabaL2questões de 12 a 42

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GABARITO da 2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo II
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis- Prof Simone
12. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
(a) lim
(x,y)→(5,−2)
(
x5 + 4x3y − 5xy2
)
= 2025. (b) lim
(x,y)→(1,0)
ln
(
1 + y2
x2 + xy
)
= 1.
(c) @ lim
(x,y)→(0,0)
y4
x4 + 3y4
, pois:

1o caminho y = 0 : lim
x→0
(0)4
x4 + 3(0)4
= 0.
2o caminho y = x : lim
x→0
x4
x4 + 3x4
=
x4
4x4
=
1
4
.
(d) @ lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sen2 y
2x2 + y2
, pois:

1o caminho y = 0 : lim
x→0
x2 + sen2(0)
2x2 + (0)2
= lim
x→0
x2
2x2
=
1
2
.
2o caminho x = 0 : lim
y→0
(0)2 + sen2 y
2(0)2 + y2
= lim
y→0
(
sen y
y
)(
sen y
y
)
= 1
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
= 0, pois:
lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
(
x4
x2 + y2
− y
4
x2 + y2
)
= lim
(x,y)→(0,0)
 x2︸︷︷︸
→0
x2
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
limitada
− y2︸︷︷︸
→0
y2
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
limitada
 = 0− 0 = 0
(f) @ lim
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + 4y4
, pois:

1o caminho y = 0 : lim
x→0
x2(0)e0
x4 + 4(0)4
= 0.
2o caminho y = x2 : lim
x→0
x2 x2 ex
2
x4 + 4(x2)2
=
x4 ex
2
5x4
=
1
5
.
13. Determine o ”maior”conjunto no qual a func¸a˜o e´ cont´ınua.
(a) f(x, y) =
1
x2 − y , e´ cont´ınua em: Df = {(x, y) ∈ R
2 | y 6= x2}.
(b) f(x, y) = arctg
(
x+
√
y
)
, e´ cont´ınua em: Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0}.
(c) G(x, y) = tg−1
(
(x+ y)−2
)
= arctg
(
1
(x+ y)2
)
, e´ cont´ınua em: DG = {(x, y) ∈ R2 | y 6= x}.
(d) f(x, y, z) =
√
x+ y + z, e´ cont´ınua em: Df = {(x, y, z) ∈ R3 |x+ y + z ≥ 0}.
(e) f(x, y) =

x2y3
2x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
, e´ cont´ınua em: R2 − {(0, 0)}.
14. Se f(x, y) = 16− 4x2 − 2y2, determine fx(1, 0) e fy(1, 0) e interprete estes nu´meros como inclinac¸o˜es.
fx(1, 0) = −8, portanto g(x) = f(x, 0) e´ decrescente em uma vizinhanc¸a de (1, 0).
fy(1, 0) = 0, portanto (1, 0) e´ ponto cr´ıtico de h(y) = f(1, y).
1
15. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o:
(a) fx(x, y) = 3; fy(x, y) = −8y3. (b) fx(x, y) = 5x4 +9x2y2 +3y4; fy(x, y) = 6x3y+12xy3.
(c) fx(x, y) = e
y; fy(x, y) = xe
y. (d) fx(x, y) =
ln t
2
√
x
; fy(x, y) = 0.
(e) fx(x, y) = 20(2x+ 3y)
9; fy(x, y) = 30(2x+ 3y)
9. (f) zx(x, y) = y sec
2(xy); zy(x, y) = x sec
2(xy).
(g) fx(x, y) =
2y
(x+ y)2
; fy(x, y) =
−2x
(x+ y)2
. (h) fx(x, y) = yx
y−1; fy(x, y) = xy lnx.
(i) wα(α, β) = cosα senβ; wβ(α, β) = senα cosβ. (j) wu(u, v) =
−ev
(u+ vr)2
; wv(u, v) =
ev(u− 2v + v2)
(u+ v2)2
.
(k) fr(r, s) = ln (r
2 + s2) +
2r2
r2 + s2
; fs(r, s) =
2rs
r2 + s2
. (l) fx(x, t) =
√
t
1 + x2t
; ft(x, t) =
x
2
√
t(1 + x2t)
.
(m) ut(t, w) =
(
1− w
t
)
e
w
t ; uw(t, w) = e
w
t . (n) fx(x, y) = cosx; fy(x, y) = −cos y.
(o) fx(x, y, z) = z − 10xy3z4; fy(x, y, z) = −15x2y2z4; fz(x, y, z) = x− 20x2y3z3.
(p) fx(x, y, z) = sen (y − z); fy(x, y, z) = x cos (y − z); fz(x, y, z) = −y cos (y − z).
(q) wx(x, y, z) =
1
x+ 2y + 3z
; wy(x, y, z) =
2
x+ 2y + 3z
; wz(x, y, z) =
3
x+ 2y + 3z
;
(r) wx(x, y, z) = y
2zexyz; wy(x, y, z) = xz
2exyz; wz(x, y, z) = (1 + xyz)e
xyz.
(s) ux(x, y, z) = y arcsen (yz); uy(x, y, z) = x arcsen (yz) +
xyz√
1− (yz)2 ; uz(x, y, z) =
xy2√
1− (yz)2 .
(t) ux(x, y, z) =
y
z
e
y
z −1; uy(x, y, z) =
lnx
z
e
y
z ; uz(x, y, z) = − y lnx
z2
e
y
z .
(u) fx = yz
2 tg (yt); fy = xz
2 tg (yt) + xyz2t sec2 (yt); fz = 2xyz tg (yt); ft = xy
2z2 sec2(yt).
(v) fx =
y2
t+ 2z
; fy =
2xy
t+ 2z
; fz = − 2xy
2
(t+ 2z)2
; ft = − xy
2
(t+ 2z)2
.
(x) uxi =
xi√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n
, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. (y) uxn = n cos (x1 + 2x2 + · · ·+ nxn), ∀n ∈ {1, 2, . . . , n}.
(w) fx(x, y) =
1
y
; fy(x, y) = − x
y2
. (z) fx(x, y) = sec
2 x sec y; fy(x, y) = tgx sec y tg y.
16. Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = ln
(
x+
√
x2 + y2
)
;
∂f
∂x
((3, 4) =
1
5
. (b) fx, y) = arctg
(
x
y
)
; fx(2, 3) =
3
13
.
(c) f(x, y, z) =
y
x+ y + z
; f2(2, 1,−1) = 1
4
. (d) f(x, y, z) =
√
sen2 x+ sen2 y + sen2 z ; fx
(
0, 0,
pi
2
)
= 0.
17. Use a definic¸a˜o de derivadas parciais (limites) para encontrar fx(x, y) e fy(x, y).
2
(a) f(x, y) = x2y − x3y.
fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
= lim
h→0
[(x+ h)2y − (x+ h)3y]− [x2y − x3y]
h
=
= lim
h→0
[(x2 + 2xh+ h2)y − (x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3)y]− [x2y − x3y]
h
=
= lim
h→0
[(x2y + 2xyh+ yh2)− (x3y + 3x2yh+ 3xyh2 + yh3)]− [x2y − x3y]
h
=
= lim
h→0
x2y + 2xyh+ yh2 − x3y − 3x2yh− 3xyh2 − yh3 − x2y + x3y
h
= lim
h→0
2xyh+ yh2 − 3x2yh− 3xyh2 − yh3
h
=
= lim
h→0
h(2xy + yh− 3x2y − 3xyh− yh2)
h
= lim
h→0
(
2xy + yh− 3x2y − 3xyh− yh2
)
= 2xy − 3x2y.
fx(x, y) = 2xy − 3x2y .
fy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
= lim
h→0
[x2(y + h)− x3(y + h)]− [x2y − x3y]
h
= lim
h→0
x2y + x2h− x3y − x3h− x2y + x3y
h
=
= lim
h→0
x2h− x3h
h
= lim
h→0
(x2 − x3) = x2 − x3.
fy(x, y) = x
2 − x3 .
(b) f(x, y) =
x
x+ y2
.
fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
= lim
h→0
x+h
x+h+y2 − xx+y2
h
= lim
h→0
(x+h)(x+y2)−(x)(x+h+y2)
(x+h+y2)(x+y2)
h
=
= lim
h→0
(x2 + xy2 + xh+ y2h)− (x2 + xh+ xy2)
(x+ h+ y2)(x+ y2)
1
h
= lim
h→0
x2 + xy2 + xh+ y2h− x2 − xh− xy2
h(x+ h+ y2)(x+ y2)
=
=
y2h
h(x+ h+ y2)(x+ y2)
= lim
h→0
y2
(x+ h+ y2)(x+ y2)
=
y2
(x+ y2)2
. fx(x, y) =
y2
(x+ y2)2
.
fy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
= lim
h→0
x
x+(y+h)2 − xx+y2
h
= lim
h→0
x(x+y2)−x[x+(y+h)2]
(x+y2)[x+(y+h)2]
h
= lim
h→0
x(x+y2)−x[x+(y2+2yh+h2)]
(x+y2)[x+(y+h)2]
h
= lim
h→0
x2 + xy2 − x2 − xy2 − 2xyh− xh2
(x+ y2)[x+ (y + h)2]
1
h
= lim
h→0
−2xyh− xh2
(x+ y2)[x+ (y + h)2]
1
h
= lim
h→0
−2xy − xh
(x+ y2)[x+ (y + h)2]
=
−2xy
(x+ y2)2
fy(x, y) =
−2xy
(x+ y2)2
.
18. Use derivac¸a˜o impl´ıcita para determinar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
(a) x2 + y2 + z2 = 3xyz
Derivando a igualdade em relac¸a˜o a x: 2x+ 2z
∂z
∂x
= 3yz + 3xy
∂z
∂x
e isolando
∂z
∂x
, temos:
∂z
∂x
=
3yz − 2x
2z − 3xy
Derivando a igualdade em relac¸a˜o a x: 2y + 2z
∂z
∂y
= 3xz + 3xy
∂z
∂y
e isolando
∂z
∂y
, temos:
∂z
∂x
=
3xz − 2y
2z − 3xy
(b) yz = ln (x+ z) ⇒ ∂z
∂x
=
1
xy + yz − 1 ;
∂z
∂y
=
xz + z2
1− xy − yz .
3
(c) x− z = arctg (yz) ⇒ ∂z
∂x
=
1 + (yz)2
1 + y + (yz)2
∂z
∂y
=
−z
1 + y + (yz)2
.
(d) sen (xyz) = x+ 2y + 3z ⇒ ∂z
∂x
=
1− yz cos (xyz)
xy cos (xyz)− 3 ;
∂z
∂y
=
2− xz cos (xyz)
xy cos (xyz)− 3 .
19. Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
(em func¸a˜o de f e de g).
O ı´tem (a) era para ser (a) z = f(x) + g(y) e a resposta seria:
∂z
∂x
= f ′(x);
∂z
∂y
= g′(y).
Mas, eu errei ao digitar e digitei: (a) z = f(x) = f(y) e, neste caso, a resposta e´:
∂z
∂x
= 0 =
∂z
∂y
.
(b) z = f(x+ y) ⇒ ∂z
∂x
= f ′(x+ y);
∂z
∂y
= f ′(x+ y).
(c) z = f(x)f(y) ⇒ ∂z
∂x
= f ′(x)f(y);
∂z
∂y
= f(x)f ′(y).
(d) z = f
(
x
y
)
⇒ ∂z
∂x
=
1
y
f ′
(
x
y
)
;
∂z
∂y
= − x
y2
f ′
(
x
y
)
.
20. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem:
(a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y ⇒ fxx = 6xy5 + 24x2y; fxy = fyx = 15x2y4 + 8x3; fyy = 20x3y3.
(b) w =
√
u2 + v2 ⇒ wuu = v
2
(
√
u2 + v2)3
; wuv = wvu =
−uv
(
√
u2 + v2)3
; wvv =
u2
(
√
u2 + v2)3
.
(c) v =
xy
x− y ⇒ vxx =
2y2
(x−y)3 ; vxy = vyx =
−2xy
(x− y)3 ; vyy =
2x2
(x− y)3 .
21. Verifique se a afirmac¸a˜o do teorema de Schwartz-Clairaut a´ va´lida:
(a) f(x, y) = x sen (x+ 2y) ⇒ fx = sen (x+ 2y) + x cos (x+ 2y) ⇒ fxy = 2 cos (x+ 2y)− 2x sen (x+ 2y)
f(x, y) = x sen (x+ 2y) ⇒ fy = 2x cos (x+ 2y) ⇒ fyx = 2 cos (x+ 2y)− 2x sen (x+ 2y)
fxy = fyx, como afirma o teorema de Schwartz-Clairaut .
(b) u = x4y2 − 2xy5 ⇒ ux = 4x3y2 − 2y5 ⇒ uxy = 8x3y − 10y4
u = x4y2 − 2xy5 ⇒ uy = 2x4y − 10xy4 ⇒ uyx = 8x3y − 10y4
uxy = uyx, como afirma o teorema de Schwartz-Clairaut .
(c) u = ln
√
x2 + y2 ⇒ ux = x
x2 + y2
⇒ uxy = −2xy
(x2 + y2)2
u = ln
√
x2 + y2 ⇒ uy = y
x2 + y2
⇒ uyx = −2xy
(x2 + y2)2
uxy = uyx, como afirma o teorema de Schwartz-Clairaut .
4
22. Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2 ⇒ fx = 3y4 + 3x2y2 ⇒ fxx = 6xy2 ⇒ fxxy = 12xy e
f(x, y) = 3xy4 + x3y2 ⇒ fy = 12xy3 + 2x3y ⇒ fyy = 36xy2 + 2x3 ⇒ fyyy = 72xy .
(b) u = erθ sen θ
∂u
∂θ
= rerθ + erθ cos θ ⇒ ∂
2u
∂r∂θ
= erθ + rθerθ + θerθ cos θ ⇒ ∂
3u
∂2r ∂θ
= θerθ + θerθ + rθ2erθ + θ2erθ cos θ
∂3u
∂2r ∂θ
=
(
2θ + rθ2 + θ2 cos θ
)
erθ .
23. Verifique se a func¸a˜o u = e−α
2k2tsen (kx) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor ut = α
2uxx.
Para verificar vamos calcular ut = −α2k2e−α2k2tsen (kx) e ux = ke−α2k2tcos (kx) uxx = −k2e−α2k2tsen (kx)
Assim,
 ut = −α
2k2e−α
2k2tsen (kx) e
=
α2uxx = −α2k2e−α2k2tsen (kx) c
⇒ ut = −α2k2e−α2k2tsen (kx) e´ soluc¸a˜o da EDP ut = α2uxx.
24. Determinar a cada uma das seguintes func¸o˜es e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0.
(a) u = x2 + y2 na˜o e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0.
(b) u = x2 − y2 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0.
(c) u = ln
√
x2 + y2 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0.
25. Verifique que a func¸a˜o z = ln (ex + ey) e´ uma soluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais:
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 1 e
∂2z
∂2x
+
∂2z
∂2y
− ∂
2z
∂x ∂y
= 0.
∂z
∂x
=
ex
ex + ey
e
∂z
∂y
=
ey
ex + ey
⇒ ∂z
∂x
+
∂z
∂y
=
ex
ex + ey
+
ey
ex + ey
=
ex + ey
ex + ey
= 1
A func¸a˜o z = ln (ex + ey) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 1.
∂2z
∂x2
=
ex+y
(ex + ey)2
;
∂2z
∂y2
=
ex+y
(ex + ey)2
;
∂2z
∂x ∂y
=
−ex+y
(ex + ey)2
;
Assim,
∂2z
∂2x
+
∂2z
∂2y
− ∂
2z
∂x ∂y
=
ex+y
(ex + ey)2
+
ex+y
(ex + ey)2
−
(
− e
x+y
(ex + ey)2
)
= 3
ex+y
(ex + ey)2
6= 0.
A func¸a˜o z = ln (ex + ey) na˜o e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
∂2z
∂2x
+
∂2z
∂2y
− ∂
2z
∂x ∂y
= 0.
26. T (x, y) =
60
1 + x2 + y2
, onde T e´ medido em ◦C e x, y em metros.
Determine a taxa de variac¸a˜o da temperatura T , no ponto (1, 2) com relac¸a˜o a x e a y.
Resposta: Tx(1, 2) = − 10
3
◦C/m e Ty(1, 2) = − 20
3
◦C/m .
27.
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
, determine
∂R
∂R1
: Reescrevendo, temos: R−1 = R−11 +R
−1
2 +R
−1
3 .
Agora vamos derivar em relac¸a˜o a R1, lembrando que apenas R e R1 dependem de R1,
−R−2 ∂R
∂R1
= −R−21 + 0 + 0 ⇒ −
1
R2
∂R
∂R1
= − 1
R21
⇒ ∂R
∂R1
=
R2
R21
5
28. PV = mRT ⇒ ∂P
∂V
= − mRT
V 2
,
∂V
∂T
=
mR
P
,
∂T
∂P
=
V
mR
.
(a):
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
=
(
− mRT
V 2
)(
mR
P
)(
V
mR
)
= − mRT
PV
= − PV
PV
= −1, ou seja, ∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1 .
(b): T
∂P
∂T
∂V
∂T
= T
(
mR
V
)(
mR
P
)
=
m2R2
PV
=
m2R2T
mRT
= mR, ou seja, T
∂P
∂T
∂V
∂T
= mR .
29. A energia cine´tica de um corpocom massa m e velocidade v e´: K =
1
2
mv2. Mostre que:
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K.
K =
1
2
mv2 ⇒

∂K
∂m =
1
2 v
2
⇒ ∂K∂m ∂
2K
∂v2 =
(
1
2 v
2
)
(m) = 12 mv
2 = K
∂K
∂v = mv ⇒ ∂
2K
∂v2 = m
30. Um aluno afirmou que existe uma func¸a˜o f cujas derivadas parciais sa˜o fx(x, y) = x+ 4y e fy(x, y) = 3x− y e
cujas derivadas parciais de segunda ordem sa˜o cont´ınuas. A professoravai acreditar nisso ? Porque ?
A professora na˜o vai acreditar. Porque, pelo teorema Schartz - Clairaut se uma func¸a˜o tem derivadas parciais de segunda
ordem cont´ınuas enta˜o fxy = fyx.
Como, no caso do aluno temos fxy = 4 6= fyx = 3 podemos concluir que o aluno errou ao derivar.
31. O elipso´ide 4x2 + 2y2 + z2 = 16 intercepta o plano y = 2 em uma elipse. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da
reta tangente a` elipse no ponto P = (1, 2, 2).
Reta tangente a` elipse no ponto P = (1, 2, 2): r(λ) =
 x = 1 + λy = 2
z = 2− 2λ
32. Se f(x, y) = 3
√
x3 + y3, determine fx(0, 0).
Resoluc¸a˜o:
Usando as regras de derivac¸a˜o para f(x, y) = 3
√
x3 + y3 = (x3 + y3)
1
3 obtemos: fx(x, y) =
1
3 (x
3 + y3)−
2
3 3x2
Ou seja, fx(x, y) =
x2
( 3
√
x3 + y3)2
, que vale para todo (x, y) 6= (0, 0).
Para obter fx(0, 0), vamos precisar usar a definic¸a˜o:
fx(0, 0)= lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
3
√
h3 + 03 − 3√03 + 03
h
= lim
h→0
3
√
h3 − 0
h
= lim
h→0
h
h
= 1
fx(0, 0) = 1 .
33. Seja f(x, y) =

x3y − xy3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) 6= (0, 0):
fx(x, y) =
x4y + 4x2y3 − y5
(x2 + y2)2
e fy(x, y) =
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
.
(b) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0):
fx(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
h3(0)−h(0)3
h2+(0)2 − 0
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0 fx(0, 0) = 0 .
6
fy(0, 0) = lim
h→0
f(0, h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
(0)3h−(0)h3
(0)2+h2 − 0
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0 fy(0, 0) = 0 .
Temos: fx(x, y) =

x4y + 4x2y3 − y5
(x2 + y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
fy(x, y) =

x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(c) Mostre que fxy(0, 0) = −1 e fyx(0, 0) = 1.
fxy(0, 0) = lim
h→0
fx(0, h)− fx(0, 0)
h
= lim
h→0
(0)4h+4(0)2h3−h5
[(0)2+h2]2 − 0
h
= lim
h→0
−h5
h4
h
= lim
h→0
−h
h
= −1 ⇒ fxy(0, 0) = −1 .
fyx(0, 0) = lim
h→0
fy(h, 0)− fy(0, 0)
h
= lim
h→0
h5−4h3(0)2−h(0)4
(h2+(0)2)2
h
= lim
h→0
h5
h4
h
= lim
h→0
h
h
= 1 ⇒ fyx(0, 0) = 1 .
(d) Os resultados contradizem o Teorema de Schwartz- Clairaut ?
Na˜o. Porque as derivadas fxy e fyx na˜o sa˜o cont´ınuas em P = (0, 0).
34. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto especificado.
(a) z = 4x2 − y2 + 2y, em P = (−1, 2, 4). pi : z = −8x− 2y.
(b) f(x, y) =
√
xy, em A = (1, 1, 1). pi : 12 x+
1
2 y.
(c) y cos (x− y), em Q = (2, 2, 2). ”errei o ponto!”. pi : z = y.
35. Explique por que a func¸a˜o e´ diferencia´vel no ponto dado. E encontre a linearizac¸a˜o L(x, y) da func¸a˜o no ponto.
(a) f(x, y) = x
√
y, P = (1, 4).
fx(x, y) =
√
y, fy(x, y) =
x
2
√
y
fx e fy sa˜o cont´ınuas para todo (x, y) com y > 0.
Em particular sa˜o cont´ınuas em P = (1, 4), portanto f e´ diferencia´vel em (1, 4).
f(1, 4) = 2, fy(1, 4) =
1
4
e f(1, 4) = 2.
z − 2 = 2(x− 1) + 14 (y − 4) ⇒ L(x, y) = 2x+
1
4
y − 1 .
(b) f(x, y) = xx+y , P = (2, 1).
fx(x, y) =
y
(x+ y)2
e fy(x, y) =
−x
(x+ y)2
.
As derivadas parciais sa˜o cont´ınuas para todo (x, y) ∈ R2 | y 6= x.
Em particular as derivadas parciais sa˜o cont´ınuas em P = (2, 1), portanto f e´ diferencia´vel em P = (2, 1).
Em P = (2, 1), o plano tangente e´: z − f(2, 1) = fx(2, 1)(x− 2) + fy(2, 1)(y − 1) ⇒ z − 23 = 19 (x− 2)− 19 (y − 1)
L(x, y) =
1
9
x− 1
9
y +
7
9
.
(c) f(x, y) = e−xy cos y, P = (pi, 0).
fx(x, y) = −ye−xy cos y, efy(x, y) = −xe−xy cos y − e−xy sen y.
as derivadas parciais sa˜o cont´ınuas em R2, portanto a func¸a˜o e´ diferencia´vel em R2.
fx(pi, 0) = 0, fy(pi, 0) = pi e f(pi, 0) = 1.
Plano tangente em P = (pi, 0): z − f(pi, 0) = fx(pi, 0)(x− pi) + fy(pi, 0)(y − 0) z − 1 = piy ⇒ L(x, y) = piy + 1 .
7
36. Verifique que a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o
2x+ 3
4y + 1
em (0, 0) e´ ≈ 3 + 2x− 12y.
f(x, y) =
2x+ 3
4y + 1
⇒ fx(x, y) = 2
4y + 1
, fy(x, y) = − 8x+ 12
(4y + 1)2
. fx(0, 0) = 2, fy(0, 0) = −12 e f(0, 0) = 3.
O plano tangente em P = (0, 0) e´ : z − f(0, 0) = fx(0, 0)(x− 0) + fy(0, 0)(y − 0) ⇒ z − 3 = 2x− 12y
L(x, y) = 2x− 12y + 3 .
37. Aproximac¸a˜o linear de f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 em P = (2, 1): L(x, y) = − 2
3
x− 7
3
y+
20
3
L(1.95, 1.08) = 2846.
38. Tabela :
f(80, 20) = 8, 6, fx(80, 20) ≈ 0.175, fy(20, 20) ≈ 0.135.
L(x, y) = 0.175x+ 0.135y − 8, 1 L(84, 24) ≈ 9, 84.
39. Determine a diferencial da func¸a˜o:
(a) z = x3 ln (y2), diferencial: dz = 3x2 ln (y2) dx+ 2 x
3
y dy.
(b) m = p5q3, diferencial: dm = 4p4q3 dp+ 3p5q2 dq.
(c) R(α, β, λ) = αβ2 cosλ, diferencial: dR = β2 cosλ dα+ 2αβ cosλ dβ − αβ2 senλ dλ.
40. Se z = 5x2 + y2 e (x, y) varia de (1, 2) a (1.05, 2.1), calcule e compare os valores de ∆z e dz.
∆z = 0.9225 e dz = 0.9.
41. O erro ma´ximo cometido se calcularmos a a´rea do retaˆngulo e´ de: 5, 4 cm2.
42. Erro ma´ximo no valor calculado de R:
1
17
≈ 0.059.
8