1ª Lista de Exercícios - Sistemas Lineares

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Análise Numérica
Lista 01 - Sistemas Lineares
Professor: Eduardo Campos dos Santos
UFMG
2o semestre - 2017
Exercícios
1. Por que usar pivotação ao aplicar métodos numéricos baseados na eliminação gaussiana na solução de
sistemas de equações lineares?
2. Explique e demonstre como o determinante de uma matriz A pode ser calculado a partir de uma matriz
equivalente U , triangular superior, obtida por eliminação de Gauss.
3. Mostre que resolver AX = B, onde A é uma matriz n× n, X e B são matrizes n×m é o mesmo que
resolver m sistemas do tipo Ax = b, onde x e b são vetores coluna de n linhas e A é a mesma matriz
original.
4. A partir da demonstração do exercício anterior, mostre que A−1, onde A é uma matriz n×n, pode ser
obtida pela resolução de n sistemas lineares.
5. O comando “help lu” do Scilab mostra a página de ajuda sobre a função lu(), que implementa a
fatoração A = LU . Logo no início desta página, lê-se: “lu – fatores LU de eliminação Gaussiana”.
Isso indica uma relação entre a fatoração LU e a eliminação de Gauss. Qual é a relação entre a
matriz triangular superior obtida através da eliminação de Gauss sobre a matriz A e a matriz U obtida
pela fatoração A = LU? Podemos dizer que a matriz L carrega uma informação sobre o método de
escalonamento do sistema (triangularização da matriz). Que informação é essa?
6. Explique a diferença entre as decomposições A = LU e PA = LU . Como é o formato da matriz P
e que informação relacionada ao processo de fatoração ela carrega? As matrizes L e U obtidas na
fatoração A = LU são as mesmas que aparecem em PA = LU? Para cada um dos dois casos, explique
como o sistema Ax = b pode ser solucionado depois que a fatoração de A foi obtida. Justifique todas
as suas respostas.
7. Diga se a afirmação abaixo é completamente falsa, totalmente verdadeira ou parcialmente verdadeira
e justifique sua resposta.
“Dada uma matriz A, n× n, sua fatoração LU , obtida com a estratégia de pivotação parcial, é tal que
todos os elementos da matriz L têm módulo menor do que ou igual a 1.”
8. Resolva o sistema abaixo em relação aos vetores independentes b1, b2, b3 e b4, onde b1 = [24, 36, 39]T
e: bi+1 = bi + xi ∀ i > 0. Indique e justifique o método que você escolheu. Para cada caso, verifique
a exatidão da solução calculando o vetor resíduo.
 2 3 11 2 3
3 2 1
 x = bi
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Análise Numérica / Cálculo Numérico - Sistemas Lineares
9. Resolva os sistemas lineares usando a decomposição LU com pivotação parcial e verifique a exatidão e
a unicidade da solução. Use sempre quatro casas decimais em todas as passagens (exceto nas operações
que devem eliminar um dos termos zerando o coeficiente). Em cada caso, calcule o vetor resíduo para
verificar a exatidão e o determinante de A para verificar a unicidade da solução. Use o software de sua
preferência para comparar com seus resultados.
(a)  −1 2 12 1 2
2 5 3
 x1x2
x3
 =
 −1015
32

Resp.: Pelo Scilab, y = [15, 17, −13.125]T , x = [13.7272, 6.6363, −9.5454]T
(valores truncados sem arredondamento mantendo-se quatro casas, apenas no final)
(b) 
3 19 4 15
1 6 2 4
5 33 9 3
1 4 8 −12


x1
x2
x3
x4
 =

4.5
1.3
2.2
1.7

Resp.: Pelo Scilab, y = [2.2, 1.26, 2.7923, −0.4697]T , x = [−579.1, 72.9, 51.3, 10.1]T
(valores truncados sem arredondamento mantendo-se quatro casas, apenas no final)
10. Transcreva os teoremas que você conhece que estabelecem, cada um, critérios suficientes ou necessários,
ainda que insuficientes, para que uma matriz seja definida positiva.
11. Considere uma matriz A5x5 simétrica e definida positiva e a decomposição de Cholesky para essa
matriz conforme representada abaixo. Demostre a relação entre os elementos de A e de L simplesmente
aplicando as multiplicações entre as respectivas linhas e colunas. Depois, reescreva as expressões de
modo a demonstrar como os elementos de L podem ser obtidos iterativamente. Por fim, escreva as
fórmulas gerais que descrevem como determinar os elementos de L para uma matriz simétrica, definida
positiva, de ordem n.
A = LLT
a11 a21 a31 a41 a51
a21 a22 a32 a42 a52
a31 a32 a33 a43 a53
a41 a42 a43 a44 a54
a51 a52 a53 a54 a55
 =

l11 0 0 0 0
l21 l22 0 0 0
l31 l32 l33 0 0
l41 l42 l43 l44 0
l51 l52 l53 l54 l55


l11 l21 l31 l41 l51
0 l22 l32 l42 l52
0 0 l33 l43 l53
0 0 0 l44 l54
0 0 0 0 l55

12. Obtenha a decomposição de Cholesky para as matrizes A e B abaixo e calcule o determinante de cada
uma a partir dos elementos da diagonal da respectiva L. Use três casas decimais.
A =

4 −4 2 8
−4 5 −7 −10
2 −7 42 18
8 −10 18 46
 B =

4 2 1 1
2 9 12 −16
1 12 37 −43
1 −16 −43 98

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13. Considere o sistema linear Ax = b abaixo:
 4 2 142 17 −5
14 −5 83
  x1x2
x3
 =
 14−101
155

(a) Resolva o sistema usando a Decomposição de Cholesky. (Utilize 2 casas decimais)
(b) A matriz A acima é definida positiva? Justifique sua resposta.
(c) Calcule a exatidão da solução.
(d) Verifique, comente e justifique a unicidade da solução.
(e) Calcule o determinante da matriz A
14. Proponha um problema em sua área de interesse que resulte na necessidade de solução de sistema(s)
de equações lineares. Contextualize o problema e formalize o sistema de equações a partir da teoria
que descreve o caso em estudo. Depois, indique como os métodos estudados podem ser empregados
para solucionar o sistema.
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