Resolução Lista 03 CDI 3

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Lista 03
01. Calcule as derivadas parciais das func¸o˜es abaixo:
a) f(x, y) = 2x4y3 − xy2 + 3y + 1
b) f(x, y) = (x3 − y2)5
c) f(r, s) =
√
r2 + s2
d) f(x, y) = xey + y sinx
e) f(u,w) = arctan
u
w
f) f(x, y, z) = x2y3z4 + 2x− 5yz
g) f(x, y, z) = xyzexyz
h) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4
i) z = cosxy
j) z = (x2 + y2) ln(x2 + y2)
k) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2)
l) w =
xyz
x+ y + z
02. Considere a func¸a˜o z =
xy2
x2 + y2
. Mostre que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
03. Sejam z = ex
2+y2 , x = ρ cos θ e y = ρ sin θ. Verifique que
∂z
∂ρ
= ex
2+y2(2x cos θ + 2y sin θ)
04. Seja f(x, y) =
∫ x2+y2
0
e−t
2
dt. Calcule
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y).
05. Seja f : R −→ R diferencia´vel e seja g dada por g(x, y, z) = f(r), onde r = ||(x, y, z)||.
Mostre que
x
∂g
∂x
+ y
∂g
∂y
+ z
∂g
∂z
= r.f ′(r)
06. Seja f(x, y) =
{
(x2 + y2) sin 1
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
a) Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
b) Prove que f e´ diferencia´vel em (0, 0).
07. Verifique que f(x, y) =
{
x4
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
08. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o dada,
no ponto dado.
a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1))
b) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1))
09. Seja z = xex
2−y2 .
Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1
para x = 1, 01 e y = 1, 002. Estime o erro cometido nesta aproximac¸a˜o.