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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto Cálculo Diferencial e Integral I Roteiro 3: INTEGRAL DE FUNÇÕES ELEMENTARES E APLICAÇÕES 1. A INTEGRAL DEFINIDA Anteriormente usamos limites para descrever o comportamento de uma função e calcular sua taxa de variação (derivada). Agora, empregaremos o conceito de limite para estudar uma questão completamente diferente: Como definir e calcular a área de uma região no plano? Durante séculos, o estudo desta questão levou ao desenvolvimento da integral definida, que é um procedimento de soma generalizada com numerosas aplicações na matemática e nas ciências. 1.1 O Cálculo da Área como um Limite O Problema da Área: Seja f uma função contínua não negativa com bax , . Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico de f, o eixo-x, e as retas ax e bx . A figura abaixo representa uma região R típica para o caso de uma função f não negativa. Para definir a área A, aproximamos a região R com retângulos, e realizamos nosso esquema de aproximação de tal modo que sejamos capazes de calcular a área A como o limite desta seqüência de aproximação. y x y a b y=f(x) x a b y=f(x) x y a b x=a x=b y=f(x) R 2 Quando o número de retângulos aumenta e o tamanho dos retângulos individuais decresce em largura, a união do conjunto de retângulos aproximam com mais precisão a região R. Nossa intenção é definir a área A de R como sendo o valor limite das áreas associadas com estas aproximações. Naturalmente, devemos primeiro mostrar que tal limite existe. Aproximação inferior (soma aproximada inferiormente) É uma aproximação da área de R pela combinação das áreas de n retângulos de igual largura, sendo que cada um dos retângulos está inteiramente contido em R. Como os retângulos possuem a mesma largura, esta é dada por n ab x . Os extremos dos subintervalos resultantes são: bxnaxxaxxaxax n ,,2,, 210 . Queremos que a altura do retângulo construído sobre o intervalo jj xx ,1 seja o valor mínimo de f neste intervalo. Se f é contínua em jj xx ,1 , existe no mínimo um número jjj xxc ,1 com jjj xxxxfcf 1/min . Com esta notação podemos escrever a área Aj xcf j . A soma aproximada inferior Sn é, portanto, Sn = A1 + A2 + A3 + ... + An = xcfxcfxcfxcf n 321 . x a=x0 x4=b y=f(x) x1 x2 x3 y x a b y=f(x) y 3 Exemplo 1.1: Encontre a soma aproximada inferior S4 para a área da região R limitada pelo gráfico de 24 xxf e o eixo-x entre 0x e 2x . Solução: Como 4n , a largura de cada subintervalo é 2 1 4 02 x Os extremos dos subintervalos são, portanto: 2e 2 3 ,1, 2 1 ,0 43210 xxxxx . Como 24 xxf é decrescente em [0, 2], o seu valor mínimo ocorre no extremo direito de cada subintervalo jj xx ,1 . Assim, 2e 2 3 ,1, 2 1 4321 cccc A soma aproximada inferior é, portanto, S4 2 1 2 2 1 2 3 2 1 1 2 1 2 1 ffff 4 17 2 1 0 4 7 3 4 15 2 1 44 2 1 4 9 4 2 1 14 2 1 4 1 4 Como cada retângulo repousa inteiramente dentro da região R, temos que Sn ≤ A para todas as somas aproximadas inferiormente. Aproximação por excesso (soma aproximada superiormente) Se, a o invés de usar o valor mínimo de f sobre cada subintervalo jj xx ,1 , usarmos o valor máximo, obtemos o que é chamado de soma aproximada superiormente nS . Ou seja, tomamos a altura do retângulo sobre o intervalo jj xx ,1 como sendo o valor xdf j , em que jjj xxxxfdf 1/max A área do j-ésimo retângulo aproximado é, portanto, xdfA jj , e a soma aproximada superiormente é xdfxdfxdfxdf AAAAS n nn 321 321 x a=x0 xn=b y=f(x) x1 x2 x3 y ... 4 Exemplo 1.2: Encontre uma soma aproximada superiormente para a região R do exemplo 1.1. Solução: Como no exemplo 1.1, temos subintervalos de largura 2 1 x e com pontos finais 2e 2 3 ,1, 2 1 ,0 43210 xxxxx . Entretanto, como 24 xxf é decrescente em [0, 2], o valor máximo de f ocorrerá na extremidade esquerda de cada subintervalo. Portanto, temos: 2 3 e1, 2 1 ,0 4321 dddd . A soma aproximada superiormente é: 4 25 2 1 4 7 3 4 15 4 2 1 4 9 4 2 1 14 2 1 4 1 4 2 1 04 2 1 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 04 ffffS Combinando os exemplos 1.1 e 1.2 concluímos que a área A da região limitada pelo gráfico de 24 xxf e o eixo-x entre 0x e 2x é limitada por 4 25 4 17 A . Para calcular a área desejada precisamente, precisamos calcular os limites de nS e Sn quando n . Notação de soma n j n j n j n j pk kj n j nn nj nnn nj nn nj ncccccc pkfkfkfkfjf nffffjf 1 32 33 1 22 1 1 1 4 1 2781 6 121 941 2 1 321 21 321 5 Exemplo 1.3: Calcule a soma aproximada por excesso 100S para a área da região R limitada pelo gráfico de 2xxf e o eixo-x entre 1x e 3x . Solução: Primeiro, calculamos 50 1 100 13 x . Assim, dividimos o intervalo [1,3] em 100 subintervalos cujos pontos finais são: 100,,2,1,0,1 jxjxj Como estamos calculando uma soma por excesso e f é crescente em [1,3], usamos para jd os pontos finais que estão à direita dos subintervalos, isto é, jj xd . Obtemos, então: 7468,8 2500 867,21 50 1 6 201101100 2 101100 50 1 2 50 1 100 6 201101100 2 101100 2100 2 1 1 32 32 100 1 32 100 1 2 100 1 100 1 2 100 1 100 1 100 xxx xjxjx xxj xxjf xdfS jjj j j j j Teorema 1.1: Seja f contínua e não negativa no intervalo [a, b]. Sejam Sn e nS as somas aproximadas por falta e por excesso, respectivamente, para f em [a, b]. Então, n n S lim e n n S lim existem e n n n n SS limlim . Definição 1.1: Seja R a região limitada acima pelo gráfico da função contínua e não negativa f, abaixo pelo eixo-x, à esquerda por ax e àdireita por bx . A área de R é o número A definido pela equação n n n n SSA limlim . 6 1.1 Somas de Riemann Definição 1.2: Uma partição Pn de um intervalo fechado [a, b] é qualquer conjunto de 1n números nxxxx ,,,, 210 com bxxxxa n 210 Observe que estes subintervalos não são necessariamente de mesmo comprimento. Vamos definir a norma da partição Pn, denotada por nP , como sendo o maior destes comprimentos. Isto é, 11201 ,,,max nnn xxxxxxP . Então, njPxx njj ,,3,2,1,1 Se f é definida em [a, b], definimos uma soma de Riemann para f em [a,b] da mesma forma que definimos somas aproximadas, exceto que não exigimos que os subintervalos tenham o mesmo tamanho e nem exigimos que 0xf . Definição 1.3: Uma soma de Riemann Rn para f em [a, b] é qualquer soma da forma jjj n j jjn xxtxtfR ,, 1 1 em que nxxxx ,,,, 210 é uma partição de [a, b], 1 jjj xxx e jt é um elemento de njxx jj ,,2,1,,1 . Teorema 1.2: Suponha que f seja uma função contínua em [a, b]. Então, existe um único número I tal que n j jj n n n xtfRI 1 limlim para todas as somas de Riemann Rn correspondentes às partições Pn para as quais 0nP quando n . Definição 1.4: Seja f contínua em [a, b]. O número I definido no teorema 1.2 é chamado de integral definida de f de a até b e denotado por b a dxxf a=x0 x9=b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 7 Observações: 1. O símbolo é referido como sinal da integral. 2. Escrevemos o símbolo dx após o integrando xf para indicar que x é a variável independente para f. 3. Os pontos finais a e b são os limites de integração. O teorema a seguir afirma que se f é não negativa e contínua em [a,b], a integral definida b a dxxf é a área da região limitada pelo gráfico de f e o eixo-x. Teorema 1.3: Seja f contínua em [a, b] com 0xf para todo bax , . Então a área A da região R limitada acima pelo gráfico de f, abaixo pelo eixo-x, à esquerda por ax , à direita por bx , é dada pela integral definida b a dxxfA . Exemplo 1.4: Se uma função f é não negativa, podemos, às vezes, calcular b a dxxf , identificando a integral com uma região cuja área já conhecemos. (a) A figura abaixo mostra que o gráfico da função constante cxf , c > 0, limita um retângulo de área abc no intervalo [a, b]. Assim, 0, cabcdxcdxxf b a b a . a b x y c f(x)=c R 8 (b) A figura abaixo mostra que o gráfico da função linear xxf limita um trapézio sobre o intervalo [a, b] se ba 0 . Como o trapézio tem bases de comprimento aafB 1 e bbfB 2 e altura abh , sua área é 2221 2 1 2 1 2 1 ababbahBBA . Assim, baabdxx b a 0,2 1 22 . (c) A figura abaixo mostra que o gráfico da função 22 xaxf limita um semi-círculo de raio ar sobre o intervalo [-a, a] quando 0a . Como a área deste semi-círculo é 22 2 1 2 1 arA , temos: 222 2 1 adxxa a a . Se xf é negativa para algum bax , , então uma soma de Riemann para f pode conter termos da forma jj xtf , com 0jtf . Como jx é positivo, o produto jj xtf é negativo. Consequentemente, quando interpretamos um termo em uma soma de Riemann como a área de um retângulo, nós o assim fazemos com o entendimento de que um retângulo que está abaixo de eixo-x contribui com um número negativo para a soma. Assim, para uma função contínua qualquer, podemos interpretar b a dxxf como uma área “assinalada”. a -a x y f(x)= 22 xa R a b x y f(x)=x B2=b B1=a R 9 Definição 1.5: Suponha que f seja contínua em [a, b]. Então, (a) 0 dxxf a a (b) b a a b dxxfdxxf 1.2 Propriedades da Integral Definida Teorema 1.4: Sejam f e g contínuas em [a, b] e seja c uma constante qualquer. Então, (a) b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf (b) b a b a dxxfcdxxcf Teorema 1.5: Seja f contínua em um intervalo contendo os números a, b e c. Então, b c c a b a dxxfdxxfdxxf Independente de como os números a, b e c são ordenados. Podemos utilizar o teorema 1.5 para justificar nossa interpretação geométrica de integral definida como uma área “assinalada”. Por exemplo, seja bca e suponha que f seja contínua em [a,b], positiva em [a,c) e negativa em (c,b]. Então o gráfico de f determinará duas regiões R1 e R2. A região R1 é limitada pelo gráfico de f, o intervalo [a, c] e a reta ax , e R2 é limitada pelo gráfico de f, o intervalo [c, b] e a reta bx . A área definida pelo gráfico de f pode ser calculada por: b c c a b a dxxfdxxfdxxf Se considerarmos o gráfico de f , ele também determinará duas regiões R1 e R3, em que R3 é a reflexão de R2 sobre o eixo-x. Assim, podemos escrever que b c c a b a dxxfdxxfdxxf )1( pois xfxf para bcx , . a b x y c R1 R2 10 Como a área determinada por R2 é igual a área determinada por R3, temos 21 RáreaRáreadxxf b a Analogamente, se f é uma função contínua em [a, b] cujo gráfico corta o eixo-x em um número finito de vezes, então seu gráfico e o eixo-x determinam um número finito de regiões. Podemos generalizar o argumento anterior para obter uma interpretação de b a dxxf como uma área “assinalada”: A integral definida b a dxxf é igual à diferença entre a área total das regiões acima do eixo-x e a área total das regiões abaixo do eixo-x. Exercícios 1. São dadas uma função f e uma partição bxxxxaP nn ,,,, 210 do intervalo [a, b] especificado. Seja jt o extremo esquerdo do j-ésimo subintervalo determinado por Pn. Calcule a correspondente soma de Riemann n j jjn xtfR 1 . Esboce o gráfico de f com retângulos que fornecem uma interpretação geométrica para o número Rn. (a) 5,3,2,1,2 3 Pxxf (b) 4,2, 2 3 ,1,0,3 4Pxxf 2. Siga as instruções do exercício 1, exceto que jt é a extremidade direita do j-ésimo subintervalo determinado por Pn. (a) 4,2,1,0, 3 2 Pxxxf (b) 2 5 ,2,, 2 ,0,cos 4 Pxxf 3. Particione o intervalo [a, b] em 4 subintervalos de igual comprimento. Determine a maior e a menor soma de Riemann associada a esta partição, para a função f dada: (a) 2,2,,4 2 baxxf (b) 2,0,,sen baxxf 4. Dado que 3 3 0 dxxf , 2 5 2 dxxf e 5 8 5 dxxf , calcule: (a) 0 2 dxxf (b) 8 2 dxxf (c) 0 5 dxxf 11 5. Dado 5 3 1 dxxf e 2 3 1 dxxg , calcule: (a) 3 1 dxxgxf (b) 3 1 1 3 2 dxxgdxxf (c) 1 3 54 dxxfxg 6. Esboce uma região no plano cuja área é dada pela integral definida. Utilizando fórmulas geométricas, calcule a área daquela região e, consequentemente, a integral. (a) 2 1 24 dxx (b) 3 0 12 dxx (c) 3 0 2 9 dxx (d) 4 1 72 dxx (e) 2 0 dxxf em que 21,1 10,1 2 xx xx xf 1.3 Teorema Fundamental do Cálculo Como o próprio nome diz, o Teorema Fundamental do Cálculo é o mais importante teorema do Cálculo. Ele relaciona dois conceitos aparentemente distintos – a derivada (como uma taxa de variação) e a integral definida (um procedimento de soma generalizada). Teoricamente, o Teorema Fundamental é importante porque ele justifica o uso da integral como um mecanismo para definir funções. Computacionalmente, ele é importante porque fornece um procedimento poderoso para o cálculo de muitas integrais definidas. Suponhamos que f seja contínua em um intervalo I. Então, escolhendo qualquer número a em I, definimos uma função A em I por x a dttfxA (1) Isto é, xA é igual à integral definida de f de a até x. Se f é não negativa em I, o valor xA é simplesmente a área sob o gráfico de tfy para xta . Neste caso, nos referimos a A como a função área determinada por f. Considere todo ax em I. Quando x aumenta, o valor xA deve crescer porque estaremos calculando a área de regiões sucessivamente maiores. Em geral, não precisamos supor que f seja não negativa. A integral xA na equação (1) existe para todo Ix , independente do sinal de f. Como o cálculo envolve ambos os processos de integração e diferenciação, vamos ver o que acontece se tentarmos diferenciar a função A. Por definição, h xAhxA xA h 0 lim' (2) Por simplicidade, vamos supor que f é não negativa e que ax . A fim de calcular o limite na equação (2), consideremos o quociente da diferença h xAhxA (3) para 0h . Como hxA é a área sob o gráfico de at até hxt e xA é a área sob o gráfico de at até xt , a diferença xAhxA é a área sob o gráfico de xt até hxt . 12 Veja a figura abaixo. Observemos que a largura desta região é hxhx . Se aproximarmos a área por retângulos de altura xf e largura h, obtemos hxfxAhxA . (4) Assim, o quociente da diferença (3) é aproximado por xf h xAhxA . (5) Como veremos, a aproximação (4) torna-se mais precisa quando 0h , e a aproximação (5) produz xf h xAhxA h 0 lim . Um argumento semelhante se aplica se 0h , e assim obtemos um fato notável sobre A: A é diferenciável, e sua derivada é: xfxA ' . Em outras palavras, a derivada da função área é a função original f. Isto é a essência do teorema fundamental – as operações de integração (a função área A) e diferenciação são inversas (como operações matemáticas). Este argumento intuitivo não é uma prova do teorema porque a aproximação feita em (4) não é uma afirmação matemática precisa. Entretanto, tal intuição é absolutamente correta. x a x+h y=f(x) x y A(x+h) A(x) 13 Teorema 1.6: (Teorema Fundamental do Cálculo) (a) Seja f contínua em um intervalo aberto I contendo o número a e seja x a dttfxA para cada Ix . Então, A é diferenciável em I, e xfxA ' . Isto é, Ixxfdttf dx d x a , . (b) Seja f contínua em [a, b] e seja F qualquer antiderivada de f em [a, b]. Então, aFbFdxxf b a Exemplo 1.5: Como xxxF 62 2 é uma antiderivada de 64 xxf , 12621286264 212 2 1 xxdxx Exemplo 1.6: Como xxx x xF 5 4 23 4 é uma antiderivada de 523 23 xxxxf , 361048410484 5 4 523 2 2 23 4 2 2 23 xxx x dxxxx Exemplo 1.7: Como uma antiderivada para xxf cos é xxF sen , temos 1010sen 2 3 sensencos 2 3 0 2 3 0 xdxx Exemplo 1.8: 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 11 dxxxdx x xdx x x . Como uma antiderivada para 2 1 2 1 xxxf é 2 1 2 3 2 3 2 xxxF , temos 3 20 1.21 3 2 228 3 2 2 3 21 4 1 2 1 2 3 4 1 xxdx x x . 14 Observação: A parte (b) do Teorema Fundamental explica o uso do sinal de integral para representar ambas a antiderivada e a integral definida. Se F é qualquer antiderivada para f, temos b a b a cxFdxxf e o lado direito pode ser escrito como b a dxxf . Entretanto, é preciso estar consciente da diferença conceitual entre a integral indefinida (antidiferenciação) e a integral definida. A integral indefinida é uma família de antiderivadas, e a integral definida é um número que representa o limite da soma de Riemann. É somente pelo Teorema Fundamental que sabemos que estes dois conceitos estão relacionados. Exemplo 1.9: Calcule 5 1 2dxx . Solução: Aplicando a definição de valor absoluto vemos que 02,2 02,2 2 xsex xsex x Isto é, 2,2 2,2 2 xsex xsex x . Calculamos, então a integral separadamente em [-1, 2] e [2, 5] usando a correspondente parte da definição de 2x sobre cada intervalo: 9 22 2 2 52 2 5 2 1 12 2 2 22 2 22 2 22 222 2222 5 2 2 2 1 2 5 2 2 1 5 2 2 1 5 1 x xx x dxxdxx dxxdxxdxx Exercícios 7. Calcule a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: (a) 2 2 3 1dxx (b) 2 1 3 5 2 dxx x (c) 3 1 22 2 dtt (d) 4 0 3dxx (e) 0 sen dxx (f) 3 1 3 4 dxx 15 (g) 3 2 dxxf , em que 1,1 1,1 2 xx xx xf 16 2 INTEGRAL INDEFINIDA O processo para determinar uma função xf a partir de seus valores conhecidos e sua derivada xf' tem dois passos. O primeiro é encontrar uma fórmula que dê todasas funções que poderiam ter f como derivada. Essas funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornece todas elas é chamada integral indefinida de f. O segundo passo é usar o valor conhecido para selecionar a primitiva particular desejada a partir daquelas na integral indefinida. Vamos começar com uma definição. Definição 2.1: (Primitiva ou antiderivada) Dada uma função f, definida num intervalo I, uma primitiva de f em I ou uma antiderivada de f em I é uma função F, definida em I, tal que xfxF ' , para todo Ix . Dessa maneira, observamos que o processo de primitivação, isto é, encontrar primitivas, é o inverso do processo de derivação. Devido à relação existente entre antiderivadas e integrais, garantida pelo Teorema Fundamental do Cálculo, utiliza-se a notação: dxxf para representar o conjunto de todas as primitivas ou antiderivadas de f, denominada integral indefinida, sendo o símbolo de uma integral, a função f é o integrando de uma integral e x é a variável de integração. Uma vez que encontramos uma primitiva F de uma função f, as outras primitivas diferem dela por uma constante. Indicamos isso em notação integral da seguinte maneira: CxFdxxf . A constante C é a constante de integração ou constante arbitrária. Quando encontramos CxF , dizemos que conseguimos integrar e calcular a integral. Exemplo 2.1: (Encontrando uma integral indefinida) Calcule dxx 2 3 . Solução: Cxdxx 32 3 . A função cxxF 3 gera todas as primitivas da função 23xxf . As funções 43 xxg , 5 33 xxh , 33 xxs são todas primitivas da função 23xxf , e isso pode ser verificado diferenciando. 17 Muitas das integrais indefinidas necessárias ao trabalho científico são determinadas pela inversão de fórmulas de derivadas. A tabela a seguir enumera várias formas integrais-padrão lado a lado com as fórmulas das integrais que as originaram. Tabela 1: Fórmulas de Integrais Integral indefinida Fórmula que a originou racional,1, 1 1 nnC n x dxx n n n n x n x dx d 1 1 Cxdxdx 1 1x dx d C k kx dxkx cos sen kx k kx dx d sen cos C k kx dxkx sen cos kx k kx dx d cos sen Cxdxx tansec 2 xx dx d 2 sectan Cxdxx cotancossec 2 xx dx d 2 cosseccotan Cxdxxx sectansec xxx dx d tansecsec Cxdxxx cosseccotancossec xxx dx d cotancosseccossec- Cxdxx ln 1 x x dx d 1 ln Essa tabela, evidentemente, não tem fim. Evidenciou-se aí, aquelas primitivas que são imediatas, entretanto desenvolveremos o estudo de algumas técnicas que nos permitirão encontrar primitivas quando não for tão evidente qual a família de funções que tem uma determinada derivada. As chamadas técnicas de primitivação nos permitirão resolver situações que têm um caráter algumas vezes bastante geral. Além disso, a partir das propriedades das derivadas, poderemos estabelecer as propriedades das integrais indefinidas. Essas propriedades facilitam, em alguns casos, a tarefa de se encontrar primitivas. Exemplo 2.2: Calcule as integrais utilizando o resultado apresentado na tabela 1: (a) C x dxx 6 6 5 (b) CxCxdxxdx x 22 1 2 1 2 1 18 (c) C x dxxsen 2 cos 2 (d) dxxdx x 2 1 cos 2 cos C x C x 2 sen2 2 1 2 1 sen (e) Cx x dx x xdx x x ln3 11 3 2 3 (f) CxC x dxxdxxx 2 51 2 3 2 3 5 2 1 2 3 Calcular uma integral indefinida às vezes pode ser difícil, mas depois de encontrá-la é relativamente fácil verificar sua validade: diferencie (derive) o lado direito. A derivada deve ser igual ao integrando. Faça isso com os resultados do exemplo anterior! Exemplo 2.3: Verifique qual das funções dada abaixo é a primitiva da função xxxf cos : (a) CxxxF sen Para verificar se CxxxF sen é a primitiva de xxxf cos , devemos verificar se a derivada de CxxxF sen é o integrando, ou seja, xxxf cos . Assim, xxxxxCxx dx d cos0sencos sen . Portanto Cxxdxxx sencos . (b) CxxxxF cossen Verificando a derivada de CxxxxF cossen , temos: xxxxxxCxxx dx d cos0sensencoscossen . Portanto, Cxxxdxxx cossencos . 19 2.1 Propriedades da Integral Indefinida As propriedades a seguir são conseqüências imediatas dos fatos: A derivada da soma é igual à soma das derivadas. A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. 1. dxxgdxxfdxxgxf 2. dxxfkdxxfk Exemplo 2.4: Calcule as integrais: (a) C x C x dxxdxx 4 5 4 555 44 33 (b) dxdxxdxxdxxx 5252 22 Cxx x Cx xx 5 3 5 2 2 3 2 3 23 Exercícios 8. Calcule e verifique sua resposta por derivação: (a) dx3 (b) dxx 5 (c) dxx (d) dxx 5 2 (e) dx x 3 1 (f) dxx 4 (g) dx x xx 2 2 (h) dx xx 2 11 (i) dx x x 32 (j) dx x xx 2 5 1 (k) dxx5cos (l) dtt4sen (m) dxx2cos 2 1 2 1 (n) dxxx sencos (o) dxxx sencos 9. Calcule as integrais definidas: (a) 2 0 2 1dxxx (b) 3 1 2 1 dx x x (c) 1 1 5 2 33 dxx (d) 3 0 3 2 1 3 dx x xx (e) 0 2 4 3 1 2 dx x x (f) dx 3 1 4 (g) 80 2sen dxx (h) 1 0 21 2 x x (i) 30 2sensen dxxx 20 10. Determine a função xxyy , , tal que: (a) 2013 yex dx dy (b) 013 2 1 yex dx dy (c) 103sen yex dx dy (d) 1113 yexx dx dy 11. Um objeto move-se a uma velocidade de min/23 2 mtt . Qual a distância percorrida durante o primeiro minuto? E durante o segundo minuto? Respostas dos exercícios 1. (a) 173 R (b) 4 27 4 R 2. (a) 263 R (b) 2 4 R 3. (a) 146 44 ReR (b) 20 44 ReR 4. (a) -3 (b) 3 (c) -1 5. (a) 3 (b) -8 (c) 12 6. (a) 9 (área do triângulo de base 3 e altura 6) (b) 12 (área do trapézio de base maior 7, base menor 1 e altura 3) (c) 4 9 ( 4 1 da área da circunferência) (d) 36 (área do trapézio de base maior 15, base menor 9 e altura 3) (e) 1 (2 vezes a área do triângulo de base 1 e altura 1) 7. (a) -4 (b) 433 (c) 3 652 (d) -7 (e) 2 (f) 80 (g) 1 8. (a) cx 3 (b) c x 6 6 (c) cx 2 3 3 2 (d) cx 5 7 7 5 (e) 2 2 1 x (f) 3 3 1 x (g) cxx ln (h) c x x 1 ln (i) cx x ln3 3 3 (j) c x x x 1 ln 4 4 (k) cx 5sen 5 1 (l) ct 4cos 4 1 (m) c xx 4 2sen 2 (n) cxx cossen (o) cxx cossen 9. (a) 3 20 (b) 32 (c) 7 72 (d) 9 274 (e) 24 187 (f) 16 (g) 4 22 (h) 6931,01ln2ln (i) 4 5 21 10. (a) 2 2 3 2 x x xy (b) 4 11 3 4 2 x x xy (c) 3 4 3cos 3 1 xxy (d) 4 1 24 24 x xx xy 11. Durante o primeiro minuto percorre-se m 3 13 ; no segundo minuto, m 3 25 .
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