Cálculo II-3

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 n g e l o M a r c í l i o | E n g e n h a r i a E l é t r i c a
Primitivas
Definição: Uma função F é uma primitiva (ou 
antiderivada) de f(x) no intervalo I se F’(x) = f(x) 
para todo x em I.
Exemplo: Quem é uma primitiva da função f(x) = 3x2 ?
Conhecendo-se a regra básica de derivação da 
potência, tem-se que F(x) = x3
Além de F1(x) = x3, note que F2(x) = x3 + 53
também é uma primitiva de f, assim como
F3(x) = x3 – 21.
A família de todas as primitivas de f(x) = 3x2 
é representada por G(x) = x3 + C, onde C 
representa genericamente uma constante.
Constante de
integração
Variável de
integraçãoIntegrando
Sinal de integração
Notação
A operação de encontrar a família de todas as 
primitivas de uma função é chamada de integral 
indefinida (ou primitivação) e é representada na 
forma
 f (x)dx = F (x) +C
A diferenciação e a integração são operações 
inversas, no mesmo sentido de que a divisão e a 
multiplicação são operações inversas.
Condições iniciais e soluções 
particulares
A integral indefinida tem infinitas soluções (cada 
uma diferindo das outras por uma constante), a 
exemplo de
(3x2 −1)dx = x3 − x +C
Se se conhecer um 
ponto pertencente a 
uma curva de 
interesse (condição 
inicial) é possível 
determinar a chamada 
solução particular, 
calculando-se o valor 
adequado de C.
Propriedades
 cf (x)dx = c f (x)dx
dx
 f (x) + g(x)dx =  f (x)dx +  g(x)dx
 f (x) − g(x)dx =  f (x)dx −  g(x)dx
d  f (x)dx= f (x)
Fórmulas de Integração
0dx = C
 kdx = kx +C
n
 x dx = n +1 +C
xn+1
 cos xdx = sin x +C
sin xdx = −cos x +C
e
xdx = ex + C
Teorema Fundamental do Cálculo
Se a função f for contínua no intervalo [a, b] e se
F for uma primitiva de f no intervalo [a, b], então
b
 f (x)dx = F (b)− F (a)
a
b
a
Quando aplicar este teorema, a seguinte notação 
é conveniente:
b
f (x)dx = F(x) = F (b)−F (a)
a
INTEGRAL DEFINIDA
Sejam (𝑎 =)𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) as extremidades desses subintervalos, e
1 2sejam 𝑥
∗, 𝑥∗, … , 𝑥∗ pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de𝑛
forma que 𝑥∗ esteja no i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Então a integral
definida de f de a a b é:
desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas
de pontos amostrais. Se ele existir, dizemos que 𝑓 é integrável em 𝑎, 𝑏 .
DEFINIÇÃO.
Se 𝑓 é uma função contínua
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, dividimos o intervalo
definida em
𝑎, 𝑏 em n
∆𝑥 =
subintervalos de comprimentos iguais:
𝑏 − 𝑎
𝑛
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥
𝑛
INTEGRAL DEFINIDA
OBSERVAÇÃO 1. O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é 
denominado sinal de integral.
• Ele é um 𝑆 alongado e foi assim escolhido porque uma integral é 
um limite de somas.
• Na notação ∫
𝑎
𝑏
𝒇(𝒙) 𝒅𝑥
✓ f (x) é chamado integrando;
✓ 𝒂 e 𝒃 são ditos limites de integração, sendo 𝒂 o limite 
inferior e 𝒃 o limite superior.
✓𝒅𝒙 indica que a variável dependente é 𝑥.
• O procedimento de calcular a integral é chamado integração.
INTEGRAL DEFINIDA
∫𝑎OBSERVAÇÃO 2. A integral definida
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 é um número; ela
não depende de 𝑥.
• Podemos usar qualquer letra para substituir sem alterar o valor da 
integral:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑟 𝑑𝑟
INTEGRAL DEFINIDA
OBSERVAÇÃO 3. A soma é chamada soma de Riemann, em
homenagem ao matemático Bernhard Riemann (1826-1866).
• Assim, a definição de integral definida de uma função integrável pode ser
aproximada com qualquer grau de precisão desejado por uma soma de
Riemann.
• Sabemos que se 𝑓 for positiva, então a soma de
Riemann pode ser interpretada como uma soma de
áreas de retângulos aproximantes.
• A integral definida pode ser interpretada como a área 
sob a curva de a até b.
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
∗ ∆𝑥
INTEGRAL DEFINIDA
• Se 𝑓 assumir valores positivos e negativos, então a
soma de Riemann é a soma das áreas dos
retângulos que estão acima do eixo 𝑥 e do oposto
das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo
𝑥 (as áreas dos retângulos azuis menos as áreas
dos retângulos amarelos).
• Quando tomamos o limite dessas somas de Riemann,
obtemos a situação ao lado. Uma integral definida
pode ser interpretada como área resultante, isto é, a
1 2diferença das áreas: ∫
𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴 − 𝐴
𝑎
✓ onde 𝐴1 é a área da região acima do eixo 𝑥 e
abaixo do gráfico de 𝑓(x) e 𝐴2 é a área da região
abaixo do eixo 𝑥 e acima do gráfico de 𝑓(x).
INTEGRAL DEFINIDA
✓ Se 𝒂 < 𝒃, então ∆𝒙 = 𝒃−𝒂
𝟐
com
✓ Se 𝒂 > 𝒃, então ∆𝒙 =
𝒂−𝒃
𝟐
= −
(𝒃−𝒂)
𝟐
𝟐
Propriedades da Integral Definida
Quando definimos a integral definida ∫𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, implicitamente assumimos
que 𝑎 <𝑏.
✓ Se 𝒂 = 𝒃, então ∆𝒙 = 𝒂−𝒂 = 𝟎 e
• A definição dessa integral como o limite das somas de Riemann faz
sentido mesmo que 𝑎 > 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 .
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓( ഥ𝑥𝑖)∆𝑥
ഥ𝑥𝑖 =
1
2
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 = 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖]
න
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
න
𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑒
𝑒
INTEGRAL DEFINIDA
3 𝟓− 𝟏 = 3 4 = 12
𝑦 = 3
𝑥
Propriedade 1. Considere 𝑐 uma constante real fixa, então:
Exemplo: Considere 𝑐 = 3 no intervalo 𝟏, 𝟓 , então:
Note que temos um retângulo de 
base 5 − 1 = 4 e altura 3, logo:
𝐴 = 𝑏 ∙ h = 4 ∗ 3 = 12
න
𝑎
𝑏
𝑐 𝑑𝑥 = 𝑐 (𝑏 − 𝑎)
න
1
5
3 𝑑𝑥 =
INTEGRAL DEFINIDA
𝑎, 𝑏 ,Propriedade 2. Sejam 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 funções integráveis em 
então:
= 𝑥2 e 𝑔 𝑥 𝟎, 𝟏 ,Exemplo: Considere 𝑓 𝑥
então:
𝟏
𝒙𝟐 + 𝒙 𝑑𝑥 =
𝟎
𝟏 𝟏
𝒙𝟐 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥
𝟎 𝟎
𝒙𝟐
𝒙
𝒙𝟐+𝑥
𝑥
= 𝑥 no intervalo
𝑦
f (x)+ g(x)dx =  f (x)dx+ g(x)dx
INTEGRAL DEFINIDA
Propriedade 3. Considere 𝑐 uma constante real fixa e 𝑓 𝑥 uma 
função integrável em 𝑎, 𝑏 , então:
𝟎, 𝟏 ,
conderando ∫𝟎
𝟏3𝒙𝟐 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟑 𝒙𝟐𝑑𝑥 =
𝟎
1
𝟑 ⋅ = 1 
3
𝒙𝟐
𝟑𝒙𝟐
𝑥
Exemplo: Determine a integral abaixo no intervalo
𝑦
 cf (x)dx = c f (x)dx
INTEGRAL DEFINIDA
𝑎,𝑏 ePropriedade 4. Considere 𝑓 𝑥 uma função integrável em
𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , então:
Exemplo: Sabe-se que
𝟏𝟎
𝑓 𝑥∫𝟎 𝑑𝑥 = 17 e
𝟖
𝑓 𝑥∫𝟎 𝑑𝑥 = 12 ,
determine
𝟏𝟎
𝑓 𝑥∫𝟖 𝑑𝑥
𝟏𝟎
17 = 12 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝟖
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
INTEGRAL DEFINIDA
Exercício1. Use as propriedades de integral para calcular
∫0 ∫𝟎
1
(4 + 6𝑥2) 𝑑𝑥, considerando
𝟏
𝒙𝟐𝑑𝑥 = 1
3
Solução.
𝑃2 𝟏 𝟏
= 𝟒𝑑𝑥 + 𝟔𝑥2 𝑑𝑥
𝟎 𝟎
INTEGRAL DEFINIDA
Propriedades Comparativas (PC)
PC1. Se 𝑓 𝑥 ≥ 0 para 𝑥 ∈
PC2. Se 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑥 ∈
PC3. Considere 𝑚 e 𝑀 constantes reais fixas. Se 𝑚 ≤ f(𝑥) ≤ M para x
∈ [𝑎, 𝑏] , então
𝑎, 𝑏 , então
𝑎, 𝑏 , então
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
න
𝑎
𝑏
𝑚𝑑𝑥 ≤ න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ න
𝑎
𝑏
𝑀𝑑𝑥
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Exemplo: Use a propriedade PC3 para estimar o valor de
∫0
1 
𝑒−𝑥
2 
𝑑𝑥, sabendo que 𝑒−1 ≅0,3679.
Solução. Note que 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
2 
, então para
• 𝑥 = 0, 𝑓 0
• 𝑥 = 1, 𝑓 1
= 𝑒−0
2
= 𝑒−1
2
= 1 = 𝑀 (máximo absoluto em 0,1 )
= 𝑒−1 = 0,3679 = 𝑚 (mínimo absoluto em 0,1 )
Utilizando a propriedade PC3 no intervalo 0,1 temos que:
INTEGRAL DEFINIDA
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 (TFC2)
Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 ,então
sendo 𝐹(𝑥) uma primitiva de 𝑓(𝑥), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Exemplo. Calcule
3 
𝑒𝑥 𝑑𝑥∫1
Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 é contínua em 1, 3 e uma
primitiva de 𝑓 𝑥 é 𝐹′ 𝑥 = 𝑒𝑥, então:
INTEGRAL DEFINIDA
Exercício 2. Encontre a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1.
Solução. Note que:
• a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é contínua em 0, 1
• uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é 𝐹 𝑥
3
= 𝑥
3
Assim, a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1 utilizando o TFC2 é:
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
TÁBUA DE INTEGRAIS
Observe a tábua de integrais apresenta 
funçõesde u integradas du. Caso isso não 
ocorra, devem ser utilizadas técnicas de 
substituição.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Método da substituição de variável
Considere as funções f e g deriváveis no intervalo I, tais que g  f esteja 
defina em I.
Então, ( )  =' )x(fg )x(f))x(f(g  Assim,   dx)x(f))x(f(g ( )  c)x(fg +=
Por outro lado, na integral
f(x) = t 
Derivando membro a membro a igualdade  você obtém: dt1dx)x('f =

Substituindo  e  em  você obtém:
 = dt)t(g  dx)x(f))x(f(g ( )  ctg +=
Observe que a substituição de variável conduz ao mesmo resultado obtido 
da definição da integral.
Exemplo: Calcule as integrais dadas a seguir.
 dx)x2(sen)a
2x = t
2dx = dt
= dx)x2(sen
dt
2
1
dx =
 dt2
1
)t(sen = dt)t(sen2
1
c)tcos(
2
1
+−= c)x2cos(
2
1
+−=


( )  c)x(fg +=
  dx)x(f))x(f(g
, faça a substituição de variável: 
Além disso, simplifica o cálculo da integral.
( )

+ dx2)b 1x5
t1x5 =+
dtdx5 = dtdx
5
1
=
( ) =
+ dx2 1x5 = dt5
1
2t = dt25
1 t =+ c
)2ln(
2
5
1 t ( )
c
)2ln(
2
5
1 1x5
+
+
( ) ++ dx3x2)x3x(sec)c
22
tx3x2 =+
( ) dtdx3x2 =+
( ) =++ dx3x2)x3x(sec
22
 =dt)t(sec
2 c)t(tg + c)x3x(tg 2 ++=
 ln3)dx.(3 )3cos()d
xx
t3x =
dtdx)3ln(3x =
= dx ln3)(3).3cos(
xx = dt )tcos( c)t(sen + c)3(sen
x +=
Método de integração por partes
Motivação: Nosso objetivo na aula de hoje é resolver integrais do tipo
Observe que o método de substituição de variáveis não se aplica neste caso pois, 
não existe composição de funções.
  dxex
x
Observe também que o integrando é um produto de funções.
Os matemáticos descobriram um método utilizando a derivada do produto de 
funções. Veja mais ou menos como foi.
Considere as funções f(x) e g(x) deriváveis no intervalo I.
Lembre-se de que:   )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f += 
Integrando membro a membro a igualdade , você obtém:
( ) = dx)x(g)x(f + dx)x(g)x(f   dx)x(g)x(f
Daí, = )x(g)x(f + dx)x(f)x(g   dx)x(g)x(f
  dx)x(f)x(g− )x(g)x(f
  dx)x(g)x(f

− )x(g)x(f = dx)x(f)x(g
= dx)x(g)x(f
Método de integração por partes
  dx)x(f)x(g− )x(g)x(f= dx)x(g)x(f



=
=
)x(gv
)x(fu



=
=
dx)x(gdv
dx)x(fdu

= dvu − vu  duv 
Fazendo:
Derivando estas igualdades você obtém:
Substituindo essas igualdades em  você obtém:
A equação  é fórmula de integração por partes.
Veja como funciona no exemplo da integral
  dxex
x
Comece fazendo: 
= dvu − vu  duv
xu =
  dxex
x
dxedv x=
dxdu
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ dxedv
xegrandoint xev =
A constante de integração é
colocada no final do
processo.
Agora substitua os valores de u, v, du e dv na fórmula  .
= dxex
x −xxe  dxe
x xx exe −= ( ) c1xex +−=

= dvu − vu  duv 
Exemplo 1: 
 dx)xln(
Comece fazendo: 
)xln(u =
dxdv =
dx
x
1
du
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ dxdv
egrandoint
Agora substitua os valores de u, v, du e dv na fórmula  .
= dx)xln( −)xln(x
xv =
  dxx
1
x −= dx)xln(x cx)xln(x +−=
( ) c1)xln(xdx)xln( +−=
Exemplo 2: ( ) dxxlnx  −= duvvudvu
Solução 1: xu =
dx)xln(dv =
dxdu
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ dx)xln(dv
egrandoint
= dx)xln(x ( )−− x)xln(xx dx)x)xln(x( −
22 x)xln(x −=
x)xln(xv −=
dxxdx)xln(x +−
=  dx)xln(x2 2
x2
+
= dxxx2 )ln(
22 x)xln(x −
2
x
xx
2
2 −= )ln(






−
2
1
xx2 )ln(
( ) dxxx ln c2
1
)xln(
2
x2
+





−=
Logo, 
Exemplo 2: ( ) dxxlnx  −= duvvudvu
Solução 2: )xln(u =
xdxdv =
dx
x
1
du
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ xdxdv
egrandoint
= dx)xln(x − 2
x
)xln(
2
dx
x
1
2
x2
  −= )xln(2
x2
2
x
v
2
=
 xdx2
1
)xln(
2
x2
= c
2
1
x
2
x2
+





−= )ln(
2
x
2
1 2
− dxxx )ln(
Observe que as escolhas de u e dv apresentados nas soluções 1 e 2
evidencia que a segunda escolha é mais conveniente que a primeira.
Assim, você pode concluir que as escolhas de u e dv devem ser feitas de
modo conveniente afim de simplificar o cálculo da integral.
Exemplo 3: ( ) dxxxsen  −= duvvudvu
Solução : 
xu =
dx)x(sendv =
dxdu
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ dx)x(sendv
egrandoint
= dx)x(xsen )xcos(x− dx)xcos(−−
)xcos(v −=
)xcos(x−= dx)xcos(+ )xcos(x−= c)x(sen ++
= dx)x(xsen c)x(sen)xcos(x ++−
Exercícios
Resolvas as integrais dadas a seguir:
( ) dxxsecx)a
2
 −= duvvudvu
Solução : 
xu =
dx)x(secdv 2=
dxdu
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ dx)x(secdv
2egrandoint )x(tgv =
= dx)x(secx
2 − )x(tgx dx)x(tg
−= )x(tgx ( ))xcos(ln−
= dx)x(secx
2 + )x(tgx ( ) c)xcos(ln +
Vamos utilizar o método da substituição de variáveis para determinar a integral 
dx)x(tg
 == dx)x(sen)xcos(
1
dx
)xcos(
)x(sen
dx)x(tg
Comece observe que:
Você pode fazer a substituição: t)xcos( =
dtdx)x(sen =−
dtdx)x(sen −=
Então:
 = dx)x(sen)xcos(
1
dx)x(tg )dt(
t
1
−=  dtt
1
−= ctln +−=
  c)xcos(ln +−=   c)xcos(ln 1 += −   c)xsec(ln +=
( ) dxx5cosx)b
Solução : xu =
dx)x5cos(dv =
dxdu
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯ →⎯ dx)x5cos(dv
egrandoint
= dx)x5cos(x −




 )x5(sen
5
1
x dx)x5(sen
5
1

 −= duvvudvu
−= )x5(sen
5
x
dx)x5cos(v = )x5(sen5
1
=
Pelo método de integração por parte você pode escrever:
dx)x5(sen
5
1

)x5(sen
5
x
= c)x5cos(
5
1
5
1
+





−−
= dx)x5cos(x c)x5cos(5
1
)x5(xsen
5
1
+



+
Utilize o método da substituição de variável para resolver a integral: 
dx)x5cos(v =
dtdx5tx5 == dt
5
1
dx =
dx)x5cos(v = dt5
1
)tcos(= dt)tcos(5
1
= )t(sen5
1
= c)x5(sen
5
1
+=
Utilize o método da substituição de variável para resolver a integral: 
dx)x5(sen
dtdx5tx5 == dt
5
1
dx =
dx)x5(sen dt5
1
)t(sen= dt)t(sen5
1
= )tcos(5
1
−= c)x5cos(
5
1
+−=
Integrais de funções trigonométricas
Introdução:
Você já conhece as integrais:
 dx)x(sen
As integrais dadas a seguir estão na tabela de integrais.
c)xcos( +−=  dx)xcos( c)x(sen +=
 dx)x(tg c)xcos(ln +−= c)xsec(ln +=Já aprendeu a calcular a integral
 dx)x(gcot
 dx)xsec(
 dx)x(eccos
c)x(senln +=
c)x(tg)xsec(ln ++=
c)x(gcot)x(eccosln +−=
Vamos utilizar o método da substituição de variáveis para determinar a integral 
dx)x(gcot
 == dx)xcos()x(sen
1
dx
)x(sen
)xcos(
dx)x(gcot
Comece observando que:
Você pode fazer a substituição: t)x(sen =
dtdx)xcos( =
Então:
 = dx)xcos()x(sen
1
dx)x(gcot dt
t
1
 = ctln += c)x(senln +=
Vamos utilizar também o método da substituição de variáveis para determinar a 
integral 
 dxx)( sec
Comece multiplicando e dividindo o integrando por sec(x) + tg(x).
 dxx)( sec
( )
( ) +
+
= dx
xtgx
xtgx
x
)()( sec
)()( sec
)( sec
( )
( ) ++= dxxtgxxxtgx )()( sec)( sec)()( sec
1 2
Agora faça a substituição: txtgx =+ )()( sec
)()( [sec xtgx dtdxx =+ )]( sec2
Então:
 dxx)( sec = dtt
1
ctln += cxtgx ++= )()( secln
Vamos utilizar também o método da substituição de variáveis para determinar a 
integral  dx)x(eccos
Comece multiplicando e dividindo o integrando por
 dx)x(eccos
( )
( ) −
−
= dx
)x(gcot)x(eccos
)x(gcot)x(eccos
)x(eccos
( )
( ) −−= dx)x(gcot)x(eccos)x(eccos)x(gcot)x(eccos
1 2
Agora faça a substituição: t)x(gcot)x(eccos =−
)x(gcot)x(eccos[− dtdx)]x(eccos 2 =+
Então:
 dx)x(eccos = dtt
1
ctln += c)x(gcot)x(eccosln +−=
)(cot)(cos xgxec −
Integração por substituições de funções trigonométricas
Veja como você pode resolver integrais do tipo:
 dx)x(cos)x(sen
nm
Onde os números m e n são inteiros não negativos, ou seja, 0m  0n 
1º Caso: Ou m, ou n é um número ímpar.
Regra:
1. Escreva um dos termos que possui o expoente ímpar como produto de
duas potências, sendo que uma delas possui o expoente igual a um.
Exemplo: )x(sen)x(sen)x(sen 23 =
2. Utilize a identidade trigonométrica: 1)x(cos)x(sen 22 =+
3. Faça a uma das substituição de variável: 
t)xcos( = txsen =)(
Exemplo 1:
 dx)x(sen
3
 = dx)x(sen)x(sen
2
( ) −= dx)x(sen)x(cos1
2
Agora façaa substituição:
t)xcos( =
dtdx)x(sen =−
( ) −−= )dt(t1
2
dtdx)x(sen −=








+−−= c
3
t
t
3
c
3
)x(cos
)xcos(
3
++−=
 dx)x(sen
3 ( ) −= dx)x(sen)x(cos1
2 ( ) −−= dtt1
2
 dx)x(sen
3 3m = 0n =
c
3
t
t
3
++−=
1. Escreva um dos termos que possui
o expoente ímpar como produto de
duas potências, sendo que uma delas
possui o expoente igual a um.
2. Utilize a identidade 
trigonométrica:
3. Faça a substituição de variável: 
t)xcos( =
1)x(cos)x(sen 22 =+
)(cos)( x1xsen 22 −=
Exemplo 2:  dx)x(cos)x(sen
52 2m = 5n = 1. Escreva um dos termos que possui o
expoente ímpar como produto de
duas potências, sendo que uma delas
possui o expoente igual a um.)xcos()x(cos)x(cos
45 =
2. Utilize a identidade 
trigonométrica:
1)x(cos)x(sen 22 =+
 dx)x(cos)x(sen
52
Agora faça a substituição: t)x(sen =
( ) −= dx)xcos()x(sen1)x(sen
222 )x(sen1)x(cos
22 −=
( ) )xcos()x(sen1)x(cos 225 −=
dtdx)xcos( =
 dx)x(cos)x(sen
52 ( ) −= dx)xcos()x(sen1)x(sen
222 ( ) −= dtt1t
222
( ) +−= dttt21t
422 ( ) +−= dttt2t
642
c
7
t
5
t2
3
t 753
++−=
c
7
)x(sen
5
)x(sen2
3
)x(sen 753
++−= dx)x(cos)x(sen
52
( ) )cos()(cos)(cos xxx 225 =
2º Caso: Os números m e n são pares.
Regra: Utilize as identidades trigonométricas:
2
)x2cos(1
)x(cos2
+
=
 dx)x(sen
4 4m = 0n =
2
)x2cos(1
)x(sen2
−
=
Exemplo:
( )
2
224
2
)x2cos(1
)x(sen)x(sen 




 −
==







 +−
=
4
)x2(cos)x2cos(21 2
 dx)x(sen
4
dx
xx
 





 +−
=
4
)2(cos)2cos(21 2  dxxx +−= )2(cos)2cos(214
1 2
= dx4
1
 )2(
4
1
xsenx −=
Daí,
 dx)x(sen
4 c)x4(sen
32
1
)x2(sen
4
1
8
x3
++−=


 dxx)2(cos
2


+++ cxsen
x
)4(
8
1
2
+−  dx2)x2cos(
Resolvendo a  dxx 2)2cos(
Agora observe a identidade trigonométrica,
2
)x2cos(1
)x(cos2
+
=
 dxx)2(cos
2
 


 +
= dx
x
2
)4cos(1
  += dxx)4cos(12
1
Faça a substituição: tx2 = dtdx2 =
 dxx 2)2cos( = dtt)cos( )(tsen=



 +=  dxxdx )4cos(2
1




++= cxsenx )4(
4
1
2
1
 dx)x2(cos
2
c)x4(sen
8
1
2
x
++=
cxsen += )2(
=)2(cos2 xVocê pode concluir que:
Então,
2
)4cos(1 x+
 dx)x(cos)x(sen
22 2m = 2n =
Exemplo:
Utilize as identidades trigonométricas:
2
)x2cos(1
)x(cos2
+
=
2
)x2cos(1
)x(sen2
−
=
 dx)x(cos)x(sen
22
 



 +





 −
= dx
2
)x2cos(1
2
)x2cos(1
( )( ) +−= dx)x2cos(1)x2cos(14
1
( ) −= dx)x2(cos14
1 2   −= dx)x2(cosdx4
1 2












++−= c)x4(sen
8
1
2
x
x
4
1






+−= c)x4(sen
8
1
2
x
4
1
c)x4(sen
32
1
8
x
+−=Logo,  dx)x(cos)x(sen
22
Síntese:
 dx)x(cos)x(sen
nm
Se m for ímpar:
1. Escreva: )()()( )( xsenxsenxsen 1mm = −
2. Utilize a relação: )x(cos1)x(sen 22 −=
3. Faça a substituição de variável: t)xcos( =
Se n for ímpar:
1. Escreva: )cos()(cos)(cos )( xxx 1nn = −
2. Utilize a relação: )()(cos xsen1x 22 −=
3. Faça a substituição de variável: txsen =)(
Se m e n forem pares:
Utilize as relações: 
2
)x2cos(1
)x(cos2
+
=
2
)x2cos(1
)x(sen2
−
=
Integrais de algumas funções irracionais – Substituições trigonométricas
Tipo I – Integrais que contém expressões irracionais da forma
22 xa −
)t(asenx = )tcos(ax =
Para eliminar o radical basta fazer uma das substituição dadas a seguir:
22 xa − ( )22 )t(asena −=
Observe o que ocorre no caso da substituição : )t(asenx =
)t(senaa 222 −= )]t(sen1[a 22 −=
)t(cosa 2=
Lembre-se de que : )t(sen1)t(cos1)t(cos)t(sen 2222 −==+


Substituindo  em  , você obtém: 
22 xa − )t(sen1a
2−= )tcos(a=
2
t
2



−
)t(sen1a 2−=
, a constante
Exemplo 1 dxx9 2 −
Comece fazendo a substituição: )t(sen3x =
22 xa −
dt)tcos(3dx = Então:
dxx9 2 − dt)tcos(3)t(sen99
2 −=  dt)tcos(3)]t(sen1[9
2 −= 
dtt3t3 2 )cos()(cos = dt)tcos()tcos(9 =  dt)t(cos9
2
=
dt
2
)t2cos(1
9 



 +
= 





+=   dt)t2cos(dt2
9






+= )t2(sen
2
1
t
2
9




−+= )(1)(2
2
1
2
9 2 tsentsent
)t(sen
3
x
=






=
3
x
arcsent






=
32
9 x
arcsen c
xx
+−+
9
1
2
3 2
)t(sen3x =



 −+= )(1)(
2
9 2 tsentsent



+





=
32
9 x
arcsen










−
2
3
1
3
xx
Observe que:
)tcos()t(sen2)t2(sen = )t(sen1)t(sen2 2−=
1)t(cos)t(sen 22 =+
)t(sen1)t(cos 22 −= )t(sen1)tcos( 2−=
Assim,
Tipo II – Integrais que contém expressões irracionais da forma
22 xa + , a constante
)t(atgx =Para eliminar o radical basta fazer a substituição
2
t
2



−
Observe:
22 xa + ( )22 )t(atga += )t(tgaa 222 += )]t(tg1[a 22 +=
)tsec(a=
Lembre-se de que : 1)t(cos)t(sen 22 =+


Substituindo  em  , você obtém: 
22 xa + )t(tg1a 2+=
)t(tg1a 2+=
)t(cos
1
)t(cos
)t(cos
)t(cos
)t(sen
22
2
2
2
=+
)t(sec1)t(tg 22 =+
)t(seca 2=
Exemplo 2 dxx4 2 +
22 xa +
Comece fazendo a substituição: )t(tg2x = dt)t(sec2dx 2= Então:
dxx4 2 + dt)t(sec2)t(tg44
22 +=  dt)t(sec2)]t(tg1[4
22 += 
dt)t(sec2)t(sec2 22 =  dt)t(sec4
3
=
= dtt4
3 )(sec 


 )()sec( ttgt
2
1
4 cttgt
2
1
+


++ )()sec(ln
Como:
)t(tg
2
x
=
Logo, 
)t(tg1)tsec( 2+=
dxx4 2 + 2
x
4
x
12
2









+= c
2
x
4
x
1ln2
2
++++
= dtt4
3 )(sec )()( ttgttg12
2





 + cttgttg12 2 ++




 ++ )()(ln
)t(tg2x =E,
dt)t(sec3
dt)t(sec)tsec( 2
Solução : 
)tsec(u =
dt)t(secdv 2=
dt)t(tg)tsec(du
derivando
=⎯⎯⎯⎯ →⎯
 =⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ dt)t(secdv
2egrandoint )t(tgv =
= dt)t(sec
3
= dt)t(sec
3
dt)t(sec)tsec( 2 
−= vduuvudv
)t(tg)tsec(= dt)t(tg)tsec()t(tg−
)t(tg)tsec(= dt)t(tg)tsec(
2
−
)t(tg)tsec(=  dt1)t(sec)tsec( 2 −−
)t(tg)tsec(= − dt)t(sec
3 + dt)tsec(
= dt)t(sec2
3 )t(tg)tsec( c)t(tg)tsec(ln +++
= dt)t(sec
3 )t(tg)tsec(
2
1
 c)t(tg)tsec(ln
2
1
+++
Tipo III – Integrais que contém expressões irracionais da forma
22 ax − , a constante
)tsec(ax =
Para eliminar o radical basta fazer a substituição dada a seguir:
2
t
2



−
Observe:
22 ax − ( ) 22 a)tsec(a −=
222 a)t(seca −=
)1)t((seca 22 −= )t(tga 2=
)t(atg=22 ax −
Logo,
Exemplo 3 dx4x2 − 22 ax −
Comece fazendo a substituição: )tsec(2x = dt)t(tg)tsec(2dx =
dt)t(tg)tsec(24)t(sec4 2 −= dx4x
2
 −
dt)t(tg)tsec(2)1)t((sec4 2 −= 
dt)tsec()t(tg4 2 = 
dtttgt2ttg2 2 )()sec()( = 
dt)tsec()1)t((sec4 2 −=   −= dt)tsec(4dt)t(sec4
3
)t(tg)tsec(2 = )t(tg)tsec(ln2 ++ c)t(tg)tsec(ln4 ++−
)tsec(
2
x
=
1tttg 22 −= )(sec)(
Logo,
dxx − 4
2
1
4
x
2
x
2
2
−= c1
4
x
2
x
ln2
2
+−+−
dtttgtttg4 )()sec()( = 
1tttg 2 −= )(sec)()tsec(2x =Como,
Síntese:
Tipo I – Integrais que contém expressões irracionais da forma
22 xa −
Faça uma das substituição de variável: 
)(tasenx = )cos(tax =
Tipo II – Integrais que contém expressões irracionais da forma
22 xa +
Faça a substituição de variável: 
)(tatgx =
Tipo III – Integrais que contém expressões irracionais da forma
22 ax −Faça a substituição de variável: 
)tsec(ax =
2
t
2



−
2
t
2



−
2
t
2



−
Área sob o gráfico de uma 
função
Lembre-se de que, quando a função f é contínua e não negativa em [a,b], a
integral definida representa a área sob o gráfico de f de a até b, ou seja,
Exemplo 1
Calcule a área sob o gráfico da função f , 
esboçada a seguir, no intervalo [0,4]. 
=
b
a
dx)x(fA
 +−=
4
0
2 dx)5x4x(A
4
0
23
x5
2
x
4
3
x








+−=
−








+−= 45
2
4
4
3
4
A
23
=








+− 05
2
0
4
3
0 23
3
28
unidades de área (u.a.).
Considere uma função f contínua e não positiva em [a,b].
Deseja-se calcular a área entre o gráfico de f(x) e 
o eixo Ox, de a até b. 
Note que a área entre o gráfico de f(x) e o eixo Ox 
é igual à área sob o gráfico de função –f(x), de a 
até b.
Assim, você pode concluir que a área entre o 
gráfico de f(x) e o eixo Ox, de a até b, é dada 
pela integral:
−=
b
a
dx)x(fA −=
b
a
dx)x(f
 −+−−=4
0
2 dx)5x4x(A
3
28
= u.a. +−=
4
0
2 dx)5x4x(
No exemplo ilustrado, tem-se:
Observe a área sob o gráfico da função – f(x), de 
a até b.
Exemplo 2: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
A1
A2
A3

−
−=
0
1
2
1 dx)x2x(A
0
1
2
3
x
3
x
−








−=








−−
−
−








−= 2
3
2
3
)1(
3
)1(
0
3
0




−
−
−= 1
3
1
3
4
= u.a.
 −−=
2
0
2
2 dx)x2x(A  +−=
2
0
2 dx)x2x(
2
0
2
3
2 x
3
x
A








+
−
=
( )








+
−
−








+
−
= 2
3
2
3
)0(
3
)0(
2
3
2
3
4
= u.a.
 −=
4
2
3 dx)2x(A
4
2
2
x2
2
x








−=








−−








−= 22
2
2
42
2
4 22
2= u.a.
A = A1 + A2 + A3
3
14
2
3
4
3
4
=++= u.a.
Exemplo 3: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
 −=
1
0
1 dx)x24(A  +=
1
0
2
2 dx)1x(A
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela diferença:
A = A1 - A2
−−= 
1
0
dx)x24(A  +
1
0
2 dx)1x(   +−−=
1
0
2 dx)1x()x24(
1
2
0
( 2 3)x x dx = − − + 
Observe que a função f(x) = 4 – 2x é maior que a função g(x) = x2 + 1, 
para todo x  [0,1].
Exemplo 3: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
 +=
1
0
2
1 dx)1x(A
 −−=
1
0
2 dx)2x(A
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela soma:
A = A1+A2
Ou seja,
( )








−−++= 
1
0
1
0
2 dx2xdx)1x(A ( )  −−+=
1
0
2 dx2x)1x(
Observe que a função f(x) = x2 + 1 é maior que a função g(x) = x - 2, para 
todo x  [0,1].
Exemplo 4: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
Considere as áreas:
 −−=
1
0
1 dx)2x(A  −−=
1
0
2
2 dx)1x(A
A área A entre os gráficos da funções pode ser calculada pela diferença:
A = A1 - A2
( ) ( )








−−−








−−= 
1
0
2
1
0
dx1xdx2xA ( ) ( ) 








−−−= 
1
0
2 dx2x1x( ) ( )








−+








−−= 
1
0
2
1
0
dx1xdx2x
Observe que a função f(x) = x2 - 1 é maior que a função g(x) = x - 2, para todo 
x  [0,1].
Propriedade
Sejam f e g duas funções contínuas em [a,b], tais que f(x)  g(x), para todo 
x  [a,b].
A área entre os gráficos das funções f e g, de a até b pode ser calculada pela 
integral:
  −=
b
a
dx)x(g)x(fA
Exemplo 5: Calcule a área sombreada esboçada a seguir.
( )  −−=
2
0
2x dx2x2A ( ) +−=
2
0
2x dx2x2
2
0
3x
x2
3
x
)2ln(
2








+−=








+−−








+−= 02
3
0
)2ln(
2
22
3
2
)2ln(
2 3032
)2ln(
1
4
3
8
)2ln(
4
−+−=
)2ln(3
)2ln(49 +
= u.a.
3
4
)2ln(
3
+=
Integrais Impróprias
Considere a função f(x) esboça a seguir. Motivação:
Pense e responda:
dx
x
1
A
5.2
1
2= 
−=
5.2
1
2dxx
5.2
1
12
12
x








+−
=
+− 5.2
1x
1






−=






+−= 1
5.2
1
u.a. 6.014.0 =+−=
Se você fizer o limite superior da integral crescer ilimitadamente o que
acontece com a área da região sob o gráfico de f?
A área sob o gráfico de f entre 1 e 2,5 é dada por:
dx
x
1
A
5.2
1
2=
Você pode pensar que esta área cresce infinitamente, mas observe com mais 
cuidado.
==  dxx
1
A
t
1
2
t
1
12
12
x








+−
+−
1
t
1
+−=
E quando você faz o valor de t crescer ilimitadamente, -1/t tende a zero.
Assim, 1
t
1
1)t(A →−= Logo, esta área é menor que 1, qualquer 
que seja o valor de t.
Então você pode escrever:
Note que a área A é função de t.
=
+→
)t(Alim
t
=





−=
+→ t
1
1lim
t
=










+→ dxx
1
lim
t
1
2t
1
Portanto, a área da região ilimitada sob o gráfico da função f, à direita de 
x = 1 é igual a 1 u.a.
t
1
1)t(A −=
Se dx)x(f
t
a
 existe para todo número at Definição 1: então defini-se: 
se este limite existe e é finito .
dx)x(f
a

+










= +→ dx)x(flim
t
a
t
Exemplo 1: dxe
1
x

+
−










= 
−
+→
dxelim
t
1
x
t 







−= −
+→
t
1
x
t
elim
( ) ( ) 1t
t
eelim −−
+→
−−−=
( )t1
t
eelim −−
+→
−=
.a.u
e
1
0
e
1
=−=
Se dx)x(f
a
t
 existe para todo número at  então defini-se: 
dx)x(f
a

−










= −→ dx)x(flim
a
t
t
se este limite existe e é finito .
Definição 2:
Exemplo 2:
dx
x
1
1
2
−
−










= 
−
−→
dx
x
1
lim
1
t
2t
1
tt x
1
lim
−
−→





−
=






+=
−→ t
1
1lim
t
1=
As integrais das definições 1 e 2 são conhecidas como integrais
impróprias.
Quando o limite existe e é finito diz-se que a integral é convergente. Caso 
contrário, diz-se que a integral é divergente.
Exemplo 3: dx
x
1
1

+










= +→ dxx
1
lim
t
1
t
  




=
+→
t
1t
xlnlim
( ))1ln()tln(lim
t
−=
+→
)tln(lim
t +→
= +=
Logo, a dx
x
1
1

+
é divergente. Neste caso, a área dessa região é infinita .
Se a função f(x) é não negativa, qualquer uma dessas integrais impróprias 
podem ser interpretadas como uma área.
Definição 3
Se as integrais impróprias dx)x(f
a

+
dx)x(f
a

−
e são convergente, então defini-se:
=
+
−
dx)x(f dx)x(f
a

+
+dx)x(f
a

−
O número a pode ser qualquer real.
Exemplo 4: =
+
+
−
dx
x1
1
2
+
+
−
dx
x1
1
0
2
dx
x1
1
0
2
+
+
=
+
−
dx
x1
1
0
2
=
+−→ dxx1
1
lim
0
t
2t
=
−→
0
tt
)x(arctglim  =−
−→
)t(arctg)0(arctglim
t
2/)2/( =−−
=
+
+
dx
x1
1
0
2
=
++→ dxx1
1
lim
t
0
2t
=
+→
t
0t
)x(arctglim  =−
+→
)0(arctg)t(arctglim
t
2/
 =−
−→
)t(arctglim
t
 ==
+→
)t(arctglim
t
Assim,
=
+
+
−
dx
x1
1
2
+
+
−
dx
x1
1
0
2
dx
x1
1
0
2
+
+
=
Volumes de sólidos
Considere um sólido S que está entre os planos x = a e x = b. Seja,
],x,x[ 10 ],x,x[ 21 ],x,x[ 32 ],x,x[, i1i− ]x,x[, n1n− uma partição do intervalo [a, b].
Observe que o volume Vi da fatia do sólido S, compreendida no intervalo [xi-1, xi],
é aproximadamente igual ao volume desse cilindro. Ou seja,
Seja A(xi) a área da região
de interseção de S com o
plano x = xi .
Se a função A(x) for contínua em [a,b],
você pode concluir que:

=
=
n
1i
iS VV
iii x)c(AV 
E ci um ponto do intervalo
[xi-1 , x].
Considere também o
cilindro de área da base
A(ci) e altura xi = xi - xi-1.

=

n
1i
ii x)c(A
Considere a porção do
sólido S compreendida entre
os planos x = xi-1 e x = xi .

=

n
1i
iiS x)c(AV
Fazendo o máximo dos xi tender a zero, você pode definir :








= 
=
→
n
1i
ii
0x max
S x)c(AlimV
i
Ou seja,
=
b
a
S dx)x(AV
Exemplo 1:
Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região dada a
seguir, em torno do eixo Ox.
Solução:
2y)x(A =Assim, você pode escrever:
( ) 422 xx)x(A ==
Então, =
b
a
S dx)x(AV =
1
0
4dxx
1
0
5
5
x






= .v.u
5
0
5
1 
=





−=
Observe que as interseções do sólido S
com planos perpendiculares ao eixo Ox
formam uma família de círculos de centro
em Ox.
Considere o círculo dessa família que passa
pelo ponto P(x, f(x)).
Esse círculo possui raio igual a y.
Observe que as áreas desses círculos são
função de x.
Como y = x2 , segue que,
Exemplo 2:
Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região
dada a seguir, em torno do eixo Oy.
2x)y(A =Assim, você pode escrever:
y)y(A =
Solução:
Observe que as interseções do sólido S com
planos perpendiculares ao eixo Oy formam
uma família de círculos de centro em Oy.
Considere o círculo dessa família que passa
pelo ponto P(x, f(x)).
Esse círculo possui raio igual a x.
Observe que as áreas desses círculos são
função de y.
Então,
=
b
a
S dy)y(AV  =
4
0
ydy
4
0
2
2
y








= .v.u 80
2
16
=



−=
Como y = x2 , segue que,
Exemplo 4:
Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região dada a
seguir, em tornoda reta s: x = 2.
Solução:
Observe que as interseções do sólido S com
planos perpendiculares ao eixo Oy formam
uma família de círculos de centro na reta s.
Considere o círculo dessa família que passa
pelo ponto P(x, f(x)).
Esse círculo possui raio igual a 2 - x.
Observe que as áreas desses círculos são
função de y.
( )2x2)y(A −=Assim, você pode escrever:
( )2y2)y(A −= ( )yy44 +−=
Então, =
b
a
S dy)y(AV
( ) +−=
4
0
2/144 dyyyVS
4
0
22/3
2
y
2/3
y4
y4 





+−= .v.u
3
8
2
4
2/3
44
44
22/3 
=





+

−=
Como , segue que,yxxy 2 ==
Síntese
Eixo de revolução Ox ou 
paralelo a Ox.
Eixo de revolução Oy ou 
paralelo a Oy.
Seções 
planas 
paralelas
=
b
a
S dx)x(AV =
b
a
S dyyAV )(
Áreas dos círculos são 
funções de x.
Fórmula:
Áreas dos círculos são 
funções de y.
Fórmula:
Funções de mais de uma variável
, onde r é o raio e h é a altura do cilindro
Motivação:
1. Lembre-se de que o volume de um cilindro circular é
dado pela fórmula:
hrV 2cilindro =
Desse modo, o volume do cilindro é função do raio e da altura do
mesmo, ou seja,
hr)h,r(fV 2cilindro ==
Logo, o volume do cilindro é função de duas variáveis.
2. O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pela fórmula:
cbaV =
, onde a, b e c são os comprimentos de três arestas não
coplanares.
Assim, o volume do paralelepípedo é função de três
variáveis.
)c,b,a(fcbaV ==
Em geral, os resultados que se estabelecem para funções de duas
variáveis, podem ser estendidos para funções de mais de duas variáveis .
Assim, estudaremos funções de duas variáveis, e consideraremos funções
de mais de duas variáveis, quando desejarmos focalizar uma propriedade
ou resultado especial.
Definição 1
Seja D um subconjunto de R2.Uma relação f que a cada par (x,y)  D
associa um único elemento z  R é denomina-se “função de duas
variáveis” .
Notação: RD:f →
( )y,xfz =
Exemplo 1:
RR:f 2 →
( )
9
y
4
x
y,xfz
22
+==
Exemplo 2:
( )  R0yx4;Ry,x:g 222 →−−
( ) 22 yx4y,xgz −−−==
( ) 514
9
3
4
4
3,4fz
22
=+=+== ( ) 00240,2gz 22 =−−−==
O subconjunto de D de R2 é denominado domínio da função f
As variáveis x e y são denominadas “independentes” e z variável
“dependente”.
O conjunto dos valores z  R para os quais existem (x,y)  D, tal que
( )y,xfz = é chamado “imagem” da função f.
RD:f →
( )y,xfz =
Considere f uma função de duas variáveis.
E o subconjunto de R3 ( ) )y,x(fz;Rz,y,x 3 = é denominado gráfico de f.
Notação: ( ) )y,x(fz;Rz,y,x)f(graf 3 ==
Notação:   D(f)y)(x, algum para ),y,x(fz;Rz)fIm( ==
Observe que o gráfico de f é uma superfície.
Exemplo 1:
RR:f 2 →
( )
9
y
4
x
y,xfz
22
+==
Observe que o domínio de f é R2 , ou seja,
2R)f(D =
Observe também que ( ) 0
9
y
4
x
y,xfz
22
+==
Assim, +=R)fIm(
E o gráfico de f é dado por:
( )








+==
9
y
4
x
z;Rz,y,x)f(graf
22
3
x
y
z
Assim, graf(f) é um parabolóide elíptico.
Exemplo 2:
( )  R0yx4;Ry,x:g 222 →−− ( ) 22 yx4y,xgz −−−==
Observe que o domínio de f é
( ) 0yx4;Ry,x)g(D 222 −−=
Observe que a equação 4yx0yx4 2222 =+=−−
Esta equação representa uma circunferência de centro na origem e raio 2,
que divide o plano em duas regiões: uma interna e a outra externa à
circunferência.
Volte a observar a desigualdade
2222 404 yxyx +−−
Logo, o domínio da função f é a região interna
a circunferência.
  D(f)y)(x, algum para ),y,x(fz;Rz)fIm( ==
Para determinar a imagem de f, comece
lembrando que:
( ) 224, yxyxgz −−−==
Assim,  0,2)fIm( −=
( )224 yx +−−=
0
 0,2)fIm( −=
E o gráfico de f é dado por:
( ) 223 yx4z;Rz,y,x)f(graf −−−==
Observe então que:
2
222 yx4z 



 −−−=
4yxz 222 =++
Assim, o graf(g) é a superfície da
semiesfera esboçada a seguir:
x
y
z
( )  R0yx4;Ry,x:g 222 →−− ( ) 22 yx4y,xgz −−−==
( ) 0yx4;Ry,x)g(D 222 −−=
A equação anterior representa uma
superfície esférica de centro na origem e
raio r = 2.
Exemplo 3:
Determine o domínio, a imagem e o gráfico das funções dadas a seguir:
( ) yxy,xgz )a +==
O domínio é o conjunto dos pares (x,y) para os quais z pertence a R.
Assim, ( ) 0yx;Ry,x)g(D 2 +=
Observe que a equação xy0yx −==+
Esta equação representa uma reta r e toda reta divide o plano em duas
regiões chamadas semiplanos.
xy0yx −+
Volte a observar a desigualdade
Logo, o domínio da função g é a região
ilustrada ao lado.
  D(f)y)(x, algum para ),y,x(fz;Rz)fIm( ==
Para determinar a imagem de g, comece
lembrando que:
( ) yxy,xgz +== 0
Daí, +=R)gIm(
Derivadas parciais
Na Física, a lei dos gases afirma que sob condições apropriadas, a
pressão exercida por um gás é uma função do volume e da temperatura
do mesmo.
Assim, a pressão exercida por um gás é função de duas variáveis:
temperatura e volume, ou seja,
Então, as seguintes indagações podem ser feitas:
1. Qual a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando a
temperatura é mantida constante e o volume varia?
2. Qual a taxa de variação da pressão em relação a temperatura
quando o volume é mantido constante e a temperatura varia?
A aula de hoje tem com objetivo estudar ferramentas matemáticas que
fornecem respostas às perguntas do tipo dadas acima.
Isto é, se f é uma função de duas variáveis, z = f(x,y), como determinar:
 A taxa de variação de f em relação a x, quando x varia e y é mantido
constante.
 A taxa de variação de f em relação a y, quando y varia e x é mantido
constante.
),( VTfP =
Definição 1
Seja z = f(x,y). A derivada parcial da função f em relação a x é a derivada
da função que se obtém quando se varia x e se mantém o y constante.
Notação:
x
f


xf ,
x
z
 , 


Exemplos:
Determine a derivada parcial em relação a x, das funções dadas a seguir :
)xcos(yyxz )a 22 −=
Solução: ( ))x(senyxy2
x
z
 2 −−=


9
y
4
x
z )b
22
−=
Solução:
2
x
x2
4
1
x
z
 ==


)x(senyxy2 2+=
Definição 2
Seja z = f(x,y). A derivada parcial da função f em relação a y é a derivada
da função que se obtém quando se varia y e se mantém o x constante.
Notação:
y
f


yf ,
y
z
 , 


Exemplos:
Determine a derivada parcial em relação a y, das funções dadas a seguir :
)xcos(yyxz )a 22 −=
Solução: )xcos(y2x
y
z
 2 −=


9
y
4
x
z )b
22
−=
Solução:
9
y2
y2
9
1
y
z
 −=−=


De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão P é função da
temperatura T e do volume V e esta função é definida por:
( ) ,
V
kT
VTP =, onde k é uma constante de proporcionalidade.
Suponha que V é medido em polegadas cúbicas, T é medido em Kelvins
e que para um certo gás a constante de proporcionalidade k =10 pol.lb/K.
Taxas de variação.
a) Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação à
temperatura se a temperatura for 80 K e o volume permanece constante e
fixo igual a 50 pol3.
Solução:
=


T
P
=


)pol 50 ,K80(
T
P 3
V
k
3pol50
K/lbpol10 
K
pol/lb
5
1 2
=
Logo, a pressão aumenta de 1lb/pol2 a cada aumento de 5K na
temperatura.
b) Determine a taxa de variação instantânea da pressão em relação ao
volume se o volume for 50 pol3 e a temperatura permanece constante e fixa
em 80 K.
( )
VV 

=

 1-kTVP
2
2-
V
kT
kTV
V
P −
=−=



( )=

 3pol 50 K, 80
V
P ( )
( )23pol50
K80K/lbpol10 −
5pol
lb
25
8
V
P −
=


3
2
pol
pol/lb 32,0−
=
Logo, a pressão diminui de 0,32lb/pol2 a cada aumento de 1 pol3 no
volume.
Solução: ( )
V
kT
VTP =,
Derivadas parciais sucessivas
Considere a função z = f(x,y) diferenciável em x e y.
Se e são funções diferenciáveis em x e y então existem 
x
z


y
z


as derivadas parciais dessas funções, que são chamadas derivadas
parciais de segunda ordem.
=









x
z
x 2
2
x
z


=









y
z
y 2
2
y
z


=









y
z
x yx
z2


=









x
z
y xy
z2


Exemplos
1. Mostre que a função dadaa seguir satisfaz a equação de Laplace
0
y
z
x
z
2
2
2
2
=


+


)xcos(e)y(sene)y,x(fz yx +==
)x(sene)y(sene
x
z yx −=


Solução:
)xcos(e)y(sene
x
z yx
2
2
−=


)xcos(e)ycos(e
y
z yx +=


)xcos(e)y(sene
y
z yx
2
2
+−=


Então, 0
y
z
x
z
2
2
2
2
=


+


2. Mostre que a função dada a seguir satisfaz a equação do calor :
constante) 0,(c 
x
z
c
t
z
2
2
2 


=


)c/x(sene)t,x(fz t−==
)c/x(sene)c/x(sen)1(e
t
z tt −− −=−=


Solução:
)c/xcos(
c
e
c
1
)c/xcos(e
x
z tt ==

 −−
( ) )c/x(sen
c
e
c
1
)c/x(sen
c
e
x
z
2
tt
2
2
−=−=

 −−
=


 
x
z
c
2
2
2








−
−
)c/x(sen
c
e
c
2
t
2
)c/x(sene t −= −
Logo, 
x
z
c
t
z
2
2
2


=


Então, 
Vetor Gradiente
Considere a função z = f(x,y) e (x0,y0) um ponto do domínio de f.
( ) ( )









0000 y,x
y
f
 , y,x
x
f
Se existirem as derivadas parciais de f no ponto (x0,y0), você pode construir
, que é denominado vetor gradiente de f
no ponto (x0,y0).
Notação: ( )00 y,xf grad ( )00 y,xf
Exemplo:
Em cada item dado a seguir, determine o vetor gradiente da função f no
ponto indicado.
)x(ysen)ycos(x)y,x(f )a += )2/,0(P =
)xcos(y)ycos()y,x(
x
f
 +=


( ) 2/)0cos(2/)2/cos(2/,0
x
f
 =+=



)x(sen)y(xsen)y,x(
y
f
 +−=


0)0(sen)2/(sen0)2/,0(
y
f
 =+−=



Daí, ( ) ( )0,2/2/,0f grad =
“nabla”
o vetor:
Derivada direcional
Considere z = f(x,y) uma função diferenciável no ponto (x0,y0),
P(x0,y0,f(x0,y0)) um ponto do gráfico de f e um vetor unitário.( )b,au =

Seja  o plano vertical, que passa pelo ponto P e tem a direção do vetor .u

O plano  intercepta o gráfico de f segundo a curva C.
Considere um ponto Q(x,y,z) sobre a curva C.
Deseja-se determinar a taxa de variação de z, quando se faz o ponto P
desloca-se até o ponto Q, sobre a curva C. Ou seja, na direção de .u

Considere P’(x0,y0,0) e Q’ =(x,y,0) as projeções dos ponto P e Q sobre o
plano XOY, respectivamente.
Considere .'Q'Ph =
Assim, a taxa de variação média de
z, quando se faz o ponto P desloca-
se até o ponto Q, sobre a curva C, é
igual a:
h
)y,x(f)y,x(f
h
z 00−=

x
y
z
Q’
P’
C
u
z
h
Q
P
h
)y,x(f)y,x(f
h
z 00−=
Taxa de variação média,
Fazendo h → 0, obtém-se a taxa de
variação instantânea de z, no ponto (x0,y0),
na direção de , ou seja,u

0
lim
h
dz z
dh h→
 
=  
 
Se esse limite existe e é finito.
dh
dzA taxa é chamada derivada direcional de f em (x0,y0), na direção de .u

Notação: )y,x(
dh
df
)y,x(fD 0000u =
x
y
z
Q’
P’
C
u
z
h
Q
P
Mostra-se que:
)y,x(
dh
df
)y,x(fD 0000u = u)y,x(f grad 00

=
( ) uy,xf grad)y,x(fD 0000u

=
( )0,2/)2/,0(f grad =
Exemplos
Em cada item dado a seguir, determine a derivada direcional nos
pontos e direções especificados.
)x(ysen)ycos(x)y,x(f )a +=
)2/,0(P = )5,2(v =

Lembre-se de que o vetor utilizado na fórmula é unitário, assim você
deve começar calculando o versor do vetor v .
u

)5,2(
52
1
v
22
0 
+
=







=
29
5
,
29
2
v0

Daí, ( ) 





=
29
5
,
29
2
0,2/)2/,0(fDv
29
0
29

=+

=
)0,1(v =

xy3x)y,x(f )b 3 −= )1,2(P −=
y3x3)y,x(
x
f
 2 −=


( ) ( ) 1513231,2
x
f
 2 =−−=−



x3)y,x(
y
f
 −=


623)1,2(
y
f
 −=−=−



Daí, ( ) ( )6,151,2f grad −=−
xy3x)y,x(f )b 3 −= )1,2(P −=
Então,
( ) ( ) 150,16,15)1,2(fDv =−=− )1,2(x
f
 −


=
Note que a derivada direcional de uma função z = f(x,y), nas direções
dos vetores (1,0) e (0,1), coincidem com as derivadas parciais da função
f, ou seja,
)y,x(
x
f
00


=
)0,1(v =

( ) ( )6,151,2f grad −=−
( ) ( ) ( )0,1y,xf grad)y,x(fD 00000,1 = ( ) ( ) ( )0,1y,x
y
f
 , y,x
x
f
0000 









=
( ) ( ) ( )1,0y,xf grad)y,x(fD 00001,0 = ( ) ( ) ( )1,0y,xy
f
 , y,x
x
f
0000 









= )y,x(
y
f
00


=
Seja f uma função de duas variáveis, contínua não negativa numa região R do
plano xOy.








= 
=
→
n
1i
iii
0Amax
A)y,x(flimV
i
, onde (xi, yi)  R
Então o volume do sólido compreendido entre a superfície z = f(x,y) e a região
R é definido por:
Definição 1
Seja f uma função de duas variáveis definida na região R. Chama-se integral 
dupla de f(x,y) em R o limite:
, se esse limite existe e é finito.
Notação:
Definição 2









=
→
n
1i
iii
0Amax
A)y,x(flim
i

R
dA)y,x(f








= 
=
→
n
1i
iii
0Amax
A)y,x(flim
i
Observe que se a função f for contínua não negativa na região R, então:
=
R
dA)y,x(fV
Propriedades
Sejam f(x,y) e g(x,y) funções integráveis na região R e k um número 
real, então:
 =
R
dA)y,x(kf )a 
R
dA)y,x(f k
  =
R
dAyxgyxfb ),(),()  
RR
dAyxgdAyxf ),(),( 
c) Se f(x,y)  g(x,y) para todo (x,y)  R, então  
RR
dA)y,x(gdA)y,x(f
d) Se f(x,y)  0 para todo (x,y)  R, então 0dA)y,x(f
R

e) Se a região R é decomposta em duas regiões R1 e R2, que não
possuem pontos em comum exceto possivelmente os pontos de suas
fronteiras, então
 +=
21 RRR
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f 
R
R2
R1
x
y
z
1o Caso:
A região R é do tipo





)x(gy)x(g
bxa
:R 
21
com g1 e g2 contínuas em [a,b].
Nesse caso, a integral dupla é calculada por meio da seguinte integral:
dxdy)y,x(fy)dAf(x, 
b
a
)x(g
)x(gR
2
1
 










=
Integral iterada
Cálculo das integrais duplas
Calcule a integral 
R
dA)xy(
, onde R é a região limitada pelas curvas: xy = 0y e =
Solução:
Comece esboçando a região R.
Então você pode descrever R como:





xy0
4x1
:R 
1x , = 4x , =
Daí,

R
dA)xy( dxdy)xy(
4
1
x
0
 










= dx 
2
xy
4
1
x
0
2



















=
( )
dx0
2
xx
4
1
2
 






−








= dxx
2
1
4
1
2
=
4
1
3
3
x
2
1








=
2
21
6
63
3
1
3
64
2
1
==





−=
Exemplo
2o Caso:
A região R é do tipo
com g1 e g2 contínuas em [c,d].
Nesse caso, a integral dupla é calculada por meio da seguinte integral:





dyc
)y(gx)y(g
:R 
21
dydx)y,x(fy)dAf(x, 
d
c
)y(g
)y(gR
2
1
 










=
Integral iterada
Calcule a integral 
R
xdA
, onde R é a região limitada pelas curvas: y3x −= 3y e =
Solução: Comece esboçando a região R.
Você pode descrever R como:
1yx , += 0y , =




+−
3y0
1yx3y
:R 
Daí,

R
dA)x( dydx)x(
3
0
1y
y3
 










=
+
−
dy 
2
x
3
0
1y
3y
2



















=
+
−
dy
2
y3
2
1y2y
3
0
2
 











−







 ++
=  dyy31y2y
2
1
3
0
2
 −++=  dy1yy2
1
3
0
2
 +−=


















+−=
3
0
23
y
2
y
3
y
2
1
4
15
6
45
2
1
6
182754
2
1
3
2
9
3
27
2
1
==




 +−
=





+−=
Exemplo :
Exemplo: Calcule a massa da chapa plana esboçada a seguir, onde a
densidade da mesma é dada por: x)y,x( =




−

243
10
xyx
x
:R
dydxxm
x
x

−
=
24
3
1
0
( ) ( ) dxxxxx  −−=
1
0
2 34
  dxxy xx
24
3
1
0
−
= 
 dxxxx  −−=
1
0
23 34
1
0
342
3
3
42
4
 








−−=
xxx
.m.u
4
3
4
1
1 =−=
Solução: =
R
dA)y,x(m