lema de zorn 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
FACULDADE DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS E EXATAS
CAMPUS AVANÇADO DO MUCURI
CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
GABRIELA ALMEIDA PEREIRA
LEMA DE ZORN
TEÓFILO OTONI
2010
GABRIELA ALMEIDA PEREIRA
LEMA DE ZORN
Trabalho apresentado na disciplina Álgebra II, 
 Ministrado pelo Prof. Fabio Souza, como
 forma de aproveitamento avaliativo no ano 
 letivo de 2010.
TEÓFILO OTONI
2010
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................4
Max August Zorn ....................................................................5
Lema de Zorn .....................................................................6
Considerações Finais........................................................9
Referências Bibliográficas.....................................................10
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa, ministrado pelo professor Fabio Souza na disciplina de Álgebra II, tem como objetivo complementar o conhecimento relatando-o sobre Max August Zorn e o seu conhecido lema de zorn, uma ferramenta muito usada em vários teoremas. E através desse lema podemos relacioná-los com o lema da escolha e o teorema de Zermelo.
1. Max August Zorn
O lema de Zorn, conhecido como Kuratowski-Zorn, é uma proposição da teoria de conjuntos, de 1935, é um princípio de maximalidade em conjuntos parcialmente ordenados e, algo interessante, que o lema de Zorn é equivalente ao axioma de eleição, no aspecto de que qualquer deles, junto com os axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para provar os outros. É explicito nas demonstrações de vários teoremas importantes, tais como o teorema de Hahn-Banach em análise funcional, o teorema de que todo espaço vetorial tem uma base, o teorema de Tychonoff em topología, e os teoremas em álgebra abstrata que afirmam que todo o anel com elemento unitario tem um ideal maximal e que todo o campo tem clausula algebrica.
É suma importância falar um pouco sobre sua biografia, pois afinal estamos enunciando o seu lema, embora teve muita importância para a matemática, bem : Max August Zorn, nasceu em 6 de junho de 1906, onde se tornou um matemático alemão nacionalizado dedicou-se nos campos do álgebra abstrata, teoria de grupos e análise numérico.ficou conhecido pelo lema de Zorn, que se tornou uma ferramenta poderosa de teoria de conjuntos, que se pode aplicar a um amplo leque de artefatos matematicos como espaços vetoriais, conjuntos ordenados, estudou na Universidade de Hamburgo, posteriormente foi professor da Universidade Indiana e seu PHD foi direcionado a algebra alternativa.
É interessante observar que o Lema de Zorn está presente em varias demostrações e está sendo muito útil em apresentações tecnicas na matemática.
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1.2 Lema de Zorn
Antes de dar a demonstração formal do Lema de Zorn é necessário rever algumas definições para obter melhor compreensão. Dirigindo-se para as definições a seguir temos:
Seja um conjunto T e x, y e z elementos dele, onde satisfazem as seguintes propriedades: reflexiva (x ≤ x), transitiva (se x≤y e x≤z, então z≤z) e anti-simetrica (x≤y e u≤x então x=y) então há uma relação de ordem parcial a qual denominamos um conjunto parcialmente ordenado. E dado uma seqüência ai num conjunto parcialmente ordenado T, tal que a1≤ a2≤ a3, então esse conjunto T é uma cadeia ascendente e ainda sendo a elemento de T é chamado de maximal se sempre que a1≤ a2 então a1= a2, para qualquer a2 em T e a partir dessa definição anterior considere um subconjunto B de um conjunto ordenado T, se a elemento de T é chamado um limitante superior de B se b ≤ a para todo b pertencente a B. Sendo assim, podemos nos abstrair dos casos particulares e tratar de uma estrutura algébrica geral, neste caso, chamado Lema de Zorn, a qual se obtém o seguinte enunciado: Se T é um conjunto parcialmente ordenado no qual toda cadeia ascendente tem um limitante superior, então T possui um elemento maximal.
Para fins de notação, escreveremos x < y para dizer que x _ y e x 6= y. Dado um conjunto totalmente ordenado X, definimos a secção de a em X como Sa = {x 2 X; x < a}. Note que todo elemento x 2 X em um conjunto bem ordenado tem um sucessor imediato, ou seja, existe x1 2 X tal que {y 2 X; x < y < x1} = ;, desta forma, um conjunto do tipo {y 2 X; y _ x} sempre pode ser escrito como {y 2 X; y < x1}. Dizemos que um conjunto X e bem ordenado se todo subconjunto 
A tem um menor elemento com a ordem parcial induzida. Em particular, se um conjunto for bem ordenado, então seria totalmente ordenado, pois {x, y} tem menor elemento quaisquer que sejam x, y. A afirmação abaixo, como veremos, é equivalente ao Axioma da Escolha, no entanto, historicamente, foi demonstrado a partir dele, por isso leva o nome de Teorema de Zermelo.
Para melhor compreensão será usado um exemplo de uma demonstração usando o lema citado retirado do wikipedia, enciclopédia livre no site www.google.com.br: Como um exemplo simples de uma aplicação do Lema de Zorn, vamos provar que todo espaço vetorial possui uma base. Para isto, basta mostrar que todo espaço vetorial contém um conjunto de vetores linearmente independentes (basta tomar um conjunto unitário de um vetor não nulo), e que todo conjunto linearmente independente é um subconjunto de uma base.
Esta segunda parte será provada pelo Lema de Zorn. Seja L um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. O trabalho é:Construir um conjunto e definir uma relação de ordem parcial. Como desejamos aumentar um conjunto linearmente independente, torna-se natural definir : Sendo X um conjunto de conjuntos, a ordem parcial natural em X é a relação X não é vazio, porque todo subconjunto totalmente ordenado de X tem uma quota superior. Em detalhes, isso é feito assim: seja totalmente ordenado pela relação obviamente, satisfaz Como L é um subconjunto de todo elemento de X, então L é um subconjunto de todo elemento de T. Logo, A prova de que Q é linearmente independente é simples mas trabalhosa: 
Seja uma combinação linear de elementos distintos de Q. Como Q é uma união de conjuntos, temos que . Como T é totalmente ordenado, dentre os existe um deles Qmax que é superconjunto de todos os outros. Então temos que , portanto é uma combinação linear de vetores de como, por construção, é um conjunto linearmente independente, temos que como Q é linearmente independente e é um superconjunto de L, . Como Q é a união dos elementos de T, . Logo Q é uma quota superior de T 
Agora aplica-se o Lema de Zorn ao conjunto X. Seja B um elemento maximal. Devemos provar que B é uma base: B é linearmente independente Devemos provar que B gera V :
 Seja . Como B é maximal, o superconjunto próprio de B definido por é linearmente dependente. Ou seja, existe uma combinação linear em que nem todos coeficientes são zero. , caso contrário B não seria linearmente independente. Portanto, temos que . Ou seja, B gera V. 
A conclusão: todo conjunto linearmente independente de V é subconjunto de uma base de V. 
Considerações finais:
Através desse trabalho realizado conseguimos alem de adquirir conhecimento da pessoa de Zorn, sobre um pouco de sua historia na Matemática e aplicações, apesar das dificuldades aprendemos como fazer um trabalho cientifico.
Foi um trabalho que nos permitiu a conhecer como trabalhar com trabalhos e científicos e nos oferecer conhecimento do referido Lema de Zorn.REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:
WIKIPÉDIA, A ENCICLOPÉDIA LIVRE. Lema de Zorn. Disponénel em 
< http//www.google.com.br>acesso em 08/10/2010.
BIBLIOTECA DIGITAL UNICAMP. Lema de Zorn. Disponénel em 
< ,http//www.liddigi.unicamp.com.br>acesso em 08/10/2010.