3) Considere a função 2ℜ∈+= )y,x(,ycosxsen)y,x(f . a) Usando o Lema Fundamental, mostre que f é diferenciável em todo ℜ2. b) Calcule xyf e yxf ....

a) Para mostrar que a função f é diferenciável em todo ℜ2, precisamos verificar se ela é contínua e se suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo ponto (x,y) de ℜ2. Começando pela continuidade, observe que a função sen(y) e cos(x) são funções contínuas em todo ℜ. Portanto, o produto ycos(x)sen(y) também é contínuo em todo ℜ2. Agora, para verificar a existência e continuidade das derivadas parciais, vamos calcular cada uma delas separadamente: fx(x,y) = ysen(x)cos(y) fy(x,y) = xcos(x)cos(y) Observe que ambas as funções são contínuas em todo ℜ2. Portanto, a função f é diferenciável em todo ℜ2. b) Para calcular xyf, vamos usar a regra da cadeia: xyf = x(fy)y + y(fx)x xyf = x(xcos(x)cos(y))y + y(ysen(x)cos(y))x xyf = x²cos(x)cos(y) + y²sen(x)cos(y) Para calcular yxf, basta trocar as posições de x e y na fórmula acima: yxf = y(fx)y + x(fy)x yxf = y(ysen(x)cos(y))y + x(xcos(x)cos(y))x yxf = x²cos(x)cos(y) + y²sen(x)cos(y) Portanto, temos: xyf = x²cos(x)cos(y) + y²sen(x)cos(y) yxf = x²cos(x)cos(y) + y²sen(x)cos(y)