3) Considere a função 232 )y,x(,xycosxysen)y,x(f ℜ∈+= . a) Usando o Lema Fundamental, mostre que f é diferenciável em todo ℜ2. b) Calcule xyf ...

a) Para mostrar que a função f é diferenciável em todo ℜ2, precisamos verificar se as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo ponto (x,y) de ℜ2. Começando com a derivada parcial em relação a x, temos: ∂f/∂x = 2xycos(x+y) - y²cos(x-y) Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y: ∂f/∂y = x²cos(x+y) + 2xysen(x-y) Para mostrar que f é diferenciável em todo ℜ2, precisamos verificar se essas derivadas parciais existem e são contínuas em todo ponto (x,y) de ℜ2. Podemos verificar que ambas as derivadas parciais existem em todo ponto (x,y) de ℜ2, pois as funções seno e cosseno são contínuas em todo ℜ. Para verificar a continuidade das derivadas parciais, podemos calcular as derivadas parciais das derivadas parciais. Começando com a derivada parcial de ∂f/∂x em relação a y, temos: ∂²f/∂y∂x = 2ycos(x+y) - y²sen(x-y) Agora, vamos calcular a derivada parcial de ∂f/∂y em relação a x: ∂²f/∂x∂y = 2ycos(x+y) - y²sen(x-y) Podemos ver que as derivadas parciais de segunda ordem são iguais, o que implica que as derivadas parciais são contínuas em todo ponto (x,y) de ℜ2. Portanto, podemos concluir que f é diferenciável em todo ℜ2. b) Para calcular xyf, basta substituir x e y na função f: xyf = xy(x²+y²)cos(x+y)sen(x-y) Para calcular yxf, também basta substituir x e y na função f: yxf = yx(x²+y²)cos(x+y)sen(x-y) Note que yxf = xyf, pois a função f é simétrica em relação a x e y. Portanto, temos: xyf = yxf = xy(x²+y²)cos(x+y)sen(x-y)