Apostila Geodesia e Topografia UFSM 2011

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UFSM | Notas de Aula – Geodésia e Topografia – Prof. Jaime Freiberger; Prof. Carlito V de Moraes; Prof. Eno D Saatkamp – março/2011. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS RURAIS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL 
SETOR DE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEODÉSIA E TOPOGRAFIA 
 
 
EGR1008 – Topografia e Elementos de Geodésia 
EGR1026 – Topografia e Noções de Geodésia 
 
 
 
Fundamentos de Geodésia e Topografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTA MARIA-RS, 2011. 
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SUMÁRIO 
 
1. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA .................................................................................................................................... 5 
1.1 Aspectos históricos da Geodésia: definição, objetivos e importância............................................................................ 5 
1.2 Superfícies de referência em Geodésia ........................................................................................................................ 6 
1.2.1 Modelo esférico ..................................................................................................................................................... 7 
1.2.2 Modelo elipsoidal .................................................................................................................................................. 7 
1.2.3 Modelo geoidal ...................................................................................................................................................... 7 
1.2.4 Modelo plano ......................................................................................................................................................... 7 
1.3 Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal .......................................................................................................... 8 
1.4 Sistemas de referência em Geodésia ............................................................................................................................ 9 
1.5 Geometria do elipsóide de revolução. ........................................................................................................................... 9 
1.5.1 Elipse geradora ..................................................................................................................................................... 9 
1.5.2 Elipsóide GRS80 ................................................................................................................................................. 12 
1.5.3 Latitude geocêntrica e latitude reduzida .............................................................................................................. 12 
1.5.4 Raios de curvatura e seções normais ................................................................................................................. 12 
1.5.4.1 Raio de curvatura da seção meridiana .................................................................................................. 13 
1.5.4.2 Raio de curvatura da seção transversal meridiana ............................................................................... 13 
1.5.4.3 Raio de curvatura de seção α................................................................................................................ 14 
1.5.4.4 Outros raios de curvatura ...................................................................................................................... 15 
1.5.4.5 Seções normais recíprocas ................................................................................................................... 15 
1.6 Sistemas de Coordenadas .......................................................................................................................................... 16 
1.6.1 Sistema de coordenadas cartesianas ................................................................................................................. 16 
1.6.2 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico ......................................................................................... 18 
1.6.3 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsoidal ....................................................................................... 19 
1.6.4 Transformação de coordenadas geodésicas ...................................................................................................... 21 
1.6.5 Transporte de coordenadas no elipsóide. ........................................................................................................... 23 
1.6.5.1 Problema Geodésico Direto (PGD) ....................................................................................................... 23 
1.6.5.2 Problema Geodésia Inverso (PGI)......................................................................................................... 26 
2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA ........................................................................................................... 29 
2.1 Definição de Topografia ............................................................................................................................................... 29 
2.2 Medição de alinhamentos ............................................................................................................................................ 30 
2.3 Medição de distâncias ................................................................................................................................................. 33 
2.3.1 Processos Diretos ............................................................................................................................................... 33 
2.3.2 Processos Indiretos ............................................................................................................................................. 36 
2.3.2.1 Estadimetria ........................................................................................................................................... 36 
2.3.2.2 Medição eletrônica de distâncias (MED) ............................................................................................... 39 
3. GONIOLOGIA................................................................................................................................................................. 40 
3.1 Medição de ângulos horizontais e verticais ................................................................................................................. 40 
3.2 Instrumentação ............................................................................................................................................................ 42 
3.3 Conceitos de azimute, contra-azimute e rumo ............................................................................................................ 42 
3.4 Operações com rumo e azimute .................................................................................................................................. 46 
3.4.1 Cálculo do azimute como função das coordenadas cartesianas dos vértices do alinhamento ........................... 46 
3.4.1.1 Cálculo do azimute como função do rumo ............................................................................................ 46 
3.4.1.2 Cálculo do azimute pela fórmula de Grafarend ..................................................................................... 48 
3.4.2 Transporte de azimute no plano ..........................................................................................................................49 
3.5 Medição de direções horizontais e verticais ................................................................................................................ 52 
3.5.1 Medição de direções horizontais: cálculo de ângulos horizontais horários ......................................................... 52 
3.5.2 Medição de ângulos verticais .............................................................................................................................. 53 
4. PLANIMETRIA ................................................................................................................................................................ 56 
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4.1 Métodos de levantamento topográfico planimétrico .................................................................................................... 56 
4.1.1 Método das coordenadas polares ....................................................................................................................... 56 
4.1.2 Método das coordenadas bipolares .................................................................................................................... 57 
4.1.3 Método da poligonação ....................................................................................................................................... 59 
4.1.3.1 Linhas poligonais abertas ...................................................................................................................... 59 
4.1.3.2 Linhas poligonais fechadas ................................................................................................................... 61 
4.2 Medida de superfície no plano topográfico .................................................................................................................. 63 
4.2.1 Área de triângulos ............................................................................................................................................... 63 
4.2.2 Área de polígonos por coordenadas polares ...................................................................................................... 64 
4.2.3 Processo das coordenadas (fórmula dos trapézios segundo Gauss) ................................................................. 67 
4.3 Cálculo de cadernetas topográficas ............................................................................................................................ 69 
4.3.1 Cálculo em linha poligonal aberta ....................................................................................................................... 70 
4.3.2 Cálculo em linha poligonal fechada (polígono) ................................................................................................... 70 
4.3.3 Desenho técnico topográfico ............................................................................................................................... 70 
5. ALTIMETRIA .................................................................................................................................................................. 74 
5.1 Levantamento Topográfico Altimétrico ........................................................................................................................ 75 
5.2 Métodos de nivelamento .............................................................................................................................................. 75 
5.2.1 Nivelamento Geométrico ..................................................................................................................................... 76 
5.2.1.1 Nivelamento geométrico simples ........................................................................................................... 76 
5.2.1.2 Nivelamento geométrico composto ....................................................................................................... 78 
5.2.1.3 Nivelamento de vértices de poligonais .................................................................................................. 79 
5.2.2 Nivelamento Trigonométrico ............................................................................................................................... 81 
5.2.2.1 Influência da curvatura terrestre ............................................................................................................ 84 
5.2.2.2 Influência da refração atmosférica ......................................................................................................... 85 
5.2.2.3 Influência da curvatura terrestre e da refração atmosférica .................................................................. 85 
5.3 Noções de Topologia ................................................................................................................................................... 87 
5.3.1 Traçado de curvas de nível: método numérico ................................................................................................... 88 
5.4 Terraplenagem ............................................................................................................................................................ 90 
6. DIVISÃO DE ÁREAS E LOCAÇÃO ................................................................................................................................ 90 
7. INTRODUÇÃO AO NAVSTAR-GPS............................................................................................................................... 92 
7.1 Posicionamento ........................................................................................................................................................... 92 
7.1.1 Contextualização e conceito ............................................................................................................................... 92 
7.1.2 Referencial e sistemas de coordenadas ............................................................................................................. 92 
7.1.3 Introdução ao sistema de projeção cartográfica UTM ......................................................................................... 95 
7.1.4 Sistemas de referência do Sistema Geodésico Brasileiro e do GPS .................................................................. 97 
7.2 Sistema de Posicionamento Global por Satélites ........................................................................................................ 97 
7.2.1 Introdução ........................................................................................................................................................... 97 
7.2.2 Principio básico do posicionamento por GPS ..................................................................................................... 98 
7.2.3 Fontes de erro no posicionamento por GPS ..................................................................................................... 100 
7.2.4 Características técnicas principais do NAVSTAR-GPS .................................................................................... 101 
7.2.5 Tipos de receptores GPS, métodos e técnicas de posicionamento .................................................................. 103 
7.2.6 Outros sistemas de posicionamento por satélites ............................................................................................. 105 
Cadernetas de Campo ....................................................................................................................................................... 107 
 
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 Sumário das práticas de campoPrática de campo 1: medição de distâncias com trena e baliza ............................................................................... 35 
Prática de campo 2: medição de distâncias por taqueometria ................................................................................. 38 
Prática de campo 3: determinação de azimutes ....................................................................................................... 44 
Prática de campo 4: determinação de ângulos horizontais horários......................................................................... 54 
Prática de campo 5: determinação de ângulos zenitais ............................................................................................ 55 
Prática de campo 6: determinação de distâncias por interseção à vante ................................................................. 57 
Prática de campo 7: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com teodolito e trena ........................ 58 
Prática de campo 8: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com teodolito e mira ......................... 58 
Prática de campo 9: levantamento planialtimétrico por coordenadas polares com estação total ............................. 58 
Prática de campo 10: elaboração de croqui.............................................................................................................. 58 
Prática de campo 11: levantamento planialtimétrico por poligonação ...................................................................... 62 
Prática de campo 12: nivelamento geométrico simples ............................................................................................ 77 
Prática de campo 13: nivelamento geométrico composto ........................................................................................ 81 
Prática de campo 14: divisão de área e locação ...................................................................................................... 91 
Prática de campo 15: posicionamento GPS – método absoluto ............................................................................. 106 
Prática de campo 16: posicionamento GPS – método relativo estático .................................................................. 106 
Prática de campo 17: transporte de coordenadas no elipsóide .............................................................................. 106 
 
 
 
 
 
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1. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA 
1.1 Aspectos históricos da Geodésia: definição, objetivos e importância 
Consta que o termo “geodésia” do grego 1, foi usado pela primeira vez por Aristóteles (384-322 
a.C.). Geodésia pode significar tanto divisões (geográficas) da Terra como também o ato de dividir a terra, por 
exemplo, entre proprietários. A Geodésia é uma Engenharia que trata do levantamento e da representação da 
forma e da superfície da terra (definição clássica de Helmert) global e parcial, com as suas feições naturais e 
artificiais bem como a determinação do campo gravitacional da Terra. 
Dentre os fatos da antiguidade que se tem notícia, e que marcaram o desenvolvimento dos estudos 
geodésicos, está a comprovação da esfericidade da Terra por Eratóstenes (276-194 a.C.), matemático, 
bibliotecário e astrônomo grego. Ele comprovou pela trigonometria a esfericidade da Terra e mediu com relativa 
precisão o perímetro de sua circunferência. 
Na era moderna, juntamente com o Renascimento e a ascensão do Humanismo, houve grande estímulo 
à pesquisa científica e intelectual. A passagem do feudalismo da Idade Média para a Idade Moderna com a 
ascensão dos estados-nação europeus foi marcada pelos “descobrimentos” ou Grandes Navegações. Esta é a 
designação dada ao período da história que decorreu entre o século XV e o início do século XVII durante o qual 
os europeus exploraram intensivamente o globo terrestre em busca de novas rotas de comércio. Os 
historiadores geralmente referem-se à era dos descobrimentos como as explorações marítimas pioneiras 
realizadas neste período por portugueses e espanhóis, que estabeleceram relações com África, Américas e 
Ásia, em busca de uma rota alternativa para as “Índias”, movida pelo comércio de ouro, prata e especiarias. 
A passagem entre os séculos XVII e XVIII foi marcada pelo Iluminismo, movimento cultural que se 
desenvolveu na Inglaterra, Holanda e França. Nessa época, o desenvolvimento intelectual, que vinha 
ocorrendo desde o Renascimento, deu origem a ideias de liberdade política e econômica, por profundas 
mudanças na forma de pensar, pelas descobertas científicas e tecnológicas e pela Revolução Industrial. Além 
das idéias iluministas que se espalhavam pelo mundo (inclusive no Brasil, com a Inconfidência Mineira), a 
Europa e América do Norte também assistiam a novas descobertas e inventos. O avanço científico dessa 
época mostrou ao homem informações reais quanto à descrição da órbita dos planetas e do relevo da Lua, a 
descoberta da existência da pressão atmosférica e da circulação sangüínea e o conhecimento do 
comportamento dos espermatozóides, por exemplo. O século XVIII é também chamado Século das Luzes. 
A Astronomia foi um dos campos que deu margem às maiores revelações. Seguindo a trilha de 
estudiosos da Renascença, como Nicolau Copérnico, Johann Kepler e Galileu Galilei, o inglês Isaac Newton 
(1642-1727) elaborou um novo modelo para explicar o universo. Auxiliado pelo desenvolvimento da 
Matemática, que teve em Blaise Pascal (1623-1662) um de seus maiores representantes, ele ultrapassou a 
simples descrição do céu, chegando a justificar a posição e a órbita de muitos corpos siderais. Além disso, 
anunciou ao mundo a lei da gravitação universal, que explicava desde o movimento de planetas até a simples 
queda de uma fruta. Newton foi ainda responsável por avanços na área do cálculo e pela decomposição da luz, 
mostrando que a luz branca, na verdade, é composta por sete cores, as mesmas do arco-íris. 
Tanto para o estudo dos corpos celestes como para a observação das minúsculas partes do mundo, foi 
necessário ampliar o campo de visão do homem. Os holandeses encarregaram-se dessa parte, descobrindo 
que a justaposição de várias lentes multiplicava a capacidade da visão humana. Tal invento possibilitou a 
 
1Termo Geodésia em grego:  = terra +  = eu divido. 
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Robert Hooke (1635-1703) construir o primeiro microscópio, que ampliava até 40 vezes pequenos objetos 
(folhas, ferrões de abelha, patas de insetos). Este cientista escreveu um livro sobre suas observações e criou o 
termo célula, hoje comum em Biologia. A Biologia progrediu também no estudo do homem com a identificação 
dos vasos capilares e do trajeto da circulação sanguínea. Descobriu-se também o princípio das vacinas - a 
introdução do agente causador da moléstia no organismo para que este produza suas próprias defesas. 
Na Química, destaca-se Antoine Lavoisier (1743-1794), famoso pela precisão com que realizava suas 
experiências. Essa característica auxiliou-o a provar que, “embora a matéria possa mudar de estado numa 
série de reações químicas, sua quantidade não se altera, conservando-se a mesma tanto no fim como no 
começo de cada operação”. Atribuiu-se a ele a frase "na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se 
transforma". 
Muitos outros inventores e estudiosos permitiram, por exemplo, a descoberta da eletricidade, a invenção 
da primeira máquina de calcular, a formulação de uma teoria, ainda hojeaceita, para explicar a febre, a 
descoberta dos protozoários e das bactérias. Surgiu a Geologia, a partir da qual se desenvolveu uma teoria que 
explicava a formação da Terra, refutando a versão bíblica da criação do mundo em sete dias. 
Neste período, a questão que envolvia a real forma da Terra ainda não estava resolvida. É nesse 
contexto de descobertas e invenções que se travou um dos grandes debates da época e que estava 
relacionado à forma da Terra ou, mais especificamente, relacionado ao seu achatamento. Essa questão, 
amplamente discutida no início do século XVIII, na Europa continental e na Inglaterra, contrapôs newtonianos e 
cartesianos. Eles buscaram, por diferentes caminhos, provas para solucionar essa polêmica. 
Supunha-se que a Terra era redonda e achatada. No entanto, não se sabia em torno de qual direção se 
dava este achatamento: se no sentido dos pólos ou do equador. Essa discordância estava diretamente ligada 
às diferentes concepções científicas que colocavam em jogo disputas filosóficas e políticas. No século XVIII, 
dois países disputavam a hegemonia mundial em todas as áreas: Inglaterra e França. Os franceses, de modo 
geral, seguiam a linha cartesiana e resolveram formar duas expedições para comprovar a hipótese de 
achatamento no sentido do equador. Uma expedição foi para a Lapônia e outra para Quito, no Equador. 
Nessas localidades, por meio do método da triangulação e pelo quadrante, eles mediram o raio da Terra. 
Essa movimentação científica (preparar expedições, estabelecer unidades de medida, comprovar 
hipóteses, etc.) não pretendia apenas confirmar a forma da Terra, mas, sobretudo ressaltar a importância 
cultural e científica de uma determinada linha de pensamento. 
 No século XIX aparece a figura do geodesista alemão Friedrich Robert Helmert, na época presidente do 
escritório central do Instituto Internacional de Medições da Terra em Potsdam. É considerado o pai da 
Geodésia moderna por criar e reunir fundamentos matemáticos e físicos das teorias modernas da Geodésia 
para a sua definição clássica: a ciência que estuda a forma, a dimensão e o campo gravitacional terrestre. 
Helmert divide a Geodésia em Geodésia Superior, composta pela Geodésia Física e Astronômica e pela 
Geodésia Matemática, e Geodésia Inferior, também chamada Topografia ou Geodésia Prática. 
1.2 Superfícies de referência em Geodésia 
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para sua representação que devem 
ser simples, regulares e geométricos, e que mais se aproximem da forma real do globo. Em uma primeira 
aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas, reduzindo o problema à 
determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. Devido a essas irregularidades, adotam-
se modelos ou superfícies de referência mais simples, regulares e com características geométricas conhecidas 
que permitam a realização de reduções e sirvam de base para cálculos e representações. As superfícies 
utilizadas em levantamentos são o plano topográfico, a esfera, o elipsóide de revolução e o geóide. 
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1.2.1 Modelo esférico 
Em determinadas aplicações, por exemplo, na Astronomia, a Terra pode ser considerada uma esfera. 
Um ponto localizado na superfície desta esfera pode ser localizado por meio das coordenadas latitude e 
longitude astronômicas. 
1.2.2 Modelo elipsoidal 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução ou biaxial, figura geométrica regular proposta 
por Newton como a que mais se aproxima da figura da Terra. Esta figura é gerada pela rotação de uma semi-
elipse em torno de um de seus eixos, então chamado eixo de revolução. Se o eixo de revolução for o eixo 
menor, tem-se um elipsóide achatado. Ao contrário, será um elipsóide alongado. Um elipsóide de revolução é 
definido por dois parâmetros de sua geometria: os semi-eixos maior e menor, denominados a e b, 
respectivamente. Também pode ser definido por seu semi-eixo menor a e por seu achatamento f, que é a 
relação matemática entre os dois semi-eixos. Esta definição é a usada tradicionalmente na Geodésia. 
1.2.3 Modelo geoidal 
É definido pelo nível médio dos mares (NMM) em repouso, prolongado através dos continentes. É o 
modelo “natural” da Terra, ou seja, da forma como ela se apresenta, e por isso é modelo que mais se aproxima 
da forma da Terra. Trata-se de uma superfície irregular e de complexo tratamento matemático. O geóide é 
definido como uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível que melhor se ajusta 
ao NMM, que por sua vez é estabelecido por uma origem altimétrica (datum). 
1.2.4 Modelo plano 
Adotado na Topografia, onde não se considera a influência dos erros sistemáticos devidos à curvatura da 
Terra e ao desvio da vertical. Assume-se que a porção de Terra em estudo seja plana. Trata-se de uma 
simplificação, considerada válida dentro de certos limites a fim de facilitar os cálculos topográficos. A este 
plano, denominado plano topográfico local ou superfície de projeção, são lançados os pontos medidos na 
superfície do terreno. As caracterísiticas deste plano são: 
a) é horizontal, ou seja, é perpendicular à direção vertical naquele local; 
b) possui os eixos cartesianos: 
- das abscissas (coordenadas x), orientado positivamente no sentido leste; 
- das ordenadas (coordenadas y), orientado positivamente no sentido norte; 
- eixo z, quando se determinam informações altimétricas2, pode ser utilizado este terceiro eixo, 
ortogonal ao plano topográfico e com sentido oposto ao do vetor gravidade (ou direção vertical) 
naquele local. Idealmente, este eixo é materializado pelo eixo principal do instrumento, quando de sua 
instalação sobre o ponto. 
c) dimensão máxima limitada a 80 km a partir da origem (NBR13133, p. 5); 
 
2 Mais detalhes serão vistos na seção de Altimetria. 
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Geralmente, este sistema cartesiano tem origem no ponto origem do levantamento topográfico e o 
mesmo é utilizado como referencial local para determinação das coordenadas dos pontos levantados. As 
projetantes de cada ponto são ortogonais ao plano topográfico. 
1.3 Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal 
Conforme visto, o geóide é uma superfície equipotencial da gravidade terrestre que mais se aproxima do 
NMM. O geóide serve para a definição da coordenada altitude ortométrica, representada por H, por isso diz-se 
que o geóide é uma superfície de referência das altitudes. A altitude ortométrica (H) de um ponto P qualquer 
na superfície física é a distância contada ao longo da linha vertical do ponto P ao geóide. A vertical do lugar, 
direção tangente à linha vertical é a linha de força do campo da gravidade que passa neste ponto. Ela 
representa a direção do vetor gravidade g e é materializada pelo fio de prumo ou pelo eixo vertical de um 
teodolito nivelado corretamente. A altitude geométrica ou elipsoidal do ponto P, representada por h, é a 
distância contada ao longo da normal ao elipsóide que passa pelo ponto P. 
Figura 1 – Altitudes, desvio da vertical e ondulação geoidal 
 
 
Foi visto que a superfície de referência em Geodésia é o elipsóide de revolução. Trata-se de uma 
superfície geométrica que se aproxima da forma da Terra, contudo, geralmente não é paralela nem coincide 
com o geóide. Dessa forma, ocorre um desvio entre a normal ao elipsóide, ao longo do qual é medida a altitude 
geométrica (h) e a vertical, ao longo da qualé medida a altitude ortométrica (H). Esta diferença é denominada 
desvio da vertical, representado por θ. A distância de separação entre o elipsóide e o geóide é denominada 
ondulação geoidal ou ondulação do geóide, representada por ∆N. Ela indica a variação do geóide em 
relação ao elipsóide e normalmente oscila de 30 metros, podendo chegar a 100 metros (TORGE, 2001, p. 
77). A altitude geométrica pode ser convertida em altitude ortométrica por meio da relação 
 
NhH 
 
Eq. 1 
 
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A ondulação geoidal pode ser obtida por diferentes processos, tais como: método astrogeodésico 
(nivelamento astronômico), altimetria celeste, coeficientes do geopotencial (harmônicos esféricos) e rastreio de 
satélites artificiais (perturbações orbitais). No Brasil, a ondulação geoidal é disponibilizada pelo IBGE (programa 
MapGeo). Outra forma de se obter a ondulação geoidal aproximada de uma região é por meio do rastreio de 
uma RN de altitude ortométrica conhecida (capítulo 5). 
1.4 Sistemas de referência em Geodésia 
Posicionamento consiste na determinação da posição de objetos no espaço em relação a um 
referencial específico convencionado. Assim, georreferenciar significa associar pontos da superfície física 
terrestre a um referencial especifico denominado sistema geodésico de referência (SGR). Basicamente, o 
estabelecimento de um SGR consiste de duas fases: 
a) Sua concepção ou definição teórica. São estabelecidos: a origem do sistema, o fator de escala, a 
orientação dos eixos e o sólido geométrico de referência entre outros parâmetros. Esta concepção é 
chamada system (ingl. sistema). 
b) Sua realização. É a materialização de uma rede de estações com coordenadas determinadas no 
próprio sistema de referência que formará o arcabouço de referência para o posicionamento de mais 
pontos neste referencial. A realização do sistema é chamada frame (ingl. arcabouço). 
 
Um sistema de referência é formado por um conjunto de regras que especifica os infinitos pontos no 
espaço por meio de um conjunto de números reais denominados coordenadas. Um dos principais objetivos da 
Geodésia e Topografia é a determinação da posição relativa destes pontos. Fundamental é que seja expressa 
em um sistema de coordenadas, pois os sistemas de coordenadas regulamentam a localização de pontos em 
superfícies, como por exemplo, uma esfera, um elipsóide ou um plano. É com base em determinados sistemas 
de coordenadas que é descrita geometricamente a superfície terrestre. 
Ao se posicionar um ponto, são atribuídas coordenadas que indispensavelmente deverão estar 
referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas, alguns empregados em disciplinas 
como a Geometria e a Trigonometria, que normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou 
tridimensional. 
1.5 Geometria do elipsóide de revolução. 
O elipsóide de revolução foi proposto por Isaac Newton (1643-1727) como figura geométrica fundamental 
para a representação da Terra. O elipsóide de revolução3 é o sólido gerado pela rotação de uma elipse (elipse 
geradora) em torno de um de seus eixos. 
1.5.1 Elipse geradora 
A elipse é definida por dois parâmetros: o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b. 
 
3 Revolução: em geometria, revolução significa a rotação de um corpo em volta de um eixo real ou imaginário. 
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Figura 2 – Elipse 
 
 
Outros parâmetros fundamentais são derivados a partir da relação matemática entre dois elementos. 
Normalmente, empregam-se os parâmetros a e f para se definir um elipsóide. Denomina-se achatamento 
polar f à razão da diferença entre o semi-eixo maior e o semi-eixo menor pelo semi-eixo maior: 
a
b-a
f 
. 
Eq. 2 
 
O valor do achatamento, situado no intervalo 0 ≤ f ≤ 1 indica o quanto o elipsóide se aproxima ou se afasta da 
forma esférica. 
Excentricidade linear E é o segmento que liga o centro ao foco da elipse: 
 
22222 baEEba 
. 
Eq. 3 
Figura 3 – Excentricidade linear E 
 
 
A partir da excentricidade angular α, definem-se as duas excentricidades numéricas: 
 
f1
a
b
cosα 
 
Eq. 4 
e
a
E
sena 
 (primeira excentricidade numérica) 
11 
 
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Eq. 5 
e'
b
E
tana 
 (segunda excentricidade numérica) 
Eq. 6 
 
Relaciona-se a primeira excentricidade numérica Eq. 5 com os semi-eixos a partir da substituição do termo da 
excentricidade linear E na primeira parte da Eq. 3: 
 
2
22
22222
a
ba
eaeba


 
Eq. 7 
 
Da mesma forma, relaciona-se a segunda excentricidade numérica Eq. 5 com os semi-eixos a partir da 
substituição do termo da excentricidade linear E na Eq. 3: 
 
2
22
22222
b
ba
e'be'ba


 
Eq. 8 
 
Após manipulações algébricas, deduzem-se as relações matemáticas entre as excentricidades numéricas: 
 
2
2
2
e'1
e'
e


 
Eq. 9 
2
2
2
e-1
e
e' 
 
Eq. 10 
 
A partir das equações anteriores, obtêm-se as seguintes relações: 
 
f1
b
e'1ba 2


 
Eq. 11 
f)a(1e1ab 2 
 
Eq. 12 
2
2
e'1
1
1e11f


 
Eq. 13 
22 f2fe 
 
Eq. 14 
2
2
2
f)-(1
e
e' 
. 
Eq. 15 
12 
 
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1.5.2 Elipsóide GRS80 
Existem vários tipos de elipsóides utilizados em diferentes países e continentes. Podem ser elipsóides 
com orientação local – que melhor se adapte à porção de superfície da Terra que se deseja representar – ou 
com orientação global, de origem geocêntrica (centro do globo), que é um modelo generalizado para toda a 
Terra. Atualmente, o Sistema Geodésico Brasileiro adota como modelo geométrico o elipsóide GRS80 (ingl. 
Geodetic Reference System – 1980), atualmente recomendado pelo IAG, cujos parâmetros são: 
Quadro 1 – Parâmetros do elipsóide GRS80 
Semi-eixo maior a = 6378137 m 
Semi-eixo menor b = 6356752,3141 m 
Excentricidade linear E = 521854,0097 m 
1ª excentricidade e2 = 0,00669438002290 
2ª excentricidade e’2 = 0,00673949677548 
Achatamento f = 0,00335281068118 
Inverso do achatamento 1/f�= 298,257222101 
1.5.3 Latitude geocêntrica e latitude reduzida 
Em questões teóricas de Geodésia, são uteis os conceitos de latitude geocêntrica e latitude reduzida. 
A latitude geocêntrica ψ de um ponto P à superfície do elipsóide é o ângulo formado entre o raio vetor, 
constituído a partir deste ponto ao centro do sólido, e a projeção deste vetor no plano do equador. A latitude 
reduzida (ou paramétrica) β de um ponto P corresponde ao ângulo formado entre o raio vetor, constituído a 
partir de um ponto em um círculo circunscrito ao elipsóide – o qual corresponde à projeção no círculo do ponto 
P sobre o elipsóide – ao centro geométrico deste círculo e a projeção daquele vetor no plano do equador. 
Figura 4 – Latitudes geocêntrica e reduzida 
 
 
A relação entre as latitudes geodésica (φ), geocêntrica (ψ) e reduzida (β) é dada por: 
 
tantantan 211 -f)(β-f)(ψ  . 
Eq. 16 
1.5.4 Raios de curvatura e seções normais 
13 
 
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Seções normais no elipsóide de revolução são as seções determinadas pela intersecção de qualquer 
plano que contém a normal e a superfície do elipsóide. O raio de curvatura de uma seção normal ao elipsóide 
depende do azimute dessa seção normal. Em cada ponto da superfície existem sempre duas seções normais 
mutuamente perpendiculares entre si, cujas curvaturas assumem o valor máximo e mínimo. As seções normais 
que verificam o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se seções normais principais, que são: 
- seção meridiana (símbolo: M), gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois pólos; e 
- seção transversal meridiana 4 (símbolo: N), gerada pelo plano normal de um ponto, perpendicular ao 
plano do meridiano, também designada por grande normal. 
1.5.4.1 Raio de curvatura da seção meridiana 
Para uma curva qualquer sobre o plano, 
F(x)z 
, o raio de curvatura em um dado ponto desta curva é 
dado por: 
23
2
2
2
1
/
dx
zd
dx
dz
ρ















 . 
Eq. 17 
 
Da aplicação desta fórmula ao arco de meridiano chega-se à expressão do raio de curvatura da seção 
meridiana: 
Figura 5 – Raio de curvatura da seção meridiana 
 
4 Seção transversal meridiana: na literatura encontra-se também a denominação seção de curvatura do primeiro vertical. 
 
 
 
 
322
2
1
1
)e(
)ea(
M
sin


.
Eq. 18 
1.5.4.2 Raio de curvatura da seção transversal meridiana 
A relação entre o raio de curvatura da seção transversal meridiana e o raio do paralelo é mostrada na seguinte. 
O raio de curvatura de paralelo (símbolo: p) que contém um dado ponto na superfície do elipsóide é expresso 
pelo Teorema de Meusnier (Eq. 21), onde φ é a latitude do ponto. Substituindo na expressão do raio do 
paralelo, igual a x, vem a equação do raio de curvatura da seção transversal meridiana: 
221 sine
a
N


. 
Eq. 19 
A pequena normal (símbolo: N’) é dada por: 
14 
 
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)eN(N' 21
. 
Eq. 20 
Figura 6 – Raio de curvatura da seção transversal meridiana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 cossin N)º(Np  90
Eq. 21 
1.5.4.3 Raio de curvatura de seção α 
O Teorema de Euler dá-nos a curvatura de qualquer secção normal em função das curvaturas das 
secções principais: 
2
2
1
2 sincos1
ρ
θ
ρ
θ
ρ

, 
Eq. 22 
 
onde ρ é o raio de curvatura arbitrário, ρ1 e ρ2 os raios de curvatura principais máximo e mínimo, 
respectivamente, e θ é o ângulo medido a partir da seção principal de maior raio de curvatura. Como N é 
normalmente maior que M, α = 90º – θ e 
M
α
N
α
Rα
221 cossin

. 
Eq. 23 
O raio de curvatura para uma seção orientada pelo azimute geodésico α assume a forma: 
 
 22 cossin NM
MN
Rα


. 
Eq. 24 
15 
 
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1.5.4.4 Outros raios de curvatura 
O raio médio de curvatura, também conhecido como raio de curvatura médio Gaussiano, é definido pelo 
valor médio integral de R ao longo da variação de azimute de 0º a 360º: 
 


 
ππ
α dα
αMαN
MN
π
dαR
π
R
2
0
22
2
0
0
sincos2
1
2
1
 
Eq. 25 
MNR 0
 (média geométrica dos raios principais). 
Eq. 26 
1.5.4.5 Seções normais recíprocas 
As normais relativas a dois pontos sobre a superfície de uma espera convergem para o centro do sólido, 
logo, são coplanares. O mesmo não acontece no caso do elipsóide de revolução salvo no caso particular de 
ambos pertencerem ao mesmo paralelo ou ao mesmo meridiano. Ou seja, duas normais ao elipsóide somente 
definem um plano no caso de pertencerem a pontos situados em mesma latitude ou em mesma longitude. 
Na Figura 7, a normal ao elipsóide no ponto A e o ponto A1 determinam um plano interceptador da 
superfície elipsoidal conforme uma seção normal (trajeto AaA1) que não contém a normal de A1. Analogamente, 
a normal de A1 e o ponto A definem um plano do qual resulta outra seção normal (trajeto A1a1A) distinta da 
primeira. 
O trajeto A1aA1 é a seção normal que contém a normal de A, sendo então chamada direta em relação a 
A e recíproca em relação a A1. O trajeto A1a1A é a seção normal que contém a normal de A1, sendo chamada 
direta em relação a A1 e recíproca em relação a A. 
Figura 7 – seções normais recíprocas 
 
 
Considerando agora três pontos quaisquer na superfície do elipsóide de maneira que formem um 
triângulo elipsóidico. Se fosse possível, de cada um dos vértices P, Q e R visar os outros pontos com um 
teodolito, o triângulo PQR, devido à duplicidade das seções normais, não ficaria determinado de maneira única. 
16 
 
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Figura 8 – Definição de linha geodésica 
 
 
O menor caminho entre dois pontos na superfície do elipsóide não é representado nem pela seção 
normal direta nem pela recíproca, mas sim por uma curva reversa5 situada entre as duas seções normais, 
denominada geodésica. Ela pode ser definida como uma linha ou curva que liga dois pontos sobre uma 
determinada superfície, pela menor distância, de forma que a normal em cada ponto coincide com a normal à 
superfície. Exemplos: 
 
a) No plano: a geodésica é uma linha (segmento de reta); 
b) Na esfera: a geodésica é um arco de círculo máximo; 
c) No elipsóide: a geodésica é uma curva reversa situada entre as seções normais direta e recíproca. 
1.6 Sistemas de Coordenadas 
Basicamente, são utilizados dois tipos de sistemas de coordenadas para a definição unívoca da posição 
de pontos: o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares) e o sistema de coordenadas curvilíneas 
(elipsoidais ou esféricas), cuja base é a geometria de um elipsóide ou esfera. 
1.6.1 Sistema de coordenadas cartesianas 
No caso bidimensional, utiliza-se normalmente o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares). 
Trata-se de um sistema de eixos ortogonais no plano denominados eixos coordenados. Este sistema é 
constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si e com origem no cruzamento delas. 
 
5 Curva reversa: é a curva que não está circunscrita em um plano. 
17 
 
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Figura 9 – Eixos cartesianos (caso bidimensional) 
 
 
Um ponto P qualquer é definido neste sistema por meio de duas coordenadas: uma, denominada abscissa 
(coordenada do eixo x) e outra denominada ordenada (coordenada do eixo y). A representação matemática 
deste ponto P com abscissa x e ordenada y é P(x, y) ou P=(x,y). 
No caso tridimensional, ao sistema de eixos coordenados é adicionado um terceiro eixo coordenado Z. 
São mutuamente perpendiculares e se interceptam em um único ponto, que define a origem. A representação 
de um ponto neste sistema de coordenadas é dada por P(x,y,z) ou P=(x,y,z). 
Figura 10 – Eixos cartesianos (caso tridimensional) 
 
 
 
Em Geodésia, um sistema de coordenadas é denominado global quando sua origem for geocêntrica 
(origem no centro de massa da Terra), e local ou regional quando sua origem estiver deslocada do geocentro. 
18 
 
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Figura 11 – Sistema de coordenadas geodésicas cartesianas geocêntrico global 
 
 
Assim, o sistema de coordenadas geodésicas cartesianas geocêntrico global, utilizado como 
sistema de coordenadas terrestres fundamental, possui as seguintes características: 
a) Possui sua origem no centro de massa (CM) da Terra, incluindo a hidrosfera e a atmosfera; 
b) É fixo à Terra, isto é, gira com ela; 
c) Eixo Z aponta para o pólo Norte terrestre convencional médio (sentido positivo); 
d) O plano equatorial contém os eixos X e Y e é perpendicular ao eixo Z; 
e) O plano XZ é gerado pelo meridiano convencional médio de Greenwich; 
f) O eixo Y completa o sistema destrogiro; 
1.6.2 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico 
Outra forma de se posicionar um ponto P qualquer no espaço tridimensional é por meio de coordenadas 
curvilíneas. Supõe-se que, ao sistema de coordenadas cartesianas, seja sobreposto o sistema de coordenadas 
esféricas. Neste sistema, as coordenadas do ponto P são dadas pelo afastamento r entre a origem do sistema 
e o ponto P, pelo ângulo β formado entre o segmento r e a projeção ortogonal deste segmento sobre o plano 
xy, e pelo ângulo α que a projeção do segmento r sobre o plano xy forma com o semi-eixo X. Assim, o ponto P, 
determinado pelo terno cartesiano (x,y,z), pode ser expresso também pelas coordenadas esféricas (r,α,β), ou 
seja, P(r,α,β) ou P=(r,α,β), de forma que a relação entre os dois sistemas é obtida pelo vetor posicional 
 





















β
βα.
βα.
r
z
y
x
sin
cossin
coscos
 
Eq. 27 
19 
 
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Figura 12 – Sistema de coordenadas curvilíneas – caso esférico 
 
1.6.3 Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsoidal 
Supõe-se agora que, ao sistema de coordenadas cartesianas, seja sobreposto o sistema de 
coordenadas elipsoidais. Quando é utilizado o elipsóide como superfície de referência, a determinação das 
coordenadas de um ponto P qualquer de sua superfície acontece de forma semelhante ao sistema de 
coordenadas cartesianas e ao sistema de coordenadas esféricas. A definição dos eixos coordenados é a 
mesma, contudo a origem do sistema cartesiano OXYZ é o centro do elipsóide de semi-eixo maior a e semi-
eixo menor b (Figura 13). 
Figura 13 – Sistema de coordenadas curvilíneas – caso elipsoidal 
 
 
20 
 
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As coordenadas elipsoidais de um ponto P qualquer da superfície do elipsóide são definidas por: 
a) Latitude elipsoidal (φ): ângulo que a normal6 forma com sua projeção no plano do equador, sendo 
positiva para o Norte e negativa para o Sul; 
b) Longitude elipsoidal (λ): ângulo diedro formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do 
lugar, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste, tomada como origem o meridiano de 
Greenwich. 
Figura 14 – Sistema de coordenadas geodésicas cartesianas e curvilíneas 
 
 
Este sistema de coordenadas é denominado sistema de coordenadas geodésicas cartesianas e curvilíneas 
quando utilizado para a representação geométrica da Terra. Na figura seguinte está representado um ponto P 
qualquer na superfície física da Terra. Pela figura, tem-se: 
- P’: ponto de interceptação da normal de P; 
- φ: latitude geodésica ou elipsoidal. É o ângulo formado entre a normal de P e sua projeção no plano do 
equador. Seus valores são de: 
 0 < φ ≤ 90º no hemisfério sul; 
 -90 < φ ≤ 0º no hemisfério norte; e 
 φ = 0º no equador. 
- λ: longitude geodésica. É o ângulo formado entre o plano meridiano médio de Greenwich e o plano 
meridiano do ponto P que contém a normal de P, convencionada positiva para Leste. Seus valores são de: 
 0 ≤ λ ≤ 90º a leste de Greenwich; 
 -180 < λ < 0º a oeste de Greenwich; e 
 λ = 0º em Greenwich. 
- h (segmento PP’): altitude geométrica ou elipsoidal do ponto P. É medida ao longo da normal entre a 
superfície do elipsóide e a superfície topográfica. 
 
6 Normal: é a reta ortogonal à superfície elipsóidica que passa pelo ponto em questão. 
21 
 
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- Segmento P’Q: pequena normal (N’); 
- Segmento P’O’: grande normal (N). 
 
Assim, o ponto P localizado na superfície física é caracterizado univocamente no sistema de coordenadas 
geodésicas cartesianas, pelas suas coordenadas cartesianas (x,y,z), ou seja, P(x,y,z), e no sistema de 
coordenadas geodésicas curvilíneas (φ,λ,h), pelas suas coordenadas elipsoidais, ou seja, P(φ,λ,h), de forma 
que a relação entre os dois sistemas é obtida pelas equações 
 
   coscoshNx 
 
Eq. 28 
   sincoshNy 
 
Eq. 29 
  sin' hNz 
 
Eq. 30 
1.6.4 Transformação de coordenadas geodésicas 
Uma transformação de coordenadas geodésicas é necessária quando se exige: 
a) Expressar as coordenadas de um ponto em um sistema de referência diferente do que foi utilizado 
originalmente para sua obtenção; 
b) Alterar a natureza das coordenadas. 
No Brasil, é relevante o fato de que o sistema de referência oficial está em transição. O SAD-69 (South 
American Datum – 1969) é diferente do sistema utilizado pelo NAVSTAR-GPS, o WGS-84 (World Geodetic 
System – 1984). Ainda coexistem com o sistema oficial outros sistemas mais antigos que compartilham a 
mesma necessidade. 
Uma transformação de coordenadas entre sistema de referência pode ser conduzida conforme a posição 
e a dimensão relativas dos conjuntos dos eixos cartesianos, de forma que serão necessárias: 
a) Apenas translações dos eixos cartesianos; 
b) Translações e escalonamento dos eixos cartesianos; 
c) Translações, escalonamento e rotações dos eixos cartesianos; 
O objetivo é aproximar o sistema de referência original ao sistema de referência de destino. Nos casos 
mais usuais da Geodésia, são necessárias apenas translações dos eixos cartesianos, dado o paralelismo dos 
eixos cartesianos dos sistemas de referência normalmente empregados. 
Ao se transformar coordenadas geodésicas, na prática, pode-se deparar com quatro casos: 
 
1º caso: transformação de coordenadas cartesianas entre sistemas de referência 
 
O que ocorre é a translação dos eixos cartesianos por meio da adição de parâmetros de transformação 
fornecidos pelo órgão oficial, o IBGE. 
































Δz
Δy
Δx
z
y
x
z
y
x
12
 
Eq. 31 
22 
 
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Os parâmetros de transformação entre SAD69 e SIRGAS2000 encontram-se na resolução R.PR 1∕2005 (de 
25∕02∕2005, folha 7∕7) publicada pelo IBGE: 
 
SAD69 para SIRGAS2000 
 
a1=6.378.160 m ∆X= –67,35 m 
f1=1 ∕ 298,25 ∆Y= +3,88 m 
a2=6.378.137 m ∆Z= –38,22 m 
f2=1 ∕ 298,257222101 
 
SIRGAS2000 para SAD69 
 
a1=6.378.137 m ∆X= +67,35 m 
f1=1 ∕ 298,257222101 ∆Y= –3,88 m 
a2=6.378.160 m ∆Z= +38,22 m 
f2=1 ∕ 298,25 
Onde: 
a1, f1 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de origem; 
a2, f2 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de destino; 
(∆X, ∆Y, ∆Z)= parâmetros de transformação entre os sistemas. 
 
2º caso: transformação de coordenadas elipsoidais entre sistemas de referência 
 
Podem ser empregadas as equações simplificadas de Molodenskii: 
 
   


180
2
1
11111111
1
cossinsincossinsin zyxaffa
M
 
Eq. 32 
  


1801
11
11
cossin
cos
yx
N
 
Eq. 33 
  111111
2
11 sinsincoscoscossin  zyxaaffaN  
Eq. 34 
Onde: 
a
: diferença entre semi-eixos maior (
12 aa 
); 
f
: diferença entre achatamentos (
12 ff 
); 
x
: diferença entre coordenadas x; 
Parâmetros de translação 
y
: diferença entre coordenadas y; 
z
: diferença entre coordenadas z; 
1a
: semi-eixo maior do elipsóide no sistema de referência S1; 
1f
: achatamento do elipsóide no sistema de referência S1; 
1
: latitude geodésica no sistema de referência S1; 
1
: longitude geodésica no sistema de referência S1; 
2
: latitude geodésica no sistema de referência S2; 
2
: longitude geodésica no sistema de referência S2; 
N
: diferença de ondulação geoidal. 
 
A latitude e a longitude do ponto 2 são dadas pelas equações Eq. 35 e Eq. 36, respectivamente: 
 
23 
 
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  12
 
Eq. 35 
  12
 
Eq. 36 
3º caso: transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas elipsoidais 
 
São usadas as seguintes fórmulas: 
Grafarend: 
      ,arctansgnsgn
2
1
sgn
2
1
1180
x
y
xyy 





 
 
   3600|  R
 
Eq. 37 
Bowring:  
,
cos
sin1'
arctan
3222
32
uaeyx
ufaez



 
   9090|  R
 
Eq. 38 
onde: 
b
a
yx
z
u 


22
tan
. 
Eq. 39 
,sincos
2
22
N
a
zyxh  
 
 0|  hRh
 
Eq. 40 
4º Caso: transformação de coordenadas elipsoidais em coordenadas cartesianas 
 
Podem ser usadas as fórmulas deduzidas da geometria do sistema de coordenada curvilíneas e cartesianas 
(Eq. 28, Eq. 29, e Eq. 30), onde N’ é calculado a partir da Eq. 20. 
1.6.5 Transporte de coordenadas no elipsóide. 
Transportar coordenadas significa “determinar valores de pontos na superfície da Terra em função de 
uma origem”. Para o transporte de coordenadas utilizam-se dois processos denominados: 
 
 1) Problema Geodésico Direto (PGD) ou Primeiro Problema Principal Geodésico; e 
 2) Problema Geodésia Inverso (PGI) ou Segundo Problema Principal Geodésico. 
 
1.6.5.1 Problema Geodésico Direto (PGD) 
O PGD consiste do transporte de coordenadas no elipsóide de revolução quando se conhece as coordenadas 
geodésicas de um ponto P1 do elipsóide (φ1, λ1), a distância s e azimute geodésico Ag para um segundo ponto 
P2, e o objetivo é calcular as coordenadas do segundo ponto. 
24 
 
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Figura 15 – Problema Geodésico Direto 
 
 
São realizadas transformações de coordenadas geodésicas em: 
 
- diferença de latitude geodésica ∆φ; 
- diferença de longitude geodésica ∆λ; e 
- diferença de azimute ∆Ag. 
  12
 
Eq. 41 
  12
 
Eq. 42 
AgAgAg  1221
 
Eq. 43 
 
Os problemas geodésicos direto e inverso são resolvidos com o emprego das fórmulas de Puissant. São 
adequadas para linhas de até 80 km e oferecem precisão de 1ppm (1mm/km). As equações seguintes 
consideram dois pontos denominados 1 e 2. 
 
a) Transporte da latitude 
2
2
22
2 2 ff
a
ba
e 


 
Eq. 44 
 
  2/3122
2
1
1
1
sene
ea
M



 
Eq. 45 
  2/1122
1
1 sene
a
N


 
Eq. 46 
"1
1
1 senM
B


 
Eq. 47 
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"12 11
1
senNM
tg
C


 
Eq. 48 
 122
11
2
12
"1cos3


sene
sensene
D



 
Eq. 49 
2
1
1
2
6
31
N
tg
E



 
Eq. 50 
"1
cos
1
1212
senM
AS
h
g



 
Eq. 51 
12
22
1212
22
121212 cos" ggg AsenSEhAsenSCASB  
Eq. 52 
 2121212 """   D
 
Eq. 53 
1212  
 
Eq. 54 
b) Transporte da longitude 
 
  2/1222
2
1 sene
a
N


 
Eq. 55 
22
1212
12
cos


N
senAS
T
 
Eq. 56 











66
1
"1
"
2
12
2
2
2
1212
12
T
N
S
sen
T
 
Eq. 57 
1212  
 
Eq. 58 
c) Transporte do azimute: 
2
21 

m
 
Eq. 59 
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"1cos
12
1 22 sensenF mm  
 
Eq. 60 
 312121212 "
2
1
sec""   Fsen m
 
Eq. 61 
 
º1801221  gg AA
 
Eq. 62 
São conhecidos: 
- 1 e 1 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 1); 
- Ag12 (azimute geodésico no sentido do ponto 1 ao ponto 2); e 
- S12 (distância geodésica entre os dois pontos). 
Devem ser calculados: 
- 2 e 2 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 2); e 
- Ag21 (azimute geodésico no sentido do ponto 2 ao ponto 1). 
1.6.5.2 Problema Geodésia Inverso (PGI) 
No PGI, são conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos P1(φ1,λ1) e P2(φ2,λ2) do elipsóide e o 
objetivo é calcular a distância geodésica s entre os pontos. 
Figura 16 – Problema Geodésico Inverso 
 
 
  21221 /m
m
sene
a
N


 
Eq. 63 
 
  2322
2
1
1
/
m
m
sene
ea
N



 
Eq. 64 
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"1
1
senM
B
m
m


 
Eq. 65 







2
"1cos"
1212
 gmm AsenSsenNx
 
Eq. 66 
 









2
cos
5,0cos"
1212
12 
g
m
AS
B
y
 
Eq. 67 
Azimute geodésico : 
y
x
Atg g 






212

 
Eq. 68 
daí: 
      ,
2
arctansgnsgn
2
1
sgn
2
1
1180
12







 
y
x
yxxAg
 
Eq. 69 
 
em que o valor da primeira parcela efetua a determinação da solução final no quadrante correto; 
















2
cos
2 1212
12 
gg A
y
Asen
x
S
 
Eq. 70 
São conhecidas: 
- 1 e 1 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 1); e 
- 2 e 2 (latitude e longitude elipsoidais do ponto 2). 
Devem ser calculados: 
- Ag12 (azimute geodésico no sentido do ponto 1 ao ponto 2); e 
- S12 (distância geodésica entre os dois pontos). 
 
Na Figura 17 é apresentada a caracterização mais completa e detalhada do transporte de coordenadas 
geodésicas na superfície do elipsóide de referência, e no quadro seguinte são apresentadas as grandezas 
conhecidas e as incógnitas para cada tipo de solução, assinaladas com X. 
 
28 
 
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Figura 17 – Transporte de coordenadas geográficas geodésicas na superfície do elipsóidede referência 
 
 
 Prática de campo 17: página 106. 
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2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA 
2.1 Definição de Topografia 
’(topos): lugar, espaço de terreno; 
Topografia: vocábulo de origem grega 
’(grafia): traçar sinais para escrever, descrever. 
 
Topografia é a ciência aplicada que trata os princípios e os métodos de determinação do contorno, das 
dimensões e da posição de uma parte limitada da superfície terrestre sem levar em conta a curvatura da Terra. 
A topografia pode ser considerada uma particularidade da Geodésia. Trabalha-se essencialmente com medidas 
angulares (ângulos) e lineares (distâncias) realizadas na superfície física (topográfica) a partir das quais são 
calculadas grandezas geométricas tais como alinhamentos, coordenadas, áreas e volumes. Ao final, possibilita-
se representar graficamente estes elementos mediante o desenho técnico topográfico. 
A topografia é dividida em: 
 
a) Topometria 
 
 
 
b) Topologia: trata das formas do terreno e as leis que regem seu modelamento. 
 
A distância entre dois pontos e o ângulo horizontal entre alinhamentos são grandezas denominadas 
observações. O conjunto de operações executadas no terreno com o objetivo de realizar estas observações e 
assim obter os dados para a descrição do lugar é denominado levantamento topográfico. Em países como 
Alemanha, qualquer construção, reforma ou demolição necessita de uma autorização. Antes de se colocar um 
projeto em prática, o engenheiro deve se informar sobre os requisitos jurídicos que estabelecem as diretrizes 
de uma obra em uma determinada cidade ou região. À documentação da obra, junto com os projetos 
definidores, descrições, desenhos, documentos técnicos, escritura e outros itens, deve estar associado um 
plano de situação, que é um levantamento topográfico contendo: 
- Posição, altitude e proprietário do lote; escala e orientação ao norte; denominação do lote, dados cartorários, 
limites jurídicos com os confrontantes e o conteúdo existente na propriedade; 
- Largura e dimensões das ruas vicinais; posicionamento dos dutos de águas pluviais e de esgoto e a cota de 
fundo; 
- Diretrizes jurídicas para a utilização da obra, que relacionam as regras sobre o tipo e o tamanho de obra que 
se pode edificar; 
- Levantamento dos equipamentos existentes, memoriais (obeliscos) e árvores protegidas por lei, poço 
artesiano, divisas, em suma: levantamento de tudo o que existe no lote, e de preferência, dependendo da 
importância, reconhecer também o que existe nos lotes vizinhos; 
- Levantamento minucioso do local onde está prevista a obra. Há de se realizar um levantamento das 
distâncias limítrofes da superfície em questão, por exemplo, as superfícies das paredes externas da 
construção, as distâncias de áreas publicas e de áreas verdes, de estacionamento de veículos pesados, do 
- Planimetria: trata dos métodos de representação de pontos no 
plano horizontal, os métodos de cálculo de medida de superfície 
(área) e a planta do desenho topográfico; 
- Altimetria: trata da medição de alturas por nivelamento. 
30 
 
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acesso dos bombeiros, da área de parquinhos para crianças, de locais de descarte de resíduos (lixo), de locais 
de depósito de materiais de construção, de canteiros de obras, de poços d´água, dutos de eletricidade, gás, 
água, óleo, hidrantes, entre outros. 
O levantamento topográfico pode ser de três naturezas: planimétrico, altimétrico ou planialtimétrico. 
No levantamento planimétrico procura-se determinar a posição relativa dos pontos considerando apenas 
as dimensões planas. Distâncias, ângulos e alinhamentos horizontais garantem o posicionamento relativo de 
objetos por meio de pontos coordenados, que posteriormente podem ser representados em uma planta 
topográfica. 
No levantamento altimétrico interessam as diferenças de altura entre pontos. Elas são determinadas pelo 
processo chamado nivelamento. 
O levantamento planialtimétrico engloba os levantamentos planimétrico e altimétrico, que podem ser 
realizados simultaneamente no mesmo processo. 
Os levantamentos topográficos são a base para diversos trabalhos de engenharia em que se faz 
relevante o conhecimento da forma, da dimensão e dos limites dos terrenos. Por exemplo: 
 
a) Projeto e execução de estradas; 
b) Construção de pontes, viadutos e túneis; 
c) Locação de obras; 
d) Terraplanagem; 
e) Planejamento rural e urbano; 
f) Irrigação e drenagem; 
g) Monitoramento de estruturas; e 
h) Projetos ambientais. 
 
Um levantamento topográfico típico pode ser cumprido em cinco etapas: 
1) Identificação da necessidade; 
2) Reconhecimento do terreno (in loco); 
3) Levantamento de campo; 
4) Cálculos de Escritório; 
5) Locação (quando necessário). 
 
Ou, simplificadamente, serviços de: 
1) Campo; e 
2) Escritório. 
2.2 Medição de alinhamentos 
A Topografia tem por objetivo representar uma porção da superfície terrestre por meio de desenhos 
construídos com elementos gráficos primitivos, por exemplo, o ponto e a linha. 
a) Ponto 
Os pontos definem o fim e o início de linhas, bem como o vértice de polígonos. Chamado ponto 
topográfico, sua materialização é feita com piquetes cravados no solo. Ao seu lado é cravada uma estaca 
testemunha, e nela deve ser escrita a identificação do ponto. 
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Figura 18 – Piquete e estaca testemunho 
 
b) Linha 
As linhas unem pontos topográficos em uma sequência lógica a fim de formar polígonos planos com 
dimensão e orientação tomada a partir de um alinhamento conhecido. Estes polígonos são a base para as 
operações matemáticas da topografia. Na figura, os pontos topográficos A e B definem o alinhamento AB, onde 
a distância dAB é uma de das coordenadas deste alinhamento. 
Figura 19 – Alinhamento definido entre dois piquetes 
 
 
Foi visto que o plano é a entidade adotada pela Topografia para a representação da região medida, ou 
seja, esta região ou porção de superfície em estudo é considerada um plano horizontal no qual são projetadas 
as grandezas de observação, como por exemplos a distância e o alinhamento entre dois pontos. Com base 
neste conceito topográfico, as distâncias serão representadas em planta sempre conforme o valor da projeção 
dos pontos no plano horizontal uma vez que a planta topográfica é uma projeção horizontal. 
Na figura, chama-se distância inclinada d’ a distância entre os pontos que definem o alinhamento AB no 
terreno e distância horizontal ou reduzida d a distância entre os pontos que definem a projeção horizontal do 
alinhamento AC. Para efeito de representação planimétrica e cálculo de área, as distâncias inclinadas devem 
ser reduzidas às dimensões de suas bases produtivas7. 
 
7 Bases produtivas: entende-se por bases produtivas as dimensões que são aproveitadas de fato. Na agricultura, por exemplo, 
a maioria das plantas se desenvolve procurando o centro da Terra, o que faz com que a área utilizada seja a projeção horizontal. O 
mesmo acontece com as edificações, pois se exige que os terrenos sejam aplainados para que elas possam ser construídas. 
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Figura20 – Distância horizontal (reduzida) d e distância inclinada d’ 
 
 
Empregam-se balizas para prolongar o ponto topográfico ao longo de sua vertical para permitir que a 
distância horizontal seja tomada com a máxima fidelidade possível. Para garantir a verticalidade da baliza 
durante as medições, emprega-se um prumo de bolha acoplado ao corpo do instrumento. 
Figura 21 – Emprego de balizas para a medição de distâncias horizontais 
 
 
Exemplifica-se a medição da distância entre dois pontos conforme a situação mostrada na Figura 22. 
Figura 22 – Medição de distâncias horizontais com trena e baliza em vários lances 
 
33 
 
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2.3 Medição de distâncias 
Distâncias podem ser medidas por dois processos: 
 
2.3.1 Processos Diretos 
A medida de distâncias de forma direta ocorre quando uma distância é determinada a partir da 
comparação com uma grandeza padrão, ou unidade retilínea, denominada diastímetro. De acordo com a 
natureza do diastímetro, a medição dos alinhamentos pode ser classificada em baixa, média e alta precisão. 
Baixa precisão: Usada em levantamentos expeditos, quando a precisão é pouco exigida. Exemplos: 
passo do homem ou do animal de monta, rodas e câmbios de veículos (odômetro e velocímetro), som e relógio; 
Média precisão: Indicada para levantamentos comuns. Exemplos: cadeia ou corrente de agrimensor, fitas 
e trenas de aço, lona ou fibra; 
Alta precisão: designadas para levantamentos geodésicos. Exemplo: fio de ínvar, que possui coeficiente 
de dilatação próximo a zero. 
 
A operação com trena e baliza exige o trabalho de duas pessoas. No piquete mais baixo é obrigatório o 
posicionamento de uma baliza para garantir a projeção horizontal. A medição pode ser feita em lance único 
quando a distância entre os dois pontos é menor que a extensão máxima da trena. Ao contrário, será 
necessária a medição de vários lances (também chamadas trenadas), ou seja, a distância a ser medida é 
dividida em segmentos orientados no mesmo alinhamento, que no final deverão ser somados. 
 
Situações: 
 
a) Trena horizontal com a origem da medição posicionada diretamente no ponto mais alto – piquete B – 
e medida de distância tomada no eixo da baliza verticalizada no piquete A. 
Figura 23 – Trena horizontal com origem da medição no piquete e medição de distância na baliza 
 
 
b) Trena horizontal com o zero posicionado no eixo da baliza posicionada no ponto mais baixo – 
piquete A – e medida de distância tomada diretamente no piquete B. 
- Diretos; e 
- Indiretos; 
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Figura 24 – Trena horizontal com origem na baliza e medição de distância no piquete 
 
 
c) Trena horizontal com o zero posicionado no eixo da baliza posicionada no ponto mais baixo – 
piquete A – e medida de distância tomada no eixo da baliza posicionada no piquete B. 
Figura 25 – Trena horizontal com origem e medição de distância em duas balizas 
 
 
d) Trena inclinada e determinação de desnível, com o zero e medida de distância diretamente no ponto. 
Figura 26 – Trena inclinada com origem e medição de distância nos piquetes 
 
 
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Observações: 
a) Na situação c podem ser aplicadas correções de variação de temperatura, catenária e tensão 
aplicada, no caso de levantamentos precisos; 
b) Na medição de vários lances, o controle de trenadas deve ser feito em caderneta de campo. Com o 
uso da corrente de agrimensor, O controle era feito também com fichas, pequenas lanças de metal 
que eram cravadas no local da trenada e recolhidas pelo auxiliar de ré. O alinhamento das trenadas 
deve ser mantido para que não surjam curvas ao longo da medição. 
Figura 27 – Medição com trena em vários lances e alinhamento das trenadas 
 
 
 
 
 Prática de campo 1: medição de distâncias com trena e baliza 
a) Objetivos: 
- Determinar uma distância horizontal em vários lances com trena; 
- Adquirir a noção de alinhamento em medição segmentada por vários lances de trena; 
- Aferir a medida do passo. 
b) Materiais: 
- Trena de 20m e caderneta de campo 01. 
c) Procedimentos: 
Estabelecer duas estações (piquetes) A e B distantes entre si não mais que cerca de 120 m. Medir 3 vezes a distância 
AB, partindo de A para B, depois de B para A e finalmente de A para B. Caminhar em passos normais pelo alinhamento 
AB. Contar a quantidade de passos e anotar na caderneta. Realizar três contagens, partindo de A para B, depois de B 
para A e finalmente de A para B. Calcular a média aritmética das três observações e o comprimento médio do passo. 
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2.3.2 Processos Indiretos 
As distâncias são obtidas indiretamente a partir de grandezas que se relacionam por meio de modelos 
matemáticos conhecidos, não havendo, portanto, necessidade de percorrê-las para compará-las à grandeza 
padrão. 
 
2.3.2.1 Estadimetria 
 
Denomina-se Taqueometria o processo indireto de medição de distâncias pelo princípio estadimétrico em que 
se empregam: 
- Estádia: régua ou mira estadimétrica graduada em centímetros; e 
- Taqueômetro: instrumento para medição ótica de distância. Exemplos: teodolito e nível. 
 
O princípio geométrico dos métodos taqueométricos, pelo modo mais simples, pode ser exemplificado com o 
emprego de um nível (ângulo zenital constante e igual a 90º). Supõe-se a situação: um nível instalado na 
estação A com visada a uma mira posicionada na estação B. 
Figura 28 – Princípio da Estadimetria 
 
 
Geometricamente, tem-se a semelhança de triângulos: 
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b'a'
f
ABd
d
AB
f
b'a'

 
Eq. 71 
Considerando que 
K
b'a'
f

 
Eq. 72 
e que 
HABAB 
 
Eq. 73 
então 
HKd 
 
Eq. 74 
Logo 
 CdD
 
CHKD 
, 
Eq. 75 
onde C assume valor 0 cm para equipamentos com lunetas analáticas8 e de 25 a 50 cm para lunetas aláticas. 
O modo mais comum da estadimetria ocorre quando se emprega um teodolito, que permite a variação do 
ângulo zenital. Supõe-se a situação da figura seguinte. Do triângulo BB’M: 
HsenZH'
H
H'
senZ
2
H
2
H'
senZ  
Eq. 76 
Do triângulo OMO’: 

d'
d
senZ
 
senZd'd 
. 
Eq. 77 
Substituindo a Eq. 74 na Eq. 77, tem-se: 
KsenZH'd 
. 
Eq. 78 
Substituindo H da Eq. 76 na Eq. 78, tem-se 
 
8 Analática e alática: luneta distanciométrica analática possui um sistema de lentes que faz com que o vértice do ângulo 
diastiométrico venha a cair em um ponto do eixo ótico no interior da luneta. Se esse ponto é o centro do instrumento, ela é 
centralmente analática. Esse problema foi resolvido ao se adotar para a objetiva um sistema composto de duas lentes: a primeira das 
quais constitui a objetiva propriamente dita e a segunda, chamada lente analática, é colocada no interior da luneta de modo que o 
foco anterior do sistema, e, portanto, o ponto analático, coincida com o centro do instrumento. Na luneta estadimétrica alática, o foco 
exterior da objetiva muda conforme a focalização do ponto visado. 
38 
 
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