8PEAE Estimação de parâmetros conceitos e Dist Amostral [Modo de Compatibilidade]

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Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística 
aplicada à Engenhariaaplicada à Engenharia
Profa. Marília GomesProfa. Marília Gomes
-- EstimaçãoEstimação dede parâmetrosparâmetros:: conceitosconceitos
-- DistribuiçãoDistribuição amostralamostral
UnB UnB –– Universidade de BrasíliaUniversidade de Brasília
FGA FGA –– Faculdade UnB GamaFaculdade UnB Gama
Graduação Graduação –– ciclo básicociclo básico
• Relembrando...
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Métodos
Estatísticos
Estatística
Descritiva
Inferência
Estatística
• Inferência Estatística:
- Estimação de parâmetros: generalizar resultados
de uma amostra para a população de onde ela foi
extraída;
- Testes de Hipóteses: testar hipóteses com base
em amostras.
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
• Estudaremos o problema de avaliar certas
características dos elementos da população,
a partir de operações com os dados de uma
amostra;
• Raciocínio indutivo: resultados da parte
(amostra) são generalizados para o todo
(população)  este procedimento é
denominado estimação de parâmetros.
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
• Conceitos básicos:
- Parâmetro: alguma característica
descritiva dos elementos da população,
como por exemplo, a média e a variância de
alguma variável, a proporção de algum
atributo;
- Estatística: alguma operação com os
dados da amostra a ser selecionada. Por
exemplo, uma média ou uma proporção a
serem calculadas com estes dados;
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
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• Conceitos básicos:
- A estatística, quando usada com o objetivo
de avaliar, ou estimar, o valor de algum
parâmetro, também é chamada de
estimador;
- Erro amostral: corresponde à diferença
entre a estatística P (a ser calculada a partir
de uma amostra) e o parâmetro 
(característica dos elementos de uma
população).
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
• Alguns parâmetros e as respectivas
estatísticas que geralmente são usadas para
estimá-los:
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
• Ao observar uma particular amostra,
podemos calcular o valor da estatística que
estamos usando como estimador:
- o valor encontrado é chamado de
estimativa;
- Exemplo: Se em uma amostra n = 400
moradores encontrarmos 240 favoráveis a
um projeto implementado pela prefeitura do
município, então temos a seguinte
estimativa para o parâmetro  :
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
• Importante:
- não devemos esperar que o valor P
coincida com o parâmetro , devido ao que
chamamos de erro amostral;
- Dizemos que uma estimativa é tão mais
precisa quanto menor for o seu erro
amostral.
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
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• Um dos principais objetivos na teoria da
estimação é estimar um limite superior
provável para o erro amostral  este valor
será a base para a avaliarmos a precisão da
nossa estimativa.
• Nesta disciplina estaremos preocupados em
avaliar a precisão de estimativas de
parâmetros do tipo  (proporção de algum
atributo) e do tipo µ (média de alguma
variável quantitativa).
ESTIMAÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE 
PARÂMETROSPARÂMETROS
• Considere a seguinte situação:
- EXEMPLO 1: A prefeitura de uma cidade
pretende avaliar a aceitação de um projeto de
mudança no transporte coletivo. Depois de
apresentá-lo aos moradores do município, os
responsáveis por sua execução desejam avaliar o
valor aproximado do parâmetro  = % de
favoráveis ao projeto, dentre os residentes no
município. Para estimar este parâmetro, a
prefeitura planeja observar uma amostra aleatória
simples de n = 400 moradores e calcular o valor
da estatística P = proporção de moradores
favoráveis ao projeto na amostra.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• PERGUNTA-SE:
- o valor de P (proporção de favoráveis
numa amostra de n = 400 residentes no
município) vai ser um valor próximo da
verdadeira proporção , a qual se refere a
todos os usuários do município?
• Na prática o valor de  é desconhecido,
tentaremos responder a esta pergunta de
forma indireta, através do conhecimento de
como se distribuem os possíveis valores de
P.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• Diferentes valores de P podem ser obtidos
por diferentes amostras de n elementos,
extraídas da população de interesse, sob as
mesmas condições.
• Para cada amostra observada, temos um
valor para P. A distribuição do conjunto de
todos os possíveis valores de P,
correspondentes às possíveis amostras de
tamanho n, forma a chamada distribuição
amostral de P.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• A distribuição amostral de uma estatística
é a distribuição dos possíveis valores dessa
estatística, se examinássemos todas as
possíveis amostras de tamanho n, extraídas
aleatoriamente de uma população.
- Na prática, examinamos apenas uma amostra,
resultando em um único valor para a estatística –
uma estimativa. Porém, o conhecimento da
distribuição amostral da estatística permite
avaliarmos um limite superior para o erro amostral
(margem de erro), com certo nível de confiança.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• Para simplificar, vamos supor que a
população em estudo (EXEMPLO 1) seja
bastante grande, de tal forma que, para
cada elemento observado, a probabilidade
de ele ser favorável seja sempre igual a ,
independentemente dos elementos já
observados.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• Para ilustrarmos a distribuição amostral de
P, conforme a situação apresentada na
figura do slide anterior, podemos simular
várias amostras de tamanho n = 400.
• Como exemplo, vamos supor,
artificialmente, que o parâmetro é  = 0,7
(população com 70% de favoráveis).
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• Para avaliarmos a distribuição amostral de P
e termos informações sobre o erro amostral,
precisamos repetir esse processo várias
vezes, sob as mesmas condições.
• Realizaremos, então, uma simulação de 100
amostras de tamanho n = 400.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• A relação entre  e P:
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• Valores simulados de P nas 100 amostras:
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
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• Usando a distribuição Normal:
- Na maioria dos problemas de estimação de
parâmetros, não é necessário realizar
simulações para avaliar a precisão de uma
estimativa;
- Por exemplo, na estimação de uma
proporção, com base em uma amostra
aleatória simples, o experimento é
tipicamente binomial, com parâmetros n
(tamanho da amostra) e  (proporção do
atributo em questão);
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
- se n for grande, a distribuição binomial se
aproxima de uma distribuição normal;
- neste contexto, no caso da estatística
proporção, a média e o desvio padrão são
determinados em função de n e , da
seguinte forma:
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL