3 3 - Estimação de Parâmetros

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Estimação de Parâmetros
APRESENTAÇÃO
Quando trabalhamos com investigações estatísticas podemos lidar com dados populacionais ou 
amostrais, surgindo neste contexto, os conceitos de parâmetros e estimativas.
Os parâmetros são medidas numéricas calculadas com base nos dados de uma população. No 
entanto, nem sempre calcular os parâmetros é uma tarefa simples, então, nesses casos, 
coletamos dados relativos a amostras extraídas da população de interesse. Quando calculamos as 
medidas numéricas de uma amostra, temos estimativas para os parâmetros populacionais, que 
também podem ser conhecidas como estatísticas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos identificar parâmetros e estimadores, reconhecendo 
quando um estimador é eficiente e vamos diferenciar estimativas tendenciosas das não 
tendenciosas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Expressar parâmetros populacionais.•
Diferenciar estimativas tendenciosas de não tendenciosas.•
Identificar as consequências dos estimadores.•
DESAFIO
Sabemos que os parâmetros nem sempre são fáceis de serem calculados, o que nos leva muitas 
vezes, a optar por coletar dados relativos às amostras derivadas de uma população de interesse. 
Quando calculamos as medidas numéricas de uma amostra, teremos estimativas para os 
parâmetros populacionais, onde cada estimativa será o valor particular daquela amostra para 
estimar o verdadeiro valor do parâmetro.
É importante destacar que se coletarmos amostras diferentes de uma mesma população, os 
valores do estimador poderão mudar aleatoriamente a cada amostra coletada, gerando a 
distribuição de probabilidades amostral, onde teremos todos os resultados prováveis da 
estimativa da média em um intervalo de valores que a estimativa ocorre e onde estará o 
verdadeiro parâmetro populacional.
Ao trabalharmos com estimativas, é muito importante saber identificar quando ela á tendenciosa 
e quando ela não é tendenciosa e calcular corretamente o tamanho da amostra necessária para 
estimar uma média ou uma proporção.
Acompanhe a seguinte situação:
 
Desta forma, responda:
a) Explique, com suas palavras, o que torna uma estimativa tendenciosa e o que a torna não 
tendenciosa.
b) Uma das variáveis investigada em sua pesquisa são as despesas médicas anuais das famílias 
dos das pessoas com diabetes atendidas nessa unidade básica de saúde. A secretaria de saúde 
deseja ter 95% de confiança de que a média da amostra está no máximo com uma margem de 
erro de 50 reais da média real das despesas médicas familiares. Um estudo-piloto indicou que o 
desvio-padrão pode ser calculado como sendo igual a 400 reais. Qual o tamanho de amostra 
necessário?
INFOGRÁFICO
Quando estamos trabalhando com toda a população, as medidas numéricas são denominadas 
parâmetros. Todavia, as medidas numéricas de uma amostra são denominadas estimativas para 
os parâmetros populacionais.
Nesse contexto, cada estimativa apresenta o valor particular daquela amostra para estimar o 
verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, a partir das estimativas realizadas na amostra, podemos 
tirar conclusões a respeito dos parâmetros populacionais, processo que denominamos de 
inferência. Para que possamos realizar inferências, é importante reconhecer se uma estimativa é 
tendenciosa ou não e se estamos diante de uma estimativa eficiente ou não eficiente.
Este Infográfico poderá auxiliar você a reconhecer essas situações.
driller.vmi
Text Box
a) Estatística não tendenciosa é quando o parâmetro da distribuição amostral é igual (ou muito próximo) ao parâmetro populacional correspondente (média ser igual à média, mediana ser igual à mediana etc.) e, quando é diferente, é considerado tendencioso. Por exemplo, se a média da distribuição amostral das médias for igual à média da população, a média da amostra é um parâmetro não tendencioso da média da população.
b) Temos que:
driller.vmi
Stamp
CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe o capítulo Estimação de Parâmetros do livro Estatística, que é a base teórica para 
esta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura. 
ESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Estimação de parâmetros
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Expressar parâmetros populacionais.
 � Diferenciar estimativas tendenciosas de não tendenciosas.
 � Identificar as consequências dos estimadores.
Introdução
Neste capítulo, você identificará o que são parâmetros e estimadores. 
Além disso, aprenderá a identificar o que são estimadores tendenciosos e 
estimadores eficientes. Também, desenvolverá estratégias para identificar 
quais deles utilizar.
Como aplicação da teoria de probabilidade aos estimadores, você 
aprenderá a calcular intervalos de confiança para a média e a proporção 
que possibilitam estimar um intervalo de valores em que esteja contido 
o verdadeiro parâmetro populacional, com base em uma amostra. 
Parâmetros populacionais
Parâmetros são medidas numéricas calculadas com base nos dados de uma 
população. Podemos calcular alguns parâmetros, como a média populacional 
(μ), o desvio-padrão populacional (𝜎) e a proporção populacional (π). Observe 
que os parâmetros são representados por letras gregas.
μ =
∑ Xi
N média populacional
onde: 
Xi: cada um dos N elementos da população;
N: tamanho da população.
σ =
∑(Xi – μ)
2
N
 desvio-padrão populacional
onde: 
Xi: cada um dos N elementos da população;
μ: média populacional;
N: tamanho da população.
Parâmetros nem sempre são fáceis de serem calculados — seja porque nem 
sempre temos acesso a todos os elementos de uma população, seja porque 
pode ser muito oneroso coletar dados de uma população inteira, ou, ainda, 
porque não temos tempo para investigar todos os dados de uma população. 
Por esses e outros motivos, acabamos, muitas vezes, optando por coletar 
dados relativos às amostras derivadas de uma população de interesse. Quando 
calculamos as medidas numéricas de uma amostra, teremos estimativas, 
também chamadas de estatísticas, para os parâmetros populacionais. Na 
Figura 1, a seguir, há uma representação desses estimadores amostrais de 
parâmetros populacionais.
Figura 1. Estimadores amostrais de parâmetros populacionais.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 293).
Amostra
Inferência
Parâmetros
populacionais
μ
σ
π
Estimadores
amostrais
x–
s
p
Estimação de parâmetros2
Cada estimativa será o valor particular daquela amostra para estimar o 
verdadeiro valor do parâmetro. Se coletarmos amostras diferentes de uma 
mesma população, os valores do estimador poderão mudar aleatoriamente a 
cada amostra coletada. Então, a distribuição dessa variável (estimador amostral) 
é o que chamamos de distribuição de probabilidades amostral. 
O valor da estimativa da média, por exemplo, será específico para cada 
amostra, mas a distribuição de probabilidade que descreve essa aleatoriedade 
com os resultados das diferentes amostras é a distribuição amostral da média 
da amostra. Nessa distribuição, teremos todos os resultados prováveis da 
estimativa da média em um intervalo de valores que a estimativa ocorre e 
onde estará o verdadeiro parâmetro populacional. A distribuição amostral 
seguirá a mesma distribuição dos dados populacionais. Se estes seguem uma 
distribuição normal, consequentemente, os dados amostrais provenientes dessa 
população também seguirão uma distribuição de probabilidades normais.
A partir dessa distribuição de probabilidades amostrais (podendo ser 
diferente para cada um dos parâmetros) é que podermos tomar decisões sobre 
os parâmetros populacionais com base em estimativas amostrais.
Segundo Doane e Seward (2014), um estimador é uma estatística derivada 
de uma amostra para inferir o valor de um parâmetro populacional. Já uma 
estimativa é o valor do estimador em uma amostra particular.
Quando calculamos o valor de apenas uma amostra e estimamos os valores 
dos parâmetros por essa medida amostral, teremos uma estimativapor ponto. 
Claramente, nem sempre o valor calculado para a média dessa determi-
nada amostra (ou qualquer outro estimador) acertará no alvo o valor real da 
população. Sendo assim, para estimativas de parâmetros, podemos calcular 
intervalos com alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro 
populacional.
Podemos, também, calcular o erro cometido com esse estimador e, ainda, 
o tamanho mínimo para a amostra dessa estimativa.
Vale lembrar que o erro e a confiança fixados no cálculo para o tamanho de amostra 
só serão válidos se a amostra for probabilística. 
Qualquer amostra só poderá resultar em um bom estimador caso ela seja coletada 
de forma aleatória. Jamais podemos fazer uso de amostras não probabilísticas e ten-
denciosas para estimarmos parâmetros.
3Estimação de parâmetros
Estimativas tendenciosas e não tendenciosas
Mas o que é uma estimativa tendenciosa? Chamamos uma estimativa de ten-
denciosa, ou estimador viciado e estimador enviesado, quando esta subestimar 
ou superestimar o valor do parâmetro. 
Vício é a diferença entre a média da estatística (estimador) e o verdadeiro 
valor do parâmetro populacional. A Figura 2 ilustra a diferença entre um 
estimador tendencioso e não tendencioso.
Figura 2. Ilustração de estimadores tendenciosos e não tendenciosos.
Estimador não tendencioso Estimador tendencioso
Segundo Doane e Seward (2014), a média amostral (x–) e a proporção 
amostral (p) são estimadores não viciados da μ e da π, respectivamente. Mas 
podemos encontrar estimadores viciados quando consideramos o desvio-padrão 
amostral e o desvio-padrão populacional.
μ =
∑Xi
N média populacional
x– =
∑xi
n média amostral
� = XN proporção populacional
p = xn proporção amostral
Estimação de parâmetros4
σ =
∑(Xi – μ)
2
N
 desvio-padrão populacional
s =
∑(xi – x
–)2
n – 1
 desvio-padrão amostral
Estimativas eficientes
Um estimador é dito eficiente frente aos demais possíveis dentre as amostras 
oriundas da mesma população. Será aquele que tiver a menor variabilidade. 
Ou seja, se dois estimadores tiverem a mesma média, o estimador mais efi-
ciente será aquele com a maior variância. O outro estimador será considerado 
ineficiente, conforme ilustrado na Figura 3.
Figura 3. Ilustração de estimadores eficientes e não eficientes, ambos não viciados.
Estimador e�ciente Estimador não e�ciente
Como existe essa variabilidade, podemos, então, estimar o erro que estamos 
cometendo com essa estimativa. Quando estamos estimando a média popula-
cional (μ) pela média amostral (x–), cometemos o erro amostral: a probabilidade 
é de 1 – α de que a estimativa vá diferir para mais ou para menos do valor 
populacional por, no máximo, um erro de:
E = zα/2 ∙ 
σ
√n
5Estimação de parâmetros
onde:
E: erro máximo de estimativa;
𝜎: desvio-padrão populacional;
n: tamanho da amostra;
zα/2: valor da tabela normal padrão.
Na Figura 4, pode ser visualizada a distribuição amostral da média.
Figura 4. Distribuição amostral da média.
Fonte: Freund (2006, p. 272).
1 – α
α/2 α/2
x–
μ zα/2 ∙ 
σ
√n
No Quadro 1, a seguir, apresentamos os valores para os principais níveis de significância.
1 – α α/2 zα/2
1 – 0,1 = 0,90 = 90% 0,05 1,645
1 – 0,05 = 0,95 = 95% 0,025 1,960
1 – 0,01 = 0,99 = 99% 0,005 2,575
Quadro 1. Valores da tabela normal para os principais níveis de significância
Estimação de parâmetros6
Uma financeira coletou uma amostra aleatória de 100 pessoas para estimar o valor 
médio de endividamento de seus clientes. Com base em pesquisas anteriores, sabe-se 
que o desvio-padrão populacional é de R$ 630,00 (σ = 630,00). Com uma probabilidade 
de 95%, qual seria o erro máximo para a estimativa?
E = 1,960 · = 123,48630
√100
Com uma confiança de 95%, podemos afirmar que o erro máximo dessa estimativa 
é de 123,48.
Precisamos observar que nem sempre sabemos o verdadeiro valor do desvio-padrão 
populacional. Aliás, muito raramente teremos esse valor, pois, se tivéssemos facilmente 
o desvio-padrão populacional, já saberíamos o valor da média populacional.
Assim sendo, é admissível utilizarmos o desvio-padrão amostral como estimativa 
do desvio-padrão populacional, sempre que tivermos um tamanho da amostra igual 
ou superior a 30.
Consequências dos estimadores
Como consequências das propriedades dos estimadores, quando temos uma 
distribuição de probabilidades para os possíveis resultados de amostras alea-
tórias, podemos calcular intervalos de confiança que contenham o verdadeiro 
valor do parâmetro populacional e uma confiança associada a esse intervalo. 
Podemos, também, calcular tamanhos mínimos de amostras para que os dados 
amostrais sejam representativos de toda uma população.
A distribuição de probabilidades associada aos dados da nossa população 
é que nos dará a confiança necessária tanto para os intervalos de confiança 
quanto para o tamanho mínimo de amostras. Leva-se em consideração o 
teorema do limite central.
Intervalos de confiança 
Podemos calcular um intervalo de variação para a média amostral, que terá uma 
probabilidade definida de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Isso é possível porque temos uma distribuição associada aos dados po-
pulacionais e amostrais. Utilizaremos a distribuição normal para esses in-
tervalos e teremos uma confiança fixada de acordo com essa distribuição de 
probabilidades.
7Estimação de parâmetros
Existem valores que são mais comuns para o cálculo dos intervalos de 
confiança: 90%, 95% e 99%. Os valores das probabilidades associadas a esses 
níveis de confiança são os seguintes:
90% de confiança → z0,05 = 1,645
95% de confiança → z0,025 = 1,960
99% de confiança → z0,005 = 2,575
O intervalo de confiança para estimar uma média é descrito a seguir:
x– ± zα/2 ∙ 
σ
√n
 com o desvio-padrão populacional conhecido
x– ± tα/2; n – 1 ∙ 
s
√n
 com o desvio-padrão populacional desconhecido
Observe que, ao invés de utilizarmos a distribuição normal para o intervalo 
de confiança com o desvio-padrão desconhecido, tomamos a distribuição t-stu-
dent, observando o α/2 e n–1 graus de liberdade. Vale ressaltar que, para n ≥ 30, 
os valores da distribuição t e da distribuição normal igualam-se. Observe a 
Figura 5, a seguir.
Figura 5. Comparação distribuição t e distribuição normal.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 306).
A distribuição t tem o mesmo formato da distribuição normal, mas, para n 
menor do que 30, existe uma pequena diferença no formato, ocasionada pelo 
tamanho da amostra. Veja a tabela da Figura 6.
Estimação de parâmetros8
Figura 6. Distribuição t-student.
Para encontrar o valor tabelado, cruzamos a coluna de alfa escolhido com 
a linha dos graus de liberdade. Nesse caso do número de graus de liberdade, 
precisamos fazer n–1. 
9Estimação de parâmetros
Suponha que a financeira coletou uma amostra de 100 clientes e questionou sobre o 
valor de endividamento deles, obtendo como resultado uma média amostral de R$ 
2.350,00 e um desvio-padrão amostral de R$ 590,00. Obtenha o intervalo de confiança 
de 95% para a média.
x– = 2350,00
s = 590,00
n = 100
t0,025;99 = 1,960
x– ± tα/2
;n – 1 · = 2350 ± 1,960 ·
2350 ± 115,64
[2234,36; 2465,64]
s
√n
590
√100
Com 95% de confiança, a verdadeira média populacional para o valor médio de 
endividamento estará entre R$ 2.234,36 e R$ 2.465,64.
De acordo com o intervalo, podemos calcular o tamanho mínimo de amostra 
para quando queremos estimar a média populacional, isolando o n na equação 
do erro máximo amostral. Esse valor nos fornecerá um tamanho de amostra 
mínimo para que a amostra seja representativa da população, caso coletada 
de forma aleatória.
n =
zα/2 ∙ σ
E( )
2
Por exemplo, qual seria o tamanho mínimo de amostra com uma confiança 
de 95%, no caso de uma pesquisa com consumidores para investigar o valor 
gasto com presentes no dia dos namorados. Sabe-se que o desvio-padrão 
populacional da pesquisa no ano anterior foi de R$ 65,00. Os pesquisadores 
querem errar, no máximo, em R$ 10,00.
Estimação de parâmetros10z0,025 = 1,96
σ = 65,00
E = 10,00
n =
zα/2 ∙ σ
E( ) ( )
2 2
= = 162,3 = 1631,96 · 6510
Vale ressaltar que, no caso do tamanho mínimo de amostra, sempre se 
arredonda para cima, independentemente de regras de arredondamento.
Podemos calcular, também, um intervalo de variação para a proporção 
amostral. A teoria é semelhante à empregada no intervalo de confiança para 
a média. Os cálculos são realizados de acordo com a equação a seguir.
p ± zα/2 ·
p ∙ (1 – p)
n
onde:
p: proporção amostral
n: tamanho da amostra
Zα/2
: valor tabela normal padrão
Assim como podemos calcular o tamanho mínimo de amostra para estimar 
uma média, também podemos calcular o tamanho mínimo de amostra para 
estimar uma proporção. A fórmula do tamanho mínimo de amostra também 
é derivada da fórmula do erro máximo amostral para a proporção.
Ainda temos o intervalo de variação para o desvio-padrão de uma amostra 
retirada de uma população que segue uma distribuição normal.
n =
zα/2
2 ∙ p(1 – p)
E2
Quando não conhecemos o verdadeiro valor da proporção populacional, 
utilizamos o p = 0,5. Assim, podemos superestimar o tamanho da amostra, 
já que a proporção não é conhecida.
11Estimação de parâmetros
Suponha que você deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com determinado 
produto da sua empresa. Deseja-se cometer um erro máximo de estimação de 3%, 
com uma confiança de 90%. Qual seria o tamanho mínimo de amostra para estimar 
essa proporção?
zα
/2
 = 1,645
p = 0,5 pois o p é desconhecido
E = 0,03 precisamos tirar do percentual
n =
zα/2
2 · p(1 – p)
E2
=
1,6452 · 0,5 · (1 – 0,5)
0,032
= 752
 
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: AMGH; Bookman, 2014. 840 p.
FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2006. 536 p.
Leitura recomendada
SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 600 p. 
(Coleção Schaum).
Estimação de parâmetros12
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Na estatística, parâmetros são medidas numéricas calculadas com base nos dados de uma 
população. No entanto, nem sempre é possível trabalhar com dados populacionais, de modo que 
necessitamos lidar com dados amostrais. Nessas situações, realizamos estimativas para os 
parâmetros populacionais, conhecidas como estimadores ou estatísticas, mas muito importante 
reconhecer quando uma estimativa é tendenciosa ou não tendenciosa, assunto que abordaremos 
neste vídeo. 
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EXERCÍCIOS
1) Em uma pesquisa, foram entrevistadas 100 famílias de um determinado bairro na 
tentativa de descobrir a média do gasto mensal com alimentação. Sabe-se que o 
desvio padrão da população em estudo é 0,5. Qual a probabilidade de que o erro 
relativo NÃO seja maior que 5%? 
A) 5%.
B) 0,5%.
C) 68%
D) 6,8%
E) Como o número de famílias é superior a 30, não é possível estimar, com exatidão, a 
probabilidade do erro relativo.
Um instituto de pesquisa precisa descobrir qual o erro relativo de uma pesquisa em 2) 
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
que foram entrevistadas 100 famílias de um determinado bairro na tentativa de 
descobrir a média do gasto mensal com alimentação. Sabe-se que o desvio padrão da 
população em estudo é 0,5 e o nível de significância é de 90%. Marque a alternativa 
correta que representa o erro relativo. 
A) A probabilidade de 90% é obtida com um erro relativo de 90%.
B) Como o número total de famílias não mudou, o valor continua sendo 68%.
C) A probabilidade de 90% é obtida com um erro relativo de 8,2%.
D) A probabilidade de 90% é obtida com um erro relativo de 82%.
E) Como o número de famílias é superior a 30, não é possível estimar, com exatidão, a 
probabilidade do erro relativo.
3) Deseja-se fazer uma pesquisa para investigar o gasto mensal das famílias com 
alimentação. Marque a alternativa que representa o número de famílias que devemos 
entrevistar nessa pesquisa em que se tem desvio padrão 0,5, nível de significância de 
90% e o erro relativo não deve ser maior que 5%. 
A) 26,9 famílias.
B) O número total de famílias não precisa mudar; ele continua sendo 100.
C) 27 famílias.
D) 269 famílias.
E) 2.685 famílias.
driller.vmi
Highlight
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Stamp
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
4) Um centro de controle de qualidade recebeu cinco peças de determinada empresa, 
com os seguintes pesos (em gramas) 65; 64; 66; 63 e 64. Para emitir o laudo de 
conformidade, quais devem ser as estimativas não tendenciosas e eficientes da média 
e da variância? 
A) Média: 64,3 e variância: 1,30.
B) Média: 64,6 e variância: 1,30.
C) Média: 64,4 e variância: 1,23.
D) Média: 64,3 e variância: 1,23.
E) Média: 64,4 e variância: 1,30.
5) Um teste de seleção para astronautas precisa selecionar aqueles que reagem mais 
rapidamente aos sinais de emergência. Ao medir o tempo de reação, encontrou-se um 
desvio-padrão de 0,05 s. Quantos candidatos o teste precisará avaliar para que o erro 
da estimativa não ultrapasse 0,01 s, com uma probabilidade de 95%? 
A) Mais de 1.000 candidatos.
B) Mais de 100 candidatos.
C) 96 candidatos.
D) 97 candidatos.
E) 99 candidatos.
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Highlight
driller.vmi
Stamp
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Highlight
driller.vmi
Stamp
NA PRÁTICA
Qualquer amostra só poderá resultar em um bom estimador caso ela seja coletada de forma 
aleatória. Se desejarmos fazer inferências, jamais poderemos utilizar amostras não 
probabilísticas e tendenciosas para estimarmos parâmetros. Veja o exemplo a seguir:
Neste exemplo, é importante reconhecer:
População: quantidade de peças fabricadas pela população.
Amostra: peças que serão utilizadas para fazer os testes.
Parâmetros: medidas numéricas calculadas com base nos dados de todas as peças fabricadas, 
que neste caso não é viável para a empresa.
Estimativas: medidas numéricas calculadas com base em uma amostra.
 
Lembre-se que qualquer amostra só poderá resultar em um bom estimador caso ela seja coletada 
de forma aleatória. Não podemos fazer uso de amostras não probabilísticas e tendenciosas para 
estimarmos parâmetros.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Estimação de Parâmetros
Esse texto discute dois ramos do procedimento de estimação de parâmetros: estimação pontual e 
estimação intervalar, ressaltando como você pode identificar um modelo razoável, e estimar um 
parâmetro associado com esse modelo.
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Impactos socioeconômicos do setor sucroenergético são apontados em estudo
Esse artigo apresenta uma pesquisa realizada no setor sucroenergético, que se utilizou de 
estimativas. Nesse estudo, foram levantados cerca de 1.300 trabalhos e artigos e selecionada 
uma amostra de 46 estudos para leitura integral e analítica.
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População e Amostra - Estatística Básica - Estimativa, estimador e parâmetros
Esse vídeo define população e amostra, destacando a diferença entre parâmetro e estimador a 
partir de exemplos.
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ESTIMATIVA E ESTIMADOR. VAMOS EXTRAPOLAR?
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