ESTATISTICA FGA_variavel aleatoria [Modo de Compatibilidade]

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Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística 
aplicada à Engenhariaaplicada à Engenharia
ProfaProfa. Marília Gomes. Marília Gomes
--VariávelVariável aleatóriaaleatória:: definiçãodefinição
UnB UnB –– Universidade de BrasíliaUniversidade de Brasília
FGA FGA –– Faculdade UnB GamaFaculdade UnB Gama
Graduação Graduação –– ciclo básicociclo básico
• Definição:
- é uma função que associa valores
numéricos a resultados de uma experiência
aleatória.
• Usualmente uma variável aleatória é
representada por uma letra maiúscula.
• O conjunto de todos os possíveis valores de
uma v.a. é o contradomínio da v.a.
representado por Rx (considerando que a
v.a. é X).
VARIÁVEL ALEATÓRIA (VARIÁVEL ALEATÓRIA (v.a.v.a.))
VARIÁVEL ALEATÓRIA (VARIÁVEL ALEATÓRIA (v.a.v.a.)) VARIÁVEL ALEATÓRIA (VARIÁVEL ALEATÓRIA (v.a.v.a.))
• Exemplo:
Experimento: lançamento de duas moedas
não viciadas
 = { (c , c) , ( c , k) , ( k , c) , ( k , k)}
X = “número de caras obtido ao jogar as
duas moedas”
X = { 0 , 1 , 2 }
VARIÁVEL ALEATÓRIA (VARIÁVEL ALEATÓRIA (v.a.v.a.))
X = 0 (nenhuma cara) – corresponde ao
evento {(k , k)}
X = 1 (uma cara) – corresponde ao evento {(
k , c) , ( c , k) }
X = 2 (duas caras) – corresponde ao evento
{(c , c)}
Para este mesmo espaço amostral, poderíamos
definir muitas outras variáveis, por exemplo, o
quadrado do número de “caras”, ou, o número de
“caras” menos o números de “coroas”, etc.
VARIÁVEL ALEATÓRIA (VARIÁVEL ALEATÓRIA (v.a.v.a.))
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• Uma variável aleatória X será discreta se os
seus resultados possíveis (seu
contradomínio) são valores num conjunto
finito ou infinito numerável de pontos da
reta.
- Ex: X = o número de bolas pretas retirada de uma urna.
• Uma variável aleatória X será contínua se os
seus resultados possíveis (seu
contradomínio) são valores num intervalo de
números reais.
- Ex: X = o peso ou a altura de pessoas de uma cidade.
TIPO DE VARIÁVEL TIPO DE VARIÁVEL 
ALEATÓRIAALEATÓRIA
TIPO DE VARIÁVEL TIPO DE VARIÁVEL 
ALEATÓRIAALEATÓRIA
• Construção de distribuições de
probabilidade:
- Voltando para o exemplo das bolinhas...
DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
• Exemplo 1:
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Atenção para o 
denominador 
DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
• Exemplo 2:
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Atenção para o 
denominador 
DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
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• Observe que, nos exemplos 1 e 2, para
cada um dos eventos apresentados
(situação com ou sem reposição) temos
uma probabilidade associada;
• Isto nos permite escrever a função (x, p(x))
que é um modelo teórico para a distribuição
da variável aleatória X = número de bolas
pretas na amostra.
DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
• Notação geral:
x é o valor da variável aleatória X
p(x) é a probabilidade de X tomar o valor x,
ou seja, P(X = x)
(x, p(x)) é a função de probabilidade da
variável aleatória X
DISTRIBUIÇÕES DE DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
• Função de uma v.a. discreta:
- os números p(xi), devem satisfazer às
seguintes condições:
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETADISCRETA
• Alguns exemplos:
- número de acidentes numa semana;
- número de caras em cinco lançamentos de
moeda;
- número de defeitos em sapatos;
- número de falhas numa safra;
- número de terremotos;
- número de jogos empatados;
- número de livros numa estante.
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETADISCRETA
• As probabilidades de eventos associados a
uma variável aleatória contínua X podem ser
calculadas através de uma função
densidade de probabilidade f, que deve
satisfazer:
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
CONTÍNUACONTÍNUA
• Alguns exemplos:
- valores de corrente elétrica em um cabo elétrico;
- flutuações de temperatura;
- pesos de caixas de laranja;
- medidas de uma peça usada na indústria para
fins de controle de qualidade;
- alturas de pinheiros;
- duração de uma conversa telefônica;
- tempo necessário para completar um ensaio.
VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
CONTÍNUACONTÍNUA
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• Dada a v.a. X, chamaremos de função de
distribuição acumulada (f.d.a.), F(x) à função
F(x) = P(X ≤ x)
- Se X for uma v.a. discreta:
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
ACUMULADAACUMULADA
• Dada a v.a. X, chamaremos de função de
distribuição acumulada (f.d.a.), F(x) à função
F(x) = P(X ≤ x)
- Se X for uma v.a. contínua:
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
ACUMULADAACUMULADA
• Exemplo 1:
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
ACUMULADAACUMULADA
• Exemplo 2:
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
ACUMULADAACUMULADA