Ondas mecânicas

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Prof. Dr. Yuri V. B. de Santana 
 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
 Descrição matemática de uma onda; 
 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
 Interferência em uma onda, condições de contorno e superposição; 
 Ondas estacionárias em uma corda; 
 Modos normais de uma corda. 
11:10 2 
 O que se entende por uma onda mecânica e as diferentes variedades de 
ondas mecânicas; 
 Como usar a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda 
para uma onda periódica; 
 Como interpretar e usar a expressão matemática para uma onda periódica 
senoidal; 
 Como calcular a velocidade de onda em uma corda ou fio; 
 Como calcular a taxa na qual a energia mecânica é transportada na onda 
mecânica; 
 O que acontece quando ondas mecânicas se sobrepõem e interferem; 
 As propriedades de uma onda estacionária em um fio e como analisar essas 
ondas; 
 Como instrumentos de corda produzem sons de frequências específicas; 
11:10 3 
As ondas podem ocorrer sempre que um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e 
quando a perturbação pode viajar ou propagar, a partir de uma região do sistema para outra. 
Conforme uma onda se propaga, ela transporta energia. 
Quais os aspectos de uma 
onda sísmica determinam 
qual a potência carregada 
pela onda? 
11:10 4 
I. Ondas mecânicas: Essas ondas são as mais familiares porque as encontramos 
constantemente. Entre elas estão as ondas do mar e as ondas sonoras. Todas essas ondas 
possuem duas características: são governadas pelas leis de Newton e precisam de um 
material para se propagar chamado “meio” (como água, ar). 
 
 
II. Ondas eletromagnéticas: Exemplos são: luz visível, ondas de rádio e TV, micro-ondas. 
Essas ondas não precisam de um meio material para existir. Todas as ondas 
eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade c = 299.792.458 m/s. 
 
 
III. Ondas de matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares. 
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 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
 Descrição matemática de uma onda; 
 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
 Interferência em uma onda, condições de contorno e superposição; 
 Ondas estacionárias em uma corda; 
 Modos normais de uma corda. 
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Uma onda mecânica é uma perturbação que se desloca através de algum material ou substância 
chamado meio. À medida que a onda viaja através do meio, as partículas que compõem o meio sofrem 
deslocamentos de vários tipos, dependendo da natureza da onda. 
11:10 7 
https://www.youtube.com/watch?v=f66q22Gbr9E 
Estes exemplos têm três coisas em comum. 
 
 Em primeiro lugar, em cada caso, a perturbação se propaga através do meio com uma velocidade 
definida. Esta velocidade chama-se a velocidade de propagação, ou simplesmente a velocidade da onda. 
O seu valor é determinado em cada caso pelas propriedades mecânicas do meio. Nós vamos usar o 
Símbolo v para a velocidade da onda. A velocidade de onda não é a mesma que a velocidade com que 
partículas se movem quando eles são perturbadas pela onda; 
 
 Em segundo lugar, o próprio meio não viaja através do espaço; suas partículas individuais se 
movimentam para frente e para trás, ou para cima e para baixo em torno de suas posições de equilíbrio. O 
padrão global da perturbação da onda é o que viaja; 
 
 Em terceiro lugar, para colocar qualquer um destes sistemas em movimento, temos que colocar 
energia fazendo trabalhos mecânicos no sistema. O movimento de onda transporta esta energia a partir 
de uma região do meio para outra. Ondas transportam energia, mas não matéria, de uma região para 
outra. 
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 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
 Descrição matemática de uma onda; 
 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
 Interferência em uma onda, condições de contorno e superposição; 
 Ondas estacionárias em uma corda; 
 Modos normais de uma corda. 
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 A onda transversal em uma corda esticada na Fig.a é um exemplo de um pulso ondulatório. 
 A mão balança a corda para cima e para baixo apenas uma vez, exercendo uma força transversal força 
sobre ela com esse movimento. 
 O resultado é uma única “ondulação," ou pulso, que viaja ao longo do comprimento da corda. 
 A tensão na corda restaura a sua posição de equilíbrio em linha reta uma vez que o pulso passou. 
Uma situação mais interessante se desenvolve quando damos a extremidade livre da corda um 
movimento repetitivo, ou periódico. Então, cada partícula na corda também sofre movimento 
periódico conforme a onda se propaga, e nós temos uma onda periódica. 
11:10 10 
Em particular, suponha que movamos a corda para cima e para baixo com MHS com amplitude A, 
frequência f, frequência angular ω = 2πf, e período T = 1/f. A fig. mostra uma forma de fazer isso. A 
onda resultante é uma sequência simétrica de cristas e vales. 
• Como veremos ondas periódicas com MHS são particularmente fáceis de se analisar, nós as 
chamamos de ondas senoidais. 
• Acontece que qualquer onda periódica pode ser representada como uma combinação de ondas 
senoidais. Portanto este tipo particular de onda merece atenção especial. 11:10 11 
Qualquer ponto da corda 
oscila para cima e para 
baixo com MHS em torno 
da posição de equilíbrio 
Quando uma onda senoidal 
passa através de um meio toda 
partícula do meio submete-se 
a um MHS com mesma 
frequência f da fonte. 
O comprimento de um 
padrão de onda completo 
é a distância entre duas 
cristas ou dois vales. 
Chamamos essa distância 
de comprimento de onda 
(λ); 
A configuração da 
onda viaja com 
velocidade constante v 
e avança uma distância 
de um comprimento de 
onda λ em um tempo de 
um período T. Portanto 
v é dado por: 
fTv   /
(01) 
11:10 12 
fTv   /
(01) 
A velocidade de propagação é igual ao produto do comprimento 
de onda pela frequência. 
A frequência é uma propriedade de toda a onda periódica porque 
todos os pontos da corda oscilam com a mesma frequência f. 
Ondas em uma corda se propagam em apenas uma dimensão. 
Mas as ideias de frequência, comprimento de onda e amplitude 
se aplicam igualmente bem às ondas que se propagam em 
duas ou três dimensões. 
Em muitas situações importantes, incluindo ondas em uma corda, a velocidade da onda é inteiramente 
determinada pelas propriedades mecânicas do meio. Nesse caso, aumentando f causa a diminuição de λ 
de modo que o produto continua a ser o mesmo, e ondas de todas as frequências se propagam com a 
mesma velocidade em um determinado meio. 
11:10 13 
Para entender a mecânica de uma onda periódica longitudinal, consideramos um longo tubo cheio com 
um fluido, com um pistão na extremidade esquerda como na Fig. Se empurrar o pistão, comprimimos o 
fluido perto do êmbolo, aumentando a pressão nesta região. A seguir esta região, empurra a região 
vizinha de fluido, e assim por diante, fazendo um pulso ondulatório se propagar ao longo do tubo. 
Agora suponha que movemos o pistão para frente e para trás com MHS, ao longo de uma linha paralela 
ao eixo do tubo (Fig.). Este movimento produz regiões com densidades e pressões maiores ou menores 
do que os valores de equilíbrio. Chamamos uma região de maior densidade de compressão; e uma 
região de menor densidade de expansão. O comprimento de onda é a distância de uma compressão até a 
próxima ou de uma expansão até a próximo. 
11:10 14 
 O padrão de compressões e expansões se move continuamente 
para a direita. Cada partícula nomeio oscila com MHS paralelo à 
direção de propagação da onda (isto é, para a esquerda e para a 
direita) com a mesma amplitude A e período T do pistão. 
 
As partículas mostradas pelos dois pontos vermelhos na Fig. estão 
um comprimento de onda distante, e assim oscilam em fase uns 
com os outros. 
 
 Assim como na onda senoidal transversal, em um período a onda 
viaja um comprimento de onda, e a equação fundamental v = λf se 
mantém. 
11:10 15 
11:22 16 
 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
 Descrição matemática de uma onda; 
 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
 Interferência em uma onda, condições de contorno e superposição; 
 Ondas estacionárias em uma corda; 
 Modos normais de uma corda. 
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Muitas das características das ondas periódicas podem ser descritas utilizando os conceitos de velocidade 
da onda, amplitude, período, frequência e comprimento de onda. Muitas vezes, porém, nós precisamos de 
uma descrição mais detalhada das posições e movimentos das partículas individuais do meio em 
determinados momentos durante a propagação da onda. 
),( txyy 
Função de onda que descreve a onda. 
11:10 18 
• Resumidamente, y é uma função de x e de t; y = y(x, t). 
• Dizemos que y(x, t) é a função de onda que descreve a onda. 
• Quando conhecemos essa função para uma dada onda, podemos usá-la para achar o deslocamento (a 
partir do equilíbrio) de qualquer partícula em qualquer instante. 
• A partir desse resultado, podemos calcular a velocidade e a aceleração de qualquer partícula, a forma 
da corda e qualquer outro tipo de informação que desejarmos saber sobre o comportamento da corda 
em qualquer instante. 
(02) 
(03) 
(04) 
(04) 
(05) 
 O argumento da função cosseno possui ainda o ângulo de fase φ. 
 Vamos considerar φ = 0 em nossas análises. 
Definimos uma grandeza chamada de número de onda, dada por: 

2
k
(06) 
A figura (a) representa graficamente a função de onda y (x,t) 
como uma função de x para um tempo específico t. Este 
gráfico mostra o deslocamento y de uma partícula a partir da 
sua posição de equilíbrio em função da coordenada x da 
partícula. Em particular, no momento t = 0: 

x
AkxAtxy 2coscos)0,( 
A figura (b) é um gráfico da função de onda em função 
do tempo t para uma coordenada x específica. Este 
gráfico dá o deslocamento y da partícula na coordenada 
como uma função do tempo; isto é, descreve o 
movimento de cada partícula. Em particular, na posição 
x = 0: 
(a) 
T
t
AtAtAtxy  2cos)cos()cos(),0( 
(b) 
11:10 21 
Podemos modificar as eqs (03) até (07) para representar uma onda viajando na direção negativa de x. 
Nesse caso o deslocamento do ponto x no tempo t é o mesmo do movimento do ponto x = 0 em um 
tempo posterior (t + x/v), portanto na eq. (02) substituímos t por (t + x/v). Para uma onda viajando na 
direção negativa de x: 
)cos(2cos2cos),( tkxA
T
tx
At
v
x
fAtxy  























(07) 
A grandeza (kx ±ωt) é chamada de fase. Ela desempenha o papel de uma grandeza angular 
(sempre medida em radianos), e seu valor para qualquer x e t determinam qual parte do 
ciclo senoidal está ocorrendo em um determinado ponto e tempo. 
11:10 22 
A partir da função de onda, podemos obter uma expressão para a velocidade transversal de qualquer 
partícula em uma onda transversal; 
Vamos chamá-la vy para distingui-la da velocidade de propagação da onda v. 
Para encontrar a velocidade transversal num determinado ponto x, tomamos a derivada da função de 
onda em relação a t, mantendo x constante. 
)(
),(
tkxAsen
t
txy
vy  



(08) 
11:10 23 
),()cos(
),( 22
2
2
txytkxA
t
txy
ay  



(09) 
(12) 
11:10 24 
2
2
22
2 ),(1),(
t
txy
vx
txy





(11) 
Equação (11), chamada de equação de onda, é uma das mais importantes equações em toda a física. Sempre que 
ocorre, sabemos que uma perturbação pode se propagar como uma onda ao longo do eixo-x com velocidade 
da onda v. 
11:10 25 
Podemos também fazer derivadas parciais de y(x,t) com relação a x mantendo t constante: 
A 1° derivada é a inclinação da corda no ponto x e tempo t. 
A 2 ° derivada é a curvatura da onda. 
),()cos(
),( 22
2
2
txyktkxAk
x
txy


 
(10) 
2
2
2
22
22
/),(
/),(
v
kxtxy
ttxy


 
 Tipos de ondas mecânicas; 
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 Modos normais de uma corda. 
11:10 26 
Uma das propriedades chave de qualquer onda é a velocidade da onda. 
As ondas de luz no ar têm uma velocidade muito maior do que a velocidade de propagação 
de ondas sonoras no ar (3,00 x 108 m/s contra 344 m/s) é por isso que você vê o flash de um 
relâmpago antes de ouvir o trovão. 
É importante compreender a velocidade dessas ondas porque é uma parte essencial na 
analise instrumentos musicais de cordas, como discutiremos mais adiante neste capítulo. 
Além disso, as velocidades de muitos tipos de ondas mecânicas têm essa mesma expressão 
matemática básica que tem a velocidade das ondas em uma corda. 
11:10 27 
 Poderíamos supor que o aumento da tensão deve aumentar as forças de restauração que tendem a 
endireitar a corda quando ela é perturbada, aumentando assim, a velocidade da onda. 
 
 Nós também podemos imaginar que o aumento da massa deve fazer o movimento mais lento e 
diminuir a velocidade. 
 
Ambas as suposições estão corretas. Vamos desenvolver a relação exata entre velocidade da onda, 
tensão, e massa por unidade de comprimento; 
As quantidades físicas que determinam a velocidade das ondas transversais numa corda são a tensão 
na corda (F) e sua massa por unidade de comprimento (μ) (também chamado densidade linear de 
massa). 
11:10 28 

F
v 
(12) 
A equação (12) dá a velocidade da onda apenas para o caso especial de ondas mecânicas em um fio ou 
corda esticada. Notavelmente, verifica-se que para muitos tipos de ondas mecânicas, incluindo ondas 
em uma corda, a expressão para velocidade da onda tem a mesma forma geral: 
equilíbrio ao retorno ao resistindo Inércia
equilíbrio ao sistema o retornando orestauraçã de Força
v
Para interpretar esta expressão, vamos olhar para o caso familiar de ondas em um corda. 
 A tensão F na corda desempenha o papel da força de restauração; ela tende a trazer a corda de volta 
para sua configuração de equilíbrio. 
 A massa da corda, ou, mais propriamente, a densidade de massa linear μ fornece a inércia que impede 
a corda de retornar instantaneamente ao equilíbrio. 
11:10 29 
 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
 Descrição matemática de uma onda; 
 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
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 Modos normais de uma corda. 
11:10 30 
 Todo movimento ondulatório possui uma energia associada a ele. São exemplos a energia que nós 
recebemos da luz solar e os efeitos destrutivos dos terremotos e das grandes ondas de uma ressaca. 
 
 Para produzir qualquer um dos movimentos ondulatórios discutidos neste capítulo, devemos aplicar 
força a uma parte do meio onde a onda se propaga;o ponto sobre o qual a força é exercida se move, 
portanto realizamos trabalho sobre o sistema. 
 
 À medida que a onda se propaga, cada porção do meio exerce uma força e realiza um trabalho sobre a 
porção adjacente. Desse modo, a onda pode transportar energia de uma região do espaço para outra. 
Como um exemplo de considerações de energia em movimento de onda, vamos olhar novamente para 
ondas transversais em uma corda. Como a energia é transferida de uma parte da corda para outra? 
11:10 31 
 Imagine uma onda viajando da esquerda para a direita (direção-x positiva) em uma corda, e considere 
um ponto a particular na corda. (Fig.a). 
 A corda a esquerda do ponto a exerce uma força sobre a corda a direita dele, e vice-versa. 
11:10 32 
Quando o ponto a se move na direção +y, a 
força Fy realiza trabalho neste ponto e 
portanto transfere energia para a parte da 
corda que está a direita do ponto a. 
A potência P correspondente (taxa de 
realização de trabalho) no ponto a é a força 
transversal Fy(x,t) em a vezes a velocidade 
transversal. vy(x,t): 
)(),( 222 tkxsenAFtxP   (13) 
 A taxa média de transferência de energia é proporcional ao quadrado da amplitude e ao 
quadrado da frequência. Esta proporcionalidade é um resultado geral de ondas mecânicas de todos os 
tipos, incluindo ondas sísmicas. Para uma onda mecânica, a taxa de transferência de energia se 
quadruplica se a frequência é duplicada (para a mesma amplitude) ou se a amplitude é duplicada (para a 
mesma frequência). 
11:10 33 
)(),( 222 tkxsenAFtxP   (13) 
22 AFP
MÁX
 (14) 
(15) 
Ondas em uma corda transportam energia em apenas uma dimensão do espaço (ao longo da direção de 
propagação). Mas outros tipos de ondas, incluindo ondas de som no ar e ondas sísmicas no corpo da 
terra, transportam energia em todas as três dimensões do espaço. 
11:10 34 
• Definimos a intensidade da onda (simbolizada pela letra I) 
como a taxa média de tempo em que a energia é 
transportada pela onda, por unidade de área, sobre uma 
superfície perpendicular à direção de propagação. 
24 R
P
I


2
1
2
2
2
1
R
R
I
I

• Quanto maior a distância de uma fonte de ondas, maior a 
área sobre a qual a potência da onda é distribuída e 
menor a intensidade da onda. 
(16) 
(17) 
 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
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 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
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 Modos normais de uma corda. 
11:10 35 
11:10 36 
• Até este ponto discutimos ondas que se propagam continuamente na mesma direção. Mas 
quando uma onda atinge os limites do seu meio, a totalidade ou parte da onda é 
refletida. 
• Quando você grita virado para uma parede ou para um penhasco há alguma distância, a 
onda sonora é refletida da superfície rígida e você ouve um eco. 
• Quando você sacode a ponta de uma corda cuja extremidade está ligada a um suporte 
rígido, um pulso viaja o comprimento da corda e é refletido de volta para você. 
• Em ambos os casos, as ondas inicial e refletida sobrepõem-se na mesma região do meio. 
• Esta sobreposição de ondas é chamada interferência. (Em geral, o termo interferência 
refere-se ao que acontece quando duas ou mais ondas passam através da mesma 
região, ao mesmo tempo). 
11:10 37 
Como um exemplo simples de reflexões de onda e o papel da fronteira, vamos olhar novamente para as 
ondas transversais em uma corda esticada. O quê acontece quando um pulso de onda senoidal chega ao 
fim da corda? 
1° extremidade fixa: A onda que chega exerce uma força sobre o suporte; a reação desta força, exercida 
pelo suporte sobre a corda, "reage de volta" sobre a corda e produz um pulso refletido ou onda que se 
propaga no sentido oposto. O pulso refletido se move na direção oposta do pulso inicial, ou incidente, 
e o seu deslocamento é também oposto. 
2° extremidade livre: O anel e a haste mantém a tensão, mas não exercem nenhuma força transversal. 
Quando uma onda chega a esta extremidade livre, o anel desliza ao longo da haste. O anel atinge um 
deslocamento máximo, e tanto ele quanto a corda alcançam o repouso momentaneamente. Porém neste 
momento a corda está mais esticada, submetida a uma tensão máxima, de modo que a extremidade 
livre da corda é puxado de volta para baixo e, novamente, um pulso refletido é produzido. Como para 
uma extremidade fixa, o pulso refletido se move na direção oposta do pulso inicial, mas agora o sentido 
do deslocamento, é o mesma que para o pulso inicial. 
As condições no final da corda, tal como um suporte rígido ou a completa ausência de força 
transversal, são chamados de condições de contorno. 
11:10 38 
11:10 39 
(01) 
• A combinação de dois pulsos separados em um mesmo ponto para obter um deslocamento resultante 
é um exemplo do princípio da superposição: 
• Quando duas ondas se superpõem, o deslocamento resultante em qualquer ponto da corda em 
qualquer instante é obtido somando-se os deslocamentos individuais que cada ponto deveria ter caso 
o outro deslocamento não existisse. 
• Em outras palavras, a função de onda y(x,t) que descreve o deslocamento resultante é obtida pela 
soma das duas funções de onda das duas ondas separadas. 
 Tipos de ondas mecânicas; 
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 Interferência em uma onda, condições de contorno e superposição; 
 Ondas estacionárias em uma corda; 
 Modos normais de uma corda. 
11:10 40 
11:10 41 
 Nós falamos sobre a reflexão de um pulso de onda em uma corda quando chega a um 
ponto de fronteira (uma extremidade fixa ou uma extremidade livre). 
 Agora vamos olhar para o que acontece quando uma onda senoidal é refletida por uma 
extremidade de uma corda fixa. 
 Nós vamos novamente abordar o problema, considerando a superposição de duas ondas 
que se propagam através da corda, uma representando a onda incidente e a outra 
representando a onda refletida na extremidade fixa. 
11:10 42 
 A figura mostra uma corda fixado em sua extremidade esquerda. 
 Sua extremidade direita é movido para cima e para baixo em um MHS para produzir uma 
onda que viaja para a esquerda; a onda refletida a partir da extremidade fixa se desloca para a 
direita. 
 O movimento resultante quando as duas ondas se combinam não mais se parece com duas 
ondas que viajam em direções opostas. 
 A corda parece ser subdividida numa série de segmentos, como nas fotografias das Figs. 
a, b, c. Vamos examinar esse comportamento; 
11:10 43 
 Em uma onda que se propaga ao longo da corda, a amplitude é constante e o padrão de onda se move 
com uma velocidade igual à velocidade da onda. 
 Aqui, em vez disso, o padrão de onda permanece na mesma posição ao longo da corda e sua amplitude 
flutua. 
 Há pontos específicos chamados de nós (N marcado na Fig.) que nunca se movem. 
 A meio caminho entre os nós são pontos chamados de Ventre ou anti-nós. (A na Fig.) onde a 
amplitude de movimento é maior. 
 Devido ao padrão de onda não parecer estar se movendo em qualquer direção ao longo da corda, é 
chamado de uma onda estacionária. Para acentuar a diferença, uma onda que se move ao longo da 
corda denomina-se onda progressiva.) 
11:10 44 
• O princípio da superposição explica 
como as ondas incidente e refletida se 
combinam para formar uma onda 
estacionária. 
• As duas ondas possuem a mesma 
velocidade de propagação, 
comprimentode onda e amplitude. 
• Em cada ponto ao longo da corda, nós 
adicionamos os deslocamentos (os 
valores de y) para as duas ondas 
distintas; o resultado é a onda total na 
corda, mostrada em castanho. 
Ondas 
exatamente em 
fase, onda 
resultante com 
dobro de 
amplitude. 
Ondas 
exatamente fora 
de fase, onda 
resultante igual a 
zero 
Deslocamento 
resultante sempre 
= 0 
(Interferência 
Destrutiva). 
Antinós, 
deslocamento 
das duas ondas 
são idênticos, 
gerando um 
deslocamento 
resultante maior. 
(Interferência 
construtiva) 
)cos(),(1 tkxAtxy 
)cos(),(2 tkxAtxy 
Pelo princípio da superposição: 
),(),(),( 21 txytxytxy 
)()(),( tsenkxsenAtxy OS 
2A 
(02) 
Mostra que em cada instante a corda tem forma 
senoidal. Mas ao contrário da onda progressiva, 
a forma da onda permanece na mesma posição 
oscilando para cima e para baixo conforme 
descrito pelo fator senωt. 
11:10 46 
Uma onda estacionária, ao contrário de uma onda viajando, não transfere energia de 
um lugar para outro. 
As duas ondas que a formam carregam individualmente 
quantidades iguais de energia em direções opostas. Há um fluxo local de energia 
de cada nó para os ventres adjacentes e de volta, mas a taxa média de 
transferência de energia é igual a zero em cada ponto. 
 Tipos de ondas mecânicas; 
 Ondas Periódicas; 
 Descrição matemática de uma onda; 
 Velocidade de uma onda transversal; 
 Energia no movimento ondulatório; 
 Interferência em uma onda, condições de contorno e superposição; 
 Ondas estacionárias em uma corda; 
 Modos normais de uma corda. 
11:10 47 
11:10 48 
 Quando descrevemos ondas estacionárias em uma corda fixa em uma extremidade, não fizemos 
nenhuma suposição sobre o comprimento da corda ou sobre o que estava acontecendo no outro 
extremo. 
 
 Vamos agora considerar uma corda de um comprimento definido L, mantida fixa em ambas 
as extremidades. 
 
 Tais cordas são encontrados em muitos instrumentos musicais, incluindo pianos, violinos, e 
guitarras. 
 
 Quando uma corda de violão é tocada, uma onda é produzido na corda; esta onda é refletida e re-
refletida a partir das extremidades da corda, fazendo uma onda estacionária. 
 
 Esta onda estacionária na corda por sua vez produz uma onda de som no ar, com uma frequência 
determinada pelas propriedades da corda. 
11:10 49 
Para entender essas propriedades de ondas estacionárias em uma corda fixa em ambas as extremidades, 
vamos primeiro examinar o que acontece quando montamos uma onda senoidal em tal corda. A onda 
estacionária resultante deve ter um nó em ambas as extremidades da corda. Vimos na seção anterior 
que nós adjacentes estão separados a meio comprimento de onda (λ/2), então o comprimento da corda 
deve ser λ/2, ou 2(λ/2), ou 3(λ/2), ou em geral algum número inteiro de meio comprimento de onda: 
2

nL 
 Isto é, se a corda com comprimento L é fixada nas duas extremidades, uma onda estacionária 
só pode existir se o comprimento de onda satisfazer a eq. (30); 
 Resolvendo está equação para λ e nomeando os possíveis valores para λ como λn, 
encontramos: 
n
L
n
2

(n = 1, 2, 3 ...) corda fixa nas duas extremidades (04) 
As ondas podem existir na corda, se o comprimento de onda não for igual a um destes valores, mas não 
pode haver um padrão constante de onda com nós e antinós, e a onda total não pode ser uma onda 
estacionária. 
(n = 1, 2, 3 ...) corda fixa nas duas extremidades (03) 
11:10 50 
n
L
n
2

(n = 1, 2, 3 ...) corda fixa nas duas extremidades (31) 
11:10 51 
Correspondendo à série de possíveis comprimentos de onda λn da onda estacionária há uma série de 
possíveis frequências fn da onda estacionária, cada uma relacionada com a seu correspondente 
comprimento de onda por fn =v/λn . A menor frequência f1 (chamada de fundamental) corresponde ao 
maior comprimento de onda, λ1 = 2L 
L
v
f
2
1 
(frequência fundamental) (32) 
Podemos expressar todas as frequências como: 
1
2
nf
L
v
nfn 
(n = 1, 2, 3 ...) corda fixa nas dias extremidades (33) 
Essas frequências são chamados de harmônicos, e a série é chamada de série harmônica. Algumas 
vezes músicos chamam de sobretom cada uma das frequências f2, f3 e assim por diante. f2 é o segundo 
harmônico ou primeiro sobretom, f3 é o terceiro harmônico ou segundo sobretom, e assim por diante. O 
primeiro harmônico corresponde à frequência fundamental. 
11:10 52 
Para uma corda com as extremidades fixas em x = 0 e x = L, a função de onda y(x,t) da n-ésima onda 
estacionária é dada pela eq. (28), com ω = ωn= 2πfn e k = kn = 2π/λn. 
txsensenkAtxy nnSWn ),(
 Um modo normal de um sistema oscilatório é um movimento em que todas as partículas do 
sistema se movem de forma senoidal com a mesma frequência. 
(34) 
11:10 53 
Como vimos a frequência fundamental de uma corda vibrando é f1 = v/2L. A velocidade v das ondas em 
uma corda é determinada pela eq. (13), v = √F/μ. Combinando essas equações encontramos: 

F
L
f
2
1
1 
(35) 
Esta é também a frequência fundamental da 
onda sonora criada no ar circundante pela corda 
vibrante. Instrumentos musicais familiares 
mostram como f1 depende das propriedades da 
corda. A dependência inversa da frequência 
com o comprimento L é ilustrado pelas longas 
cordas (de baixa frequência) do piano ou da 
viola baixo em comparação com as cordas mais 
curtas da seção de agudos do piano ou do 
violino 
11:10 54 
Ler sobre 
• A onda estacionária na corda e a onda 
sonora progressiva no ar possuem a 
mesma composição harmônica 
(querendo dizer que frequências mais 
elevadas do que a frequência 
fundamental também estão presentes); 
 
• É possível representar qualquer 
movimento da corda como uma 
superposição de modos normais. Achar 
esta representação para uma dada 
configuração de vibração é o objetivo 
da análise harmônica. 
 
• A soma das funções senoidais que 
representam uma onda complexa é 
chamada de série de Fourier. 
14:41 55 
1 - Duas ondas se deslocam na mesma corda. É possível que elas tenham a) frequências diferentes; b) comprimentos de 
onda diferentes; c) velocidades diferentes; d) amplitudes diferentes; e) a mesma frequência, mas comprimentos de onda 
diferentes? Explique o seu raciocínio. 
2 - Quais são os tipos de energia associados às ondas que se propagam em uma corda esticada? 
3 - Para o movimento ondulatório descrito neste capítulo, a velocidade de propagação depende da amplitude? Como 
você pode a firmar isso? 
 4 - Por que você vê o relâmpago antes de ouvir a trovoada? Uma regra prática familiar consiste em começar a contar 
lentamente quando você vê o relâmpago e dividir o número obtido por 3 para estimar, em quilômetros, a distância entre 
você e o local onde caiu o raio. Por que isso está correto? Ou não está correto? 
5 - Considere uma onda transversal em uma corda; a velocidade dessa onda é igual à velocidade máxima de qualquer 
parte da corda? Explique a diferença entre essas duas velocidades. Qual delas é constante? 
6 - As quatro cordas de um violino possuem espessuras diferentes, porém as tensões nos fios são aproximadamente 
iguais. A velocidade das ondas é maior na corda mais grossa ou na corda 
mais fina? Por quê? A frequência de vibração fundamental se comporta de modo diferente quando a corda é espessa e 
quando a corda é fina? 
7 - Duas cordas de massa diferente por unidade de comprimento µ1 e µ2 são amarradas uma à outra e esticadas com uma 
tensão F. Uma onda percorre a corda e passapela descontinuidade em µ. Diga qual das seguintes propriedades será a 
mesma de ambos os lados da descontinuidade, e qual irá mudar: velocidade da onda, frequência, comprimento da onda. 
Explique o raciocínio físico que embasa as suas respostas. 
8 - A energia pode ser transferida ao longo de uma corda por movimento ondulatório. Todavia, em uma onda estacionária 
em uma corda, nenhuma energia pode ser transferida além de um nó. Por que não? 
15:24 56 
01 - Você está projetando um instrumento de duas cordas com cordas de metal de 35,0 cm de 
comprimento, como mostrado na Fig. Ambas as cordas estão sob a mesma tensão. A corda S1 
tem uma massa de 8,00 g e produz a nota média C (frequência 262 Hz) no seu modo 
fundamental. (a) Qual deve ser a tensão na corda? (b) Qual deve ser a massa da corda S2 para 
que produza um A sustenido (frequência 466 Hz), em sua frequência fundamental? (c) Para 
ampliar as frequências de seu instrumento, você inclui um traste localizado logo abaixo das 
cordas, mas sem tocá-los normalmente. A que distância da extremidade superior que você 
deve colocar esse traste para que, quando você pressiona S1 firmemente contra ele, essa 
corda produza C sustenido (frequência de 277 Hz), no seu modo fundamental? Ou seja, qual 
o valor de x na figura? (d) Se você pressionar S2 contra o traste, que frequência do som que 
vai produzir no seu modo fundamental? 
02 - Três pedaços de corda, cada um com comprimento L, são juntados para fazer uma corda de comprimento 
3L. O primeiro pedaço de corda tem densidade linear μ1, o segundo pedaço possui densidade linear μ2 = 4 μ1, e o 
terceiro μ3 = μ1/4. (a) A corda combinada está sob tensão F, quanto tempo leva para uma onda transversal viajar 
todo o comprimento 3L? De sua resposta em termos de L, F, e μ1. (b) Sua resposta da parte (a) depende da ordem 
na qual os 3 pedaços são colocados? Explique. 
 
03 - Você está investigando o relatório do pouso de um OVNI em Varginha, e você encontra um objeto estranho 
que está irradiando ondas de som uniformemente em todas as direções. Suponha que o som vem de uma fonte 
pontual e que você pode ignorar reflexões. Você está caminhando lentamente na direção a fonte. Quando você 
está 7,5 m a partir dela, você mede uma intensidade 0,11 W/m2. Uma intensidade de 1,0 W/m2 muitas vezes é 
usado como o "Limiar de dor." Quanto mais perto da fonte você pode se mover antes da intensidade sonora 
atingir esse limite? B) Quanta energia sonora a fonte emite em uma hora, se a sua potência permanece constante? 
18:17 57 
04 - Uma onda senoidal é enviada ao longo de uma corda com uma densidade linear de 2,0 g / m. À medida que 
ela viaja, a energia cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Figura (a) dá a taxa dK / dt em 
que a energia cinética passa através da corda em um instante particular, em função da distância x ao longo da 
corda. A Figura (b) é semelhante, exceto pelo fato de que mostra a taxa com a qual a energia cinética passa por 
um certo elemento de massa (em um local específico), plotado em função do tempo t. Para ambas as figuras, a 
escala no eixo vertical (taxa) é definida por Rs=10 W. Qual é a amplitude da onda? 
 
 
05 - Um fio de 100 g é mantido sob uma tensão de 250 N com uma extremidade em x = 0 e a outra em x = 10,0 
m. No instante t = 0 o pulso 1 começa a se propagar no fio a partir do ponto 10,0 m. No instante t = 30,0 ms o 
pulso 2 começa a se propagar no fio a partir do ponto x = 0. Em que ponto x o pulsos começam a se superpor? 
 
18:20 58 
06 - Uma onda senoidal é enviada ao longo de uma corda com uma densidade linear de 2,0 g / m. À medida que 
ela viaja, a energia cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Figura (a) dá a taxa dK / dt em 
que a energia cinética passa através da corda em um instante particular, em função da distância x ao longo da 
corda. A Figura (b) é semelhante, exceto pelo fato de que mostra a taxa com a qual a energia cinética passa por 
um certo elemento de massa (em um local específico), plotado em função do tempo t. Para ambas as figuras, a 
escala no eixo vertical (taxa) é definida por Rs=10 W. Qual é a amplitude da onda? 
 
 
07 - Uma corda de 50,0 cm de comprimento vibrando está sob uma tensão de 1,0 N. Os resultados de cinco 
fotografias estroboscópicas sucessivas são mostradas na Figura. A taxa do estroboscópio é fixada em 5000 
flashes por minuto, e observações revelam que o deslocamento máximo ocorreu nos flashes 1 e 5, sem nenhum 
outro máximo no intervalo entre eles. a) Calcule o período, a frequência e o comprimento de onda para as ondas 
progressivas nessa corda. b) Em que modo normal (harmônico) a corda está vibrando? c) Qual é a velocidade das 
ondas progressivas na corda? d) Com que velocidade o ponto P se move quando a corda está na (i) posição 1 e 
(ii) posição 3? e) Qual é a massa dessa corda?