Torção em Vigas de Concreto Armado

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
TORÇÃO EM VIGAS DE 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(pbastos@feb.unesp.br) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru 
Maio/2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus de Bauru/SP. 
O texto apresenta as prescrições contidas na nova NBR 6118/03 (“Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento” – versão corrigida de março/2004) para o projeto e dimensionamento de 
vigas de concreto armado submetidas à torção. 
Procurou-se desenvolver a apostila de forma a mais completa possível. Inicialmente são 
apresentadas diversas informações teóricas, como os casos e os valores mais comuns do momento 
de torção, a torção de equilíbrio e de compatibilidade, noções da torção simples, comportamento 
das vigas de concreto armado sob torção, analogia e formulação para a treliça espacial generalizada, 
formas de ruptura por torção, etc. 
Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação. Os exemplos são 
completos e abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga, como o 
dimensionamento à flexão e ao esforço cortante, a ancoragem nos apoios e a disposição da 
armadura longitudinal com o cobrimento do diagrama de momentos fletores. 
Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser 
melhorada. 
 Agradecimento especial ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção de vários 
desenhos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 Pág. 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 
2. CASOS MAIS COMUNS ..................................................................................... 1 
3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO ..................................... 3 
4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE ................................ 5 
5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) .......................................... 9 
6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA 11 
7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS 
À TORÇÃO SIMPLES ...................................................................................... 
 
12 
8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES ........... 13 
9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE 14 
10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO ........................................................ 15 
 10.1 Ruptura por Tração ...................................................................................... 15 
 10.2 Ruptura por Compressão ............................................................................. 16 
 10.3 Ruptura dos Cantos ..................................................................................... 16 
 10.4 Ruptura da Ancoragem ................................................................................ 17 
11. DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA À 
TORÇÃO SIMPLES ........................................................................................ 
 
17 
 11.1 Bielas de Concreto ...................................................................................... 17 
 11.2 Armadura longitudinal ................................................................................ 18 
 11.3 Estribos ....................................................................................................... 19 
12. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/2004 NO ESTADO LIMITE 
ÚLTIMO .......................................................................................................... 
 
20 
 12.1 Geometria da Seção Resistente ................................................................... 20 
 12.2 Torção de Compatibilidade ......................................................................... 21 
 12.3 Torção de Equilíbrio ................................................................................... 21 
 12.4 Armadura Mínima ....................................................................................... 22 
 12.5 Solicitações Combinadas ............................................................................ 23 
 12.5.1 Flexão e Torção ................................................................................. 23 
 12.5.2 Torção e Força Cortante .................................................................... 24 
 12.6 Disposições Construtivas ............................................................... 24 
 12.6.1 Fissuração Diagonal da Alma ............................................................ 24 
 12.6.2 Estribos .............................................................................................. 24 
 12.6.3 Armadura Longitudinal ...................................................................... 25 
13. MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO .......................................................... 25 
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO ................................................ 26 
 14.1 EXEMPLO 1 .............................................................................................. 26 
 14.2 EXEMPLO 2 .............................................................................................. 39 
 14.3 EXEMPLO 3 .............................................................................................. 54 
15. QUESTIONÁRIO .............................................................................................. 77 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 78 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR …………………………………………… 79 
ANEXO A ................................................................................................................ 80 
 
 
 
 
 
ANEXO B1 - GRELHA DO EXEMPLO 1 ............................................................. 83 
ANEXO B2 - EXEMPLO 2 – PPLAN4 .................................................................. 85 
ANEXO B3 - GRELHA DO EXEMPLO 3 ............................................................. 87 
ANEXO B4 - VIGA VS1 ISOLADA ...................................................................... 94 
ANEXO B5 - VIGA VS6 ISOLADA ...................................................................... 96 
 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
1
TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é 
denominado “momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre 
em eixos de transmissão. 
 A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V), 
excetuando os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção ocorre 
combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas 
pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento 
para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força 
cortante (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre as vigase as lajes e entre vigas 
apoiadas em outras vigas, dá origem a momentos de torção, que, de modo geral, podem ser 
desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio. Entretanto, no caso da chamada “torção de 
equilíbrio”, como se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para 
garantir o equilíbrio do elemento estrutural. 
 Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em 
vigas de concreto armado sob solicitação de torção simples. Os resultados dos estudos justificaram 
o dimensionamento simplificado à torção, considerando-se as vigas com seção vazada (oca) e de 
parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT. 
Assim como feito no dimensionamento das vigas ao esforço cortante na torção será feita 
também a analogia com uma treliça, espacial porém. A Treliça Generalizada, com ângulo θ variável 
de inclinação das diagonais comprimidas, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. 
Como no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão 
absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, 
uma longitudinal e outra transversal (estribos). 
 A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov 
ou Flexo-Torção, não será apresentada nesta apostila por não fazer parte do programa da disciplina 
na graduação em engenharia civil. 
 
 
2. CASOS MAIS COMUNS 
 
 
Um caso comum de torção em vigas de concreto armado ocorre quando existe uma distância 
entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 1 e 2. Na 
Figura 1, a viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta 
um momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na 
viga mostrada na Figura 2 a torção existirá se as cargas F1 e F2 forem diferentes. Essa situação pode 
ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e 
variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apóiam na viga em forma de T invertido. 
 O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio, 
como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões, 
etc. (Figuras 3 e 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à 
construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que 
a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser 
considerada no seu dimensionamento. 
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2
F
A
B
C
 
 
F1 2F
Figura 1 – Viga em balanço com 
 carregamento excêntrico. 
Figura 2 – Viga do tipo T invertido para apoio de 
estrutura de piso ou de cobertura. 
 
 
 
Figura 3 – Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço. 
 
 
 
A
B
C
 
 
A
B
B
C
 
Figura 4 – Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço. 
 
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3
 Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre 
em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção 
um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas, 
com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6. 
 Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no 
seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética 
da construção. 
 
 
 
Figura 5 – Torção em viga devido à mudança de direção. 
 
 
 
Figura 6 – Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção. 
 
 
 
3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO 
 
 
 Apresentam-se nas Figuras 7 a 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais 
comuns na prática das estruturas, onde m representa o momento torçor externo aplicado, T o 
momento de torção solicitante e F a força concentrada. 
 
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4
m
T = - m
 
Figura 7 – Momento de torção concentrado aplicado na extremidade de viga em balanço. 
 
 
T = - m
l
m m
T = m
a a
 
 
Figura 8 – Momento de torção aplicado à distância a das extremidades de viga biengastada. 
 
 
m
T = m
l
l
2
2
lmT = 
 
 
Figura 9 – Momento de torção uniformemente distribuído em viga biengastada. 
 
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5
m
l
l
/2 /2l
2
mT = 
T = m2
 
Figura 10 – Momento de torção concentrado aplicado no centro de viga biengastada. 
 
 
 
F
e
A B
m = F . e
l
a b
l
m bT = 
T = m al
A
B
 
Figura 11 – Momento de torção concentrado aplicado fora do centro do vão de viga biengastada. 
 
 
 
4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE 
 
 
 A torção nas estruturas de concreto pode ser dividida em duas categorias: torção de 
equilíbrio e torção de compatibilidade. 
 Na torção de equilíbrio, o momento de torção deve ser obrigatoriamente considerado, pois 
ele é necessário para o equilíbrio da estrutura. As estruturas mostradas nas Figuras 1 a 6 encontram-
se solicitadas por torção de equilíbrio, devendo ser obrigatoriamente considerada. 
 A torção de compatibilidade ocorre comumente nos sistemas estruturais, como por exemplo 
aquele mostrado na Figura 12, com uma laje engastada na viga de borda. A laje, ao tentar girar, 
aplica um momento de torção (mT) na viga, que tende a girar também, sendo impedida pela rigidez 
à flexão dos pilares. Surgem então momentos torçores solicitantes na viga e momentos fletores nos 
pilares. Quando a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão, a viga fissura 
e gira, permitindo o giro da laje também. Ocorre então uma compatibilização entre as deformações 
na viga e na laje, e como conseqüência os momentos torçores na viga diminuem bastante, podendo 
ser desprezados. 
 
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6
f
(Laje)
m 
 (Vi
ga 
de 
bor
da)
T
(Viga de bordo)
T
m (Laje)E
Momento de 
dimensionamento 
da laje
T
fM
E
m = m (Laje)
T
m 
 (La
je)
 M
(Pilar)
 
Figura 12 – Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio. 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
 Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado nas Figuras 13 e 14. 
Como se observa na Figura 14, a viga AB apóia-se nas vigas CD e EF. 
 
 
 
Figura 13 – Esquema das vigas com os pilares. 
 
 
A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste 
caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades, o que faz surgir os 
momentos de engastamento MA e MB , que, por outro lado, passam a ser momentos torçores 
concentrados e aplicados em A e B. 
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7
 
Figura 14 – Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985). 
 
 
 
Figura 15 – Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção. 
 
 
 A intensidade dos momentos fletores etorçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou 
seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB. Se a rigidez à torção 
das vigas CD e EF for zero, a viga AB fica livre para girar em A e B, levando a zero os momentos 
fletores MA e MB , e conseqüentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise 
percebe-se que a torção é conseqüência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a 
chamada “torção de compatibilidade”. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a 
ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF. 
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8
 Por outro lado, sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar, o que acarreta uma 
significativa diminuição na rigidez da viga à torção. Desse modo, as vigas CD e EF, ao fissurarem 
por efeito da torção proveniente da viga AB, têm sua rigidez à torção diminuída, diminuindo por 
conseqüência os momentos MA e T, o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga AB. 
 
 
Figura 16 – Caso de pequena rigidez à torção. 
 
 
 Pode-se assim resumir que, “a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária 
para o equilíbrio (torção de equilíbrio), e pode ser desconsiderada quando for de 
compatibilidade”. 
 Considerando-se o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas, além da torção de 
compatibilidade existente entre as vigas, a ligação monolítica entre as lajes e as vigas, como 
mostrado na Figura 12, também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas, de 
compatibilidade, não imprescindível ao equilíbrio do sistema, podendo assim serem desprezados 
também. 
 Somado a isso, por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 10 a 
20 cm, e para as alturas correntes das vigas (comumente até 60 cm), a rigidez à torção não é 
significativa, o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade, justificando a sua 
desconsideração. 
Outra análise que se faz é que, se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades, 
o momento de torção T será zero, ou seja, não existirá o momento de torção. Ou, por outro lado, e o 
que é mais comum na prática das estruturas, devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os 
pilares de apoio, se as vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior 
que a rigidez à flexão da viga AB, o momento fletor MA se aproxima do momento fletor de 
engastamento. Portanto, os momentos T e MA resultam do giro da viga AB em A e B, que deve ser 
compatível com o ângulo de torção das vigas CD e EF em A e B. 
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9
5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) 
 
 
 Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de 
torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45° e 
135° com o eixo longitudinal da barra. As trajetórias das tensões principais desenvolvem-se 
segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões principais de tração 
ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de toda o perímetro da 
seção. 
 
 
Figura 17 – Trajetórias das tensões principais na seção circular. 
 
 
 
 Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal 
da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos 
perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como 
mostrado nas Figuras 18, 19 e 20. 
 
 
τ
τ
 
Figura 18 – Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção. 
 
 
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10
 
Figura 19 – Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais 
de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras. 
(MACGREGOR, 1997). 
 
T T
45
° II
I
I
II
 
Figura 20 – Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular. 
 
 
 A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas 
ocorre como indicado na Figura 21. A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies externas da 
seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade. 
 
 
Figura 21 – Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal. 
a) 
b) 
c) 
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11
 Por questão de simplicidade, as vigas de concreto armado sob momento de torção são 
dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina. Ao desprezar a parte correspondente à área 
interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico, porque a espessura da 
casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de 
resistência ao momento de torção. Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é 
excessivo, sendo, portanto, pouco antieconômico. 
 
 
6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA 
 
 
Considere a seção vazada mostrada na Figura 22, com espessura t, submetida ao momento 
de torção T. 
r
ds
dA
-I
T
X
LIN
HA
 M
ÉD
IA
x
s
s x
A
A'
t
s____+t tdds
d____
ds s
T
I
X
O
A
B
+
s
 
Figura 22 – Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 2001). 
 
 
 Do equilíbrio estático da seção tem-se a igualdade da resultante das tensões τ com o 
momento de torção T que as originou: 
 ( )∫ τ= rdstT (Eq. 1) 
 
 O produto τ . t (fluxo de cisalhamento ou de torção) é constante, e o produto ds . r é o dobro 
da área do triângulo OAB (d . Ae), vindo: 
 
 ∫τ= eAdt2T (Eq. 2) 
 
 Da Eq. 2 surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina, devida ao 
momento de torção: 
 
eAt2
T=τ (Eq. 3) 
 
com Ae sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina, como indicada na Figura 23. 
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12
t
Ae
 
Figura 23 – Área Ae da seção vazada. 
 
 
 
7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À 
TORÇÃO SIMPLES 
 
 
 LEONHARDT & MÖNNIG (1982) descrevem os resultados de ensaios realizados por 
MÖRSCH, entre 1904 e 1921. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura, 
com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura 
em forma de hélice, como mostrado na Figura 24. 
Os ensaios confirmaram que nas seções de concreto armado as tensões principais de tração e 
de compressão são inclinadas de 45° e com traçado helicoidal. Após o surgimento das fissuras de 
torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura 
colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou 
cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas 
armaduras. 
 
 
10,8
10,8
φ 10
4040
10,7
34 34
φ 10
40
34
10,7
40
34
10,8φ 10
10,8
10,8
10,8
φ 10
φ 10
 
Figura 24 – Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
 A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento fletor de 
fissuração (momento fletor correspondente à primeira fissura) e para o momento fletor de ruptura. 
 
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13
Tabela 1 – Momentos fletores de primeira fissura e de ruptura (MPm) 
 de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH. 
Seção Momento Fletor de Primeira fissura
Momento Fletor 
de Ruptura 
Sem armaduras 2,33 2,33 
Com armadura longitudinal 2,33 2,38 
Com armadura transversal 2,50 2,50 
Com armaduras longitudinal e 
transversal 2,47 3,78 
Com armadura helicoidal 2,70 > 7,00* 
* A máquina de ensaio não levou a seção à ruptura 
 
 Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45° e 
em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de 
resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com 
armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência 
foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações. 
 Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a 
resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com 
barras longitudinais e estribos fechados transversais, a viga pode resistir a um aumento de carga 
após a fissuração inicial. 
 
 
8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES 
 
 Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o 
comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de “Flexão Esconsa” (skew bending 
theory), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). A segunda teoria 
baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de 
“Treliça Generalizada”. A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 1929, estando em uso 
por diversas normas até os dias de hoje. 
 Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as 
seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. A Figura 25 
mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. As tensões de compressão são 
resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura 
longitudinal e armadura transversal (estribos). 
 
R sl
R sl
R sl
R sl
dC
dC
dC
dC
dC
dC
dC
dC
dC
R s,e
R s,e
Fissuras
 
Figura 25 – Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada. 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
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14
 A treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas 
de 45° com o eixo longitudinal (Figura 26). Os banzos paralelos representam a armadura 
longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hélice, com inclinação de 45°, 
representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos 
fechados a 90° com o eixo longitudinal da viga. 
 
R sl
R s,e
slR
C d d
C 45°
dC /cos 45
dC /cos 45
dC /sen 45 dC /sen 45
b
b
T
M
45
° 45°
R s,e
Barras tracionadas
Diagonais comprimidas
M
Esforços solicitantes 
 no corte ll - ll
Da
B
ll
ll
Esforços nas barras 
 do nó B
 es
tr 
 
 
m
a 
 =
 b
m
m
 
Figura 26 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e 
transversal (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE 
 
 
 A Figura 27 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular. As 
fissuras apresentam-se com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45° com o eixo longitudinal 
da viga. 
T
 
 
Figura 27 – Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular. 
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15
 Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a 
zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 28. 
 
T
V
M
 
Figura 28 – Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
 No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo 
aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso 
fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o 
cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção. 
As fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro 
faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras 
(Figura 29). 
 
T
V
M
 
Figura 29 – Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO 
 
 
 Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos: 
escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso 
de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas 
pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das 
armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir. 
 
10.1 Ruptura por Tração 
 
 A ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras 
fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às 
tensões de tração por torção. 
 Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982) sendo as armaduras longitudinal e transversal 
diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras, 
pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços. 
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16
 Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a 
tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça 
espacial não existe banzo comprimido inclinado. 
 
10.2 Ruptura por Compressão 
 
 Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte 
empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas, 
podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30). 
T
Compressão Tração
R c
R s
c
Tt
Cd
45°
Superfície de dupla curvatura
 
Figura 30 – Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão. 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
 
 
10.3 Ruptura dos Cantos 
 
 A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31, 
origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras 
longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de 
cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm 
para evitar essa forma de ruptura. 
R c
cR
cR
cR
U
U
U
Estribo
T
cR
R c
U
Rompimento do canto
Engastamento à torção
 
Figura 31 – Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas. 
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982). 
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17
10.4 Ruptura da Ancoragem 
 
 Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo, levando ao 
seu “escorregamento”, e pelo deslizamentodas barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das 
armaduras pode evitar essa forma de ruptura. 
 
 
11. TORÇÃO SIMPLES - DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA 
GENERALIZADA 
 
 
 Nas décadas de 60 e 70 a treliça clássica foi generalizada por LAMPERT, THÜRLIMANN 
e outros, com a admissão de ângulos variáveis (θ) para a inclinação das bielas (Figura 32). O 
modelo de treliça generalizada é o atualmente adotado pelas principais normas internacionais, como 
ACI 318/95 e MC-90 do CEB (1990). 
 A NBR 6118/03 também considera o modelo de treliça generalizada para o 
dimensionamento de vigas de concreto armado à torção, em concordância com a treliça plana 
generalizada concebida para a análise da força cortante. 
 
R ld
Rwd
Cd
R dl
Rwd
Cd
Cd dC
Cdsen 
dC
PLANO ABCD
l
l
A
sen 
sen 
sen 
l
l
 = inclinação 
da biela
B
A
C
D
Estribo
Barras 
Longitudinais
l
Y
XZ
cotg 
Bielas 
Comprimidas
cotg 
l
lcotg 
cotg 
l
yy
NÓ A
 
Figura 32 – Treliça espacial generalizada (LIMA et al., 2000). 
 
 
11.1 Diagonais de Compressão 
 
 Considerando-se o plano ABCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 32 e que 
os esforços internos resistentes devem igualar o esforço solicitante (TSd), tem-se: 
 
 lθ= senC2T dSd (Eq. 4) 
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18
 A força nas diagonais comprimidas surge da Eq. 4: 
 θ= sen2
TC Sdd l (Eq. 5) 
 
com: Cd = força na diagonal comprimida; 
 TSd = momento de torção de cálculo; 
 θ = ângulo de inclinação da diagonal comprimida; 
 l = distância entre os banzos. 
 
 A força de compressão Cd nas diagonais atua sobre uma seção transversal de área: 
 
 y . t = l cos θ . t (Eq. 6) 
 
com: t = espessura da casca ou da parede da seção oca; 
 y = largura de influência da diagonal inclinada da treliça. 
 
 Assim, substituindo a força Cd da Eq. 5 por σcd y t = σcd l cos θ . t, a tensão de compressão 
na diagonal (σcd) assume o valor: 
 
 θ=θσ sen2
Tt.cos Sdcd ll 
 
 ( ) θθ=σ sen2t.cos
TSd
cd ll 
 
 θ=σ 2sent
T
2
Sd
cd l
 (Eq. 7) 
 
como e
2 A=l determina-se a forma final para a tensão na diagonal de compressão: 
 
 θ=σ 2sentA
T
e
Sd
cd (Eq. 8) 
 
 A Eq. 3 pode ser escrita como: TSd = τt 2 Ae t . Da Eq. 3 reescrita na Eq. 8 fica: 
 
 θ
τ=σ
2sen
2 td
cd (Eq. 9) 
 
11.2 Armadura longitudinal 
 
 Conforme as forças indicadas no nó A da Figura 32, fazendo o equilíbrio de forças na 
direção x, tem-se: 
 
 θ= cosC4R4 ddl (Eq. 10) 
 
com =dR l resultante em um banzo longitudinal. Como ywdsd fAR4 ll = , substituindo na Eq. 10 
fica: 
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19
θ= cosC4fA dywdsl (Eq. 11) 
 
Substituindo a Eq. 5 na Eq. 11 fica: 
 
 θθ= cossen2
T4fA Sdywds ll 
 
 Isolando a armadura longitudinal: 
θ= gcot
f
T2A
ywd
Sd
s ll (Eq. 12) 
 
Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada, a armadura deve ser 
distribuída no perímetro ue = 4 l , de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento 
do eixo médio da seção vazada é: 
 
θ=θ= gcot
4f
T2gcot
uf
T2
u
A
ywd
Sd
eywd
Sd
e
s
lll
l 
 
θ= gcot
fA2
T
u
A
ywde
Sd
e
sl (Eq. 13) 
ou 
 
 θ= tgfA2
T
u
A
ywde
Sd
e
sl (Eq. 14) 
 
com: lsA = área total da armadura longitudinal; 
 Ae = área interna delimitada pelo eixo da parede fina (ver Figura 23); 
 ue = perímetro do contorno da área Ae . 
 
11.3 Estribos 
 
 Na Figura 32, fazendo o equilíbrio do nó A na direção do eixo Z, tem-se: 
 
 Rwd = Cd sen θ (Eq. 15) 
 
onde Rwd representa a força nos montantes verticais e horizontais da treliça espacial. 
 
 Substituindo a Eq. 5 na Eq. 15 tem-se: 
 
 ll 2
Tsen
sen2
TR SdSdwd =θθ= (Eq. 16) 
 
 Sendo s o espaçamento dos estribos e θgcotl o comprimento de influência das barras 
transversais da treliça que representam os estribos (ver Figura 32), tem-se: 
 
 ywd90,swd fAs
gcotR θ= l (Eq. 17) 
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20
 Igualando as Eq. 16 e 17 fica: 
 
 l
l
2
TfA
s
gcot Sd
ywd90,s =θ 
 Isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos: 
 
ywd
Sd90,s
fgcot2
T
s
A
θ= ll 
 
 θ= tg
fA2
T
s
A
ywde
Sd90,s (Eq. 18) 
 
com As,90 sendo a área de um ramo vertical ou horizontal do estribo vertical. 
 
 
12. DIMENSIONAMENTO DA TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO LIMITE 
ÚLTIMO (ELU) SEGUNDO A NBR 6118/03 
 
 
 A norma separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme e 
Torção em Perfis Abertos de Parede Fina (item 17.5). No texto subseqüente será considerado o 
dimensionamento apenas dos elementos lineares sujeitos à torção uniforme. 
 A norma pressupõe “um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir 
de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As 
diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que 
pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30° ≤ θ ≤ 45° ”. Esse modelo é o da treliça espacial 
generalizada, descrito anteriormente. O projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de 
inclinação das bielas de compressão, que deve estar coerente com o ângulo adotado no 
dimensionamento da viga à força cortante. 
 
 
12.1 Geometria da Seção Resistente 
 
No caso de seções poligonais convexas cheias, a seção vazada equivalente terá a espessura 
da parede equivalente (he) dada por: 
 
 
u
Ahe ≤ (Eq. 19) 
 
 he ≥ 2 c1 (Eq. 20) 
 
onde: A = área da seção cheia; 
 u = perímetro da seção cheia; 
c1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento 
estrutural. 
 
 O item 17.5.1.4 da NBR 6118/03 também define como deve ser considerada a seção 
resistente de Seções Compostas por Retângulos e de Seções Vazadas. 
 
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21
12.2 Torção de Compatibilidade 
 
 No caso de torção de compatibilidade a norma diz que “é possível desprezá-la, desde que o 
elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros 
esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados”. 
 No caso de elementos sob torção com comprimento menor ou igual a duas vezes a altura 
(≤ 2 h), com o objetivo de possibilitar a adaptação plástica, a norma recomenda que a peça tenha a 
armadura mínima à torção e à força cortante de cálculo limitada a: 
 
 VSd ≤ 0,7 VRd2 (Eq. 21) 
com: 
 VRd2 = 0,27 αv . fcd . bw . d . sen 2 θ (Eq. 22) 
 
12.3 Torção de Equilíbrio 
 
 Elementos sujeitos à torção de equilíbrio devem possuir armaduras longitudinal e transversal 
(estribos fechados e verticais), destinados a resistir aos esforços de tração. 
 Admite-se satisfeita a resistência de um elemento estrutural à torção pura quando se 
verificarem simultaneamente as seguintes condições: 
 
 TSd ≤ TRd,2 (TRd,2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas do concreto); 
TSd ≤ TRd,3 (TRd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo 
do elemento estrutural); 
TSd ≤ TRd,4 (TRd,4 = limite definido pela parcela resistidapelas barras longitudinais, 
paralelas ao eixo do elemento estrutural). 
 
 A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida pela Eq. 8, 
fazendo a tensão de compressão na diagonal de concreto ficar limitada ao valor máximo dado por 
0,5 αv2 fcd . Assim, o máximo momento de torção que uma seção pode resistir, sem que ocorra o 
esmagamento das diagonais comprimidas é: 
 
TRd,2 = 0,50 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2 θ (Eq. 23)
 
com: αv2 = 1 – (fck/250) , fck em MPa; 
 θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°; 
Ae = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo 
a parte vazada; 
he = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto 
considerado. 
 
Segundo a NBR 6118/03, a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento 
estrutural deve atender à expressão seguinte, semelhante à Eq. 18 já desenvolvida: 
 
TRd,3 = (As,90/s) fywd 2 Ae cotg θ (Eq. 24) 
 
donde, com TSd = TRd,3 , calcula-se a área da armadura transversal: 
 
 θ= tg
fA2
T
s
A
ywde
Sd90,s (Eq. 25) 
 
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22
onde: As,90 = área de um ramo do estribo; 
 fywd = resistência de cálculo do aço da armadura, limitada a 435 MPa. 
 
Para o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45° a Eq. 25 transforma-se 
em: 
 
ywde
Sd90,s
fA2
T
s
A = (Eq. 26) 
 
Conforme a NBR 6118/03, a resistência decorrente da armadura longitudinal deve atender à 
expressão seguinte, já deduzida na Eq. 14: 
 
TRd,4 = (Asl/ue) 2Ae fywd tg θ (Eq. 27) 
 
donde, com TSd = TRd,4 , calcula-se a área da armadura longitudinal: 
 
 θ= tgfA2
T
u
A
ywde
Sd
e
sl (Eq. 28) 
 
onde: Asl = soma da área das barras longitudinais; 
ue = perímetro da área Ae. 
 
Para o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45° a Eq. 28 transforma-se 
em: 
 
ywde
Sd
e
s
fA2
T
u
A =l (Eq. 29) 
 
12.4 Armadura Mínima 
 
 Segundo a NBR 6118/03 (item 17.5.1.2), sempre que a torção for de equilíbrio deverá existir 
armadura resistente aos esforços de tração, constituída por estribos verticais e barras longitudinais 
distribuídas na área correspondente à parede equivalente ao longo do perímetro da seção resistente. 
A taxa geométrica mínima de armadura é: 
 
 
ywk
m,ct
ew
s
w
sw
sws f
f
2,0
ub
A
sb
A ≥==ρ=ρ ll (Eq. 30) 
 
A Eq. 30 prescrita pela NBR 6118/03 dá margem à dúvida porque a área de estribos Asw 
refere-se ao esforço cortante, onde Asw representa a área total do estribo. No caso da torção 
geralmente os estribos têm apenas dois ramos e As,90 , calculada pela Eq. 25, representa a área de 
apenas um ramo do estribo. Nosso entendimento é que a área de estribos mínima dada pela Eq. 30 
deve representar a área de apenas um ramo do estribo, e por isso a notação será alterada para 
As,90mín, ficando a Eq. 30 escrita como: 
 
 
ywk
m,ct
ew
mín,s
w
mín90,s
mín90,smín,s f
f
2,0
ub
A
sb
A ≥==ρ=ρ ll (Eq. 31) 
 
com: mín,slρ = taxa mínima de armadura longitudinal; 
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23
 mín90,sρ = taxa mínima de armadura transversal, composta por estribos verticais; 
 As,90mín = área da seção transversal de um ramo do estribo vertical; 
 mín,sA l = área mínima de armadura longitudinal; 
 bw = largura média da alma; 
 s = espaçamentos dos estribos verticais; 
 ue = perímetro da área Ae; 
 fct,m = resistência média à tração do concreto. 
 fywk = resistência de início de escoamento do aço da armadura transversal. 
 
 Na Eq. 31, isolando As,90mín/s e emín,s u/A l fica: 
 
w
ywk
m,ct
e
mín,smín90,s b
f
f2,0
u
A
s
A ≥= l (Eq. 32) 
 
Fazendo o espaçamento s e o perímetro ue iguais a 100 cm (1 m), a armadura mínima fica: 
 
w
ywk
m,ct
mín,smín90,s bf
f20
AA == l (Eq. 33) 
 
com: As,90mín e mín,sA l em cm
2/m; 
bw em cm; 
fywk e fct,m em kN/cm2; 
3 2
ckm,ct f3,0f = , com fck e fct,m em MPa. 
 
 
12.5 Solicitações Combinadas 
 
12.5.1 Flexão e Torção 
 
Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as 
verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, 
devendo-se atender ainda: 
- na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à 
armadura longitudinal necessária para flexão; 
- no banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em 
função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de 
comprimento ∆ue correspondente à barra ou feixe de barras consideradas; 
- nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que 
reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de 
seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o 
valor 0,85 fcd . Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de 
tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da 
tensão tangencial de torção, calculada por: 
 
τTd = Td / 2 Ae he (Eq. 34) 
 
 
 
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24
12.5.2 Torção e Força Cortante 
 
Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação 
das bielas de concreto (θ) coincidentes para os dois esforços. Na utilização do modelo de cálculo I 
para a força cortante, subentende-se a consideração de θ igual a 45º também para a torção. 
A resistência à compressão diagonal no concreto será satisfeita se atendida a expressão: 
 
1
T
T
V
V
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+ (Eq. 35) 
 
onde VSd é a força cortante de cálculo e TSd é o momento de torção de cálculo. 
 
A armadura transversal total pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas 
separadamente para VSd e TSd . 
 Nessa questão é importante salientar que: a área de armadura transversal calculada para o 
esforço cortante refere-se à área total, contando todos os ramos verticais do estribo. Já no caso da 
torção a área de armadura transversal calculada é apenas de um ramo do estribo. Portanto, para 
cálculo da armadura transversal total deve-se tomar o cuidado de somar as áreas de apenas um ramo 
do estribo, para ambos os esforços de cortante e torção. 
 
12.6 Disposições Construtivas 
 
 As disposições construtivas para a torção constam no item 18.3.4 da NBR 6118/03. 
A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser 
constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais 
paralelas ao mesmo eixo. 
Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar contidos no 
interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. “Consideram-se efetivos na 
resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da 
parede fictícia da seção vazada equivalente”. 
 Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos 
vértices das seções retangulares. Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982), para seções de 
grandes dimensões é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção, a 
fim de limitar a fissuração. 
 
12.6.1 Fissuração Diagonal da Alma 
 
Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonalda alma de elementos estruturais 
de concreto. Em casos especiais em que isso for considerado importante deve-se limitar o 
espaçamento da armadura transversal a 15 cm. 
 
12.6.2 Estribos 
 
Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras 
das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio 
de ganchos em ângulo de 45º. 
O diâmetro do estribo deve atender a: 
 
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25
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤
<
≥
φ
soldada por tela formados estribos para mm 4,2 
lisa barra para mm 12 
10
b
mm5
w
t (Eq. 36) 
 
O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador, a fim 
de garantir o perfeito adensamento do concreto. 
O espaçamento máximo deve atender as seguintes condições: 
 
- se VSd ≤ 0,67 VRd2 ⇒ smáx = 0,6 d ≤ 30 cm; 
 
- se VSd ≥ 0,67 VRd2 ⇒ smáx = 0,3 d ≤ 20 cm. (Eq. 37) 
 
 
12.6.3 Armadura Longitudinal 
 
As barras longitudinais da armadura de torção, de área total Asl , podem ter arranjo 
distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 
35 cm. Deve-se respeitar e manter constante a relação ∆Asl /∆ue, onde ∆ue é o trecho de perímetro da 
seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆Asl, exigida pelo 
dimensionamento. 
Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção deve ser colocada pelo menos 
uma barra longitudinal. 
 
13. MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO 
 
O momento de inércia à torção (J) e o módulo de inércia à torção (Wt) de vigas com seção 
retangular podem ser calculados com base nas equações: 
 
hbjJ 3= (Eq. 38) 
 
hbwW 2t = (Eq. 39) 
 
h
bn = 
 
onde: j = parâmetro dependente da relação n entre as dimensões dos lados do retângulo, conforme 
a Tabela 2; 
 b = menor dimensão da seção retangular; 
 h = maior dimensão da seção retangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 2 – Valores de w e j. 
n w j 
0,0 0,333 0,333 
0,1 0,312 0,312 
0,2 0,291 0,291 
0,3 0,273 0,270 
0,4 0,258 0,249 
0,5 0,246 0,229 
0,6 0,237 0,209 
0,7 0,229 0,189 
0,8 0,221 0,171 
0,9 0,214 0,155 
1,0 0,208 0,141 
h
b
b
h
 
 
 
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO 
 
 Apresentam-se a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de 
vigas de concreto armado sob solicitação de torção. Os cálculos são completos, abrangendo todos os 
dimensionamentos necessários para o projeto de uma viga (flexão, esforço cortante, ancoragem nos 
apoios e cobrimento do diagrama de momentos fletores pela armadura longitudinal). 
 
 
14.1 EXEMPLO 1 
 
 Uma viga em balanço, como mostrada na Figura 33, suporta em sua extremidade uma outra 
viga, nela engastada, com uma carga concentrada característica de 50 kN em sua extremidade. As 
distâncias e dimensões adotadas para as duas vigas estão indicadas na planta de fôrma (Figura 34). 
As vigas têm como carregamento somente a carga F e o peso próprio. 
São conhecidos: C25 ; CA-50 ; cnom = 2,5 cm ; γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15. 
 
F
 
97,5
V1 (35 x 50)
V
2 
(2
0 
x 
50
)
V
 (2
0 
x 
50
)
P1
35/60
150
Figura 33 – Perspectiva da estrutura com 
a força F aplicada. 
Figura 34 – Planta de fôrma. 
 
 
 
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RESOLUÇÃO 
 Os esforços solicitantes serão calculados de dois modos, primeiro considerando-se a atuação 
conjunta das vigas como uma grelha, e segundo considerando-se as vigas individualmente. Para 
cálculo da grelha foi utilizado o programa GPLAN4, de CORRÊA et al. (1992). 
 
a) Cálculo dos esforços como grelha 
Vão efetivo e peso próprio da viga V2: 
lef,V2 = lo + a1 = 80 + 15 = 95 cm 
Vão livre: lo = 80 cm 
⎩⎨
⎧
=⋅=
==≤
cm 15 050,3h0,3
cm 5,172/352/t
a 11 ∴ a1 = 15 cm 
Peso próprio: gpp,V2 = 25 . 0,20 . 0,50 = 2,5 kN/m 
 
Vão efetivo e peso próprio da viga V1: 
Vão livre: lo = 150 cm 
⎩⎨
⎧
=⋅=
==≤
cm 15 050,3h0,3
cm 302/602/t
a 11 ∴ a1 = 15 cm 
lef,V1 = lo + a1 = 150 + 15 = 165 cm 
 
Peso próprio: gpp,V1 = 25 . 0,35 . 0,50 = 4,375 kN/m 
 
A Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha, com a numeração dos nós e das 
barras. Na barra correspondente à viga V1 (2) deve ser considerado o momento de inércia à torção. 
O nó 2 deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito, e os nós 1 e 3 não têm restrições 
nodais. 
165
95
2 3
1
2
1
 
Figura 35 – Esquema da grelha. 
 
 
Para o módulo de elasticidade do concreto (módulo de deformação longitudinal) será 
considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte 
expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8): 
 
 === 255600f5600E ckci 28.000 MPa = 2.800 kN/cm2 
 
O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale: 
 
 Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2800 = 2.380 kN/cm2 
 
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 Para o módulo de elasticidade transversal (G) pode-se utilizar 0,20 Ecs, o que resulta 476 
kN/cm2. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kN/cm2. 
O momento de inércia à torção (J) foi calculado com a Eq. 38. Na Tabela 2, com n = 0,7 
encontra-se o valor de 0,189 para j e: 
7,0
50
35
h
bn === 
 
169.4055035189,0hbjJ 33 =⋅⋅== cm4 
 
 O arquivo de dados para entrada no programa, apresentado a seguir, foi feito conforme o 
manual de utilização do programa (CORRÊA et al., 1992) e o manual com diretrizes para a sua 
aplicação, de BASTOS (1995). 
 
OPTE,0,2,0,0,2, 
TORCAO 
CONCRETO II 
EXEMPLO 1 
NO 
 1,165,0, 
 2,0,95, 
 3,165,95, 
RES 
 2,1,1,1, 
BAR 
 1,1,3,1,1, 
 2,2,3,2,1, 
PROP 
 1,1,1000,208333,100,50, 
 2,1,1750,364583,405169,50, 
MATL 
 1,2380,480, 
FIMG 
CARR1 
CBR 
 1,1,-.025,1, 
 2,1,-.04375,1, 
CNO 
 1,-50, 
FIMC 
FIME 
 
 Os resultados gerados pelo programa estão listados no Anexo B1. Os diagramas de esforços 
solicitantes característicos estão indicados na Figura 36. A flecha máxima para a grelha resultou 
igual a 0,5 cm, no nó 1, menor que os valores limites indicados pela NBR 6118/03. 
 
+
T 
(kN.cm)
k kV (kN)
4863
59,6
52,4
50
M 
(kN.cm)
k
9237
4863-
-
 
Figura 36 – Diagrama de esforços solicitantes característicos calculados como grelha. 
 
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29
b) Cálculo dos esforços e dimensionamento da viga V2 (20 x 50) 
 
 A título de exemplo e comparação com os esforços da grelha, as vigas terão os esforços 
novamente calculados, agora considerando-as individualmente. 
 A viga V2 deve estar obrigatoriamente engastada na viga V1. Seu esquema estático e 
carregamento estão indicados na Figura 37. 
 
b1) Esforços solicitantes máximos 
 
V = 2,5 . 0,95 + 50 = 52,4 kN 
 
95,050
2
95,05,2M
2
⋅+⋅= 
 
M = 48,63 kN.m = 4.863 kN.cm 
 
 Comparando os resultados dos 
esforços acima com aqueles obtidos no 
cálculo de grelha (Figura 36), nota-se que 
os esforços solicitantes na viga V2 são 
idênticos. 
50 kN
2,5 kN/m
95
50
V (kN)
52,4
4863
M (kN.cm)
_
k
k
 
Figura 37 – Esquema estático, carregamento 
e esforços naviga V2. 
b2) Dimensionamento à flexão 
 A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: 
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup 
33,3253,0.3,1f3,0.3,1f3,1f 3 23 2ckm,ctsup,ctk ==== MPa 
208333
12
5020
12
hbI
33
=== . cm4 
8333
25
208333
y
I W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) 
Md,mín = 0,8 . 8333 . 0,333 = 2.220 kN.cm 
 
Dimensionamento da armadura longitudinal para o momento fletor mínimo: 
d
2
w
c M
dbK = = 1,19
2220
46.20 2 = ⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023. 
d
MKA dss = = 11,146
2220023,0 = cm2 
 Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto 
C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto: 
 As,mín = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2 > 1,11 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 
 
Momento fletor máximo na viga: Mk = 4.863 kN.cm 
 
Md = 1,4 . 4863 = 6.808 kN.cm 
2,6
6808
4620K
2
c =⋅= 
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30
na Tabela A1 anexa tem-se: βx = 0,14, Ks = 0,024 e dom. 2. 
 55,3
46
6808024,0As == cm2 ≥ As,mín = 1,50 cm2 
 (2 φ 16 mm = 4,00 cm2 ou 3 φ 12,5 = 3,75 cm2) 
 
 Se adotados 3 φ 12,5 a distância livre entre as três 
barras da armadura negativa deve ser suficiente para a 
passagem da agulha do vibrador. 
2,5
20
2,5
50
3 φ 12,5
 
 
b3) Armadura de pele 
De acordo com a NBR 6118/03, a armadura de pele não é necessária, dado que a viga não 
tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar possíveis fissuras de retração que possam 
surgir em vigas com altura de 50 cm ou superior, será colocada uma armadura de pele com área de 
0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: 
As,pele = 0,0005 . 20 . 50 = 0,50 cm2 
4 φ 4,2 mm (0,56 cm2) em cada face, distribuídos ao longo da altura. 
 
b4) Dimensionamento ao esforço cortante 
A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas 
desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (2005). Para a seção retangular da viga será considerado 
o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38° para a inclinação das diagonais de compressão. 
 Vk = 52,4 kN.cm 
 VSd = γf . Vk = 1,4 . 52,4 = 73,4 kN 
 
b4.1) Verificação das diagonais de compressão 
Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2005), para o concreto C25, 
determina-se a força cortante última ou máxima: 
VRd2 = θθ cos.sen.d.b87,0 w = 0,87 . 20 . 46 . sen 38 . cos 38 = 388,3 kN 
→=<= kN3,388V4,73V 2RdSd não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. 
 
b4.2) Cálculo da armadura transversal 
Da mesma Tabela 3 da apostila de Cortante, para o concreto C25 a equação para determinar 
a força cortante correspondente à armadura mínima é: 
VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.040,0 +θ 
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c VV
VVVV −
−= 
 
Com Vc0 : 
8,7046.20
4,1.10
253,0
7,06,0dbf6,0V
3 2
wctd0c =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== KN 
2,70
8,703,388
4,733,3888,70V 1c =−
−= kN 
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31
VSd,mín = 3,1172,7038gcot.46.20.040,0 =+ kN 
→=<= kN3,117V4,73V mín,SdSd portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. 
A armadura transversal mínima é calculada pela equação: 
w
ywk
ctm
mín,sw bf
f20A = (cm2/m), com 5622530f30f 3 23 2ckctm ,,, === MPa 
05220
50
256020A mínsw ,.
,.
, == cm2/m 
 
b4.3) Detalhamento da armadura transversal 
- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 200/10 ≤ 20 mm 
- Espaçamento máximo: 
0,67 VRd2 = 0,67 . 388,3 = 260,2 kN 
VSd = 73,4 < 0,67 VRd2 = 260,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 
0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 27,6 cm 
 
 Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se: 
 02050
s
400 ,, = → s = 19,5 cm ≤ smáx = 27,6 cm 
 
b5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa 
 A armadura negativa deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, pois nela está 
engastada. A ancoragem inadequada pode resultar em sérios riscos de ruptura da viga. 
Conforme apresentado na apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005) o 
comprimento de ancoragem básico deve ser calculado. Nas Tabelas A2 e A3 anexas nesta apostila 
constam os comprimentos de ancoragem básicos para os aços CA-50 e CA-60. 
Para concreto C25, aço CA-50 (Tabela A2), situação de má aderência e barra de diâmetro 
12,5 mm o comprimento de ancoragem básico, sem gancho, resulta 67 cm. 
Considerando que a armadura negativa calculada foi 3,55 cm2 e que a armadura efetiva será 
composta por 3 φ 12,5 (3,75 cm2), o comprimento de ancoragem corrigido, que leva em conta a 
diferença de áreas de armaduras, é: 
 
4,63
75,3
55,367
A
A
ef,s
anc,s
bcorr,b === ll cm ≥ lb,mín = 10,0 cm 
 
 O comprimento de ancoragem mínimo é: 
 ⎩⎨
⎧ φ+≥
cm6
5,5r
mín,bl 
 r = (D/2) = 5 φ/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm 
 r + 5,5 φ = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm 
l
VIGA DE APOIO
As,ef
b,corr
b
35 cm
50
 
 ∴lb,mín = 10,0 cm 
 
O comprimento de ancoragem efetivo da viga de apoio é a largura de viga menos a 
espessura do cobrimento: lb,ef = b – c = 35 – 2,5 = 32,5 cm. 
Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido é maior que o comprimento de 
ancoragem efetivo: lb,corr = 63,4 cm > lb,ef = 32,5 cm. Não é possível fazer a ancoragem dessa forma 
na viga de apoio. Uma solução para tentar resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades 
das barras. O comprimento de ancoragem necessário com gancho é: 
 
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32
4,444,637,0corr,b1gancho,b =⋅=α= ll cm ≥ lb,mín = 10,0 cm 
 
 Verifica-se que o comprimento de ancoragem com gancho é superior ao comprimento de 
ancoragem efetivo (lb,gancho = 44,4 cm > lb,ef = 32,5 cm). Se a armadura a ancorar for aumentada 
para As,corr fica: 
 
 anc,s
ef,b
b
corr,s A
7,0A l
l= = 12,555,3
5,32
677,0 =⋅ cm2 
 
3 φ 12,5 + 1 grampo φ 10 = 5,35 cm2 
 
A Figura 38 mostra o detalhamento completo da armadura da viga V2. O espaçamento dos 
estribos foi diminuído de 19,5 cm para 15 cm, a favor da segurança e com pequeno acréscimo no 
consumo de aço. A armadura de pele, embora não obrigatória neste caso, foi adotada. As barras 
longitudinais inferiores, porta-estribos, foram adotadas φ 8 mm. 
 
45
14
3N2
2N3
4N44N4
2N5
* N2 sobre N2 da V1
V2 (20 x 50)
45
15
N1 - 6 φ 5 mm C = 130
N1 - 6 c/15
110
45
30
N2* - 3 φ 12,5 
C = 275
N3 - 2 φ 10 C = 228 
(2° cam)
N4 - 2 x 4 φ 4,2 C = 110
N5 - 2 φ 8 C = 110
 
 
Figura 38 – Armadura final da viga V2. 
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33
c) Cálculo e dimensionamento da viga V1 (35 x 50) 
 
 A viga V1 deve estar obrigatoriamente engastada no pilar P1, como demonstrado no 
esquema estático (Figura 39). O carregamento consiste no seu próprio peso e nas ações 
provenientes da viga V2 (reação de apoio e momento torçor). 
 
c1) Esforços solicitantes máximos 
 
Vk = 4,375 . 1,65 + 52,4 = 59,6 kN 
 
65,14,52
2
65,1375,4M
2
k ⋅+⋅= 
Mk = 92,42 kN.m = 9.242kN.cm 
 
Tk = 4.863 kN.cm 
 
 Verifica-se que os esforços solicitantes 
acima são idênticos com aqueles obtidos no 
cálculo de grelha (Figura 36). 
P1
165
4,375 kN/m 52,4 kN
4863 kN.cm
59,6 52,4
V (kN)
_9242
4863
M (kN.cm)
T (kN.cm)
k
k
k
 
Figura 39 –Esquema estático, carregamento 
 e esforços na viga V1. 
 
c2) Dimensionamento á flexão 
 A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: 
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup , fctk,sup = 3,33 MPa 
583.364
12
50.35
12
hb
I
33
=== cm4 
583.14
25
364583
y
I W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) 
Md,mín = 0,8 . 14583 . 0,333 = 3.885 kN.cm 
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 
d
2
w
c M
dbK = = 1,19
3885
46.35 2 = ⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023. 
d
MKA dss = = 94,146
3885023,0 = cm2 
 Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto 
C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto: 
 As,mín = 0,0015 . 35 . 50 = 2,63 cm2 > 1,94 cm2 → (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2) 
 
 O momento fletor solicitante característico na viga V1 é 9.242 kN.cm. O momento fletor de 
cálculo é: 
 
Md = 1,4 . 9.242 = 12.939 kN.cm 
7,5
12939
4635K
2
c =⋅= 
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34
na Tabela A1 anexa tem-se: βx = 0,16, Ks = 0,025 e 
domínio 2. 
03,7
46
12939025,0As == cm2 ≥ As,mín = 2,63 cm2 
(5 φ 12,5 + 1 φ 10 = 7,05 cm2) 
 
O espaçamento livre entre as barras é: ( )[ ] 3,4
5
0,125,1563,05,2235eh =+⋅++−= cm 
(espaço livre suficiente para a passagem da agulha do 
vibrador, φag = 25 mm). 
eh
2,5
2,5
50
35
5 φ 12,51 φ 10
 
 
c3) Armadura de pele 
De acordo com a NBR 611/03, a armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem 
altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar possíveis fissuras de retração que possam surgir 
em vigas com altura de 50 cm, deve ser colocada uma armadura de pele com essa finalidade. A 
armadura para a torção que será colocada nas faces laterais da viga terá também a função de 
armadura de pele. 
 
c4) Dimensionamento ao esforço cortante 
Para a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°, 
conforme a apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2005). 
 Vk = 59,6 kN.cm 
 VSd = γf . Vk = 1,4 . 59,6 = 83,4 kN 
 
C4.1) Verificação das diagonais de compressão 
Na Tabela 3 da apostila de Cortante, para o concreto C25 determina-se a força cortante 
última ou máxima: 
VRd2 = θθ cos.sen.d.b87,0 w = 0,87 . 35 . 46 . sen 38 . cos 38 = 679,5 kN 
→=<= kN5,679V4,83V 2RdSd não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. 
 
c4.2) Cálculo da armadura transversal 
Da mesma Tabela 3, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante 
correspondente à armadura mínima é: 
VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.040,0 +θ 
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c VV
VVVV −
−= 
 
Com Vc0 : 
9,12346.35
4,1.10
253,0
7,06,0dbf6,0V
3 2
wctd0c =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== KN 
9,132
9,1235,679
4,835,6799,123V 1c =−
−= kN 
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35
VSd,mín = 3,2159,13238gcot.46.35.040,0 =+ kN 
→=<= kN3,215V4,83V mín,SdSd portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima. 
A armadura mínima é calculada pela equação: 
w
ywk
ctm
mín,sw bf
f20A = (cm2/m), com 5622530f30f 3 23 2ckctm ,,, === MPa 
58,335.
50
256,0.20
A mín,sw == cm2/m 
 
c4.3) Detalhamento da armadura transversal 
- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 350/10 ≤ 35 mm 
- Espaçamento máximo: 
0,67 VRd2 = 0,67 . 679,5 = 455,3 kN 
VSd,máx = 83,4 < 455,3 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 
0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 27,6 cm 
 
c5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa 
 A armadura negativa da viga (5 φ 12,5 + 1 φ 10) deve ancorar no pilar P1, que tem seção 
transversal 35/60. Conforme a Tabela A2 anexa, com concreto C25, CA-50 (barra de alta aderência) 
e situação de má aderência para a armadura negativa, o comprimento de ancoragem básico (sem 
gancho) é 67 cm para φ 12,5 mm. 
O comprimento de ancoragem mínimo também é o mesmo da viga V2 para φ 12,5 mm, 
lb,mín = 10,0 cm. 
 O comprimento de ancoragem corrigido, considerando a armadura a ancorar de 7,03 cm2 e a 
armadura efetiva composta por 5 φ 12,5 + 1 φ 10 (7,05 cm2), sem gancho, é: 
 
 cm0,67
05,7
03,767
A
A
ef,s
anc,s
bcorr,b === ll 
 
 lb,corr = 67,0 cm cm0,10mín,b =≥ l 
 
 O comprimento de ancoragem efetivo é: 
 
 lb,ef = b – c = 60 – 2,5 = 57,5 cm 
50
c
l
b,efl
b
A s, efb,corr
60
57,5
67,1
2,5
 
 
Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido, sem gancho, é superior ao 
comprimento de ancoragem efetivo (lb,corr = 67 cm > lb,ef = 57,5 cm), que não possibilita fazer a 
ancoragem reta no pilar. A primeira alternativa para resolver o problema é fazer gancho nas 
extremidades das barras, reduzindo o comprimento corrigido para: 
 
9,460,677,0gancho,b =⋅=l cm 
 
O comprimento de ancoragem necessário, com gancho, é inferior ao comprimento de 
ancoragem efetivo (lb,gancho = 46,9 cm < lb,ef = 57,5 cm), o que possibilita fazer a ancoragem no 
pilar, sem a necessidade de acréscimo de armadura. A favor da segurança, a armadura negativa 
pode ser estendida até próximo à face do pilar, no comprimento de lb,ef (Figura 40). 
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36
c6) Dimensionamento à torção 
 O momento de torção característico (Tk) é 4.863 kN.cm e o momento de cálculo é: 
 TSd = 1,4 . 4863 = 6.808 kN.cm 
 
c6.1) Verificação das diagonais comprimidas 
 
 Área da seção transversal: A = bw . h = 35 . 50 = 1.750 cm2 
 Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (35 + 50) = 170 cm 
 As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina: 
 
 3,10
170
1750
u
Ah e ==≤ cm e he ≥ 2 c1 
 
 Supondo φl = 12,5 mm e φt = 8 mm, com cnom = 2,5 cm 
tem-se: 
 c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,8 + 2,5 = 3,93 cm 
 
1c
cnom
 
 
 he ≥ 2 . 3,93 = 7,9 cm 
 
 Portanto, os limites para he são: 7,9 cm ≤ he ≤ 10,3 
cm. Será adotado he = 10,0 cm. 
 
 A área efetiva e o perímetro da parede fina são: 
 
Ae = (bw – he) . (h – he) = (35 – 10) . (50 – 10) = 1.000 cm2 
 
ue = 2 [(bw – he) + (h – he)] = 2 [(35 – 10) + (50 – 10)] 
ue = 130 cm 
h
he
e
bw
h
 
 
 O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23 , com ângulo θ (38°) igual ao aplicado 
no cálculo da viga ao esforço cortante é: 
TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 25/250) . (2,5/1,4) 1000 . 10 . sen 2 . 38 = 7.797 kN.cm 
 
Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 
deve-se ter: 
 1
T
T
V
V
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+ 
 
Como calculado no item c4.1, os valores de VRd2 e VSd são 679,5 kN e 83,4 kN, 
respectivamente. Aplicando a Eq. 34 tem-se: 
 
 0,1
7797
6808
5,679
4,83 =+ ≤ 1,0 
 
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37
 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. Caso 
resultasse valor superior à unidade, haveria a necessidade de se fazer alguma mudança. O aumento 
da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática. 
 
c6.2) Cálculo das armaduras para torção 
 A armadura mínima transversal já foi calculada no dimensionamento da viga ao esforço 
cortante (item c4.2), sendo 3,58 cm2/m. Esta armadura é a mínima também para a torção, tanto para 
a armadura transversal como para a longitudinal, como mostrado na Eq. 32. 
Armadura transversal compostapor estribos a 90° conforme a Eq. 25: 
θ= tg
fA2
T
s
A
ywde
Sd90,s 
 0612,038tg
15,1
5010002
6808
s
A 90,s =
⋅
= cm2/cm = 6,12 cm2/m 
s
A 90,s = 6,12 cm2/m ≥ As,90mín = 3,58 cm2/m 
 
 Armadura longitudinal conforme a Eq. 28: 
 
 1002,0
38tg
15,1
5010002
6808
tgfA2
T
u
A
ywde
Sd
e
s =
⋅
=θ=
l cm2/cm 
 
 =
e
s
u
A l 10,02 cm2/m 58,3A mín,s =≥ l cm2/m 
 
c6.3) Detalhamento das armaduras 
 
c6.3.1) Armadura longitudinal 
 A área total de armadura longitudinal é obtida pela soma das armaduras de flexão e de 
torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga, como: 
Face superior: 
- da flexão – As = 7,03 cm2 
- da torção – As = (bw – he) Asl = (35 – 10) 0,1002 = 2,51 cm
2 
- As,total = 7,03 + 2,51 = 9,54 cm2 (8 φ 12,5 = 10,00 cm2) 
 
 Face inferior: 
- da flexão – As = 0,00 cm2 
- da torção – As = (bw – he) Asl = (35 – 10) 0,1002 = 2,51 cm
2 
- As,total = 2,51 cm2 (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2) 
 
 Faces laterais: 
- As,total = (h – he) Asl = (50 – 10) 0,1002 = 4,01 cm
2 (5 φ 10 mm = 4,00 cm2). 
 
É importante ressaltar que devem ser dispostos 5 φ 10 mm em ambas as faces laterais da 
viga. Esta armadura pode atuar também para evitar as fissuras por retração do concreto, não sendo 
necessário acrescentar armadura de pele, embora a norma não exija porque a viga não tem altura 
superior a 60 cm. 
 
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38
c6.3.2) Armadura transversal 
 A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço 
cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 
0,0358 cm2/cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do 
cortante para um ramo é 0,0358/2 = 0,0179 cm/m2, a armadura transversal total é: 
 0791,00612,00179,0
s
A
s
A
s
A 90,sramo1,swtotal,s =+=+= cm2/cm = 7,91 cm2/m 
 
onde As,90 representa a área de um ramo do estribo. 
 O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm e inferior a bw/10 = 
350/10 = 35 mm. Fazendo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm tem-se: 
 0791,0
s
31,0 = → s = 3,9 cm ≤ smáx = 27,6 cm 
 
O espaçamento resultou muito pequeno. Fazendo com diâmetro de 8 mm encontra-se: 
 0791,0
s
50,0 = → s = 6,3 cm ≤ smáx = 27,6 cm 
 
O espaçamento ainda está pequeno. Fazendo com diâmetro de 10 mm encontra-se: 
 0791,0
s
80,0 = → s = 10,1 cm ≤ smáx = 27,6 cm 
 
 A Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. Como visto, as 
armaduras para o momento fletor, para o esforço cortante e para a torção foram calculadas 
separadamente e somadas no final. O comprimento do gancho das barras N2 foi aumentado de 10 
cm para 40 cm, para garantir uma melhor ancoragem da armadura no pilar. 
 
N1 - 15 c/10
P1
V1 (35 x 50)
40 N2 - 6 φ 12,5 C = 242
202
N3 - 2 φ 12,5 C = 202 (2 cam)
N4 - 2 x 5 φ 10 C = 202
N5 - 2 φ 12,5 C = 202
6 N2
1 N3
5 N4
2 N5
30
45
N1 - 15 φ 10 C = 160
1 N3
a
 
Figura 40 – Armadura final da viga V1. 
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39
 Como a viga V2 está apoiada na viga V1 convém posicionar as barras N2 da V2 sobre as 
barras N2 da V1. 
 Os ganchos nas extremidades dos estribos da V1 devem ser inclinados a 45°, como prescrito 
pela NBR 6118/03, e com comprimento de 5 φ ≥ 5 cm. 
 
14.2 EXEMPLO 2 
 
 Este exemplo refere-se ao projeto estrutural de uma laje em balanço (marquise) engastada na 
viga de apoio. A marquise tem a função arquitetônica de proteger a entrada de uma construção. A 
Figura 41 mostra uma perspectiva da estrutura. As Figuras 42 e 43 mostram a planta de fôrma da 
estrutura e o pórtico do qual a marquise faz parte. Este exemplo tomou como base aquele 
encontrado em GIONGO (1994). Para a estrutura pede-se calcular e dimensionar as armaduras da 
viga V1. 
NOTA: A planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior 
à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Como as vigas V1, V3 e V6 são invertidas, os 
traços de uma das faces das vigas estão desenhados com linha tracejada. 
As seguintes informações são conhecidas: 
a) marquise acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção; 
b) o coeficiente de segurança das ações permanentes e variáveis (γf) será tomado como 1,4 (tabela 
11.1 NBR 6118/03). O coeficiente de segurança do concreto (γc) será tomado como 1,4; 
c) lajes e vigas em concreto aparente (sem revestimentos); 
d) sobre a viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico furado (γalv = 13 kN/m3), com 
espessura final de 23 cm e altura de 2,6 m; 
e) γconcr = 25 kN/m3, γimperm = 21 kN/m3; 
f) espessura média de 3 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da 
marquise; 
g) vigas V2, V3 e V6 sem função estrutural; 
h) classe II de agressividade ambiental (tabela 6.1 da NBR 6118/03); 
i) concreto C25 (tabela 7.1 da NBR 6118/03); aço CA-50; 
j) cobrimento nominal de 2,0 cm (item 7.4.7.6 da NBR 6118/03); 
k) carga da laje interna na viga V1 (plaje = 5,0 kN/m). 
 
Figura 41 – Perspectiva da estrutura. 
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40
h = 10 cm
Laje interna Laje interna
P1
14
0
10
15
5
V4
 (2
0 
x 
35
)
V5
 (2
0 
x 
35
)
V7
 (2
0 
x 
35
)
394 394
40
20
10 788 10
P1
20/30
P2
20/30
 P3
 20/30
V2 (10 x 40)
V
3 
(1
0 
x 
40
)
V
6 
(1
0 
x 
40
)
V1 (20 x 40)
 A
 A
V3
V2 V1
10
30
2014010
Corte A
 
Figura 42 – Planta de fôrma e corte da marquise. 
 
45
0 30 359 30 359 30
417,5
40
25
20/30
P1
20/30
P2
20/30
P3
tramo 1 tramo 2
V (20 x 25)
V1 (20 x 40)
V (20 x 40)
30
0 260
40
 
 
Figura 43 – Vista do pórtico com a viga V1. 
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41
RESOLUÇÃO 
 Como a laje em balanço está num nível inferior ao da laje interna à construção, não é 
indicado considerar alguma vinculação entre as duas lajes, de modo que a laje em balanço deve ser 
considerada engastada na viga V1, onde se apóia. A flexão na laje passa a ser torção na viga, 
devendo ser obrigatoriamente considerada. No cálculo dos pilares também deve ser computada a 
flexão originária da torção na viga V1. 
 Caso se quisesse evitar esforços de torção na viga V1 uma solução para isso seria prolongar 
as vigas V4, V5 e V7 até a extremidade livre da laje em balanço. Que proporcionam a devida 
resistência e equilíbrio da marquise. A laje da marquise passaria a ser uma simples laje apoiada nas 
quatro vigas de borda e armada em uma direção, sem engastamento na viga V1, e portanto, sem 
torção. 
 O engastamento da laje em balanço da marquise nas lajes internas da construção seria 
possível, desde que ambas as lajes estivessem no mesmo nível superior, o que também eliminaria a 
torção na viga V1. 
 
a) Dimensionamento da laje da marquise 
 Na laje da marquise ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente 
distribuídas no contorno externo da marquise, representadas pelas vigas V2, V3 e V6. 
 
a1) Ações uniformemente distribuídas 
 As cargas atuantes na laje são as seguintes: 
 - peso próprio – gpp = 25 . 0,10 = 2,50 kN/m2 
 - impermeabilização – gimp = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2 
 - ação variável – q = 0,5 kN/m2 (laje semacesso público) 
 - CARGA TOTAL - p = 3,63 kN/m2 
 
a2) Ações uniformemente distribuídas no contorno 
 No contorno da laje há a ação do peso próprio das vigas V2, V3 e V6, em concreto aparente: 
 - gpp,vigas = 25 . 0,10 . 0,30 = 0,75 kN/m 
 
a3) Cálculo das solicitações 
 Não havendo a possibilidade de engastamento da laje da marquise com as lajes internas do 
edifício, a laje em balanço deve ser obrigatoriamente engastada na viga V1. Como a laje é armada 
em uma direção, os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como viga de largura 
unitária (1 m), Figura 44. 
 
 Vão efetivo da laje: 
 lef = lo + a1 = 150 + 3 = 153 cm 
 Vão livre: lo = 150 cm 
 
 
⎩⎨
⎧
=⋅=
==≤
cm 3 100,3h0,3
cm 102/202/t
a 11 ∴ a1 = 3 cm 
 
 Os esforços solicitantes máximos são: 
 36,548,175,0
2
53,163,3M
2
=⋅+⋅= kN.m/m 
 V = 3,63 . 1,53 + 0,75 = 6,30 kN/m 
 
5
148
6,30
0,75
0,75 kN
3,63 kN/m
-
536
M (kN.cm/m)K
V (kN/m)K
 
Figura 44 – Esquema estático, carregamento 
e esforços solicitantes máximos. 
 
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42
 a4) Verificação da laje à força cortante 
 A laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal. De modo 
geral as lajes maciças com cargas baixas, como neste caso, não requerem esse tipo de armadura 
transversal, e por isso, o cálculo não será apresentado. 
 
a5) Determinação da armadura de flexão na laje 
 A determinação da armadura principal negativa, posicionada perpendicularmente ao eixo 
longitudinal da viga V1 e junto à face superior da laje, considerando a altura útil d é: 
d = h – (c + φ/2) = 10 – (2,0 + 0,63/2) = 7,7 cm 
 9,7
5364,1
7,7100K
2
c =⋅
⋅= → da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,024 
 34,2
7,7
5364,1024,0As =⋅= cm2/m (φ 6,3 c/13 = 2,42 cm2/m) 
 A armadura negativa das lajes, segundo as tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/03 deve ter o 
valor mínimo de: 
 50,110100
100
15,0hb%15,0A wmín,s =⋅== cm2/m < As = 2,34 cm2/m 
 O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a: 
 ⎩⎨
⎧ =⋅=≤
cm 20
cm 20102h2
s ∴ s ≤ 20 cm 
 
 As lajes armadas em uma direção devem ter, posicionada na direção secundária, uma 
armadura de distribuição de área igual a 1/5 da área da armadura principal, com o espaçamento 
máximo de 33 cm (As,sec = 2,34/5 = 0,47 cm2/m - φ 4,2 c/28 cm = 0,49 cm2/m). 
 
a6) Detalhamento das armaduras 
 O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas está na Figura 45. Deve-se 
observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior, isto é, 
onde ocorrem as tensões longitudinais de tração. A armadura principal da laje deve ser 
cuidadosamente ancorada na viga onde está engastada. O detalhe das barras N1 no interior da viga 
V1 garante a necessária ancoragem. 
 A armadura inferior (barras N3) não é necessária ao equilíbrio da laje, podendo ser 
dispensada. Nas lajes em balanço, no entanto, a sua colocação pode ser útil para aumentar a 
segurança da laje numa eventual ruptura, além de aumentar a sua ductilidade e diminuir a flecha, 
que deve ser verificada no caso de um projeto completo. 
N1
N3
N2 - 6 φ 4,2 c/ 25 CORR
N1 - 61 φ 6,3 c/ 13 C = 235
36
16
66
166
N3 - 26 φ 4,2 c/ 30 C = 165
V1
 
Figura 45 – Detalhamento esquemático das armaduras da laje. 
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43
b) Dimensionamento da viga V1 
 Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do seu peso próprio, da parede de alvenaria 
existente sobre ela, das lajes internas do edifício e da laje em balanço (reação de apoio e momento 
fletor na seção de engastamento da laje, que leva à torção da viga). Todas essas ações são 
uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga. 
 
b1) Ações a considerar 
 - peso próprio – gpp = 25 . 0,20 . 0,40 = 2,00 kN/m 
 - parede – gpar = 13 . 0,23 . 2,60 = 7,77 kN/m 
 - laje externa (marquise) – plaje = 6,30 kN/m 
 - laje interna – plaje = 5,0 kN/m 
 - CARGA TOTAL – p = 21,07 kN/m 
 
b2) Esforços solicitantes 
 O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação dos momentos 
fletores e torçores e forças cortante, é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos 
por meio de engastes elásticos (molas). Para a avaliação dos momentos torçores há que se 
considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares P1, P2 e P3. 
 Os vãos efetivos da viga são: lef = lo + a1 = 359 + 12 +12 = 383 cm 
Vão livre: lo = 359 cm (394 + 10 – 30 – 15) 
⎩⎨
⎧
=⋅=
==≤
cm 12 040,3h0,3
cm 152/302/t
a 11 ∴ a1 = 12 cm 
 
 O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de 
acordo com o esquema mostrado na Figura 43 tem-se que o comprimento de flambagem do lance 
inferior do pilar é le = 450 cm e le/4 = 450/4 = 112,5 cm. 
Como a dimensão do pilar na direção da viga (bint = 30 cm) é menor que le/4 (112,5 cm) 
deve-se considerar o pilar interno como um apoio simples. A viga deveria ser considerada 
engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que le/4. 
A Figura 46 mostra o esquema estático da viga, com os carregamentos atuantes, vãos 
efetivos, numeração das barras e nós, etc. Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode 
ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o 
programa para cálculo de pórtico plano, chamado PPLAN4, de CORRÊA et al. (1992). 
383
191,5
21,07 kN/m
191,5
1
y
21 2
383
191,5191,5
3 3 4 4 5 x
 
Figura 46 - Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras da viga V1. 
 
 
 Considerando que os pilares extremos P1 e P3, nos quais a viga se encontra vinculada, estão 
engastados na estrutura de fundação (bloco de duas estacas e vigas baldrames), o coeficiente de 
rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI/le . Quando o pilar for considerado apoiado 
na estrutura de fundação, o coeficiente de rigidez poderá ser tomado como 3EI/le . Pilares sobre 
blocos de uma estaca devem ser considerados apoiados. 
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44
A rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por: 
 Kmola = Kp,sup + Kp,inf 
 
 O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte 
expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8): 
 === 255600f5600E ckci 28.000 MPa = 2.800 kN/cm2 
 
O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale: 
 Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2800 = 2.380 kN/cm2 
 
 O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é: 
 Ip,sup = Ip,inf = 000.4512
30.20
12
hb 33 == cm4 
 
 Observe que a dimensão do pilar considerada ao cubo é aquela coincidente com a direção 
longitudinal da viga. 
 Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior do pilar são: 
 Kp,inf = 000.952450
4500023804 =⋅⋅ kN.cm 
 Kp,sup = 000.428.1300
4500023804 =⋅⋅ kN.cm 
 
Rigidez da mola: 
 Kmola = 952.000 + 1.428.000 = 2.380.000 kN.cm 
 
 Para os coeficientes de mola foram considerados os comprimentos de flambagem do pilar, e 
não a metade deles como preconizado pela NBR 6118/03. 
 A viga em questão tem simetria de geometria e carregamento no pilar interno (nó 3). A viga 
pode, por simplicidade, ser calculada considerando-se apenas os nós 1, 2 e 3, e as barras 1 e 2. Para 
isso deve-se fazer o nó 3 com restrição de rotação, além das restrições de apoio simples. Os 
resultados devem ser idênticos aqueles para a viga completa. 
 O arquivo de dados de entradano programa, considerando a simetria, tem o aspecto: 
 
OPTE,0,2,0,0,2, 
CONCRETO II 
EXEMPLO 2 
V 1 (20 x 40) 
NOGL 
 1,3,1,0,0,383,0, 
RES 
 1,1,1,2,0,0,2380000, 
 3,1,1,1, 
BARG 
 1,2,1,1,1,2,1,1,1, 
PROP 
 1,1,800,106667,40, 
MATL 
 1,2380, 
FIMG 
CARR1 
CBRG 
 1,2,1,1,-0.2107,1, 
FIMC 
FIME 
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45
 A Figura 47 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores 
característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo 
programa encontra-se no Anexo B2. Na Figura 47 também estão incluídos os esforços de torção, 
provocados pelo momento fletor na laje em balanço (5,36 kN.m), que é momento de torção 
solicitante na viga. 
 Os momentos de torção máximos nos apoios foram calculados considerando-se os tramos da 
viga biengastados. Conforme mostrado na Figura 47 os valores são: 
 
 26,10
2
83,336,5Tk =⋅= kN.m = 1.026 kN.cm 
 
3,83 m 3,83 m
5,36 kN.m
10,26
10,26
T (kN.m)K
35,0 45,7
1218
3254
1690
+
-
~ 57
~ 172
~ 90
1690
10,26
10,26
35,0
V (kN)K
45,7
1218
M (kN.cm)K
P1 P2 P3
5,36 kN.m
 
Figura 47 – Diagramas de esforços solicitantes característicos. 
 
 
A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,07 cm) não é a flecha máxima no vão, mas 
é próxima a ela, de modo que serve como um indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais 
próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado 
na Figura 46. A flecha de 0,07 cm é muito pequena e com certeza inferior à flecha máxima 
permitida para a viga. 
 
b3) Dimensionamento das armaduras 
 Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal, para os esforços solicitantes 
de força cortante, momentos fletores e torçores. 
 
b3.1) Armadura mínima de flexão 
 A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com: 
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup 
33,3253,0.3,1f3,0.3,1f3,1f 3 23 2ckm,ctsup,ctk ==== MPa 
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46
667.106
12
40.20
12
hbI
33
=== cm3 
5333
20
106667
y
I W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) 
Md,mín = 0,8 . 5333 . 0,333 = 1.421 kN.cm 
 
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 
d
2
w
c M
dbK = = 3,19
1421
37.20 2 = ⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023. 
d
MKA dss = = 88,037
1421023,0 = cm2 
 
Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto 
C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto: 
 As,mín = 0,0015 . 20 . 40 = 1,20 cm2 > 0,88 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 
 
b3.2) Armadura de pele 
A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Para 
a viga com largura de 20 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por retração. 
 
b3.3) Momento fletor negativo 
b3.3.1) Apoio interno (P2) 
Mk = - 3.254 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . (- 3.254) = - 4.556 kN.cm 
 
Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 37 cm. A largura colaborante da 
laje em balanço para formar uma seção L com a viga, conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118/03, é: 
 b3 = 0,10 (0,6 . 383) = 23 cm 
 bf = bw + b3 = 20 + 23 = 43 cm 
d
2
f
c M
dbK = = 9,12
4556
37.43 2 = 
 
Da Tabela A1 anexa tem-se: 
βx = x/d = 0,06 ≤ 0,50, Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
d
MKA dss = = 95,237
4556024,0 = cm2 > As,mín = 1,20 cm2 
4 φ 10 mm = 3,20 cm2 ou 2 φ 12,5 + 1 φ 8 = 3,00 cm2 
 
 No caso de se adotar 4 φ 10 na primeira camada, a distância livre horizontal entre as barras 
deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o 
diâmetro do estribo igual a 6,3 mm, para 4 φ 10 mm a distância livre resulta: ( )[ ] 6,3
3
0,1.463,00,2220eh =++−= cm 
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. 
 
b3.3.2) Apoios extremos (P1 e P3) 
Mk = - 1.218 kN.cm 
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.218) = - 1.705 kN.cm 
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47
d
2
f
c M
dbK = = 5,34
1705
37.43 2 = 
 
d
MKA dss = = 06,137
1705023,0 = cm2 < As,mín = 1,20 cm2 
2 φ 10 mm = 1,60 cm2 
 
b3.3.3) Momento fletor máximo positivo 
Mk = 1.690 kN.cm 
Md = γf . Mk = 1,4 . 1.690 = 2.366 kN.cm 
 
Na seção do máximo momento positivo pode-se considerar a contribuição da laje interna 
para formar uma seção L, dado que a laje está comprimida: 
b1 = 0,10 (0,6 . 383) = 23 cm 
 bf = bw + b1 = 20 + 23 = 43 cm 
 
d
2
f
c M
dbK = = 5,24
2366
37.43 2 = 
 
d
MKA dss = = 47,137
2366023,0 = cm2 > As,mín = 1,20 cm2 
2 φ 10 mm = 1,60 cm2 
 
b3.3.4) Armadura longitudinal máxima 
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que 
4 % Ac, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, as taxas de armadura 
longitudinais são pequenas e não superam a taxa de armadura máxima. 
 
b4) Dimensionamento da armadura transversal ao esforço cortante 
A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas 
desenvolvidas e apresentadas na apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2005). Será adotado o 
Modelo de Cálculo II com ângulo θ de 38° para a inclinação da diagonais comprimidas, valor esse 
intermediário entre seção retangular e seção T. 
 
b4.1) Pilar interno P2 
 Vk = 45,7 kN.cm 
 VSd = γf . Vk = 1,4 . 45,7 = 64,0 kN 
 
a) Verificação das diagonais de compressão 
Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Viga, para o concreto C25, determina-se a força 
cortante última ou máxima: 
VRd2 = θθ cos.sen.d.b87,0 w = 0,87 . 20 . 37 . sen 38 . cos 38 = 312,3 kN 
VSd = 64,0 kN < VRd2 = 312,3 kN 
∴ não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
Da mesma Tabela 3, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante 
correspondente à armadura mínima é: 
VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.040,0 +θ 
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c VV
VVVV −
−= 
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48
Com Vc0 : 
9,5637.20
4,1.10
253,07,06,0dbf6,0V
3 2
wctd0c =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== KN 
3,55
9,563,312
0,643,3129,56V 1c =−
−= kN 
VSd,mín = 0,040 . 20 . 37 . cotg 38 + 55,3 = 93,2 kN 
VSd = 64,0 kN < VSd,mín = 93,2 kN→ portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima 
 
A armadura mínima é calculada pela equação: 
w
ywk
ctm
mín,sw bf
f20A = (cm2/m), com 5622530f30f 3 23 2ckctm ,,, === MPa 
05220
50
256020A mínsw ,.
,.
, == cm2/m 
 
 A força cortante de cálculo nos pilares extremos (VSd = 49,0 kN) é também menor que a 
força cortante mínima, o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois 
tramos livres da viga V1. 
 
b4.2) Detalhamento da armadura transversal 
a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 200/10 ≤ 20 mm 
b) Espaçamento máximo: 
0,67 VRd2 = 0,67 . 312,3 = 209,2 kN 
VSd,máx = 64,0 < 209,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 
0,6 d = 0,6 . 37 = 22,2 cm ⇒ Portanto, s ≤ 22 cm 
 
b5) Ancoragem das armaduras longitudinais 
b5.1) Armadura positiva nos pilares extremos P1 e P3 
 Como a viga tem simetria de carregamento e geometria, a ancoragem nos pilares P1 e P3 é 
idêntica. 
 O valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de 
cálculo II, com VSd = 49,0 kN é: 
 )gcotg(cotd5,0a α−θ=l =0,5 . 37 (cotg 38 – cotg 90) 
al = 23,6 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 37 = 18,5 cm 
 
 Conforme a Eq. 18 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005), a armadura a 
ancorar no apoio, com NSd nula, é: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += SdSd
yd
anc,s NVd
a
f
1A l = 72,00,49
37
6,23
15,1
50
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ cm2 
 A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima, dada pelas 
relações: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>=
≤=
≥
2
MM e negativo M se A
4
1
2
MM e negativoou 0M se A
3
1
A
vão
apoioapoiovão,s
vão
apoioapoiovão,s
anc,s 
 Md,apoio = - 1.705 kN.cm > Md,vão/2 = 2.366/2 = 1.183 kN.cm 
 Portanto, As, anc ≥ 1/4 As,vão = 1,47/4 = 0,37 cm2 
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49
 As, anc = 0,72 cm2 > 1/4 As,vão = 0,37 cm2 ⇒ portanto, ancorar 0,72 cm2 
 
 A armadura positiva do vão adjacente é composta por 2 φ 10 mm, que deverão ser 
obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, As,ef = 2 φ 10 = 1,60 cm2 > As, anc = 0,72 cm2. 
 
 O comprimento de ancoragem mínimo no apoio (lb,mín) é: 
 ⎩⎨
⎧ φ 5,5 +≥
cm 6
r
mín,bl 
 r = D/2 = 5φ/2 = 5 . 1,0/2 = 2,5 cm 
(com D determinado na Tabela 1 da apostila de Ancoragem e Emendas) 
 r + 5,5φ = 2,5 + 5,5 . 1,0 = 8,0 cm > 6 cm → ∴ lb,mín = 8,0 cm 
 
O comprimento de ancoragem básico (lb), 
conforme a Tabela A2, para barra com diâmetro de 
10 mm, concreto C25, aço CA-50, região de boa 
aderência e sem gancho é 38 cm. 
 O comprimento de ancoragem corrigido é: 
 1,17
60,1
72,038
A
A
ef,s
anc,s
bcorr,b === ll cm 
 
O comprimento de ancoragem efetivo é: 
 lb,ef = b – c = 30 – 2 = 28 cm 
40
30
b
c
2,0
b,ef
28
l
17,1
b,corrl
A s, ef
 
 Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) 
é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,corr = 17,1 cm < lb,ef = 28 cm). Isto significa que 
é possível fazer a ancoragem sem gancho, no comprimento de 17 cm. A favor da segurança pode-se 
estender as duas barras até próximo à face externa do pilar e fazer o gancho para a ancoragem ficar 
mais eficiente, como mostrado na Figura 50 (barras N5). 
 
b5.2) Armadura positiva no pilar interno P2 
 Estendendo 2 φ 10 (1,60 cm2) da armadura longitudinal positiva até o pilar interno, esta 
armadura deve ser superior à mínima, dada por: 
 Md,apoio = - 4.556 kN.cm > Md,vão/2 = 2.366/2 = 1.183 kN.cm 
 Portanto, As, anc ≥ 1/4 As,vão = 1,47/4 = 0,37 cm2 
 As,ef = 1,60 cm2 > 1/4 As,vão = 0,37 cm2 
 As duas barras de 10 mm devem se estender pelo menos 10φ além da face do apoio. 
 
b5.3) Armadura negativa nos pilares extremos P1 e P3 
 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve 
penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho 
direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser 
de 5φ, como indicado na Figura 48. 
 
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50
35
 c
m
2φ10
35
 φ
5 φ
30
40
 
Figura 48 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. 
 
 
b6) Dimensionamento à torção 
 O momento de torção característico (Tk) é 1.026 kN.cm e o momento de cálculo é: 
 TSd = 1,4 . 1026 = 1.436 kN.cm 
 
b6.1) Verificação das diagonais comprimidas 
Como a torção tem o mesmo valor máximo nos três pilares de apoio, a verificação das 
diagonais de compressão será feita para o esforço cortante máximo na viga (pilar P2), a favor da 
segurança. 
 Área da seção transversal: A = bw . h = 20 . 40 = 800 cm2 
 Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (20 + 40) = 120 cm 
 As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina: 
 7,6
120
800
u
Ahe ==≤ cm e he ≥ 2 c1 
 
Com c = 2,0 cm e supondo φl = 12,5 mm e φt = 6,3 tem-se: 
 c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,63 + 2,0 = 3,26 cm 
 he ≥ 2 . 3,26 = 6,5 cm 
 
 Portanto, os limites para he são: 6,5 cm ≤ he ≤ 6,7 cm 
 Será adotado he = 6,5 cm. 
 Ae = (bw – he) . (h – he) = (20 – 6,5) . (40 – 6,5) = 452,3 cm2 
 ue = 2 [(bw – he) + (h – he)] = 2 [(20 – 6,5) + (40 – 6,5)] = 94 cm 
 
 O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38°) igual ao aplicado 
no cálculo da viga ao esforço cortante é: 
TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 25/250) . (2,5/1,4) 452,3 . 6,5 . sen 2 . 38 = 2.292 kN.cm 
 
Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 
deve-se ter: 
 1
T
T
V
V
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+ 
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51
A força cortante máxima calculada para a viga é VRd2 = 312,3 kN e a força cortante atuante é 
VSd,P2 = 64,0 kN. Substituindo os valores encontra-se: 
 
 83,0
2292
1436
3,312
0,64 =+ ≤ 1,0 
 
 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. 
 
b6.2) Cálculo das armaduras 
 As armaduras mínimas, transversal e longitudinal para a torção são iguais à armadura 
mínima para o esforço cortante (ver Eq. 32) e já foram calculadas, com valor de 2,05 cm2/m. 
Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25: 
 
0285,038tg
15,1
503,4522
1436tg
fA2
T
s
A
ywde
Sd90,s =
⋅
=θ= cm2/cm 
=
s
A 90,s 2,85cm2/m ≥ As,90mín = 2,05 cm2/m 
 
Armadura longitudinal conforme a Eq. 28: 
 0467,0
38tg
15,1
503,4522
1436
tgfA2
T
u
A
ywde
Sd
e
s =
⋅
=θ=
l cm2/cm 
=
e
s
u
A l 4,67 cm2/m 05,2A mín,s =≥ l cm2/m 
 
b6.3) Detalhamento das armaduras 
 
b6.3.1) Armadura longitudinal 
 A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada 
para cada uma das quatro faces externas da viga. As diferentes regiões com as maiores armaduras 
ao longo dos vãos da viga devem ser analisadas. 
 
Pilares P1 e P3: 
Face superior: 
- da flexão – As = 1,06 cm2 
- da torção – As = (bw – he) lsA = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm
2 
- As,total = 1,06 + 0,63 = 1,69 cm2 (2 φ 10 = 1,60 cm2) 
 
 Face inferior: 
- da flexão – As = 0,00 cm2 
- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2 
- As,total = 0,63 cm2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do 
vão, que se estende até o apoio externo - 2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 
 Faces laterais: 
- As,total = (h – he) lsA = (40 – 6,5) 0,0467 = 1,56 cm
2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm2). Esta 
armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto. 
 
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52
Pilar P2 (ambos os lados) 
Face superior: 
- da flexão – As = 2,95 cm2 
- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0468 = 0,63 cm2 
- As,total = 2,95 + 0,63 = 3,58 cm2 (3 φ 12,5 = 3,75 cm2) 
 
 Face inferior: 
- da flexão – As = 0,00 cm2 
- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2 
- As,total = 0,63 cm2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do 
vão, que se estende até o apoio interno - 2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 
 Faces laterais: 
- As,total = (40 – 6,5) 0,0467 = 1,56 cm2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm2). 
- 
b6.3.2) Armadura transversal 
 A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço 
cortante e à torção. 
A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 0,0205 cm2/cm, ao 
longo de toda a viga. 
 Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante 
paraum ramo é 0,0205/2 = 0,0103 cm/m2, a armadura transversal total é: 
 
 0388,00285,00103,0
s
A
s
A
s
A 90,sramo1,swtotal,s =+=+= cm2/cm = 3,88 cm2/m 
 
onde As,90 representa a área de um ramo do estribo. 
 
O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a bw/10 = 200/10 = 20 mm. 
Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,20 cm2) tem-se: 
0388,0
s
20,0 = 
s = 5,2 cm < smáx = 22 cm (este espaçamento máximo vale para o cortante e para a torção). 
 
O espaçamento resultou muito pequeno. Considerando o estribo com diâmetro de 6,3 mm 
fica: 
0388,0
s
31,0 = → s = 8,0 cm < smáx = 22 cm 
 
 Por questão de simplicidade e a favor da segurança pode-se dispor estribos φ 6,3 c/8 em toda 
a extensão do vão livre da viga. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. 
 
b7) Detalhamento da armadura longitudinal 
 O deslocamento (al) do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinado como 
23,6 cm (ver item b5.1). O cobrimento do diagrama de momentos fletores deve ser feito apenas para 
a armadura negativa no pilar P2, já que as armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras, que 
devem se estender obrigatoriamente até os apoios. 
 Os comprimentos de ancoragem básicos (sem gancho) para barras φ 8, 10 e 12,5 mm, em 
região de má aderência, aço CA-50 e concreto C25, conforme a Tabela A-2 anexa são 
respectivamente 43 cm, 54 cm e 67 cm. 
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53
 A Figura 49 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. Como a 
viga é simétrica o cobrimento foi feito sobre um tramo apenas. 
 No pilar interno P2 foi considerada a armadura calculada para a flexão (2 φ 12,5 + 1 φ 8 
mm). Porém, no detalhamento final a barra φ 8 foi trocada por φ 12,5 por imposição da área 
necessária à torção. A armadura positiva, composta por apenas 2 φ 10 mm, é estendida até os dois 
apoios. 
10 φ
126
la
al
2 φ 10
l = 67
b
b
B
A
l = 54b
10 φ
86
A
A
1 φ 8
2 φ 12,5
al
centro do pilar P22 φ 10
face externa do pilar
B
l = 43
67
 
Figura 49 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. 
 
 A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. As barras N6 foram 
estendidas até as faces do pilar interno com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras, 
dado que elas trabalham também à torção. 
N3 - 3 φ 12,5 C = 250N2 - 2 φ 10 C = 35235
10
P1
N5 - 2 φ 10 C = 417
N4 - 2 x 3 φ 8 CORR
125
P2
N2 - 2 φ 10 C = 352
N5 - 2 φ 10 C = 417
A
A
125
35
N1 - 90 φ 6,3 mm
 C = 114
10
36
3 N3
P3
16
V 1 (20 x 40)
N1- 45 c/8 N1- 45 c/8
2 x 3 N4
2 N5
40 40
Figura 50 – Detalhamento das armaduras finais da viga V1. 
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54
14.3 EXEMPLO 3 
 
 
 As Figuras 51, 52 e 53 mostram a estrutura em três dimensões, a planta de fôrma e um corte 
esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Essa estrutura já 
teve a viga VS1 calculada e mostrada na apostila de “Vigas de Edifícios” (BASTOS, 2005). Agora, 
a viga VS1 teve seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços de torção, para este 
terceiro exemplo numérico de aplicação. 
Para as vigas VS1 e VS6 pede-se projetar e detalhar as suas armaduras. São conhecidos: 
concreto C20, aço CA-50, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, cnom = 2,0 cm, γrev = 19 kN/m3, γcontr = 21 kN/m3, 
γconc = 25 kN/m3, γalv = 13 kN/m3. 
 
OBSERVAÇÕES: 
a) há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas, constituída por blocos cerâmicos 
de oito furos (dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e altura de 2,40m; 
b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2; 
c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kN/m2; 
d) piso cerâmico sobre as lajes, com γpiso = 0,15 kN/m2; 
e) espessura do revestimento inferior da laje = 1,5 cm; espessura do contrapiso = 3,0 cm. 
 
 
 
Figura 51 – Perspectiva da estrutura. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 Todas as vigas do pavimento superior serão representadas em um modelo de grelha, para 
assim se determinarem os esforços solicitantes e os deslocamentos verticais (flechas). As vigas 
serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. 
 Devido à mudança de direção que existe nas vigas VS1 e VS6 entre os pilares P3 e P6, 
surgem esforços de torção nas vigas nesses trechos. 
 
 
 
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55
 
VS3 (19 x 60)
P7
P4
V
S
4 
 (1
9 
x 
45
)
52
3
19/30
19/30P8
719
19/30
V
S
5 
 (1
9 
x 
45
)
P5
P9 19/19
V
S
6 
 (1
9 
x 
60
)
P6 19/30
389719
P1
52
3
VS2 (19 x 70)
19/19
VS1 (19 x 60)
330
19/30
45
16
P2
19/30P3
28
4
719
19/19
 
Figura 52 – Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6. 
 
 
30
0 255
VB1 (19 x 30)
30
70019
30
0
305,5
tramo 2
60
VS1 (19 x 60)
tramo 1
19/19
P1
240
60
19
19/30
P2
VC1 (19 x 60)
19/30
P3
tramo 3
VS6
 
Figura 53 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1. 
 
 
 
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56
a) Vãos efetivos 
 
a1) Lajes 
O vão efetivo da laje pré-fabricada é de centro a centro dos apoios dos trilhos ou nervuras, 
portanto, igual a 523 cm. 
 
a2) Vigas 
Por questão de simplicidade e porque o erro cometido será pequeno e a favor da segurança, 
na discretização dos nós da grelha os apoios verticais (pilares) serão considerados no centro 
geométrico dos pilares. Essa simplificação leva a vãos para as vigas um pouco maiores que aqueles 
que resultariam caso se considerassem os vão efetivos. 
 
b) Estimativa da altura das vigas 
 A largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos assentado 
na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa 
da altura da viga VS1 foi aplicada a seguinte equação, relativa ao seu maior vão: 
 
 9,59
12
719
12
h ef === l cm ∴ h = 60 cm 
 
 A viga VS6 terá a mesma seção transversal da VS1, isto é, 19 x 60 cm. 
 Como as vigas têm lajes apoiadas em toda a extensão dos vãos, a estabilidade lateral está 
garantida. 
 
c) Cargas na laje e nas vigas 
 Como se pode observar na Figura 52, existe o carregamento da laje pré-fabricada sobre a 
viga VS1, pois as nervuras da laje nela se apóiam. Na viga VS6 a laje aplica apenas uma pequena 
parcela de carga, dado que as nervuras da laje não se apóiam nessa viga. 
 
c1) Lajes 
 Para a laje de piso do pavimento superior considerou-se a laje do tipo pré-fabricada 
treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2. A carga total por m2 da área da 
laje é: 
- peso próprio: gpp = 2,33 kN/m2 
- revestimento teto: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m2 
- contrapiso: gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2 
- piso: gpiso = 0,15 kN/m2 
- ação variável: q = 2,00 kN/m2 
CARGA TOTAL: p = 5,40 kN/m2 
 
c2) Viga VS1 
 
 Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua 
extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3, com espessura final de 23 cm 
e altura de 2,40 m), da laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kN/m2, e o peso próprio da viga 
(com seção transversal de 19 x 60 cm), ocarregamento total atuante nos vãos entre os pilares P1 e 
P3 é: 
- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m 
- parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m 
- laje: plaje = 5,40 . (5,23/2) = 14,12 kN/m 
CARGA TOTAL: P = 24,15 kN/m 
 
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57
 No trecho onde ocorre a mudança de direção, entre o pilar P3 e a viga VS6, a carga da laje 
na VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje. O vão 
entre o pilar P6 e a viga VS6 foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga, com as 
nervuras da laje tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm. A carga da laje foi calculada 
segundo esses comprimentos médios (Figura 54). 
 
47
4
28
5
P3 19/30
P2 19/30
474 389
19/30P6P5 19/30
34
1
52
3
 
Figura 54 – Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no final da viga VS1. 
 
 
c3) Viga VS6 
 A carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à metade da largura da 
lajota (30 cm). A carga atuante na viga VS6 é: 
 
- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m 
- parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m 
- laje: glaje = 5,40 . (0,30/2) = 0,81 kN/m 
CARGA TOTAL: p = 10,84 kN/m 
 
d) Modelo de grelha para as vigas do pavimento 
 Os pilares internos das vigas podem ser considerados como apoios simples em função da 
largura dos pilares ser menor que um quarto do comprimento de flambagem dos pilares: 
comprimento de flambagem do pilar (le) = 300 cm; le/4 = 300/4 = 75 cm 
largura do apoio (bint) = 19 cm < le/4 = 75 cm 
 
 A NBR 6118/03 considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os 
pilares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, as vigas serão consideradas 
vinculadas aos pilares extremos por meio de engastamentos elásticos (molas). No pilar P3 não se 
considerou a mola devido à continuidade das vigas VS1 e VS6 neste pilar. 
Para determinação dos esforços solicitantes na grelha pode ser utilizado algum programa 
computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado GLAN4, de 
CORRÊA et al. (1992). Na Figura 55 mostra-se o modelo de grelha representativo do pavimento 
superior, com a numeração dos nós e das barras. Os números externos ao modelo são as 
propriedades das barras. No total são 16 nós e 19 barras. Alguns nós no meio das barras não são 
necessários ao modelo; foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação das flechas nas 
vigas. 
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58
19
18
14
15
1
2 3 4
5
11
106 7 8 9
12
16151413
13
12
11109
5
1
6
2
7
3
8
4
17
16 x
y
1
3
1
3
2
1
44
 
Figura 55 – Numeração dos nós, das barras e das propriedades das barras. 
 
 
d1) Rigidez da mola 
 A rigidez da mola pode ser avaliada pela equação: Kmola = Kp,sup + Kp,inf 
 Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal 
dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem: 
 Kp,sup = Kp,inf = 
e
EI4
l 
 A rigidez da mola vale portanto: 
e
mola
EI8K l= 
 
 No cálculo da rigidez das molas será tomado o comprimento de flambagem dos pilares e não 
a metade como preconizado pela NBR 6118/03. 
 O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte 
expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8): 
 === 205600f5600E ckci 25.044 MPa = 2.504,4 kN/cm2 
 
O módulo de elasticidade secante (Ecs) é: 
 Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2504,4 = 2128,7 kN/cm2 
 
O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1, P7 e P9 é: 
 Ip,sup = Ip,inf = 860.1012
19.19 3 = cm4 
 
Rigidez da mola: 
 
e
mola
EI8K l= = 476.616300
10860.7,2128.8 = kN.cm 
 
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59
 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 é: 
 Ip,sup = Ip,inf = 148.1712
19.30 3 = cm4 
 
Rigidez da mola: 
 
e
mola
EI8K l= = 384.973300
17148.7,2128.8 = kN.cm 
 
 O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P2 e P8 é: 
 Ip,sup = Ip,inf = 750.4212
30.19 3 = cm4 
 
 Rigidez da mola: 
 
e
mola
EI8K l= = 718.426.2300
42750.7,2128.8 = kN.cm 
 
d2) Arquivo de dados 
 
 Para o arquivo de dados da grelha seguiram-se as recomendações contidas no manual de 
utilização do programa GPLAN4 e no Manual para sua utilização (BASTOS, 1995). Para o módulo 
de elasticidade do concreto adotou-se o valor de 2.128 kN/cm2. 
Para o módulo de elasticidade transversal (G) pode-se utilizar 0,20 Ecs, o que resulta 476 
kN/cm2. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kN/cm2. 
Nas barras com mudança de direção (12, 13 e 14) é necessário considerar o momento de 
inércia à torção. Nas demais barras, sem torção, apenas um valor pequeno deve ser adotado, como 
100 por exemplo. 
Os momentos de inércia à torção (J) das barras 12, 13 e 14 foram calculados com a Eq. 38 e 
a Tabela 2, considerando a seção transversal 19 x 60 cm: 
 
317,0
60
19
h
bn === 
 
470.1096019266,0hbjJ 33 =⋅⋅== cm4 
 
 O arquivo de dados de entrada para o programa GPLAN4 tem o aspecto: 
 
OPTE,0,2,0,0,2, 
TORCAO 
EXEMPLO 3 - COM MOLAS 
GRELHA PAV. 
NOGP 
 1,5,1,0,0,1438,0, 
 6,10,5,0,523,1438,523, 
NOGL 
 11,12,1,1438,807,1244,925, 
 13,15,1,0,1046,719,1046, 
NO 
 16,1049,1046, 
RESG 
 1,5,4,1,2,2,0,616476,616476, 
 6,10,4,1,0,2,0,0,973384, 
 3,15,12,1,2,0,0,2426718, 
RES 
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60
 13,1,2,2,0,616476,616476, 
 8,1, 
 16,1, 
BARG 
 1,4,1,1,1,2,1,1,1, 
 5,8,1,6,1,7,1,2,1, 
 9,11,1,13,1,14,1,1,1, 
 12,13,1,16,-4,12,-1,3,1, 
 16,17,1,1,5,6,7,4,1, 
 18,19,1,3,5,8,7,4,1, 
BAR 
 14,11,10,3,1, 
 15,10,5,1,1, 
PROP 
 1,1,1140,342000,100,60, 
 2,1,1330,543083,100,70, 
 3,1,1140,342000,109470,60, 
 4,1,855,144281,100,45, 
MATL 
 1,2128,480, 
FIMG 
CARR1 
CBRG 
 1,4,1,1,-.2415,1, 
 5,8,1,1,-.3844,1, 
 9,11,1,1,-.2415,1, 
 14,15,1,1,-.1084,1, 
 16,17,1,1,-.1057,1, 
 18,19,1,1,-.1138,1, 
CBR 
 12,1,-.2283,1, 
 13,1,-.1926,1, 
FIMC 
FIME 
 
 
d3) Esforços solicitantes 
 
 As Figuras 56 e 57 mostram os diagramas de esforços solicitantes característicos (forças 
cortantes, momentos fletores e momentos torçores) obtidos no programa GPLAN4 para as vigas 
VS1 e VS6, respectivamente. A listagem completa dos resultados calculados pelo programa 
encontra-se no Anexo B3. 
A flecha calculada pelo programa para os nós 2 (0,43 cm), 7 (0,44 cm), 14 (0,60 cm), 11 
(1,04 cm) e 12 (0,69 cm), embora não sendo as flechas máximas da viga, servem como indicativos 
da deslocabilidade da viga. A maior flecha, de 1,04 cm no nó 11 é muito próxima à máxima 
permitida pela NBR 6118/03. 
 
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61
74,2
99,5
66,2 58,2
13,5 37,9P1 P2
P3
Barras 12 e 13
V (kN)k
M 
(kN.cm)
Barras 12 e 13
2101
1721
P1
9638
P2
10810
P3
k
1790
1918
5636
+
-
+
Barras 12 e 13
P2 P3 1099
T 
(kN.cm)
k
~325
~130
 
Figura 56 – Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS1.2,4
54,3
68,7
37,9
P9
P6 Barra 14
V (kN)k
M 
(kN.cm)372P9 P6
13188
k
1940+
-
T 
(kN.cm)
k
Barra 14
~ 416
P9 1059
P6
Barra 14
1059
 
Figura 57 – Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS6. 
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62
 Com relação aos momentos fletores positivos é importante analisar os vãos entre os pilares 
P2 e P3 da viga VS1 e o vão entre os pilares P9 e P6 da viga VS6. 
Na Figura 58 encontra-se o esquema para obtenção do momento fletor máximo positivo na 
viga VS1, no tramo entre os pilares P2 e P3. 
 
24,15 kN/m
1 1 2
330
 
Figura 58 – Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do 
momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno P2 da viga VS1. 
 
 
 O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo 
e a listagem dos resultados encontra-se no Anexo B4. 
OPTE,0,2,0,0,2, 
CONCRETO II - TORCAO 
MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO 
VS 1 (19 x 60) 
NOGL 
 1,2,1,0,0,330,0, 
RES 
 1,1,1,1, 
 2,1,1, 
BAR 
 1,1,2,1,1, 
PROP 
 1,1,1140,342000,60, 
MATL 
 1,2128, 
FIMG 
CARR1 
CBR 
 1,1,-0.2415,1, 
FIMC 
FIME 
 
O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 58, conforme o 
arquivo de dados acima, resultou 1.840 kN.cm. Esse momento positivo deve ser considerado no 
dimensionamento do tramo, que no modelo de grelha apresentou somente momentos fletores 
negativos. 
Para verificação do máximo momento fletor positivo na viga VS6, entre os pilares P9 e P6, 
será calculado o momento considerando o vão engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar 
P9 (Figura 59). Na rigidez da mola do engaste elástico será considerado apenas o lance inferior do 
pilar, considerando que o lance superior do pilar ainda não esteja construído. 
 O momento de inércia do lance inferior do pilar P9 é: 
 Ip,sup = Ip,inf = 860.1012
19.19
12
hb 33 == cm4 
 
 Rigidez da mola: 
 
e
mola
EI4K l= = 238.308300
10860.7,2128.4 = kN.cm 
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63
10,84 kN/m
1 1
y
2 x
523
 
Figura 59 – Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do 
momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS6. 
 
 
 O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo 
e a listagem dos resultados encontra-se nos Anexos. 
 
OPTE,0,2,0,0,2, 
CONCRETO II - TORÇÃO 
MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO 
VS 6 (19 x 60) 
NOGL 
 1,2,1,0,0,523,0, 
RES 
 1,1,2,0,308238, 
 2,1,1,1, 
BAR 
 1,1,1,2,1,1, 
PROP 
 1,1,1140,342000,60, 
MATL 
 1,2128, 
FIMG 
CARR1 
CBR 
 1,1,-0.1084,1, 
FIMC 
FIME 
 
O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 59, conforme o 
arquivo de dados acima, resulta 2.023 kN.cm, muito superior ao valor de 372 kN.cm calculado para 
a viga contínua (Figura 57). No dimensionamento da armadura positiva do tramo deve ser 
considerado o maior valor entre os dois. 
 
e) Armadura mínima de flexão 
 Para a seção transversal 19 x 60 cm a armadura mínima de flexão é: 
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup 
87,2203,0.3,1f3,0.3,1f3,1f 3 23 2ckm,ctsup,ctk ==== MPa 
000.342
12
60.19
12
hbI
33
=== cm3 
400.11
30
342000
y
I W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga) 
Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,287 = 2.617 kN.cm 
 
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo: 
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64
d
2
w
c M
dbK = = 0,22
2617
55.19 2 = ⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023. 
d
MKA dss = = 09,155
2617023,0 = cm2 
 
 Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto 
C20, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto: 
 
 As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm2 > 1,09 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 
 
f) Armadura de pele 
A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No 
entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será 
colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR 
6118/80), em cada face da viga: 
 
As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm2 
4 φ 4,2 mm = 0,56 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura (ver Figura 63). 
 
g) Dimensionamento das armaduras da viga VS1 
 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais, para os esforços solicitantes 
de M, V e T. 
 
g1) Armadura longitudinal de flexão 
 Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores 
máximos, positivos e negativos. 
 
g1.1) Momento fletor negativo 
g1.1.1) Apoio interno P2 
 
Mk = - 10.810 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . (-10.810) = - 15.134 kN.cm 
 Para a altura da viga de 60 cm será adotada a 
altura útil de 56 cm: 
d
2
w
c M
dbK = = 9,3
15134
56.19 2 = 
Da Tabela A1 anexa tem-se: 
βx = x/d = 0,30 ≤ 0,50, Ks = 0,026 e domínio 3. 
 
d
MKA dss = = 03,756
15134026,0 = cm2 
6 φ 12,5 mm = 7,50 cm2 
 
he
6 φ 12,5
 
 
 A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25 
mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 
mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: ( )[ ] 03
3
25145002219eh ,
,.,, =++−= cm 
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador com φag = 25 mm. 
 
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65
g1.1.2) Apoio interno P3 
 Neste pilar, devido aos esforços de torção, ocorrem dois diferentes valores para o momento 
fletor negativo. O cálculo será feito para o maior valor, de 2.101 kN.cm. 
 Md = γf . Mk = 1,4 . (- 2.101) = - 2.941 kN.cm 
 
d
2
w
c M
dbK = = 0,21
2941
57.19 2 = 
 
Da Tabela A1 anexa tem-se: 
βx = x/d = 0,05 ≤ 0,50, Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
d
MKA dss = = 24,157
2101024,0 = cm2 < As,mín 
(As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm) 
 
2φ10
 
 
g1.1.3) Apoio extremo P1 
Mk = - 1.721 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.721) = - 2.409 kN.cm 
Md = 2.409 < Md,mín = 2.617 kN.cm 
∴As = As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm 
 
2φ10
 
 
g1.1.4) Momento fletor positivo entre os pilares P1 e P2 
 Mk = 9.638 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . 9.638 = 13.493 kN.cm 
 Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de 
espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição dessa capa de pequena espessura 
para formar a mesa da seção T, de modo que a viga deve ser então calculada como seção retangular. 
d
2
w
c M
dbK = = 6,4
13493
57.19 2 = 
 
Da Tabela A1 anexa tem-se: 
βx = x/d = 0,25, Ks = 0,026 e domínio 2. 
 
d
MKA dss = = 15,657
13493026,0 = cm2 
3 φ 16 = 6,00 cm2 ou 
5 φ 12,5 = 6,25 cm2 
(arranjo indicado para construções de pequeno porte).
 
5 φ 12,5 
 
 
g1.1.5) Momento fletor positivo entre os pilares P2 e P3 
 
 Mk = 1.841 kN.cm 
 (ver listagem de resultados no Anexo B5) 
 
Md = 1,4 . 1841 = 2.577 kN.cm < Md,mín = 2.617 
∴As = As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm 
2 φ 10 
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g1.1.6) Momento fletor positivo à direita do pilar P3 
 Mk = 5.636 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . 5.636 = 7.890 kN.cm 
 
d
2
w
c M
dbK = = 8,7
7890
57.19 2 = 
Da Tabela A1 anexa tem-se: 
βx = x/d = 0,14, Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
d
MKA dss = = 32,357
7890024,0 = cm2 
3 φ 12,5 = 3,75 cm2 3 φ 12,5 
 
g2) Armadura transversal ao esforço cortante 
O dimensionamento ao esforço cortante será feito com as equações simplificadas 
apresentadas na apostila de Cortante em Vigas, de BASTOS (2005). Sendo a seção retangular será 
considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de inclinação das diagonais de 38°. O cálculo 
está apresentado apenas para a força cortante máxima na viga VS1; para as demais forças cortantes 
a armadura está apenas indicada. 
 
g2.1) Pilar interno P2 
 Vk = 99,5 kN.cm 
 VSd = γf . Vk = 1,4 . 99,5 = 139,3 kN 
 
g2.1.1) Verificação das diagonais de compressão 
Para o concreto C20 determina-se a força cortante última ou máxima: 
VRd2 = θθ cos.sen.d.b71,0 w = 0,71 . 19 . 56 . sen 38 . cos 38 = 366,5 kN 
→=<= kN5,366V3,139V 2RdSd não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão 
 
g2.1.2) Cálculo da armadura transversal 
Para o concreto C20 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura 
mínima é: 
VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.035,0 +θ 
0c2Rd
Sd2Rd
0c1c VV
VVVV −
−= 
 
Com Vc0 : 
6,7056.19
4,1.10
203,07,06,0dbf6,0V
3 2
wctd0c =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== KN 
2,54
6,705,366
3,1395,3666,70V 1c =−
−= kN 
VSd,mín = 9,1012,5438gcot.56.19.035,0 =+ kN 
→=>= kN9,101V3,139V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd 
 Da equação para Asw na Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (concreto C20): 
 Asw =
( )
d
VVtg55,2 1cSd −θ = ( ) 03,3
56
2,543,13938tg55,2 =− cm2/m 
A armadura mínima é calculada pela equação: 
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67
w
ywk
ctm
mín,sw bf
f20A = (cm2/m), com 21,2203,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa 
68,119.
50
221,0.20A mín,sw == cm2/m 
 Como Asw = 3,03 cm2/m > Asw,mín = 1,68 cm2/m, deve-se dispor a armadura transversal 
calculada. 
 
g2.1.3) Detalhamento da armadura transversal 
- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 190/10 ≤ 19 mm 
- Espaçamento máximo: 
0,67 VRd2 = 0,67 . 366,5 = 245,6 kN 
VSd = 139,3 < 245,6 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 
0,6 d = 0,6 . 56 = 33,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm 
- Espaçamento transversal entre os ramos do estribo: 
0,20 VRd2 = 0,20 . 366,5 = 73,3 kN 
VSd = 139,3 > 73,3 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm 
0,6 d = 0,6 . 56 = 33,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 33,6 cm 
 
g2.1.4) Detalhamento da armadura transversal 
No pilar P2 tem-se Asw = 3,03 cm2. Considerando estribo vertical composto por dois ramos e 
diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm = 0,20 cm2), tem-se: 
 0303,0
s
Asw = cm2/cm ⇒ 0303,0
s
40,0 = ⇒ s = 13,2 cm ≤ smáx = 30 cm 
 
Para a armadura mínima de 1,68 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se: 
 0168,0
s
Asw = cm2/cm ⇒ 0168,0
s
40,0 = ⇒ s = 23,8 cm ≤ smáx = 30 cm 
 
 Para as demais forças cortantes ao longo da viga VS1 as armaduras transversais são 
mostradas na Tabela 3. Apenas no lado esquerdo do pilar P2 a armadura transversal é maior que a 
mínima. 
 
Tabela 3 – Forças cortantes (kN) e armaduras (cm2/m) ao longo da viga VS1. 
Pilar Vk VSd Asw 
P1 74,2 103,9 1,70 
P2 66,2 92,3 1,68 
P3 58,2 81,5 1,68 
P3 13,5 18,9 1,68 
Intersecção VS6 37,9 53,1 1,68 
 
g3) Ancoragem das armaduras longitudinais 
 
g3.1) Armadura positiva no pilar extremo P1 
 Vk = 74,2 kN VSd = 1,4 . 74,2 = 103,9 kN 
 Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de cálculo 
II: 
 )gcotg(cotd5,0a α−θ=l = 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90) 
al = 36,5 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm 
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68
 Conforme a Eq. 19 da apostila de Ancoragem e Emendas, a armadura a ancorar no apoio é: 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= Sd
yd
anc,s Vd
a
f
1A l = 53,19,103
57
5,36
15,1
50
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ cm2 
 A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima, é dada por: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>=
≤=
≥
2
MM e negativo M se A
4
1
2
MM e negativoou 0M se A
3
1
A
vão
apoioapoiovão,s
vão
apoioapoiovão,s
anc,s 
 
Md,apoio = - 2.409 kN.cm < Md,vão/2 = 13.493/2 = 6.747 kN.cm 
 Portanto, As, anc ≥ 1/3 As,vão = 6,15/3 = 2,05 cm2 
 As, anc = 1,53 cm2 < 1/3 As,vão = 2,05 cm2 
Portanto, deve-se ancorar As, anc = 2,05 cm2, valor mínimo a ancorar no pilar P1. 
 
 A armadura positiva do vão adjacente ao pilar é composta por 5 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5 
mm posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. 
Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2. 
 
O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (lb,mín) é: 
 ⎩⎨
⎧ φ 5,5 +≥
cm 6
r
mín,bl 
 r = 5φ/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm 
(com D determinado na Tabela 1 na apostila de Ancoragem e Emendas) 
 r + 5,5φ = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm ∴ lb,mín = 10,0 cm 
 
 O comprimento de ancoragem básico, sem gancho, 
para barra de diâmetro 12,5 mm, concreto C20, aço CA-50, 
região de boa aderência é 55 cm. 
 O comprimento de ancoragem corrigido, sem 
gancho é: 
1,45
50,2
05,255
A
A
ef,s
anc,s
bcorr,b === ll cm 
 
O comprimento de ancoragem efetivo do apoio é: 
 lb,ef = b – c = 19 – 2 = 17 cm 
c b,efl
b
b,corrl
As,ef
 
 
 
 Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho) 
é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,corr = 45,1 cm > lb,ef = 17 cm). Isto significa 
que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é fazer o 
gancho. O comprimento de ancoragem, com gancho, é: 
 6,311,45.7,0gancho,b ==l cm 
 Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o 
comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (lb,gancho = 
31,6 cm > lb,ef = 17 cm). 
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69
 A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr, 
como definido pela Eq. 25 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005), ou colocar 
grampos: 
 anc,s
ef,b
b
corr,s A
7,0A l
l= = 64,405,2
17
557,0 =⋅ cm2 
 
 Para atender a armadura corrigida pode-se estender mais duas barras das cinco barras da 
armadura positiva no vão, o que leva a As,ef = 4 φ 12,5 = 5,00 cm2, o que atende à armadura 
necessária corrigida. 
Como uma alternativa ao arranjo anterior pode-se manter as duas barras φ 12,5 da armadura 
efetiva longitudinal e acrescentar dois grampos complementares, com área de: 
 
As,gr = 4,64 – 2,50 = 2,14 cm2 → (2 grampos: 4 φ 8 = 2,00 cm2) 
 
 A armadura a ancorar fica com 2 φ 12,5 + 4 φ 8 = 4,50 cm2. O detalhe da ancoragem está 
mostrado na Figura 60. 
 
2 φ 12,5
gr
2 cm
100 φ = 80 cm
16,2
19
10 
Grampos
2,0
 
Figura 60 – Detalhe da ancoragem nos pilares extremos. 
 
 
g3.2) Armadura positiva nos pilares internos 
 Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender à armadura 
mínima e estender 10φ além da face do apoio. 
 
 
g3.3) Armadura negativa no pilar extremo P1 
 A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve 
penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho 
direcionado para baixo, com comprimento depelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser 
de 5φ, como indicado na Figura 61. 
 
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70
2 φ 10
35
 c
m
35
 φ
5 φ
 
Figura 61 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos. 
 
 
g4) Dimensionamento à torção 
 O momento de torção característico (Tk) é 1.099 kN.cm e o momento de cálculo é: 
TSd = 1,4 . 1.099 = 1.539 kN.cm 
 
g4.1) Verificação das diagonais comprimidas 
 Área da seção transversal: A = bw . h = 19 . 60 = 1140 cm2 
 Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (19 + 60) = 158 cm 
 
 As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina: 
 2,7
158
1140
u
Ahe ==≤ cm e he ≥ 2 c1 
 
Sendo c = 2,0 cm e supondo φl = 12,5 mm e φt = 5 mm encontra-se: 
c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,5 + 2,0 = 3,125 cm 
 he ≥ 2 . 3,125 = 6,3 cm 
 
 Portanto, os limites para he são: 6,3 cm ≤ he ≤ 7,2 cm. 
 Será adotado he = 7,0 cm. 
 
 Ae = (bw – he) . (h – he) = (19 – 7) . (60 – 7) = 636 cm2 
 
 O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38°) igual ao aplicado 
no cálculo da viga ao esforço cortante é: 
 
TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 20/250) . (2,0/1,4) 636 . 7,0 . sen 2 . 38 = 2.838,7 kN.cm 
 
Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 
deve-se ter: 
 1
T
T
V
V
2Rd
Sd
2Rd
Sd ≤+ 
 
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71
Sendo VRd2 = 366,5 kN e VSd,máx = 81,5 kN, aplicando os valores numéricos na Eq. 34 fica: 
 
76,0
7,2838
0,1539
5,366
5,81 =+ ≤ 1,0 
 
 Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão. 
 
g4.2) Cálculo das armaduras 
 As armaduras mínimas, transversal e longitudinal, já foram calculadas no dimensionamento 
da viga ao cortante, e valem 1,68 cm2/m. 
Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25: 
 
0217,038tg
15,1
506362
1539tg
fA2
T
s
A
ywde
Sd90,s =
⋅
=θ= cm2/cm 
=
s
A 90,s 2,17 cm2/m ≥ As,90mín = 1,68 cm2/m 
 
 Armadura longitudinal conforme a Eq. 28: 
 0356,0
38tg
15,1
506362
1539
tgfA2
T
u
A
ywde
Sd
e
s =
⋅
=θ=
l cm2/cm 
 
e
s
u
A l = 3,56 cm2/m 68,1A mín,s =≥ l cm2/m 
 
g4.3) Detalhamento das armaduras 
 
g4.3.1) Armadura longitudinal 
 A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada 
para cada uma das quatro faces da viga. 
Pilar P3: 
Face superior: 
- da flexão – As = 1,24 cm2 
- da torção – As = (bw – he) Asl = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm
2 
- As,total = 1,24 + 0,43 = 1,67 cm2 (2 φ 10 = 1,60 cm2) 
 
 Face inferior: 
- da flexão – As = 0,00 cm2 
- da torção – As = (bw – he) Asl = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm
2 
- As,total = 0,43 cm2 
 
Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva à direita do pilar P3, que se 
estende até o pilar - 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2). 
 
 Faces laterais: 
- As,total = (h – he) Asl = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm
2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2). Esta armadura, 
em cada face, deverá se estender do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6; a armadura contribui 
também para evitar possíveis fissuras por retração do concreto. 
 
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72
Região do máximo momento positivo 
 
Face superior: 
- da flexão – As = 0,00 cm2 
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2 
- As,total = 0,43 cm2 (2 φ 8 = 1,00 cm2) 
 
 Face inferior: 
- da flexão – As = 3,32 cm2 
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2 
- As,total = 3,32 + 0,43 = 3,75 cm2 (3 φ 12,5 mm = 3,75 cm2) 
 
 Faces laterais: 
- As,total = (h – he) Asl = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm
2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2). 
 
g4.3.2) Armadura transversal 
 A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço 
cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P3 e a interseção com 
a viga VS6 resultou na armadura mínima, de 0,0168 cm2/cm. 
 Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante 
para um ramo é 0,0168/2 = 0,0084 cm/m2, a armadura transversal total é: 
 
 0301,00217,00084,0
s
A
s
A
s
A 90,sramo1,swtotal,s =+=+= cm2/cm = 3,01 cm2/m 
 
onde As,90 representa a área de um ramo do estribo. 
 
 O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois 
ramos com diâmetro de 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31 cm2) tem-se: 
 0301,0
s
31,0 = → s = 10,3 cm < smáx = 30 cm 
 
 Na Figura 63 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1. 
 
g5) Detalhamento da armadura longitudinal 
 
Segundo o modelo de cálculo II o deslocamento (al) do diagrama de momentos fletores 
resultou 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má 
aderência e concreto C20 consta da Tabela A2 e vale 78 cm. 
 A Figura 62 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para 
determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. 
 A Figura 63 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito 
comumente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito 
normalmente nas escalas de 1:25 ou 1:20. 
 
 
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73
A
B
12,5
bl
54
10 φ
12,5
10 φ 143
234
2 φ 12,5
2 φ 12,5
B
A
10 φ
12,5
12,5
10 φ
54
bl
61
151
2 φ 10 2 φ 12,5
2 φ12,5
2 φ 12,5
12,5
12,5
78
78
78
12,5
114
152
194
78
12,5
12,5
78
114
196
78
12,5
114
10
62
1 φ 12,5
12,5
79
12,5
370
2 φ 12,5
1 φ 12,5
120
 
Figura 62 – Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1. 
 
 
 
N2 - 42 φ 6,3 C = 152
4N8
1N10
2N112N13
15
56
N1 - 47 φ 5 C = 152
2N6
30
P1 P2 P3
VS6
N2 - 42 c/10
N1 - 13 c/23
N1 - 8 c/13
N1 - 26 c/23
104
40
120 50
N3 - 2 φ 10 C = 60635 N4 - 2 φ 12,5 C = 660
N5 - 2 φ 8 C = 414
40
195
N6 - 2 φ 12,5 C = 345
150 195
N7 - 2 φ 12,5 C = 230 (2° cam)
115 115
N8 - 2 x 4 φ 4,2 C = 1056
N10 - 1 φ 12,5 C = 343 (2° cam)
N11 - 2 φ 12,5 C = 528
N13 - 2 φ 12,5 C = 742 N14 - 2 φ 10 C = 3401
0
30
N9 - 2 x 4 φ 8 C = 501
30
N12 - 1 φ 12,5 C = 361N15 - 2 φ 12,5 C = 511
40
N16 - 2 φ 8 C = 1741
4 80
140
150 235
60 80
VS 1 (19 x 60)
2N4
2N7
4N8
 
Figura 63 – Desenho final das armaduras da viga VS1. 
 
 
h) Dimensionamento das armaduras da viga VS6 
 Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços de M, V e T. 
 
h1) Armadura longitudinal de flexão 
 Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores 
máximos, positivos e negativos. 
 
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74
h1.1) Apoio interno P6 
Mk = - 13.188 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . (- 13.188) = - 18.463 kN.cm 
Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil 
de 56 cm: 
d
2
w
c M
dbK = = 2,3
18463
5,55.19 2 = 
Da Tabela A1 anexa tem-se: 
βx = x/d = 0,38 ≤ 0,50, Ks = 0,027 e domínio 3. 
 
d
MKA dss = = 98,85,55
18463027,0 = cm2 
7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2 
 
he
7 φ 12,5Deve-se ter βx = x/d ≤ 0,50. Neste caso, com βx = x/d = 0,38 o limite está satisfeito, o que 
deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção. 
 A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25 
mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5 
mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta: 
 ( )[ ] 03
3
25145002219eh ,
,.,, =++−= cm 
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador. 
 
h1.2) Momento positivo na extremidade da viga 
Mk = 1.940 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . (1.940) = 2.716 kN.cm 
 
d
2
w
c M
dbK = = 7,22
2716
57.19 2 = 
Da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,024 e dom. 2. 
 
d
MKA dss = = 14,157
2716024,0 = cm2 < As,mín 
(As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm) 
2φ10
 
 
h1.3) Momento fletor positivo entre os pilares P6 e P9 
 Mk = 2.023 kN.cm 
 Md = γf . Mk = 1,4 . 2.023 = 2.832 kN.cm 
d
2
w
c M
dbK = = 8,21
2832
57.19 2 = 
Da Tabela A1 tem-se Ks = 0,024. 
 
d
MKA dss = = 19,157
2832024,0 = cm2 < As,mín 
(As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm) 
2 φ 10 
h2) Armadura transversal ao esforço cortante 
Na viga VS6 o esforço cortante máximo é VSd = 96,2 kN, valor menor que a força cortante 
mínima, o que leva à armadura transversal mínima (Asw,mín = 1,68 cm2/m – estribo φ 5 c/ 23 cm) na 
viga. 
 
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75
h3) Ancoragem das armaduras longitudinais 
 O esforço cortante no pilar P9 é pequeno (2,4 kN) e existe também um pequeno momento 
fletor positivo (372 kN.cm). A armadura mínima de flexão do vão adjacente (2 φ 10 mm) é 
suficiente para resistir a este momento. A favor da segurança deve-se ancorar as duas barras no pilar 
P9 fazendo-se o gancho. 
 
h4) Armadura positiva no pilar interno 
 Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura 
mínima e estender 10φ além da face do apoio. 
 
h5) Dimensionamento à torção 
 O momento de torção característico (Tk) é 1.059 kN.cm e o momento de cálculo: 
 TSd = 1,4 . 1.059 = 1.483 kN.cm 
 
 Este momento torçor é um pouco menor e muito próximo daquele encontrado para o trecho 
final da viga VS1 (Td = 1.539 kN.cm). Desse modo, como a seção transversal é a mesma, será 
adotada a mesma armadura de torção calculada para a viga VS1. 
Estribos: 0217,0
s
A 90,s = cm2/cm = 2,17 cm2/m ≥ As,90mín = 1,68 cm2/m 
 Armadura longitudinal: 0356,0
u
A
e
s =l cm2/cm = 3,56 cm2/m 68,1A mín,s =≥ l cm2/m 
 
h5.2) Detalhamento das armaduras 
h5.2.1) Armadura longitudinal 
 A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculadas 
para cada uma das quatro faces externas da viga. 
Face superior: 
- da flexão – As = 8,98 cm2 
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2 
- As,total = 8,98 + 0,43 = 9,41 cm2 (7 φ 12,5 + 1 φ10 = 9,55 cm2) 
 Face inferior: 
- da flexão – As = 0,00 cm2 
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2 
- As,total = 0,43 cm2 
 
Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se estende até o apoio - 
2 φ 10 mm = 1,60 cm2) 
 
 Faces laterais: 
- As,total = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2). 
 
Esta armadura deverá se estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1. 
 
h5.3.2) Armadura transversal 
 A área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à 
torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1 
resultou na armadura mínima, de 0,0168 cm2/cm. 
 Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante 
para um ramo é 0,0168/2 = 0,0084 cm/m2, a armadura transversal total é igual à da viga VS1: 
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 0301,00217,00084,0
s
A
s
A
s
A 90,sramo1,swtotal,s =+=+= cm2/cm = 3,01 cm2/m 
 
 O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois 
ramos com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,20 cm2) tem-se: 
 0301,0
s
20,0 = → s = 6,6 cm < smáx = 30 cm 
 
O espaçamento resultou pequeno. Alterando o diâmetro para 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31 
cm2) tem-se: 
 0301,0
s
31,0 = → s = 10,3 cm < smáx = 30 cm 
 
Na Figura 65 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1. 
 
h6) Detalhamento da armadura longitudinal 
 Como já calculado o deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 36 cm. O 
comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má aderência e concreto 
C20 é 78 cm. 
 A Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para 
determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. 
 
A
B
A
B
A
B
12,5
78
78
12,5
78
12,5
78
12,5
78
12,5
12,5
167
272
463
137
205
284
2 φ 12,5
2 φ 12,5
3 φ 12,5
 
Figura 64 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. 
 
 
 A Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito 
normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito 
normalmente na escala de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento 
final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada. 
 
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N2 - 27 φ 6,3 mm 
 C = 152
4N8
40
205 15
2N10
3N5
4N8
2N4
1N6
2N3
VS 6 (19 x 60)
P9 P6 VS1
56140170
N10 - 2 φ 10 C = 339
N8 - 2 x 4 φ 8 C = 329 
N6 - 1 φ 10 C = 299 (2° cam)
N5 - 3 φ 12,5 C = 310 (2° cam)
10
N7 - 2 x 4 φ 4,2 C = 535 
N9 - 2 φ 10 C = 545 
30
40
N1 - 22 φ 5 mm 
 C = 152
N4 - 2 φ 12,5 C = 475
N2 - 27 c/10N1 - 22 c/23
40 N3 - 2 φ 12,5 C = 895
270
 
Figura 65 – Desenho com a armadura final da viga VS6. 
 
 
 
15. QUESTIONÁRIO 
 
1ª) Comente sobre os casos mais comuns de torção nas construções. 
2ª) O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade? Cite exemplos. 
3ª) Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de 
torção externa uniforme no vão? 
4ª) O que é torção de St. Venant? 
5ª) Para uma seção circular, mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à 
torção. 
6ª) E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção? 
7ª) Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada? 
8ª) Indique numa figura o que é a área Ae e o perímetro u. 
9ª) Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura. 
10ª) Por que uma viga de concreto armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca 
e com espessura da casca constante? 
11ª) Por que se pode fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial? 
12ª) Como se configura a treliça espacial generalizada? 
13ª) Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção e flexão? 
14ª) Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção. 
15ª) Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada. 
16ª) Como a norma define a espessura da casca da seção vazada? 
17ª) Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto? 
18ª) Como são as equações que definem as armaduras para a torção? 
19ª) No caso de torção combinada com cortante, como se verifica a bielade concreto comprimido? 
20ª) Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção? 
21ª) Como é calculada a armadura mínima para a torção? 
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78
22ª) Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos? Qual é o espaçamento máximo? 
23ª) Por que os estribos para torção não podem ser abertos? 
24ª) Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga? 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, ACI 
318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento - NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, mar/2003, 170p. 
 
BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina 
1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de 
Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2005, 55p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos. 
 
BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. 
Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual 
Paulista, abril/2005, 37p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos. 
 
BASTOS, P.S.S. Vigas de edifícios. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, 
Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, 
abril/2005, 42p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos. 
 
BASTOS, P.S.S. Programa GPLAN3 – Diretrizes para o desenvolvimento de modelos de grelhas. 
Disciplina 1365 – Estruturas de Concreto IV. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade 
de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, set/1995, 26p. 
 
COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin 
D’Information n. 204, Lausanne, 1991. 
 
CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 – Manual de 
utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de 
Estruturas, 1992, 80p. 
 
GIONGO, J.S. Concreto armado: Vigas submetidas a esforços de torção. São Carlos, Escola de 
Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1996, 40p. 
 
LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 
305p. 
 
LIMA, J.S. ; GUARDA, M.C. ; PINHEIRO, L.M. Análise de torção em vigas de acordo com a 
nova NBR 6118. In: 42 CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, IBRACON. Fortaleza, 
ago/2000, CD-ROM, 16p. 
 
MACGREGOR, J.G. Reinforced concrete – Mechanics and design. 3a ed., Upper Saddle River, Ed. 
Prentice Hall, 1997, 939p. 
 
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UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
79
SÁNCHEZ, E. Dimensionamento à torção: novas prescrições normativas brasileiras. In: Nova 
normalização brasileira para o concreto estrutural. 2001, p.155-185. 
 
SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1985, 376p. 
 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
 
FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. 
 
LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos sobre a armação 
de estruturas de concreto armado, v. 3, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 273p. 
 
NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 
1985, 701p. 
 
PINHEIRO, L.M. Concreto armado – Tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São 
Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1986. 
 
SÁNCHEZ, E. Análise crítica do projeto de revisão da NB-1: Prescrições para o dimensionamento 
à torção. In: XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 2000, 
CD-ROM, 7p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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80
ANEXO A 
Tabela A1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50. 
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES 
Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) 
d
x
x =β 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 
Dom.
0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,023 
0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 
0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023 
0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 
0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023 
0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 
0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024 
0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 
0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024 
0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 
0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024 
0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 
0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024 2
0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 
0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024 
0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 
0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025 
0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 
0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025 
0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 
0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025 
0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 
0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025 
0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 
0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026 
0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 
0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026 
0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 
0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026 
0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 
0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026 
0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 
0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026 
0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 
0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027 
0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 
0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027 
0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 
0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 3
0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028 
0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 
0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 
0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 
0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 
0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 
0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 
0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 
0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031 
 
 
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81
 
Tabela A2 – Comprimento de ancoragem lb para CA-50 nervurado. 
 
TABELA A2 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lb (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 φ (mm) 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 6,3 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 8 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 10 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 12,5 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 16 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 20 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
170 119 141 98 121 85 107 7597 68 89 62 82 57 76 53 22,5 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 25 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 32 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 40 
212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66 
 Valores de acordo com a NBR 6118/03 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 lb Sem e Com ganchos nas extremidades 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
φ≥
mm 100
10
3,0 b
mín,b
l
l 
 γc = 1,4 ; γs = 1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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82
 
Tabela A3 – Comprimento de ancoragem lb para CA-60 entalhado. 
 
TABELA A3 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lb (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 φ (mm) 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 3,4 
 35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 4,2 
 43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 5 
 51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 6 
 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 7 
 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 8 
 82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 9,5 
 97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118/03 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 lb Sem e Com ganchos nas extremidades 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
φ≥
mm 100
10
3,0 b
mín,b
l
l 
 γc = 1,4 ; γs = 1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
83
ANEXO B 
 
 
LISTAGENS DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS 
GPLAN4 E PPLAN4 
 
 
B1) GRELHA DO EXEMPLO 1 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: TORCAO 
 CLIENTE: CONCRETO II 
 
 
 ============================ 
 GRELHA: EXEMPLO 1 
 ============================ 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y 
 =========================================================================== 
 
 1 165.000 .000 0 0 0 
 2 .000 95.000 1 1 1 
 3 165.000 95.000 0 0 0 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 3 0 1 95.000 .0000 
 2 2 0 3 0 2 165.000 1.0000 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .10000E+04 .20833E+06 .10000E+03 50.00 
 2 1 .17500E+04 .36458E+06 .40517E+06 50.00 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .238000E+04 .480000E+03 .00000E+00 .0000E+00 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
84
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (GRELHA: EXEMPLO 1 ) 
 =========================================================================== 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y 
 =========================================================================== 
 
 1 -.5163226 .0045879 .0008594 
 2 .0000000 .0000000 .0000000 
 3 -.0950533 .0041256 .0008594 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 -50.000 .015 .000 
 3 -52.375 -4862.804 .000 
 
 2 2 59.594 -9237.421 4862.793 
 3 52.375 -.002 4862.793 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 -.015 .000 
 2 59.594 -4862.793 -9237.421 
 3 .000 -.011 .002 
 
 SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS ........................... 59.594 
 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ................... -59.594 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000256 % 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR 
 =========================================================================== 
 
 1 0/10 -50.000 .015 .000 
 1 1/10 -50.238 -476.114 .000 
 1 2/10 -50.475 -954.499 .0001 3/10 -50.713 -1435.140 .000 
 1 4/10 -50.950 -1918.037 .000 
 1 5/10 -51.188 -2403.191 .000 
 1 6/10 -51.425 -2890.601 .000 
 1 7/10 -51.663 -3380.268 .000 
 1 8/10 -51.900 -3872.190 .000 
 1 9/10 -52.138 -4366.369 .000 
 1 10/10 -52.375 -4862.804 .000 
 
 2 0/10 59.594 -9237.421 4862.793 
 2 1/10 58.872 -8260.080 4862.793 
 2 2/10 58.150 -7294.649 4862.793 
 2 3/10 57.428 -6341.130 4862.793 
 2 4/10 56.706 -5399.522 4862.793 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
85
 2 5/10 55.984 -4469.825 4862.793 
 2 6/10 55.262 -3552.038 4862.793 
 2 7/10 54.541 -2646.162 4862.793 
 2 8/10 53.819 -1752.198 4862.793 
 2 9/10 53.097 -870.144 4862.793 
 2 10/10 52.375 -.001 4862.793 
 
 
 - Analise completa - fim do processamento 
 
 
B2) EXEMPLO 2 – PPLAN4 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: CONCRETO II 
 CLIENTE: EXEMPLO 2 
 
 ============================ 
 PORTICO: V 1 (20 x 40) 
 ============================ 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .23800E+07 
 2 191.500 .000 0 0 0 
 3 383.000 .000 1 1 1 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 191.500 1.0000 
 2 2 0 3 0 1 191.500 1.0000 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .80000E+03 .10667E+06 40.00 .00 
 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .238000E+04 .00000E+00 .00000E+00 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
86
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: V 1 (20 x 40) ) 
 =========================================================================== 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 
 =========================================================================== 
 
 1 .0000000 .0000000 .0005119 
 2 .0000000 -.0710151 -.0001280 
 3 .0000000 .0000000 .0000000 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .000 35.033 -1218.352 
 2 .000 -5.316 1627.123 
 
 2 2 .000 -5.316 1627.123 
 3 .000 -45.665 -3254.246 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 35.033 -1218.352 
 2 .000 .000 .000 
 3 .000 45.665 3254.246 
 
 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 80.698 
 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -80.698 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 0/10 .000 35.033 -1218.352 
 1 1/10 .000 30.998 -586.096 
 1 2/10 .000 26.964 -31.109 
 1 3/10 .000 22.929 446.609 
 1 4/10 .000 18.894 847.059 
 1 5/10 .000 14.859 1170.241 
 1 6/10 .000 10.824 1416.154 
 1 7/10 .000 6.789 1584.799 
 1 8/10 .000 2.754 1676.176 
 1 9/10 .000 -1.281 1690.283 
 1 10/10 .000 -5.316 1627.123 
 
 2 0/10 .000 -5.316 1627.123 
 2 1/10 .000 -9.351 1486.694 
 2 2/10 .000 -13.385 1268.997 
 2 3/10 .000 -17.420 974.031 
 2 4/10 .000 -21.455601.797 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
87
 2 5/10 .000 -25.490 152.294 
 2 6/10 .000 -29.525 -374.477 
 2 7/10 .000 -33.560 -978.517 
 2 8/10 .000 -37.595 -1659.825 
 2 9/10 .000 -41.630 -2418.401 
 2 10/10 .000 -45.665 -3254.246 
 
 
 
B3) GRELHA DO EXEMPLO 3 
 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: TORCAO 
 CLIENTE: EXEMPLO 3 - COM MOLAS 
 
 ============================ 
 GRELHA: GRELHA PAV. 
 ============================ 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 .10000E+38 .61648E+06 .61648E+06 
 2 359.500 .000 0 0 0 
 3 719.000 .000 .10000E+38 .24267E+07 .00000E+00 
 4 1078.500 .000 0 0 0 
 5 1438.000 .000 .10000E+38 .61648E+06 .61648E+06 
 6 .000 523.000 .10000E+38 .00000E+00 .97338E+06 
 7 359.500 523.000 0 0 0 
 8 719.000 523.000 1 0 0 
 9 1078.500 523.000 0 0 0 
 10 1438.000 523.000 .10000E+38 .00000E+00 .97338E+06 
 11 1438.000 807.000 0 0 0 
 12 1243.500 926.500 0 0 0 
 13 .000 1046.000 .10000E+38 .61648E+06 .61648E+06 
 14 359.500 1046.000 0 0 0 
 15 719.000 1046.000 .10000E+38 .24267E+07 .00000E+00 
 16 1049.000 1046.000 1 0 0 
 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 
 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 
 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 
 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 
 5 6 0 7 0 2 359.500 1.0000 
 6 7 0 8 0 2 359.500 1.0000 
 7 8 0 9 0 2 359.500 1.0000 
 8 9 0 10 0 2 359.500 1.0000 
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88
 9 13 0 14 0 1 359.500 1.0000 
 10 14 0 15 0 1 359.500 1.0000 
 11 15 0 16 0 1 330.000 1.0000 
 12 16 0 12 0 3 228.277 .8520 
 13 12 0 11 0 3 228.277 .8520 
 14 11 0 10 0 3 284.000 .0000 
 15 10 0 5 0 1 523.000 .0000 
 16 1 0 6 0 4 523.000 .0000 
 17 6 0 13 0 4 523.000 .0000 
 18 3 0 8 0 4 523.000 .0000 
 19 8 0 15 0 4 523.000 .0000 
 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 .10000E+03 60.00 
 2 1 .13300E+04 .54308E+06 .10000E+03 70.00 
 3 1 .11400E+04 .34200E+06 .10947E+06 60.00 
 4 1 .85500E+03 .14428E+06 .10000E+03 45.00 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .212800E+04 .480000E+03 .00000E+00 .0000E+00 
 
 
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (GRELHA: GRELHA PAV. ) 
 =========================================================================== 
 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y 
 =========================================================================== 
 
 1 .0000000 -.0008127 .0022300 
 2 -.4313683 -.0006779 -.0005575 
 3 .0000000 -.0005432 .0000000 
 4 -.4313675 .0000298 .0005575 
 5 .0000000 .0006027 -.0022300 
 6 .0000000 .0000000 .0022569 
 7 -.4384310 .0000000 -.0005528 
 8 .0000000 -.0000001 -.0000457 
 9 -.4137887 -.0011135 .0005299 
 10 .0000000 -.0022268 -.0020741 
 11 -1.0433960 -.0041370 .0036414 
 12 -.6875809 .0006757 .0023666 
 13 .0000000 .0008127 .0027923 
 14 -.5983620 .0006780 -.0003741 
 15 .0000000 .0005434 -.0012958 
 16 .0000000 .0052094 .0006376 
 
 
 
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89
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO CORTANTEM FLETOR M TORCOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 67.983 -1374.770 .018 
 2 -18.837 7459.192 .018 
 
 2 2 -18.837 7459.191 .018 
 3 -105.656 -14918.370 .018 
 
 3 3 105.656 -14918.380 .077 
 4 18.837 7459.182 .077 
 
 4 4 18.837 7459.182 .077 
 5 -67.983 -1374.782 .077 
 
 5 6 108.533 -2196.740 .000 
 7 -29.659 11980.990 .000 
 
 6 7 -29.659 11980.990 .000 
 8 -167.850 -23521.220 .000 
 
 7 8 166.625 -23521.330 -.149 
 9 28.433 11540.290 -.149 
 
 8 9 28.433 11540.290 -.149 
 10 -109.759 -3078.051 -.149 
 
 9 13 74.178 -1721.450 -.018 
 14 -12.641 9339.938 -.018 
 
 10 14 -12.641 9339.936 -.018 
 15 -99.460 -10810.200 -.018 
 
 11 15 66.239 -10810.080 .679 
 16 -13.456 -2101.024 .679 
 
 12 16 58.202 -1790.493 -1099.280 
 12 6.087 5547.339 -1099.280 
 
 13 12 6.087 5547.332 -1099.280 
 11 -37.880 1918.534 -1099.280 
 
 14 11 -37.880 1940.952 1059.191 
 10 -68.665 -13188.420 1059.191 
 
 15 10 54.274 -13188.270 .014 
 5 -2.419 371.645 .014 
 
 16 1 22.167 -501.009 .002 
 6 -33.114 -3363.497 .002 
 
 17 6 33.114 -3363.497 .049 
 13 -22.167 -501.009 .049 
 
 18 3 26.100 -1318.285 -.004 
 8 -33.418 -3231.950 -.004 
 
 19 8 33.418 -3231.802 -.115 
 15 -26.099 -1318.011 -.115 
 
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90
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y 
 =========================================================================== 
 
 1 90.150 500.991 -1374.773 
 2 .000 .000 .000 
 3 237.412 1318.227 .000 
 4 .000 .000 .000 
 5 70.402 -371.569 1374.768 
 6 174.761 .000 -2196.786 
 7 .000 .000 -.002 
 8 401.311 .000 .000 
 9 .000 .000 .000 
 10 232.698 -.003 2018.874 
 11 .000 .001 -.007 
 12 .000 -.003 -.006 
 13 96.346 -500.991 -1721.401 
 14 .000 .000 -.003 
 15 191.798 -1318.708 .001 
 16 71.659 .004 .005 
 
 SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS ........................... 1566.536 
 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ................... -1566.536 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000078 % 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR 
 =========================================================================== 
 
 1 0/10 67.983 -1374.770 .018 
 1 1/10 59.301 913.144 .018 
 1 2/10 50.619 2888.944 .018 
 1 3/10 41.937 4552.628 .018 
 1 4/10 33.255 5904.197 .018 
 1 5/10 24.573 6943.651 .018 
 1 6/10 15.891 7670.990 .018 
 1 7/10 7.209 8086.214 .018 
 1 8/10 -1.473 8189.322 .018 
 1 9/10 -10.155 7980.316 .018 
 1 10/10 -18.837 7459.193 .018 
 
 2 0/10 -18.837 7459.191 .018 
 2 1/10 -27.519 6625.954 .018 
 2 2/10 -36.201 5480.601 .018 
 2 3/10 -44.882 4023.132 .018 
 2 4/10 -53.564 2253.549 .018 
 2 5/10 -62.246 171.850 .018 
 2 6/10 -70.928 -2221.964 .018 
 2 7/10 -79.610 -4927.894 .018 
 2 8/10 -88.292 -7945.938 .018 
 2 9/10 -96.974 -11276.100 .018 
 2 10/10 -105.656 -14918.370 .018 
 
 3 0/10 105.656 -14918.380 .077 
 3 1/10 96.974 -11276.100 .077 
 3 2/10 88.292 -7945.942 .077 
 3 3/10 79.610 -4927.898 .077 
 3 4/10 70.928 -2221.970 .077 
 3 5/10 62.246 171.844 .077 
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91
 3 6/10 53.564 2253.542 .077 
 3 7/10 44.882 4023.125 .077 
 3 8/10 36.201 5480.594 .077 
 3 9/10 27.519 6625.947 .077 
 3 10/10 18.837 7459.184 .077 
 
 4 0/10 18.837 7459.182 .077 
 4 1/10 10.155 7980.304 .077 
 4 2/10 1.473 8189.311 .077 
 4 3/10 -7.209 8086.202 .077 
 4 4/10 -15.891 7670.979 .077 
 4 5/10 -24.573 6943.640 .077 
 4 6/10 -33.255 5904.186 .077 
 4 7/10 -41.937 4552.616 .077 
 4 8/10 -50.619 2888.932 .077 
 4 9/10 -59.301 913.132 .077 
 4 10/10 -67.983 -1374.783 .077 
 
 5 0/10 108.533 -2196.740 .000 
 5 1/10 94.714 1456.631 .000 
 5 2/10 80.895 4613.203 .000 
 5 3/10 67.076 7272.975 .000 
 5 4/10 53.257 9435.947 .000 
 5 5/10 39.437 11102.120 .000 
 5 6/10 25.618 12271.490 .000 
 5 7/10 11.799 12944.070 .000 
 5 8/10 -2.020 13119.840 .000 
 5 9/10 -15.839 12798.820 .000 
 5 10/10 -29.659 11981.000 .000 
 
 6 0/10 -29.659 11980.990 .000 
 6 1/10 -43.478 10666.370 .000 
 6 2/10 -57.297 8854.944 .000 
 6 3/10 -71.116 6546.722 .000 
 6 4/10 -84.935 3741.700 .000 
 6 5/10 -98.754 439.878 .000 
 6 6/10 -112.574 -3358.744 .000 
 6 7/10 -126.393 -7654.165 .000 
 6 8/10 -140.212 -12446.390 .000 
 6 9/10 -154.031 -17735.410 .000 
 6 10/10 -167.850 -23521.230 .000 
 
 7 0/10 166.625 -23521.330 -.149 
 7 1/10 152.806 -17779.570 -.149 
 7 2/10 138.986 -12534.610 -.149 
 7 3/10 125.167 -7786.453 -.149 
 7 4/10 111.348 -3535.092 -.149 
 7 5/10 97.529 219.470 -.149 
 7 6/10 83.710 3477.233 -.149 
 7 7/10 69.890 6238.196 -.149 
 7 8/10 56.071 8502.359 -.149 
 7 9/10 42.252 10269.730 -.149 
 7 10/10 28.433 11540.290 -.149 
 
 8 0/10 28.433 11540.290 -.149 
 8 1/10 14.614 12314.050 -.149 
 8 2/10 .795 12591.010 -.149 
 8 3/10 -13.025 12371.180 -.149 
 8 4/10 -26.844 11654.540 -.149 
 8 5/10 -40.663 10441.110 -.149 
 8 6/10 -54.482 8730.878 -.149 
 8 7/10 -68.301 6523.844 -.149 
 8 8/10 -82.121 3820.011 -.149 
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UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
92
 8 9/10 -95.940 619.380 -.149 
 8 10/10 -109.759 -3078.052 -.149 
 
 9 0/10 74.178 -1721.450 -.018 
 9 1/10 65.497 789.207 -.018 
 9 2/10 56.815 2987.749 -.018 
 9 3/10 48.133 4874.176 -.018 
 9 4/10 39.451 6448.488 -.018 
 9 5/10 30.769 7710.685 -.018 
 9 6/10 22.087 8660.766 -.018 
 9 7/10 13.405 9298.732 -.018 
 9 8/10 4.723 9624.583 -.018 
 9 9/10 -3.959 9638.319 -.018 
 9 10/10 -12.641 9339.939 -.018 
 
 10 0/10 -12.641 9339.936 -.018 
 10 1/10 -21.323 8729.440 -.018 
 10 2/10 -30.005 7806.831 -.018 
 10 3/10 -38.687 6572.105 -.018 
 10 4/10 -47.369 5025.265 -.018 
 10 5/10 -56.050 3166.309 -.018 
 10 6/10 -64.732 995.237 -.018 
 10 7/10 -73.414 -1487.949 -.018 
 10 8/10 -82.096 -4283.251 -.018 
 10 9/10 -90.778 -7390.668 -.018 
 10 10/10 -99.460 -10810.200 -.018 
 
 11 0/10 66.239 -10810.080 .679 
 11 1/10 58.269 -8755.705 .679 
 11 2/10 50.300 -6964.322 .679 
 11 3/10 42.330 -5435.933 .679 
 11 4/10 34.361 -4170.537 .679 
 11 5/10 26.391 -3168.135 .679 
 11 6/10 18.422 -2428.725 .679 
 11 7/10 10.452 -1952.310 .679 
 11 8/10 2.483 -1738.887 .679 
 11 9/10 -5.487 -1788.459 .679 
 11 10/10 -13.456 -2101.023 .679 
 
 12 0/10 58.202 -1790.493-1099.280 
 12 1/10 52.991 -521.353 -1099.280 
 12 2/10 47.779 628.819 -1099.280 
 12 3/10 42.568 1660.023 -1099.280 
 12 4/10 37.356 2572.259 -1099.280 
 12 5/10 32.144 3365.526 -1099.280 
 12 6/10 26.933 4039.825 -1099.280 
 12 7/10 21.721 4595.156 -1099.280 
 12 8/10 16.510 5031.519 -1099.280 
 12 9/10 11.298 5348.914 -1099.280 
 12 10/10 6.087 5547.340 -1099.280 
 
 13 0/10 6.087 5547.332 -1099.280 
 13 1/10 1.690 5636.094 -1099.280 
 13 2/10 -2.707 5624.491 -1099.280 
 13 3/10 -7.103 5512.523 -1099.280 
 13 4/10 -11.500 5300.190 -1099.280 
 13 5/10 -15.896 4987.493 -1099.280 
 13 6/10 -20.293 4574.431 -1099.280 
 13 7/10 -24.690 4061.004 -1099.280 
 13 8/10 -29.086 3447.212 -1099.280 
 13 9/10 -33.483 2733.055 -1099.280 
 13 10/10 -37.880 1918.533 -1099.280 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
93
 14 0/10 -37.880 1940.952 1059.191 
 14 1/10 -40.958 821.455 1059.191 
 14 2/10 -44.037 -385.473 1059.191 
 14 3/10 -47.115 -1679.832 1059.191 
 14 4/10 -50.194 -3061.622 1059.191 
 14 5/10 -53.272 -4530.843 1059.191 
 14 6/10 -56.351 -6087.496 1059.191 
 14 7/10 -59.430 -7731.580 1059.191 
 14 8/10 -62.508 -9463.095 1059.191 
 14 9/10 -65.587 -11282.040 1059.191 
 14 10/10 -68.665 -13188.420 1059.191 
 
 15 0/10 54.274 -13188.270 .014 
 15 1/10 48.604 -10498.000 .014 
 15 2/10 42.935 -8104.244 .014 
 15 3/10 37.266 -6006.988 .014 
 15 4/10 31.597 -4206.239 .014 
 15 5/10 25.927 -2701.995 .014 
 15 6/10 20.258 -1494.255 .014 
 15 7/10 14.589 -583.022 .014 
 15 8/10 8.919 31.707 .014 
 15 9/10 3.250 349.929 .014 
 15 10/10 -2.419 371.647 .014 
 
 16 0/10 22.167 -501.009 .002 
 16 1/10 16.639 513.783 .002 
 16 2/10 11.111 1239.455 .002 
 16 3/10 5.583 1676.006 .002 
 16 4/10 .055 1823.438 .002 
 16 5/10 -5.473 1681.749 .002 
 16 6/10 -11.001 1250.940 .002 
 16 7/10 -16.529 531.011 .002 
 16 8/10 -22.058 -478.038 .002 
 16 9/10 -27.586 -1776.208 .002 
 16 10/10 -33.114 -3363.498 .002 
 
 17 0/10 33.114 -3363.497 .049 
 17 1/10 27.586 -1776.208 .049 
 17 2/10 22.058 -478.038 .049 
 17 3/10 16.529 531.011 .049 
 17 4/10 11.001 1250.940 .049 
 17 5/10 5.473 1681.749 .049 
 17 6/10 -.055 1823.438 .049 
 17 7/10 -5.583 1676.007 .049 
 17 8/10 -11.111 1239.455 .049 
 17 9/10 -16.639 513.783 .049 
 17 10/10 -22.167 -501.008 .049 
 
 18 0/10 26.100 -1318.285 -.004 
 18 1/10 20.148 -108.910 -.004 
 18 2/10 14.196 789.190 -.004 
 18 3/10 8.244 1376.013 -.004 
 18 4/10 2.293 1651.561 -.004 
 18 5/10 -3.659 1615.832 -.004 
 18 6/10 -9.611 1268.828 -.004 
 18 7/10 -15.562 610.547 -.004 
 18 8/10 -21.514 -359.010 -.004 
 18 9/10 -27.466 -1639.842 -.004 
 18 10/10 -33.418 -3231.951 -.004 
 
 19 0/10 33.418 -3231.802 -.115 
 19 1/10 27.466 -1639.681 -.115 
 19 2/10 21.514 -358.836 -.115 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
94
 19 3/10 15.563 610.733 -.115 
 19 4/10 9.611 1269.027 -.115 
 19 5/10 3.659 1616.044 -.115 
 19 6/10 -2.292 1651.785 -.115 
 19 7/10 -8.244 1376.250 -.115 
 19 8/10 -14.196 789.439 -.115 
 19 9/10 -20.148 -108.648 -.115 
 19 10/10 -26.099 -1318.011 -.115 
 
 
 - Analise completa - fim do processamento 
 
 
 
B4) VIGA VS1 ISOLADA 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: CONCRETO II - TORCAO 
 CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO 
 
 
 ============================PORTICO: VS 1 (19 x 60) 
 ============================ 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 1 1 1 
 2 330.000 .000 1 1 0 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 330.000 1.0000 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
95
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS 1 (19 x 60) ) 
 =========================================================================== 
 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 
 =========================================================================== 
 
 1 .0000000 .0000000 .0000000 
 2 .0000000 .0000000 -.0002484 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .000 49.809 -3287.419 
 2 .000 -29.886 .000 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 49.809 -3287.419 
 2 .000 29.886 .000 
 
 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 79.695 
 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -79.695 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % 
 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 
 1 0/10 .000 49.809 -3287.419 
 1 1/10 .000 41.840 -1775.206 
 1 2/10 .000 33.870 -525.987 
 1 3/10 .000 25.901 460.238 
 1 4/10 .000 17.931 1183.471 
 1 5/10 .000 9.962 1643.709 
 1 6/10 .000 1.992 1840.954 
 1 7/10 .000 -5.977 1775.206 
 1 8/10 .000 -13.947 1446.464 
 1 9/10 .000 -21.916 854.729 
 1 10/10 .000 -29.886 .000 
 
 
 
 
 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
96
B5) VIGA VS6 ISOLADA 
 
 
 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS 
 SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS 
 PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 
 
 PROJETO: CONCRETO II - TORCAO 
 CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO 
 
 ============================ 
 PORTICO: VS 6 (19 x 60) 
 ============================ 
 
 =========================================================================== 
 COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS 
 
 NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .30824E+06 
 2 523.000 .000 1 1 1 
 
 =========================================================================== 
 CARACTERISTICAS DAS BARRAS 
 
 NO ROT NO ROT COSSENO 
 BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 0 2 0 1 523.000 1.0000 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DAS BARRAS 
 
 PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 
 
 =========================================================================== 
 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
 
 MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM 
 =========================================================================== 
 
 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 
 
 =========================================================================== 
 CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS 6 (19 x 60) ) 
 =========================================================================== 
 
 =========================================================================== 
 DESLOCAMENTOS NODAIS 
 
 NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO 
 =========================================================================== 
 
 1 .0000000 .0000000 .0004206 
 2 .0000000 .0000000 .0000000 
 
 
 
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto ArmadoUNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
97
 =========================================================================== 
 ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS 
 
 BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 1 .000 21.632 -129.650 
 2 .000 -35.061 -3641.493 
 
 =========================================================================== 
 RESULTANTES NODAIS 
 
 NO RESULT X RESULT Y MOMENTO 
 =========================================================================== 
 
 1 .000 21.632 -129.650 
 2 .000 35.061 3641.493 
 
 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 56.693 
 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -56.693 
 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % 
 
 =========================================================================== 
 ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS 
 
 BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR 
 =========================================================================== 
 
 1 0/10 .000 21.632 -129.650 
 1 1/10 .000 15.962 853.440 
 1 2/10 .000 10.293 1540.025 
 1 3/10 .000 4.624 1930.104 
 1 4/10 .000 -1.045 2023.678 
 1 5/10 .000 -6.715 1820.747 
 1 6/10 .000 -12.384 1321.310 
 1 7/10 .000 -18.053 525.367 
 1 8/10 .000 -23.723 -567.081 
 1 9/10 .000 -29.392 -1956.035 
 1 10/10 .000 -35.061 -3641.493