Centro de Gravidade e Momentos Principais de Inercia

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MOMENTO ESTÁTICO
CENTRO DE GRAVIDADE
MOMENTO DE INÉRCIA 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Momento estático
Momento estático de um elemento de 
superfície, em relação a um eixo situado no 
mesmo plano que a superfície considerada, 
é o produto da área do elemento pela sua 
distância ao eixo dado.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Momento estático
0 x
y
x
y
dA
Em relação ao eixo Ox, o momento 
estático dMx do elemento dA é:
Em relação ao eixo Oy, o momento 
estático dMy do elemento dA é:
dAydMx ⋅=
dAxdMy ⋅=
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Momento estático
Momento estático de uma superfície, 
de área finita, em relação a um eixo 
situado no mesmo plano que a superfície 
considerada, é a integral dos momentos 
estáticos de todos os elementos de 
superfície, contidos na superfície finita.
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Momento estático
0 x
y
A
x
y
dA
Em relação ao eixo Ox, o momento 
estático Mx da superfície de área A é:
∫∫ ⋅==
AA
xx dAydMM
Em relação ao eixo Oy, o momento 
estático My da superfície de área A é:
∫∫ ⋅==
AA
yy dAxdMM
Unidade: comprimento 
elevado à terceira potência
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
Centro de gravidade
Centro de gravidade, CG, ou 
Baricentro ou centróide de uma 
superfície plana é o ponto por onde 
passam todas as retas, do plano da 
superfície, em relação às quais é nulo o 
momento estático, esse ponto, por 
definição, é o ponto de coordenadas:
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∫ ⋅⋅=⋅=
A
yCG dAxA
1M
A
1
x
∫ ⋅⋅=⋅=
A
xCG dAyA
1M
A
1y
Centro de gravidade
Estas expressões são chamadas genericamente de: 
“Teorema dos Momentos Estáticos”
Obs: Se existir um eixo de simetria na peça, então o 
CG está contido neste eixo.
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Centro de gravidade
Nos casos mais comuns, quando a superfície em 
estudo for a seção transversal de um elemento 
estrutural, constituídas por elementos de área 
conhecidos, pode-se substituir nas equações a 
integral pelo somatório. Assim tem-se:
∑
∑ ⋅
=
n
1
i
n
1
ii
CG
A
xA
x
∑
∑ ⋅
=
n
1
i
n
1
ii
CG
A
yA
y
Unidade: comprimento
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Momento de inércia
Momento de inércia de um 
elemento de superfície, em 
relação a um eixo de seu plano, 
é o produto da área do 
elemento pelo quadrado da 
distância ao eixo dado.
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Momento de inércia
0 x
y
x
y
dA
Em relação ao eixo Ox, o momento 
de inércia dJx do elemento dA é:
dAydJ 2x ⋅=
Em relação ao eixo Oy, o momento 
de inércia dJy do elemento dA é:
dAxdJ 2y ⋅=
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Momento de inércia
Momento de inércia de uma 
superfície, de área finita, em 
relação a um eixo de seu plano, é 
a integral dos momentos de inércia 
de todos os elementos de 
superfície, contidos na superfície 
finita.
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Momento de inércia
0 x
y
A
x
y
dA
Em relação ao eixo Ox, o momento de 
inércia Jx da superfície de área A é:
Em relação ao eixo Oy, o momento de 
inércia Jy da superfície de área A é:
Unidade: comprimento 
elevado à quarta potência
∫∫ ⋅==
A
2
A
xx dAydJJ
∫∫ ⋅==
A
2
A
yy dAxdJJ
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Momento de inércia
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Momento de inércia
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Momento de inércia
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Momento centrífugo
Momento centrífugo ou produto de 
inércia de um elemento de 
superfície, em relação a um par de 
eixos de seu plano, é o produto da 
área do elemento por suas 
coordenadas das distâncias aos eixos 
considerados.
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Momento centrífugo
0 x
y
x
y
dA
O momento centrífugo dJxy do 
elemento dA é:
dAyxdJxy ⋅⋅=
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Momento centrífugo
Momento centrífugo ou produto de 
inércia de uma superfície, de área 
finita, em relação a um par de eixos de 
seu plano, é a integral dos momentos 
centrífugos de todos os elementos de 
superfície, contidos na superfície finita, 
em relação a esse par de eixos.
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Momento centrífugo
0 x
y
A
x
y
dA
O momento centrífugo Jxy da 
superfície de área A é:
∫∫ ⋅⋅==
AA
xyxy dAyxdJJ
Unidade: comprimento 
elevado à quarta potência
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Teorema de Steiner
Translação de eixos (Teorema de Steiner)
O momento de inércia, de uma superfície, em 
relação a um eixo qualquer, do plano da 
superfície, é igual ao momento de inércia, em 
relação ao eixo que passa pelo CG, e é 
paralelo ao eixo dado, acrescido do produto 
da área, A, pelo quadrado da distância que 
separa os dois eixos.
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Teorema de Steiner
0 x
y
x
y
CG
1
1
y
x
CG
CG
A
Em relação ao eixo Ox, o momento de 
inércia Jx da superfície de área A, é:
2
1CGxx yAJJ ⋅+=
Em relação ao eixo Oy, o momento de 
inércia Jy da superfície de área A é:
2
1CGyy xAJJ ⋅+=
Momento centrífugo Jxy da superfície, 
de área A é:
11CGxyxy yxAJJ ⋅⋅+=
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Raio de giração
Raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é 
definido pela grandeza rx que satisfaz a relação:
Em relação ao eixo y:
rx=�JxA 
ry=�JyA 
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Momentos principais de inércia
Em certas situações da 
engenharia pode ser 
interessante saber qual o valor 
de α, em relação à qual os 
momentos de inércia (Jx’ e Jy’ ) 
chegam ao máximo e ao 
mínimo.
A esse conjunto de eixos 
formado por esse valor do 
ângulo α, α=αp, denominam-se 
eixos principais de inércia e os 
momentos de inércia a eles 
correspondentes são chamados 
momentos principais de inércia.
0 x
y
A
x
y
α
α
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Momentos principais de inércia
2
xy
2
yxyx
mín
máx J2
JJ
2
JJ
J +





 −
±
+
=
As expressões abaixo conforme o sinal escolhido traz o valor 
máximo ou mínimo do momento de inércia da superfície e o 
valor de αp.
2/)JJ(
J
2tg
yx
xy
p
−
−
=α
Essa última equação tem duas raízes distantes 90o uma da 
outra definindo a inclinação de cada eixo principal.
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Momentos principais de inércia
O produto de inércia em relação aos 
eixos principais é nulo; 
E o produto de inércia é nulo em 
relação a quaisquer eixos simétricos, 
sendo assim, conclui-se que qualquer 
eixo simétrico representa um eixo 
principal de inércia da área.
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Círculo de Mohr
Pode-se representar 
os momentos 
principais de inércia 
em um círculo 
chamado de círculo 
de Morh.J
Jxy
A
C
α2 p1
Jmax
Jmin
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Círculo de Mohr
O raio do círculo (segmento AC) é dado por:
O centro C localiza-se no ponto de coordenadas
O ponto de referência A localiza-se nas coordenadas
2
xy
2
yx J
2
JJ
R +





 −
=







 +
0;
2
JJ yx
( )xyx J;J
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Círculo de Mohr
0 x
y
Eixo principal do
momento de inércia J
αp1
max
Eixo principal do
momento de inércia Jmin
αp2
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Círculo de Mohr
•Para encontrar a direção do eixo principal de Jmax,
calcula-se por trigonometriao ângulo 2ααααp1 medido a
partir do segmento AC até o eixo J positivo.
•Esse ângulo é o dobro do ângulo entre o eixo x e o
eixo do momento de inércia máximo Jmax na área.
•Tanto o ângulo no círculo 2ααααp1, como o ângulo na área
ααααp1, devem ser medidos no mesmo sentido.
•O eixo perpendicular ao eixo maior, que define Jmax ,
define o momento de inércia mínimo Jmin.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30
Referências bibliográficas
NASH, W., Resistência dos Materiais, McGraw-Hill, São 
Paulo, 3 ed., 1990.
HIBBELER, R., C., Resistência dos Materiais, Prentice 
Hall, São Paulo, 5 ed., 2004.