Momento Estático

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Mecânica dos Sólidos 
 
 1 
MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA 
 
 Consideremos a área A situada no plano yz (Fig. 1). Se y e z forem as coordenadas 
de um elemento de área dA, definimos o momento estático de área A em relação ao eixo y 
como a integral. 
 
Sy = ∫A z.dA 
 
 De maneira análoga, o momento estático da área A em relação ao eixo z é definida 
como a integral 
Sz = ∫A y.dA 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 
 
 
Vemos que, dependendo da posição dos eixos coordenados, cada uma das 
integrais pode ser positiva, negativa ou nula. Os momentos estáticos Sy e Sz são 
usualmente expressos em m
3
 ou mm
3
, no Sistema Internacional de Unidades. 
 
BARICENTRO OU CENTRÓIDE DE UMA ÁREA 
 
 O centróide de área A é definido como o ponto C de coordenadas y e z (Fig. 2), 
que satisfazem as relações: 
 
∫A y.dA = A . yG ∫A z.dA = A .zG 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 
 
 
Comparando as equações Sy e Sz com as equações acima, vemos que os momentos 
estáticos da área A podem ser expressos pelo produto da área através das coordenadas do 
seu centróide. 
Sz = A.yG Sy = A.zG 
 
 Quando uma área possui um eixo de simetria, o momento estático da área em 
relação a esse eixo é zero. Realmente, considerando a área A da figura 3, que é simétrica 
 
Mecânica dos Sólidos 
 
 2 
em relação ao eixo z, vemos que a todo elemento de área dA de abscissa y corresponde ao 
elemento de área dA’ de abscissa -y. Conseqüentemente, a integral da equação Sz = ∫A 
y.dA é igual a zero e, desse modo, Sz = 0. Assim, se uma área possui um eixo de simetria, 
seu centróide se localiza nesse eixo. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3 
 
 
Como um retângulo possui dois eixos de simetria (Fig. 4a), o centróide de uma 
área retangular coincide com seu centro geométrico. Da mesma maneira, o centróide de 
uma área circular coincide com o centro do círculo (Fig. 4b). 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 
 
Quando uma área possui um centro de simetria O, o momento estático da área em 
relação a qualquer eixo que passe por O é zero. Realmente, tomando a área A da figura 5, 
vemos que a todo elemento de área dA de coordenadas -y e –z, tem um simétrico na 
posição +y e +z. Como conseqüência, as integrais nas equações Sy e Sz são ambas nulas e 
Sy = Sz = 0. Temos ainda, das equações Sy = ∫A z.dA e Sz = ∫A y.dA, que zG = yG = 0, o que 
mostra que o centróide coincide com o centro de simetria. 
 
 Figura 5 
 
 
 Quando o centróide C de uma área pode ser localizado por meio de simetria, o seu 
momento estático em relação a um certo eixo pode ser obtido imediatamente das 
equações Sy = A.zG e Sz = A.yG. Por exemplo, para a área retangular da figura 6, temos: 
Mecânica dos Sólidos 
 
 3 
 
Sy= A.zG = (bh) (h) = bh
2
 
e 
Sz = A.yG = (bh) (b) = b
2
h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6 
 
 Na maior parte dos casos, no entanto, é necessário realizar-se as integrais das 
equações para a determinação dos momentos estáticos e do centróide de uma dada área. 
As integrais indicadas nas equações são, na verdade, integrais duplas. Muitas vezes, 
porém, se consegue reduzir o problema ao cálculo de integrais em uma variável, tomando-
se elementos de área dA na forma de faixas horizontais ou verticais. Esse procedimento é 
aplicado no exemplo 1. 
 
Exemplo 1 
 Determinar, para a área triangular da Fig. 7: (a) o movimento estático Sy da área 
em relação ao eixo y; (b) a ordenada zG do centróide da área. 
 
 
 
 
 Figura 7 
 
 
(a) Momento estático Sy. Escolhemos como elemento de área uma faixa horizontal de 
comprimento u e espessura dz. Vemos que todos os pontos no elemento de área se situam 
à mesma distância z do eixo y (Fig. 8). Por semelhança de triângulos, temos: 
u
b
 = 
h-z
h
 u = b 
h-z
h
 
 
dA = u dz = b 
h-z
h
 dz 
 
 
 
 
 Figura 8 
 
Mecânica dos Sólidos 
 
 4 
 
 
 
O momento estático da área em relação ao eixo y é: 
 
Sy = ∫A z.dA = dz
h
zh
bz
h
...
0


 = 
b
h
 dzzzh
h
.).(
0
2
  = 
b
h
 [h 
z
2
2
 - 
z
3
3
 ] h0 
 
Sy = 
6
2bh 
 
(b) Ordenadas do centróide. Usando a primeira das equações e observando que 
A = bh, temos: 
Sy = A zG 
6
2bh
 = (bh)zG zG = 
3
h
 
 
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO ESTÁTICO E DO CENTRÓIDE DE UMA 
ÁREA COMPOSTA 
 
 Consideremos uma área A que possa ser dividida em formas geométricas simples, 
como a área trapezoidal da figura 9. 
 
 
Figura 9
 
 O momento estático Sy da área em relação ao eixo y é representado pela integral 
∫z.dA, estendida a toda a área A. Se dividirmos A nas partes A1, A2, A3 escrevemos: 
 
Sy = ∫A z.dA = ∫A1 z1.dA + ∫A2 z2.dA + ∫A3 z3.dA 
 
ou usando a segunda a equação ∫A z.dA = A.zG 
 
 Sy = A1. zG1 + A2 . zG2 + A3 . zG3 
 
onde zG1, zG2, zG3 são as ordenadas dos centróides de cada área resultante da divisão da 
figura. Estendendo esse resultado para uma divisão em um número qualquer de partes, 
escrevemos, para Sy e Sz, 
Mecânica dos Sólidos 
 
 5 
 
 
 Sy = 

n
i 1
Ai zGi Sz = 

n
i 1
Ai yGi 
 
 
Para determinarmos as coordenadas ZG e YG do centróide C da área composta A, 
substituímos, nas equações acima, Sy por A.ZG e Sz por A.YG. Temos: 
 
 A.ZG = 

n
i 1
Ai.zGi A.YG = 

n
i 1
Ai.yGi 
 
 Resolvendo então para YG e ZG e lembrando que a área A é a soma das áreas Ai, 
escrevemos: 


n
i 1
 Ai yGi
 

n
i 1
 Ai
 ZG YG = = 


n
i 1
 Ai zGi
 

n
i 1
 Ai
 
 
Exemplo 2: 
Determinar o centróide C da área indicada na figura 10. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10
 
 
 
 
 
 
Adotando os eixos auxiliares y’ e z’ como indica a figura 10, vemos que o 
centróide C deve estar localizado sobre o eixo z, pois esse eixo é um eixo de simetria.
G = 40 mm. 
 
 
 
Temos então Y
Figura 11
Mecânica dos Sólidos 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo A nas partes A1 e A2, usamos a equação YG = 
 Ai yGi
  Ai
 ZG = 
 Ai zGi
  Ai
 
para determinarmos a ordenada Z do centróide. 
 
O cálculo se simplifica se for feito em forma de tabela. 
 Área, mm
2
 zi , mm Aiz , mm
3
 
A1 (20) (80) = 1600 70 112000 
A2 (40) (60) = 2400 
 Ai = 4000 
30 72000
 
 Ai zGi = 184000 
 
 
ZG = 


n
i 1
 Ai zGi
 

n
i 1
 Ai
 =
4000
184000
= 46 mm 
 
 
Exemplo 3: 
 Tomando a área A do exemplo 2, vamos considerar o eixo y’que passa pelo 
centróide C. (um eixo como este é chamado de eixo centroidal.) Chamando de A’ parte 
da área A situada acima do eixo centroidal (Fig. 12), determinar o momento estático de A’ 
em relação a y’. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 12 
 
 
 Solução: Dividimos a área A’ nas partes A1 e A3 (Fig. 13). Sabendo do exemplo 2 
que C está localizado a 46 mm acima do eixo inferior de A, determinamos as ordenadas 
z’
1
 e z’
3
 das áreas A1 e A 3 e calculamos o momento estático S’y , de A’ em relação à y’; 
 
 
temos:
Figura 13
Mecânica dos Sólidos 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução alternativa:Devemos notar inicialmente que o centróide C da área A se 
localiza sobre y’, de modo que o momento estático S’y’ da área total A em relação a y’, é 
zero. 
 Sy’ = A.y’ = A (0) = 0 
 
 Tomando a área A’’, parte da área A situada abaixo do eixo y’, e chamando de 
S’’y’ , o momento estático de A’’ em relação a y’, temos 
 
 Sy’ = S’y’ + S’’y’ = 0 S’y’ = - S’’y’ 
 
o que mostra que os momentos estáticos de A’ e A’’ têm o mesmo valor, com sinais 
contrários. Com os dados da Fig. 14,escrevemos: 
 
 S’’y’ = A4.y’4 = (40 . 46)(-23) = - 42300 mm
3
 
 e 
 S’y’ = - S’’y’ = +42300 mm
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 14 
 
 
 
 
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA 
 
 Consideremos novamente a área A situada no plano yz (Fig. 1) e o elemento de 
área dA de coordenadas y e z. O momento de inércia da área A em relação ao eixo y e o 
momento de inércia de A em relação ao eixo z são definidos respectivamente, como 
 
 Iy = ∫A z
2
dA Iz = ∫A y
2
dA 
 
RAIO DE GIRAÇÃO
 
 
 O raio de giração de uma área A em relação ao eixo y é definida pela grandeza ry, 
que satisfaz a relação 
 Iy = r
2
y A 
 
Mecânica dos Sólidos 
 8 
onde Iy é o momento de inércia de A em relação ao eixo y. Calculando o valor de ry na 
equação acima, temos 
 ry = 
Iy
A
 
 
 De maneira análoga, podemos definir o raio de giração em relação ao eixo z 
 Iz = r
2
z A rz = 
Iz
A
 
 
Exemplo 4: 
 Determinar, para a área retangular da figura 15: (a) o momento de inércia Iy da 
área em relação ao eixo centroidal y; (b) o raio de giração ry correspondente. 
 Figura 15 
 
 
 (a) Momento de inércia Iy. Vamos adotar como elemento de área a faixa horizontal 
de largura b e espessura dz (Fig. 16). Todos os pontos dessa faixa estão situados à mesma 
direção z do eixo y, e o momento de inércia da faixa em relação a y é 
 
dIy = z
2
 dA = z
2
 (bdz) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 
 
 
Integrando de y = -h/2 a y = + h/2, escrevemos 
 
 Iy = ∫ dIy = ∫ z
2
 (bdz) = 
3
b
  3z 2/ 2/hh = 
3
b
 






88
33 hh
=
12
3bh
 
Mecânica dos Sólidos 
 
 9 
 
(b) Raio de giração rx. Da equação Iy = r
2
y A, temos: 1/12bh
3
 = r
2
y (bh) 
e, calculando ry, ry = 
12.12
3 h
bh
bh
 
 
TEOREMA DE STEINER OU TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
 
 Consideremos o momento de inércia Iy de uma área A em relação a um eixo y 
arbitrário (Fig. 17). Se chamarmos de z a distância de um elemento de área dA até esse 
eixo, temos 
 
 
Figura 17
 
 
 Vamos desenhar o eixo centroidal y’, quer dizer, o eixo paralelo ao eixo y que 
passa pelo centróide C da área. A distância do elemento dA até esse eixo será chamada de 
z’, e teremos z = z’+d, onde d é a distância entre dois eixos. Substituindo esse valor de z 
na integral que representa Iy, vamos encontrar 
 
 Iy = ∫A z
2
 dA = ∫A (z’+d)
 2
 dA 
 
Iy = ∫A z’
2
 dA +2d ∫A z’dA + d
2
 ∫A dA 
 
 A primeira integral da equação acima representa o momento de inércia Iy, da área 
em relação ao eixo centroidal y’. A segunda integral representa o momento estático Sy, da 
área em relação ao eixo y’. Esse momento estático é nulo, uma vez que o eixo y’passa 
pelo centróide C. 
 
Sy’ = AzG = A(0) = 0 
 
 Por último, vemos que a terceira integral é igual à área total A. Temos, dessa 
forma, 
 
 Iy = Iy’ + Ad
2
 
 
 Essa fórmula indica que o momento de inércia Iy de uma área em relação a um eixo 
arbitrário y é igual ao momento de inércia Iy, da área em relação ao eixo centroidal y’ 
paralelo ao eixo y, mais o produto Ad
2
 da área A pelo quadrado da distância d entre os 
dois eixos. Essa propriedade é conhecida como o teorema dos eixos paralelos. Ela torna 
possível a determinação do momento de inércia de uma área em relação a um dado eixo, 
conhecendo-se o valor do momento de inércia dessa área em relação a um eixo 
Mecânica dos Sólidos 
 
 10 
baricêntrico de mesma direção. Inversamente, ela possibilita que se determine o momento 
de inércia Iy, de uma área A em relação ao eixo baricêntrico y’, quando se conhece o 
momento de inércia Iy da área em relação a um eixo paralelo, subtraindo-se de Iy a parcela 
Ad
2
. Devemos observar que o teorema dos eixos paralelos só pode ser usado se um dos 
eixos for um eixo centroidal. 
 
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA COMPOSTA 
 
 Consideremos uma área composta A constituída de várias partes A1, A2, etc. A 
integral que calcula o momento de inércia de A pode ser subdividida em integrais 
estendidas às áreas A1, A2, etc. de modo que o momento de inércia de A em relação a um 
certo eixo será obtido pela soma dos momentos de inércia de A1, A2 e outras, em relação 
ao mesmo eixo. Assim, se a área é formada de várias formas geométricas comuns, seu 
momento de inércia pode ser calculado através das fórmulas dadas, para o momento de 
inércia de cada parte componente. No entanto, antes de se somar simplesmente os valores 
dos momentos de inércia das partes componentes, devemos usar o teorema dos eixos 
paralelos para transferir cada momento de inércia para o eixo desejado. Este procedimento 
é usado no exemplo 6. 
 
Exemplo 5 
 Determinar o momento de inércia Iy da área indicada em relação ao eixo centroidal 
y (Fig. 18). 
 
 
 
 
 
 
 Figura 18 
 
 
Localização do centróide: Devemos inicialmente localizar o centróide C da área. No 
entanto, esse cálculo já foi feito no exemplo 2, onde se viu que C fica a 46mm acima da 
base da figura. 
 
 Determinação do momento de inércia: Dividimos a área A em duas áreas 
retangulares A1 e A2 (Fig. 19), e calculamos os momentos de inércia de cada parte em 
relação ao eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 19 
Mecânica dos Sólidos 
 
 11 
 
 
Área retangular A1: Para obtermos o momento de inércia (Iy)1 de A1 em relação ao 
eixo y, calculamos inicialmente o momento de inércia de A1 em relação do seu próprio 
peso centroidal y’. Usando a fórmula do momento de inércia centroidal do retângulo 
deduzido no exemplo 4, temos 
 
 (Iy’)1 = 1/12 bh
3
 = 1/12 (80mm)(20mm)
 3
 = 53300 mm
4
 
 
 Usando o teorema dos eixos paralelos, transferimos o momento de inércia de A1 
do seu eixo centroidal y’para o eixo y: 
 
 (Iy)1 = (Iy’)1 + A1d1
2
 = 53,3 . 10
3
 + (80 . 20)(24)
2
 = 975000 mm
4
 
 
 Área retangular A2: Calculando o momento de inércia de A2 em relação ao seu 
eixo centroidal y’’, e usando o teorema dos eixos paralelos para transferi-lo para o eixo y, 
encontramos 
 
 (Iy’’)2 = 1/12 bh
3
 = 1/12 (40)(60)
3
 = 720000 mm
4
 
 
 (Iy)2 = (Iy’’)2 + A2d2
2
 = 720 . 10
3
 + (40 . 60)(16)
2
 = 1334000 mm
4
 
 
 Área total A: O momento de inércia Iy da área total é obtida somando-se os 
valores dos momentos de inércia de A1 e A2 em relação ao eixo y: 
 
 Iy = (Iy)1 + (Iy)2 = 975000 + 1334000 
 
 Iy = 2310000 mm
4