momentos-de-inercia-de-superficies

Prévia do material em texto

1 
 
PUC – Goiás 
Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos Turma:----------- 
Corpo Docente: Geisa Pires 
 
Plano de Aula Data: ------/--------/---------- 
 
Leitura obrigatória 
Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. 
Editora Pearson 
 
CAPÍTULO 9 – Forças Distribuídas: Momento 
de Inércia 
 
1. Introdução 
 
No cap. 5 analisamos vários sistemas de forças 
distribuídas sobre superfícies ou sólidos. Os 
principais tipos de força que consideramos foram 
pesos de placas homogêneas de espessura 
uniforme, cargas distribuídas em vigas e forças 
hidrostáticas. Em todos os casos considerados, as 
forças distribuídas eram proporcionais às áreas ou 
volumes elementares a elas associados. A 
resultante dessas forças podiam ser obtidas 
somando as correspondentes áreas e volumes. 
Na primeira parte deste capítulo consideraremos 
forças distribuídas F cujos módulos dependem 
da área A do elemento de superfície em que 
atuam e da distância desse elemento a um dado 
eixo. Mais precisamente, o módulo da força por 
unidade de área, AF  / , variará linearmente com 
a distância ao eixo. Como veremos na próxima 
seção, forças desse tipo são encontradas no estudo 
da flexão de vigas e em problemas que envolvem 
superfícies submersas não-retangulares. Supondo 
que as forças elementares estejam distribuídas 
sobre uma superfície de área A e que variem 
linearmente com a distância y ao eixo x, 
verificaremos que, embora o módulo da resultante 
R dependa do momento de primeira ordem 
 ydAQX da superfície de área A, a localização 
do ponto de aplicação de R depende do momento 
de segunda ordem ou momento de inércia, 
 dAyI X
2
, da mesma superfície, com relação ao 
eixo x. Aprenderemos então a calcular os 
momentos de inércia de várias superfícies com 
relação a eixos x e y dados. Faremos ainda a 
utilização do teorema dos eixos paralelos para 
determinar o momento de inércia em relação a um 
eixo qualquer quando se conhece o momento de 
inercia em relação ao eixo que passa pelo 
centróide. 
Na última parte deste capítulo analisaremos a 
transformação dos momentos de inércia pela 
rotação dos eixos coordenados. 
 
Momentos de Inércia de Superfícies 
 
2. Momento de Segunda Ordem ou Momento 
de Inércia de uma Superfície 
 
Na primeira parte deste capítulo consideraremos 
forças distribuídas F proporcional ao elemento 
de área A na qual elas agem e que variam 
linearmente com a distância de A a um certo 
eixo, AkyF . 
 
O módulo da resultante R das forças elementares 
F sobre uma seção inteira é 
  ydAkkydAR 
Essa última integral obtida é conhecida como 
momento de primeira ordem Qx da seção em 
relação ao eixo x. O módulo M do momento fletor 
2 
 
deve ser igual à soma dos momentos 
AkyFyM X 
2 das forças elementares. 
Integrando sobre a seção inteira, obtemos: 
 
  dAykdAkyM
22 
 
A última integral é conhecida como momento de 
segunda ordem ou momento de inércia da seção da 
viga em relação ao eixo x e é representada por XI . 
Observe que I sempre terá valores positivos. 
 
3. Determinação do Momento de Inércia de 
uma Superfície por Integração. 
 
 dAyI X
2
 
 
 
 dAxIY
2
 
 
Exemplo: Determine o momento de inércia de 
uma superfície retangular. 
 
 
 
bdydA  
bdyydI x
2 
3
0
2
3
1
bhdybyI
h
x   
A fórmula que acabamos de deduzir pode ser usada 
para determinar o momento de inércia xdI em 
relação ao eixo x de uma faixa retangular paralela 
ao eixo y, semelhante à representada na figura 
abaixo. 
 
 
Assim: 
 
dxydI x
3
3
1
 
 
Por outro lado, temos: 
 
ydxxdAxdI y
22  
 
4. Momento Polar de Inércia 
 
Uma integral muito importante em problemas 
relativos à torção de eixos cilindricos e em 
problemas referentes à rotação de placas é 
 
 dArJ
2
0 
Onde r é a distância do elemento de área dA ao 
pólo O. Essa integral é o momento polar de 
inércia. 
3 
 
 
 
Temos ainda: 
 
   dAxdAydAyxdArJ
22222
0 )(
 
YX IIJ 0 
 
5. Raio de Giração de uma Superfície 
 
Consideremos uma superfície de área A, que tem 
um momento de inércia Ix em relação ao eixo x. 
Imaginemos que concentramos esta área em uma 
faixa estreita, paralela ao eixo x. Se a área A, assim 
concentrada, deve ter o mesmo momento de inércia 
em relação ao eixo x, a faixa deve estar colocada a 
uma distância kx desse eixo, definida pela relação 
 
AkI xx
2
 
A expressão acima tem um análogo ao eixo y. 
A grandeza kx é conhecida como raio de giração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Determine, por integração direta, o momento de 
inércia da superfície sombreada, em relação aos 
eixos x e y e o raio de giração para ambos os eixos: 
 
1 – R: 10/3 3baI y  
6/3abI x  
 
 
2 – R: 11/2 3baI y  
51/2 3abI x  
 
3 – R: 15/2
3baI y  
7/2 3abI x  
 
 
4 – R: 21/
3baI y  
30/3abI x  
 
4 
 
6. Teorema dos Eixos Paralelos 
 
Consideremos o momento de inércia I de uma 
superfície de área A em relação a um eixo 'AA . 
Seja y a distância de um elemento de área dA a 
'AA . Escrevemos: 
 
 dAyI
2 
 
Tracemos agora um eixo 'BB paralelo a 'AA , que 
passa pelo baricentro C da superfície; esse eixo é 
denominado eixo baricêntrico. 
 
 
 
Sendo 'y a distância do elemento dA a 'BB , 
temos dyy  ' , escrevemos: 
 




dAddAyddAyI
dAdydAyI
22
22
'2'
)'(
 
 
2AdII  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Momentos de Inércia de Superfícies 
Compostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Exercícios 
 
5 – Determine o momento de inércia e o raio de 
giração da superfície sombreada em relação ao 
eixo x e ao eixo y: 
 
 
 
6 – Determine o momento de inércia e o raio de 
giração da superfície sombreada em relação ao 
eixo x e ao eixo y: 
 
 
 
 
 
 
8. Produto de Inércia 
 
A integral 
 
 xydAPxy 
Obtida multiplicando-se cada elemento dA de uma 
superfície A por suas coordenadas x e y e 
integrando-se cada elemento dA de uma superfície 
A por suas coordenadas x e y e integrando sobre a 
superfície é conhecida como produto de inércia da 
superfície A em relação aos eixos x e y. Ao 
contrário dos momentos de inércia, o produto de 
inércia tanto pode ser positivo quanto negativo. 
Quando um ou ambos os eixos x e y são eixos de 
simetria da superfície A, o produto de inércia é 
zero. Isso se deve ao fato de que para cada 
elemento de área de coordenada x e y existe um 
elemento oposto de coordenada –x e –y. 
Evidentemente, a contribuição de cada par de 
elementos escolhidos desse modo se cancela 
mutuamente, e a integral se reduz a zero. 
Deixarei a cargo do aluno a demonstração abaixo 
que é um teorema dos eixos paralelos semelhante 
àquele estabelecido para calculos de momento de 
inércia válido para produto de inércia (Mecânica 
Vetorial para Engenheiros, 5ª edição, pag. 636, 
PEARSON): 
 
AyxPP yxxy  '' 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Exercícios 
 
7 – Determine por integração direta o produto de 
inércia da superfície dada em relação aos eixos x e 
y: 
 
R: a4/8 
9. Eixos e Momentos Principais de Inércia 
 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
 
11 
 
 
 
12 
 
 
 
13 
 
 
 
Exercício: 
 
Determinar o produto de inercia do triangulo retângulo ilustrado tanto em relação aos eixos x e y 
quanto em relação aos eixos baricêntricos paralelos aos eixos x e y. 
 
 
 
 
14