Transferência de Calor

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Transferência de Calor
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Campus Pau dos Ferros
Fenômenos de Transporte
Prof. Bel. William Vieira
Roteiro de Aula
1. A Termodinâmica e a Transferência de calor e conceitos básicos;
2. Mecanismos de Transferência de Calor;
3. Equação da Condução de Calor;
4. Condição de Calor em Regime Permanente;
2
▪ A Termodinâmica é a ciência que estuda os fenômenos de troca de calor em um
dado sistema. Seja calor retirado ou inserido nesse sistema.
▪ Sendo assim, a termodinâmica tem interesse somente nos estados de equilíbrio do
sistema. Por isso dizemos que a Termodinâmica é composta de inúmeras Funções de
Estado (Temperatura, Pressão, Volume, etc.)
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
1. A Termodinâmica e a Transferência de calor e conceitos básicos
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Estado Inicial
Estado Final
Caminho 1
Caminho 2
Para a Termodinâmica o Caminho 
não importa. Sendo importante para 
esta somente os estados final e inicial, 
e dessa forma, a variação entre elas.
∆𝑇 ∆V ∆P ∆G
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1. A Termodinâmica e a Transferência de calor e conceitos básicos
4
TIPOS DE SISTEMAS TERMODINÂMICOS REGIÃO DE INTERESSE
Transferência de 
Massa
Adiabático
▪ Além disso, a Termodinâmica não se preocupa com o tempo em que os processos
de trocas de calor levam para ocorrer.
▪ A Transferência de Calor, por sua vez, vem preencher esta lacuna, dedicando-se
em relacionar os processos de trocas de calor de um sistema com o tempo em que
estes levam para ocorrer.
▪ Logo, como na engenharia estamos interessados em saber o tempo que
determinado processo leva para ocorrer, a Transferência de Calor apresenta-se
como uma ciência fundamental.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
1. A Termodinâmica e a Transferência de calor e conceitos básicos
5
▪ Além disso, a Termodinâmica não se preocupa com o tempo em que os processos
de trocas de calor levam para ocorrer.
▪ A Transferência de Calor, por sua vez, vem preencher esta lacuna, dedicando-se
em relacionar os processos de trocas de calor de um sistema com o tempo em que
estes levam para ocorrer.
▪ Logo, como na engenharia estamos interessados em saber o tempo que
determinado processo leva para ocorrer, a Transferência de Calor apresenta-se
como uma ciência fundamental.
▪ A partir de agora lançaremos conceitos da Termodinâmica que são aplicáveis na
Transferência de Calor (Leis da Termodinâmica e propriedades dos corpos).
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Termodinâmica
▪ Quantidade de calor 
transferida entre processos. 
▪ Estados Termodinâmicos em 
equilíbrio.
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Transferência de Calor
▪ Quantifica o tempo que os 
processos levam para ocorrer.
▪ Sistemas que não estão em 
equilíbrio (térmico).
Devido a essas diferenças, não podemos tratar os problemas da
transferência de calor apenas com a base termodinâmica. No entanto, as
lei da termodinâmica ainda são aplicáveis nestes casos.
LEI “ZERO” DA TERMODINÂMICA
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▪ Por experiência prática, sabemos que se deixarmos uma lata de bebida fria em
temperatura ambiente, ela esquentará; Da mesma forma, se deixarmos uma lata d
bebida fria.
Isto é explicado pela Lei “Zero” da Termodinâmica:
“Um sistema termodinâmico sempre tende ao equilíbrio térmico”.
▪ Além disso, o sentido das trocas de calor ocorro dos corpos de maior temperatura 
para o de menor temperatura.
Temperatura MenorTemperatura Maior
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▪ Sabemos de forma prática o que é calor e a partir do enunciado da Lei “Zero”,
sabemos também o sentido desse calor quando o mesmo é transferido de um
corpo para outro.
Mas afinal, o que é calor?
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▪ CALOR (Q): é uma forma de energia em trânsito, isto é, capaz de ser transferida de
um corpo para o outro ou do meio para um sistema. Essa transferência é motivada
pela diferença de temperatura entre eles.
É importante notar que existem outras formas de energia transferida entre corpos ou 
para um sistema que não são motivadas pela diferença de temperatura.
▪ TRABALHO (W): Qualquer outra forma de energia inserida ou retirada de um sistema, 
bem como transferida entre corpos que não é motivada pela diferença de 
temperatura. 
▪ Com base nessas definições, percebemos que Q e W são energias em trânsito,
podem ser retiradas de um sistema ou inseridas.
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1º LEI DA TERMODINÂMICA
▪ A Primeira Lei da Termodinâmica também é conhecida como princípio da
conservação da energia (balanço de energia).
“ A energia, independente da sua forma, não pode ser destruída durante um 
processo; pode apenas mudar de forma”.
Podemos também enunciar a Primeira Lei da Termodinâmica como sendo: 
int-Q W E 
Sistema 
Termodinâmico
Q
W
massa
massa
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ENERGIA INTERNA
▪ A soma de todas as energias microscópicas é denominada de Energia Interna 
As formas de energias relacionadas com a estrutura molecular de um sistema
(Ligações intermoleculares) e com o grau de atividade do (agitação) molecular são
chamadas de energias microscópicas. intE
Energia Interna
Agitação Molecular
Força das ligações 
Intermoleculares 
ENERGIA INTERNA
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▪ O Grau de agitação das moléculas está relacionada com a sua energia cinética.
Nesse princípio, Van’t Hoff e Arrenhius previram através de experimentos o aumento
da temperatura implicava no aumento da energia cinética (Lei de Van’t Hoff – A
cada aumento de 10ºC na temperatura de um sistema a velocidade das moléculas
dobra).
▪ Quanto à força de interação das moléculas, quanto mais forte esta for, maior será a
energia necessária para quebrar estas ligações. Dessa forma, as ligações formam
uma barreira de potencial que precisa ser vencida para que a ligação seja
quebrada.
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ENERGIA INTERNA
Energia Interna
Agitação Molecular
Força das ligações 
Intermoleculares 
Energia Cinética Energia Potencial
Energia Sensível Energia Latente
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▪ Energia Sensível: é a energia associada ao graus de agitação das moléculas e,
consequentemente, à temperatura.
c Calor específico.
SensívelE mc T 
É uma propriedade que relaciona a
facilidade ou a dificuldade de um dado
material aquecer ou resfriar.
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Vale ressaltar ainda que uma outra propriedade importante dos corpos: a
capacidade térmica (C).
Capacidade Térmica: capacidade de um corpo tem de absorver calor e converter
esta absorção em um aumento da temperatura.
C mc
Q
C
T


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▪ Energia Latente: é a energia associada à quebra das ligações intermoleculares
durante as mudanças de fase.
L Calor latente
Quantidade de energia necessária para
mudar 1 kg de uma determinada fase para
outra.
LatenteE mL
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Para a transferência de calor desconsideraremos a transferência de massa, neste
caso, trabalharemos com um sistema fechado.
Sistema 
Termodinâmico
Q
W
int
 Energia Líquida
Transferida por calor 
 e trabalho
-Q W E 
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1º LEI DA TERMODINÂMICA
Como Q e W são energias em trânsito, ou seja, podem ser retiradas ou inseridas em
um sistema, elas são as responsáveis pela mudança de energia total de um sistema.
Ou ainda,
[J]
Energia total de Energia total de Energia gerada Mudança de energia
- + =
entrada no sistema saída no sistema no sistema total no sistema
       
       
       
  intent sai gE E E E   
WQ
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ENERGIA GERADA
Na Termodinâmica geralmente relacionamos o termo de trabalho à expansão ou
contração de um gás. Porém, este conceito é muito mais amplo, se aplicando
também a trabalhos de não expansão (energia elétrica, energia mecânica, energia
nuclear, etc.)
Trabelho de 
Expansão
Trabelho de 
não Expansão
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ENERGIA GERADA
Os trabalhos de não expansão realizados nos sistemas, como no produzidos por
energia nuclear ou elétrica, são definidos de Energia Gerada.
▪ Nos casos mais simples, como no de resistores, esse trabalho é calculado a partir da
potência dissipada por este componente eletrônico. Isto é,
²disP Ri
g disE P dt 
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1º LEI DA TERMODINÂMICA
Podemos também considerar variações infinitesimais da entrada e da saída de
energia, bem como da energia interna, de modo que,
Multiplicando ambos os lados da equação acima pelo inverso da diferencial de
tempo, chegamos a seguinte relação:
Ou seja,
[W]
intgent sai
dEdE dE dE
dt dt dt dt
 
   
 
intent sai gdE dE dE dE  
int
ent sai g
dE
E E E
dt
  
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1º LEI DA TERMODINÂMICA
Existem casos em que o sistema é tratado em regime permanentes e que inexiste
trabalho gerado. Portanto, para estes casos,
ent saiE E
Regime 
Permanente
entE
saiE
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1º LEI DA TERMODINÂMICA
Em alguns casos o sistema é isolado, isto é, não ocorre trocas de calor do sistema com
a vizinhança, porém existe energia gerada e variação de energia interna. Nesses
casos,
int
g
dE
E
dt

gE
Energia Sensível
Energia Latente
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POSSÍVEIS COMBINAÇÕES
1º LEI DA TERMODINÂMICA PARA TRANSFERÊNCIA DE CALOR
1º LEI PARA REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO DE CALOR
int
ent sai g
dE
E E E
dt
  
ent saiE E
1º LEI PARA SISTEMA ISOLADO COM GERAÇÃO DE CALOR
int
g
dE
E
dt

1º LEI PARA REGIME PERMANENTE
0ent sai gE E E  
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2º LEI DA TERMODINÂMICA
A segunda Lei da Termodinâmica, por sua vez, enuncia que:
Quando combinada com a Lei de Gibbs, a 2º Lei da Termodinâmica pode ser
empregada para determinar a espontaneidade dos processos. Quanto ao calor:
"A quantidade de entropia de qualquer sistema isolado
termodinamicamente tende a incrementar-se com o tempo, até
alcançar um valor máximo".
O calor só é transmitido de um corpo para o outro pela diferença de
temperatura. Desse modo, espontaneamente o calor só pode passar de
um corpo de maior temperatura para um de menor temperatura. O
contrário só pode acontecer se houver uma fonte de energia externa.
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1. A Termodinâmica e a Transferência de calor e conceitos básicos
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RELAÇÃO ENTRE CALOR E A TAXA DE TRANSFERÊNCIA
Como estamos interessados em muitos casos saber o tempo que determinado
processo leva para ocorrer, é conveniente tratar as parcelas de calor que entrem nos
sistemas como uma taxa de transferência ( ሶ𝑄), ou seja,
Dessa forma, a quantidade de calor total transferido no processo é dada por:
dQ
Q
dt

[W]
Q Qdt 
[J]
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RELAÇÃO ENTRE CALOR E A TAXA DE TRANSFERÊNCIA
Em muitas situações é importante determinarmos também a taxa de calor por
unidade de área normal na direção da transferência. Denominamos esta taxa por
unidade de área de fluxo de calor ( ).
''q
''
Q
q
A

𝑊
𝑚²
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EXEMPLO 1
Considere uma esfera maciça de cobre de 10 cm de diâmetro que é aquecida
devido a uma fonte de calor externa que faz sua temperatura de 100ºC para 150ºC
em 30 minutos. Sabendo que a massa específica da esfera é de 𝝆=8.950 kg/m³ e que
seu calor específico é de 0,395 kJ/kgºC. Determine,
Considere constante a Taxa de variação da temperatura com o tempo. 
(a) A quantidade de calor Q transferida para o
cobre.
(b) A taxa média de calor transferido para a
esfera de cobre.
(c) O fluxo de calor.
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EXEMPLO 2
Considere um recipiente adiabático que possui em seu conteúdo 2 kg de água.
Imerso na água existe um resistor de 2 Ω que é percorrido por uma corrente de 5 A.
A água inicialmente encontra-se em temperatura ambiente, ou seja, 25 ºC. Determine:
(a) A função que descreve a variação de
temperatura em função do tempo.
(b) A temperatura do sistema após 7 minutos.
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2. Mecanismos de Transferência de Calor
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O calor pode ser transferido de um corpo para outro por meio de três mecanismos
básicos. É importante ressaltar que esses mecanismos só são ativados por meio da
diferença de temperatura. Sendo assim, quando as temperaturas se igualam a
transferência de calor cessa.
Esses mecanismos são: a condução, convecção e a radiação. 
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2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONDUÇÃO:
▪ A condução é a transferência de energia das partículas mais energéticas de um
material para partículas vizinhas adjacentes menos energéticas.
▪ Esse mecanismo se dá pela interação entre as partículas e pode ocorrer em sólidos,
líquidos e gases.
Em gases e líquidos: ocorre devido à colisão e difusão molecular em movimentos
aleatórios.
Em Sólidos: ocorre devido a combinação das vibrações das moléculas em rede e
pela energia transportada pelos elétrons livres, sobretudo para os metais.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor2. Mecanismos de Transferência de Calor
33
CONDUÇÃO:
Colisão Molecular Vibração Molecular
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONDUÇÃO:
Fourier, através de experimentos, obteve uma relação importante em relação à
transferência de calor pela condução térmica.
O mesmo relatou que a taxa de condução de calor nas substâncias é diretamente 
proporcional a sua geometria e a diferença de temperatura na qual o material está 
submetido. Além disso, essa taxa é inversamente proporcional a espessura dele. 
(Área)(Diferença de temperatura)
Taxa de condução de calor 
Espessura

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CONDUÇÃO:
A constante de proporcionalidade que nos fornecerá a de transferência de calor é
chamada de condutividade térmica (k). Dessa forma,
1 2
cond
T T
Q kA
L


[ ]W
A condutividade térmica é uma grandeza
muito importante para a engenharia. Esta
fisicamente é representada pela capacidade
que um material tem de conduzir calor
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CONDUÇÃO:
Considerando um elemento unidimensional, tal como na figura abaixo,
Podemos escrever a equação da condução de calor da seguinte
forma:
Tomando o limite quando a espessura da parede tende a zero,
Chegamos, por fim, a equação de Fourier para condução de calor:
1 2
cond
T T T
Q kA kA
L x
 
  

0
lim
x
cond
T
Q kA
x 

 

cond
dT
Q kA
dx
 
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CONDUÇÃO:
▪ Note que nas condições apresentadas, a temperatura ao
longo da sução transversal é representada como uma
função linear.
▪ A função é expressada em função da espessura, onde T(x).
▪ O termo é denominado de gradiente de temperatura.
▪ A área tratada por Fourier deve ser normal à condução de
calor.
:
dT
dx
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CONDUÇÃO:
Quais as conclusões 
podemos tirar a partir 
dessa equação?
I. Quanto menor for o k (material isolante), menor será
a quantidade de calor transferida por condução.
II. Quanto maior for o k (material condutor), maior será
a quantidade de calor transferida por condução.
III. Quanto maior for a área de contato com o calor,
maior é a taxa de transferência.
IV. Quanto mais espesso for o material, menos efetiva
essa troca de calor se tornará.
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2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONDUTIVIDADE TÉRMICA (k)
A condutividade térmica é denominada como a taxa de transferência de calor por
unidade de comprimento por diferença de temperatura, isto é,
▪ Um alto valor de k indica que o material é bom condutor, enquanto um baixo valor
de k é encontrado nos materiais isolantes.
Materiais puro com estrutura cristalina bem definida, tal como os metais, possuem
condutividade térmica muito alta, enquanto os gases possuem condutividade
térmica muita baixa.
W W
[ ] ou[ ]
m K m º
k k
C
 
 
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CONDUTIVIDADE TÉRMICA (k)
A condutividade térmica é denominada como a taxa de transferência de calor por
unidade de comprimento por diferença de temperatura, isto é,
▪ Um alto valor de k indica que o material é bom condutor, enquanto um baixo valor
de k é encontrado nos materiais isolantes.
Materiais puro com estrutura cristalina bem definida, tal como os metais, possuem
condutividade térmica muito alta, enquanto os gases possuem condutividade
térmica muita baixa.
W W
[ ] ou[ ]
m K m º
k k
C
 
 
Gases Líquidos Sólidos 
k
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONDUTIVIDADE TÉRMICA (k)
Elementos com bom condutividade térmica
são utilizados em componentes eletrônicos
por maximizarem a transferência de calor
(diamante como dissipador de calor!!!).
É importante atentar que k(T). Por esse
motivo que se constituem os
supercondutores.
Ex.: Cobre em temperatura ambiente k = 40
W/mK e Cobre em temperatura próxima a 0
K tem condutividade térmica k = 20.000
W/mK.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
42
CONDUTIVIDADE TÉRMICA (k)
Para simplificação nos nossos problemas, adotaremos uma condutividade térmica
média para que possamos tratá-la como constante nos cálculos posteriores.
Além disso, consideraremos que o material de estudo é isotrópico, isto é, mesmo k
para todas as direções.
Ex.: Grande gama de materiais, exceto madeira e laminados.
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2. Mecanismos de Transferência de Calor
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EXEMPLO 3
O telhado de uma casa com aquecimento elétrico tem 6 m de comprimento, 8 m de
largura e 0,25 m de espessura e é feito de uma camada plana de concreto cuja
condutividade térmica é 0,8 W/m.K. As temperaturas das faces interna e externa do
telhado são 15 °C e 4 °C, respectivamente, durante um período de 10 horas. Determine:
a) a taxa de perda de calor através do telhado;
b) b) o custo da perda de calor, sabendo que o custo da eletricidade é de R$
0,08/kWh.
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CONVECÇÃO
Convecção é o modo de transferência de calor entre uma superfície sólida e um
meio fluido (líquido ou gás) que está em movimento.
Dessa forma, quanto mais rápido o fluido se move, maior é a transferência de calor
por convecção. (Por isso tendemos a utilizar o ventilador sempre na maior
velocidade em dias quentes)
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONVECÇÃO
Existem dois tipos de convecção: a natural e a forçada:
Natural: causado devido as diferenças de densidade provocada pela diferença de
temperatura;
Forçada: causada devido a ação externa de um ventilador.
Natural Forçada
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONVECÇÃO
Apesar da complexidade na medição da taxa de transferência de calor devido a
convecção, Newton, experimentalmente, provou que esta é diretamente
proporcional a diferença de temperatura e a área da superfície em que o calor em
trânsito.
Dessa forma,
A constante de proporcionalidade, neste caso, é denominada de coeficiente de
transferência de calor por convecção h dado em W/m²K. Dessa forma, obtemos a
Lei do Resfriamento de Newton:
Taxa de convecção de calor (Área)(Diferença de Temperatura)
( )conv sQ hA T T 
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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CONVECÇÃO
Apesar da complexidade na medição da taxa de transferência de calor devido a
convecção, Newton, experimentalmente, provou que esta é diretamente
proporcional a diferença de temperatura e a área da superfície em que o calor em
trânsito.
Dessa forma,
A constante de proporcionalidade, neste caso, é denominada de coeficiente de
transferência de calor por convecção h dado em W/m²K. Dessa forma, obtemos a
Lei do Resfriamento de Newton:
𝐓𝐬 – Temperatura da superfície;
𝐓∞ - Temperatura do fluido distante da superfície.
Taxa de convecção de calor (Área)(Diferença de Temperatura)
( )conv sQ hA T T 
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
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CONVECÇÃO
Fenômenos de Transporte – Transferênciade Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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RADIAÇÃO
A radiação é a energia obtida pela matéria sob a forma de ondas
eletromagnéticas (ou fótons).
Ao contrário da condução e da convecção, a radiação não exige um meio
interveniente para propagar o calor. Além disso, é a forma de energia que
transfere-se de forma mais rápida (velocidade da luz) e não sofre atenuação no
vácuo.
Estamos interessados na radiação térmica, ou seja, a radiação emite pelos corpos
que possuem temperatura acima do zero absoluto.
RADIAÇÃO
Emitida Absorvida
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
50
EXEMPLO 4
Um fio elétrico de 2 m de comprimento e 0,3 cm de diâmetro se estende por uma
sala a 15 °C. Calor é gerado no fio como resultado do aquecimento da resistência,
o fio atinge 152 °C. As medidas de tensão e corrente elétrica são 60 V e 1,5 A,
respectivamente. Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção
para transferência de calor entre a superfície externa do fio e o ar na sala.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
51
RADIAÇÃO
Os cientistas Stefan-Boltzmann estudou o fenômeno da radiação emitida e
absorvida pelos corpos. Matematicamente, a máxima radiação emitida por um
corpo é expressa pela Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde,
𝜎 = 5,67 ∙ 10−8
W
m2K4
- constante de Stefan-Boltzmann;
𝑇𝑠 − Temperatura da superfície.
Essa radiação é o máximo valor que pode ser emitido por um material. Este caso é
um valor teórico, visto que nenhum corpo pode emitir toda energia – corpo negro.
4
,maxemit sQ AT
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
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RADIAÇÃO
A radiação absorvida por uma superfície, por
sua vez, pode ser dada por:
O cálculo acima é uma consequência da
conservação da energia. Sendo que parte da
radiação incidida é refletida e uma outra
parcela é absorvida pelo material.
No caso de corpo negro, 𝛼 = 1, logo,
∝ - Absortividade (0≤∝≤1)
abs incQ Q
abs incQ Q
depende da superfície





Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
53
RADIAÇÃO
A radiação absorvida por um material pode ser
aproximada para a seguinte expressão:
Pela Lei de Kirchoff, em várias situações reais a
absortividade se iguala a emissividade. Sendo
assim,
Taxa de transferência de calor devido a radiação
4
abs vizQ AT
4 4( )rad s vizQ A T T 
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
54
RADIAÇÃO
A Equação anterior faz o balanço de radiação em uma superfície. Dessa forma,
Se , - Calor Sai da Superfície
Se , - Calor entra da Superfície
0radQ  emit absQ Q
0radQ 
emit absQ Q
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
55
Já sabemos agora como os mecanismos de transferência de calor funciona,
basta agora torna-los aplicáveis.
▪ Na realidade e nos problemas que seguirão a condução, a convecção e a
radiação podem trabalhar simultaneamente. Sendo assim, devemos ter um
cuidado nestes casos. Sendo importante seguir alguns passos:
I. Definição do problema: definindo os dados principais e as variáveis que
necessitam ser determinadas.
II. Desenho do problema: indicando o volume de controle e a superfície de
controle.
III. Indicar as saídas e as entradas de calor: quando uma delas for
desconhecida, convencione um sentido.
IV. Aplique a 1º Lei da Termodinâmica para a transferência de calor, faça as
considerações necessárias e determine a variável.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
56
IMPORTANTE:
A geração de calor e o calor acumulado são grandezas que dependem do
volume de um dado material. Entretanto, em muitos casos analisamos somente
a superfície de controle de um dado problema. Sendo assim,
A 1º lei para transferência de energia em uma superfície de controle se
configura como sendo:
0 0
ent saiE E
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
57
EXEMPLO 5
Considere a transferência de calor entre duas placas paralelas com temperaturas
constantes T1 = 300 K e T2 = 200 K, que estão separados por uma distância L = 1cm.
Considere a emissividade igual 1 e determine o fluxo de calor entre as placas,
considerando que o espaço entre as placas é preenchido com:
a) ar atmosférico (kar = 0,022 W/m.K);
b) b) evacuado;
c) c) com isolamento de poliuretano (kiso = 0,026 W/m.K).
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
2. Mecanismos de Transferência de Calor
58
EXEMPLO 6
Um reservatório esférico de 3 m de diâmetro é utilizado para armazenar uma mistura
água-gelo a 0 °C. O reservatório está ao ar livre a 25 °C. Assumindo que todo o
tanque de aço está a 0°C e, assim, a resistência térmica do reservatório é
desprezível, determine: a) a taxa de transferência de calor para mistura no
reservatório b) A quantidade de gelo a 0 °C que derrete durante um período de 24
horas. O calor de fusão é hf = 333,7 kJ/kg. A emissividade é 0,75 e o coeficiente de
convecção é 30 W/m².K. A temperatura da vizinhança é 15 °C.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
59
Até o tópico passado nos detivemos ao caso em que a condução de calor ocorre
de maneira unidimensional. No entanto, em muitos dos casos reais a condução de
calor acontece em todas as dimensões.
Condução de calor 
na direção de x e y
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
60
Isso se dá devido ao fato do fluxo de transferência de calor ser uma grandeza
vetorial. Isto é,
No caso da condução de calor, onde o fluxo de calor por condução é dado por:
Espera-se que na condição de fluxo de condução na condição de transferência
tridimensional tenhamos o seguinte resultado:
'' '' '' '' ˆˆ ˆ
x y zq q i q j q k  
'' cond
cond
Q
q
A

'' ˆˆ ˆ
cond
T T T
q k i j k
x y z
   
    
   
''
condqk
T
 

Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
61
Além da transferência de calor apresentar-se como tridimensional, a temperatura,
embora não seja uma grandeza vetorial, é expressada em termos das coordenadas
espaciais e do tempo. Ou seja,
Apesar do fluxo de calor ser facilmente determinado pela relação anterior, a
distribuição de temperatura através de um dado material não é assim tão fácil de ser
determinada. Neste caso, tomaremos um material de forma paralelepipédica
qualquer similar ao apresentado abaixo:
( , , , )T T x y z t
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
62
Para determinarmos uma equação geral que representa a condução de calor nas
três dimensões, consideraremos uma transferência de calor que acontece nos três
eixos coordenados.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
63
Aplicando a 1º Lei da Termodinâmica para transferência de calor, temos,
Abrindo os termos 𝑑 + 𝑑𝑛 em série de Taylor, onde n é uma direção genérica, segue
que,
int
ent sai g
dE
E E E
dt
  
    intx y z x dx y dy z dz g
dE
Q Q Q Q Q Q E
dt
        
x
x dx x
y
y dy y
z
z dz z
Q
Q Q dx
x
Q
Q Q dy
y
Q
Q Q dz
z












Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
64
Logo,
Sabendo que a energia gerada se distribui por todaa extensão do sólido, podemos
escrever o calor gerado ( ሶ𝐸𝑔) em termos do volume do material ( ሶ𝑒𝑔), ou ainda,
  intyx zx y z x y z g
QQ dEQ
Q Q Q Q dx Q dy Q dz E
x y z dt
  
              
intyx z
g
QQ dEQ
dx dy dz E
x y z dt
  
         
g
g g g
E
e E e V
V
  
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
65
Além disso, consideraremos que a taxa de energia interna só é responsável por variar
a temperatura do material. Sendo assim,
Aplicando essas definições na equação geral,
Escrevendo os termos ሶ𝑄𝑛 como sendo a equação de condução de calor de Fourier,
segue que,
int intdE mcdT dE VcdT  
yx z
g
QQ Q T
dx dy dz e V Vc
x y z t
             
x y z g
T T T T
kA dx kA dy kA dz e V Vc
x x y y z z t
                       
           
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
66
Observando a figura, percebemos que as áreas normais a cada direção de
transferência de calor são:
Logo,
Sendo ,
x
y
z
A dydz
A dxdz
A dxdy



g
T T T T
k dxdydz k dxdydz k dxdydz e V Vc
x x y y z z t
                   
           
V dxdydz
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
67
Simplificando os termos em comum,
Onde a equação acima representa a Equação Geral da Condução de Calor.
I. Representa a condução de calor em todo espaço;
II. Apresenta o termo de energia gerada;
III. Apresenta o termo de energia acumulada.
g
T T T T
k V k V k V e V Vc
x x y y z z t
                   
           
g
T T T T
k k k e c
x x y y z z t
                   
           
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
68
Equação Geral do Calor – Coordenadas Cilíndricas
.
2
1 1
p
T T T T
kr k k q c
r r r r z z t
                            ge
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
69
Equação Geral do Calor – Coordenadas Esféricas
2
2 2 2
.
2
1 1
1
p
T T
kr k
r r r r sen
T T
ksen q c
r sen t
  
 
  
     
   
      
   
  
   ge
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
70
Apesar de abordar uma gama de casos reais, normalmente podemos aproximar a
condutividade térmica do material para um valor constante. Nesse caso,
Definiremos a partir daqui a difusividade térmica (∝), como sendo a razão entre a
energia que é conduzida pelo material com a que é acumulada. Sendo assim,
quando maior for ∝, maior a parcela de energia conduzida pelo material. Ainda
nesse sentido, quando menor for ∝, menor a parcela de energia conduzida, sendo
esta em sua maioria convertida em energia interna.
Logo,
² ² ²
² ² ²
geT T T c T
x y z k k t
    
    
    
k
c



Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
3. Equação da Condução de Calor
71
A equação acima é chamada de Equação de Fourier-Biot. É aplicável em todos os
casos desde que a condutividade térmica seja constante.
Além dos casos já apresentados, em muitas situações podemos aproximar o regime
de condução de calor como sendo permanente, e não transiente (dependente do
tempo). Nesse caso,
A equação acima é denominada de Equação de Poisson.
² ² ² 1
² ² ²
geT T T T
x y z k t
    
    
    
² ² ²
0
² ² ²
geT T T
x y z k
   
    
   
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
72
Além deles, podemos também apresentar mais combinações da Equação Geral do
Calor:
² ² ² 1
² ² ²
T T T T
x y z t
    
   
    
² ² ²
0
² ² ²
T T T
x y z
   
   
   
Equação da Difusão – Regime Transiente sem 
geração de calor
Equação de Laplace – Regime Permanente 
sem geração de calor
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
73
Nos casos que estudaremos a seguir, nos deteremos a transferência de calor
unidimensional, com e sem a geração de calor. Para chegar nessa condição, as
considerações devem ser devidamente realizadas e organizadas.
(1) Transferência de calor por condução Unidimensional;
(2) Sem a geração de calor;
(3) Regime Permanente;
(1) Transferência de calor por condução Unidimensional;
(2) Regime Permanente;
²
0
²
ged T
dx k
 
  
 
²
0
²
d T
dx

1
² 0
²
geT
r
r r r k
  
  
  
1
0
geT
r
r r r k
  
  
  
1
0
T
r
r r r
  
 
  
1
² 0
²
T
r
r r r
  
 
  
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
74
É importante notar que as equações apresentadas anteriormente são de segunda
ordem. Logo necessitamos de duas condições de contorno para determinar o perfil
de temperatura em um material nas condições apresentadas.
É importante saber que o fluxo de calor é conservado em todo processo
permanente. Isto é, caso exista um processo de troca de calor que envolva um outro
mecanismo a não ser a condução PARA UMA SUPERFÍCIE DE CONTROLE, o fluxo de
calor entre esses dois processos é igual (PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA).
'' '' ''
cond rad convq q q 
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
75
CASO 1 – Temperatura na superfície 
constante
( 0) sT x T 
(
)
T
x
CASO 2 – Com troca de calor 
devido a convecção
sT
(
)
T
x
0
( ( 0)) ( )s
x
dT
k h T T x h T T
dx
 

     
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
76
CASO 3 – Com um fluxo de calor 
externo genérico
(
)
T
x
CASO 4 – Temperatura na superfície 
constante
(
)
T
x
''
0
s
x
dT
k q
dx 
 
0
0
x
dT
k
dx 
 
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
77
CASO 3 – Com um fluxo de calor 
externo genérico
(
)
T
x
CASO 4 – Temperatura na superfície 
constante
(
)
T
x
''
0
s
x
dT
k q
dx 
 
0
0
x
dT
k
dx 
 
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
78
EXEMPLO 7
Considere uma grande parede plana de espessura L = 0,2 m, condutividade térmica
k = 1,2 W/m.K e área A = 15 m². Os dois lados da parede são mantidos a
temperaturas constantes de T1 = 120 °C e T2 = 50 °C, respectivamente. Determine:
a) a distribuição de temperatura na parede e o valor da temperatura em x = 0,1 m
e
b) b) a taxa de condução de calor pela parede sob condições permanentes.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
79
EXEMPLO 8
A base de um ferro de passar de 1.200 W tem espessura
0,5 cm, área da base 300 cm² e condutividade térmica
15 W/m.K. A superfície interna da placa é submetida a
um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência
interna, enquanto a superfície externa perde calor para o
meio, T∞ = 20 °C, por convecção. Considerando h = 80
W/m².K e desprezandoa perda de calor por radiação,
determine a distribuição de temperatura e as
temperaturas das superfícies interna e externa
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
80
EXEMPLO 9
Considere uma tubulação de comprimento 20 m, raio interno 6 cm, raio externo 8
cm e condutividade térmica 20 W/m.K. As superfícies interna e externa da
tubulação são mantidas a T1 = 150 °C e T2 = 60 °C, respectivamente. Obtenha a
distribuição de temperatura sob condições permanentes e determine a taxa de
perda de calor do vapor pelo tubo.
Fenômenos de Transporte – Transferência de Calor
4. Condução de Calor em Regime Permanente
81
EXEMPLO 10
Considere um recipiente esférico de raio interno 8 cm, raio externo 10 cm e
condutividade térmica 45 W/m.K. As superfícies interna e externa são mantidas a T1
= 200 °C e T2 = 80 °C, respectivamente, como resultado de reações químicas que
ocorrem no seu interior. Determine a distribuição de temperaturas no interior da
casca em condições de regime permanente e a taxa de perda de calor.