fluxo eletrico

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ELETROMAGNETISMO I 
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2.1 - A LEI DE GAUSS 
 
Esta lei é regida por princípios muito simples e de fácil entendimento. O conceito geral de fluxo como 
sendo o escoamento de um campo vetorial que atravessa uma secção qualquer, pode ser estendido 
para explicar o campo elétrico. 
 
Conceito O fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga total 
envolvida por essa superfície (Lei de Gauss) 
 
O trabalho de Gauss consistiu na formulação matemática do enunciado acima, que já era conhecido 
e entendido como óbvio. Em outras palavras, o fluxo total de qualquer escoamento é emanado por 
uma fonte envolvida por uma superfície fechada, não importando sua forma geométrica. 
Gostaríamos apenas de frisar aqui que a superfície tem que ser fechada para que possa envolver 
toda a fonte e se deixe atravessar pelo fluxo total resultante. 
Eletricamente, imagine uma distribuição de cargas envolvida por uma superfície fechada S (figura 
2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora tomar um incremento vetorial de superfície 

S admitido como plana. Este vetor terá 
uma orientação no espaço, perpendicular ao plano que tangencia a superfície S neste ponto (centro 
de 

S ) apontando para fora da superfície fechada. A densidade de fluxo que atravessará a 
superfície elementar 

S é dada pelo vetor 

Ds genericamente formando um ângulo  com 

S em 
cada ponto da superfície fechada em questão. 
 
O fluxo elementar que atravessa 

S será então: 
 
    
 
D S D S Cs s. cos ( ) (2.1) 
 
 é uma grandeza (escalar), resultante do produto escalar entre os vetores 

Ds e 

S . 
 
Nestas condições, o fluxo total que atravessa a superfície fechada S será então: 
 
    d D dS Css
 
. ( ) (2.2) 
 
A integral resultante é realizada sobre uma superfície fechada (daí o símbolo S ), fruto de uma 
integral dupla. Esta superfície é freqüentemente chamada de superfície gaussiana. 
 
Assim, a Lei de Gauss é então matematicamente formulada como: 
 
Q 
S 
D 
 
x 
y 
Figura 2.1 Distribuição de cargas no 
interior de uma superfície gaussiana. 
2 FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS 
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  D dS Q Cs
s
. ( )  (2.3) 
 
A carga envolvida pode ser de qualquer tipo: cargas pontuais discretas, linhas de cargas, distribuição 
superficial de cargas ou uma distribuição volumétrica de cargas. Desta forma, a Lei de Gauss pode 
ser generalizada em termos de cargas em distribuições uniformes respectivamente volumétricas, 
superficiais ou lineares, conforme abaixo: 
 
 
)C(dLSd.D
)C(dSSd.D
)C(dvSd.D
L Ls s
S Ss s
v vs s









 (2.4) 
 
A integral realizada sobre o lado esquerdo da equação pode ter um domínio diferente daquela 
realizada sobre o lado direito. Daí ressaltarmos na expressão intermediária o domínio S da superfície 
fechada daquele S contendo a carga superficial. 
 
Exemplo 2.1 
Calcular o fluxo que atravessa a superfície de uma esfera de raio a metros, produzido por uma carga 
elétrica Q coulombs, concentrada no centro dessa esfera. 
 
Solução: 
 
Sabemos que na superfície de uma esfera de raio 
a, a densidade de fluxo elétrico é: 
 

D
Q
a
a C ms r 4 2
2

.  ( / ) 
 
O elemento diferencial de área, conforme Fig. 
2.2., em coordenadas esféricas é: 
 
θdφdθsenaθdφdθsenrdS 22  
 
 
 
Figura 2.2 Elemento diferencial de área 
 
 
O produto escalar SDs

 é então dado por: 
 
  








ddsen
4
Qaˆ.ddsenaaˆ.
a4
Q
r
2
r2 
 
Os limites de integração foram escolhidos de 
modo que a integração seja realizada sobre a 
superfície uma única vez. 
 
A integral de superfície será: 
 
 
 

0
2
0
ddsen
4
Q 
 
Integrando primeiro em relação a  e em seguida 
em relação a  
 
)C(Q)cos(
2
Qdsen
2
Q
00




 
 
Ficando pois comprovado que: 
 
 
D dS Q Cs
s
. ( )  
 
Exemplo 2.2 
Calcular o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície esférica, de centro na origem, possuindo 
raio r = 10 m, sendo que a distribuição de carga é composta por uma linha de cargas ao longo do 
eixo z, definida por l = 2e2|z| C/m na região –2  z  2 m e l = 0 no restante. 
 
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Solução: 
 
Existem duas maneiras de se resolver este 
problema: 
 
Aqueles que adoram resolver integrais 
complicadas podem encontrar uma expressão 
para o campo elétrico em um ponto qualquer 
da superfície de raio r, e integrá-la em toda a 
superfície. 
 
Aqueles um pouco mais espertos podem 
simplesmente integrar a função de distribuição 
de cargas ao longo de z, de -2 a 2 m. A lei de 
Gauss garante que os resultados serão os 
mesmos, para qualquer dos dois casos. 
 
Então: 
Q e dz Cz
 2
2
2
2
( ) 
 
Como a função módulo não é contínua, 
vamos dividir a integral acima em duas 
integrais: 
 
Q e dz e dz Cz z 
 2 2
2
2
0 2
0
2
( ) 
 
Q e ez z  

2 2
2
0
0
2
 
 
Q e e C      1 1 107 194 4 , ( ) 
 
2.2 - A RELAÇÃO CONSTITUTIVA ENTRE O FLUXO E O CAMPO ELÉTRICO 
 
Sabe-se que uma carga pontual cria um campo elétrico no vácuo expresso em coordenadas 
esféricas pela equação vetorial (1.6). Por outro lado, o exemplo 2.1 define o fluxo que este mesmo 
campo elétrico cria ao atravessar uma superfície esférica, portanto fechada. Uma análise imediata 
mostra que existe uma relação entre a densidade de fluxo D e o campo elétrico correspondente E 
definida pela permissividade 0 do meio, no caso, o espaço livre ou o vácuo. Vetorialmente esta 
relação constitutiva pode ser dada por: 
 
 ED 0

 (2.5) 
 
 
Exemplo 2.3 
 Considere uma linha infinita de cargas. Utilizando a Lei de Gauss encontre a expressão para o 
campo elétrico em um ponto do espaço, criado por esta distribuição linear. 
 
Solução: 
 
De discussões anteriores sobre o campo 
elétrico de uma linha infinita de cargas, vimos 
que o campo elétrico é radial e só varia com o 
raio r. 
 
Portanto: 
 
D D a C mr r .  ( / )
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A superfície gaussiana selecionada é um 
cilindro de raio r e comprimento L, com eixo 
coincidente coma própria linha de cargas. 
 
Aplicando a Lei de Gauss: 
 
Q D dS D dS dS dS
lado topo base
     
 
. 0 0 
 
L2DrdzrdDQ
L
0
2
0
  

 
 
D
Q
rL r
C ml 
2 2
2



( / ) 
 
D 
S 
D 
D S 
r 
L 
S 
Figura 2.3 Superfície gaussiana em 
torno de uma linha infinita de cargas 
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 
E D a
r
a N Cr l r 

0 02
.  .  ( / )
 
Exemplo 2.4 
Encontrar a expressão para o campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de 
cargas. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da discussão do capítulo anterior, o campo 
elétrico produzido por uma distribuição 
superficial e plana de cargas terá a direção da 
normal à superfície, no ponto onde se deseja 
calcular o campo elétrico. 
A superfície gaussiana utilizada será um 
pequeno cilindro, de altura h e área de base 
S. Uma das metades da superfície cilíndrica 
(curva) estará acima da superfície carregada e 
a outra metade abaixo dela. 
Aplicando então a Lei de Gauss: 
 
Q D dS dS D dS D dS
lado topo base
    
 
. 0 
 
s S D S D S    
 
D s 
2
 
 
n
S aˆ
2
ρD 

 ; n
0
S aˆ
ε2
ρE 

 
 
 
 
 
Por este exemplo chegamos à conclusão (em princípio absurda) de que o campo elétrico em um 
ponto, provocado por uma distribuição superficial de cargas, não depende da distância entre o 
ponto e a superfície. Não se esqueça de que este raciocínio foi feito para uma distribuição infinita 
de cargas, que não existe na prática. Uma distribuição superficial finita de cargas pode ser 
considerada como infinita se a distância do ponto de interesse à distribuição superficial de cargas for 
muito pequena, comparada com as dimensões da mesma. Para pontos mais distantes, a distribuição 
não exibe simetria especular e não pode ser considerada infinita, o que invalida a expressão acima. 
 
 
Exemplo 2.5 
Dois condutores cilíndricos coaxiais, para efeitos práticos são considerados como sendo de 
comprimento infinito. O cilindro interno é maciço, de raio a. O cilindro externo, oco, possui raio 
interno b e raio externo c. Uma carga de densidade superficial s (C/m
2) é colocada na superfície do 
condutor interno. Avaliar o campo elétrico em todo o espaço, a partir do centro dos cilindros (r = 0) 
até o exterior onde r > c. O meio entre os condutores possui permissividade elétrica 0. 
 
Solução:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quatro superfícies gaussianas (fechadas) 
cilíndricas concêntricas de comprimento L são 
traçadas e as fronteiras entre elas serão por 
enquanto ignoradas. 
A primeira delas S1 possui um raio r < a. 
Portanto: 
S2 
S3 
S1 
a 
c 
b 
E Figura 2.5 Corte transversal das superfícies 
gaussianas em um cabo coaxial 

D 

S 


S 

D 
Figura 2.4 Superfície gaussiana para 
uma distribuição superficial de cargas. 
S4 
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0SdDQ
1S


 
Como a carga está distribuída na superfície 
onde r = a, E

 = 0 no interior do cilindro 
interno. 
 
A segunda superfície gaussiana S2 possui um 
raio a < r < b. 
 
)a(S
)a(S
2S
dSSdD

 
 
A primeira integral é calculada sobre a 
superfície gaussiana de raio r e a segunda 
sobre a superfície carregada do condutor 
interno com raio a. Seguindo os exemplos 
anteriores, pela geometria, observamos que a 
densidade de fluxo possui o seu módulo 
constante em função da distância radial r. 
Portanto para S(a) = S vem: 
 
D rd dz ad dzs
LL
  
 
0
2
0
2
00    
 
D rL aLs2 2   
 
A carga total envolvida por S2 e a densidade 
de fluxo nesta superfície fechada são 
respectivamente: 
 
SaL2Q  
 
D
a
r
C ms ( / )
2 
 
Se a carga for expressa por unidade de 
comprimento, sua densidade linear ficará: 
 
sl a2L
Q
 
 
A correspondente densidade de fluxo será 
 
)m/C(
r2r
a
a2
D 2ll





 
 
E o campo elétrico será expresso por 
 
 
E D
r
a N Cl r 

0 02
.  ( / ) 
 
expressão idêntica à obtida para uma linha 
reta (infinita) eletricamente carregada. 
 
A terceira superfície gaussiana S3 é um 
cilindro com raio r, tal que b < r < c. A carga 
interna com densidade s induz uma carga 
oposta de igual magnitude na superfície 
interna do condutor externo de raio b 
eletricamente neutro, e assim a carga total 
envolvida por esta superfície é nula. 
 
Portanto: 
 
0SdD
3S


 
 
O campo elétrico no interior do cilindro 
externo, também condutor, é nulo. 
 
A quarta superfície gaussiana S4 é um cilindro 
externo maior de raio r > c. A carga induzida 
na superfície interna do condutor externo por 
sua vez induz uma carga oposta a ela de 
mesma magnitude na superfície externa do 
condutor externo, com raio c. Portanto: 
 
QSdD
4S


 
 
 
)c(S
)c(S
4S
dSSdD

 
 
cL2rL2D )c(S  
 
)m/C(
r
cD 2)c(S 
 
Como as cargas induzidas são iguais: 
 
bL2aL2 )b(S)a(S  
 
bL2cL2 )b(S)c(S  
 
onde 
 
abc )a(S)b(S)c(S  
 
Embora as cargas sejam iguais em 
intensidade, as densidades superficiais não o 
são. 
 
Desta forma 
 
)m/C(
r2r
aD 2l)a(Sext 

 
 
Aplicando a relação constitutiva teremos o 
campo elétrico externo dado por 
 
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 
E D
r
a N Cext
ext l
r 

0 02
.  ( / ) 
 
Esta é a mesma expressão para o campo 
produzido pelo condutor interno. 
 
O condutor externo não exerce influência 
sobre o campo elétrico produzido pela 
distribuição de cargas do condutor interno. 
Em outras palavras, externamente ao 
conjunto, tudo se passa como se o campo 
fosse criado por uma distribuição linear de 
cargas ao longo do eixo do cabo coaxial. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 - COMENTÁRIOS 
 
A lei de Gauss fornece o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada envolvendo uma 
distribuição de cargas, ou seja, determina o fluxo criado por um campo elétrico. A intensidade ou 
módulo deste campo elétrico pode ser obtida pela aplicação direta da lei de Gauss e o emprego da 
relação constitutiva entre a densidade de fluxo e o correspondente campo elétrico. Neste caso, para 
que o vetor do campo elétrico seja conhecido, torna-se necessário o conhecimento da configuração 
ou disposição geométrica das suas linhas de força. 
 
Pelos exemplos que acabamos de resolver, podemos concluir que somente o conhecimento da 
simetria do problema nos permite escolher superfícies gaussianas adequadas. O não conhecimento 
dessa simetria torna a solução do problema pela Lei de Gauss extremamente complicada. 
 
Problemas que não possuem simetria conhecida são resolvidos de uma forma um pouco diferente, 
como será visto no próximo capítulo. 
r (m) a b c 
 E 
(N/C) 
Figura 2.6 Comportamento do campo elétrico em função de r. 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Determine o fluxo que passa através de uma superfície fechada S envolvendo as cargas 
pontuais Q1 = 30 nC, Q2 = 140 nC e Q3 = ─ 70 nC. 
2) Uma superfície gaussiana qualquer envolve duas cargas iguais em módulo e polaridades 
opostas. Há fluxo atravessando-a? Determine este fluxo em caso afirmativo. 
3) O eixo x contém uma distribuição linear uniforme de carga L = 50 nC/m. Qual o fluxo 
elétrico por unidade de comprimento que passa através de uma fita definida pelo plano z = 3 
m limitado por y = ± 2 m? 
4) Generalize para o problema anterior o caso de uma fita plana, paralela à linha carregada, 
mas que não possui simetria em relação a ela. 
5) Dado o vetor densidade de fluxo ou deslocamento elétrico yx aˆ3aˆx2D 

 (C/m2), calcule o 
fluxo total que atravessa um cubo de arestas com 2 m, centrado na origem de um sistema 
cartesiano tri-ortogonal e com as arestas paralelas aos eixos das coordenadas. 
6) O eixo z de um sistema coordenado contém uma distribuição uniforme de cargas, com 
densidade l = 50 nC/m. Calcule o campo Elétrico 

E em (10,10,25) m, expressando-o em 
coordenadas cartesianas e cilíndricas. 
7) Existem duas configurações lineares de carga, com densidades iguais, l = 6 nC/m, paralelas 
ao eixo z, localizadas em x = 0 m , y = 6 m. Determine o campo elétrico 

E em (–4,0,z) m. 
8) Uma superfície fechada S envolve uma distribuição linear finita de cargas definida pelo 
intervalo 0  L   m, com densidade de cargas l = –0 sen (L/2) C/m. Qual é o fluxo total 
que atravessa a superfície S ? 
9) Na origem de um sistema de coordenadas esféricas existeuma carga pontual Q C. Sobre 
uma casca esférica de raio a uma carga (Q'- Q) C está uniformemente distribuída. Qual é o 
fluxo elétrico que atravessa a superfície esférica de raio k m, para k < a e k > a ? 
10) Uma área de 40,2 m2 sobre a superfície esférica de raio 4 m é atravessada por um fluxo de 
15 C de dentro para fora. Quanto vale a carga pontual localizada na origem do sistema 
relacionado a tal configuração esférica? 
11) Uma carga pontual Q = 6 nC está localizada na origem de um sistema de coordenadas 
cartesianas. Quanto vale o fluxo  que atravessa a porção do plano z = 6 m limitada pelo 
intervalo –6  y  6 m; –6  x  6 m ? 
12) Dado que 

D e a
z
b
a C m
r
b
r z 

30 2 2( / ) em coordenadas cilíndricas, calcule o fluxo total que 
sai da superfície de um cilindro circular reto descrito por r = 2b m, z = 0, z = 5b m. 
13) Na origem de um sistema de coordenadas esféricas existe uma carga pontual Q = 1500 pC. 
Uma distribuição esférica concêntrica de cargas elétricas de raio r = 2 m tem uma densidade 
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18 
s = 50 pC/m2. Qual a densidade de cargas de outra superfície esférica, com r = 3 m, 
concêntrica com o sistema, para resultar D = 0 em r > 3 m? 
14) Um capacitor de placas paralelas, tendo o ar como dielétrico de permissividade 0, contém 
uma distribuição superficial de carga S C/m2 na armadura positiva. Por indução, existe uma 
carga de mesma distribuição e polaridade oposta na armadura negativa. Desprezando o 
efeito de borda (espraiamento do campo elétrico), use a lei de Gauss para calcular o campo 
E para a região entre as placas e fora delas. 
15) Uma película infinita com densidade uniforme s = (10-9/6) C/m2 está localizada no plano 
definido por z = – 5 m. Outra película com densidade s = (–10-9/6) C/m2 está localizada 
em outro plano z = 5 m . Calcule a densidade linear uniforme, l , necessária para produzir 
o mesmo valor de 

E em (5,3,3) m, supondo que esta última se localize em z = 0, y = 3? 
16) Certa configuração engloba as seguintes duas distribuições uniformes. Uma película 
carregada com s = -60 nC/m2, uniforme, em y = 3 m, e uma reta uniformemente 
carregada, paralela ao eixo x, com l = 0,5 C/m, situada em z = –3 m, y = 2 m. Aonde o 
campo 

E será nulo ? 
17) Tem-se a seguinte distribuição volumétrica de cargas: – 2 C/m3 onde –2 < y < –1 m, 2 
C/m3 para 1 < y < 2 m e  = 0 para todo o restante. Use a lei de Gauss para determinar D 
em todo o espaço. Esboce o gráfico Dy vs. y.