lista1

Prévia do material em texto

CF356 – Estrutura da Mate´ria
Lista 1
(Cap. 7 – Eisberg & Resnick, 8a edic¸a˜o)
[4] (a) Determine, em ele´trons-volt, as energias dos treˆs n´ıveis do a´tomo de hidrogeˆnio, nos estados definidos por n =1,
2 e 3. (b) Calcule enta˜o as frequeˆncias, em hertz, e os comprimentos de onda, em angstrons, dos fo´tons que podem ser
emitidos pelo a´tomo em transic¸o˜es entre esses n´ıveis. (c) Em que regia˜o do espectro eletromagne´tico esta˜o esses fo´tons?
[7] (a) Calcule a posic¸a˜o em que a densidade radial de probabilidade e´ ma´xima, para o estado n = 2, l = 1 do a´tomo de
hidrogeˆnio. (b) Calcule em seguida o valor esperado da coordenada radial nesse estado. (c) Interprete o significado f´ısico
da diferenc¸a das respostas de (a) e (b).
[8] (a) Calcule o valor esperado V da energia potencial no estado fundamental do a´tomo de hidrogeˆnio. (b) Mostre que,
no estado fundamental, E = V /2, onde E e´ a energia total. (c) Use a relac¸a˜o E = K + V para calcular o valor esperado
K da energia cine´tica no estado fundamental e motre que K = −V /2. Essas relac¸o˜es, obtidas para qualquer estado de
movimento de qualquer sistema quaˆntico (ou cla´ssico) com um potencial da forma V (r) ∝ −1/r, sa˜o a`s vezes denominadas
Teorema do virial.
[14] Prove que L2op ψnlml = l(l + 1)~2 ψnlml . (Sugesta˜o: use a equac¸a˜o diferencial satisfeita por Θnlml(θ).)
[15] Sabemos que ψ = eikx e´ uma autofunc¸a˜o do operador energia total para o problema unidimensional de potencial
nulo. (a) Mostre que tambe´m e´ uma autofunc¸a˜o do operador momento linear pop e determine o autovalor associado. (b)
Repita para ψ = e−ikx. (c) Interprete o significado dos resultados (a) e (b) com relac¸a˜o a`s medidas do momento linear.
(d) Sabemos tambe´m que ψ = cos kx e ψ = sen kx sa˜o autofunc¸o˜es do operador energia Hop para o potencial nulo. Sa˜o
elas tambe´m autofunc¸o˜es de pop? (e) Interprete os resultados de (d).
[17-23] Rotor r´ıgido quaˆntico bidimensional. Uma part´ıcula de massa µ esta´ presa numa extremidade de uma barra
r´ıgida de massa desprez´ıvel e comprimento R. A outra extremidade da barra gira no plano xy em torno de um suporte
localizado na origem, e cujo eixo tem direc¸a˜o z.
Esse “rotor r´ıgido” bidimensional esta´ representado na figura ao lado. (a) Escreva uma
expressa˜o para a energia total do sistema em termos de seu momento angular L. (Sugesta˜o:
tome o valor zero para a energia potencial constante e expresse a energia cine´tica em termos
de L.) Introduzindo operadores apropriados na equac¸a˜o da energia, converta-a na equac¸a˜o
de Schro¨dinger
−~
2
2I
∂2Ψ(ϕ, t)
∂ϕ2
= i~
∂Ψ(ϕ, t)
∂t
onde I = µR2 e´ o momento de ine´rcia e Ψ(ϕ, t) e´ a func¸a˜o de onda escrita em termos da
coordenada angular ϕ e o tempo t. (Sugesta˜o: como o momento angular so´ tem direc¸a˜o z,
L = Lz e o operador correspondente e´ Lzop = −i~ ∂/∂ϕ.)
(b) Aplicando a te´cnica de separac¸a˜o de varia´veis, desdobre a equac¸a˜o de Schro¨dinger e obtenha a equac¸a˜o de Schro¨dinger
independente do tempo e a equac¸a˜o para a dependeˆncia temporal da func¸a˜o de onda, quais sejam
−~
2
2I
∂2Φ(ϕ)
∂ϕ2
= E Φ(ϕ) e
dT (t)
dt
= − iE
~
T (t).
Nessas equac¸o˜es E e´ a constante de separac¸a˜o e Φ(ϕ)T (t) = Ψ(ϕ, t), a func¸a˜o de onda. (c) Resolva a equac¸a˜o para a
dependeˆncia temporal da func¸a˜o de onda. Mostre que a constante de seprac¸a˜o E e´ a energia total. (d) Mostre que uma
soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o de Schro¨dinger independente do tempo e´ Φ(ϕ) = eimϕ onde m =
√
2IE/~. (e) Aplique
a condic¸a˜o de univocidade a` soluc¸a˜o particular do item anterior. Mostre enta˜o que os valores permitidos para a energia
total E do rotor r´ıgido quaˆntico bidimensional sa˜o
E =
m2~2
2I
, |m| = 0, 1, 2, 3, · · ·
Compare os resultados da MQ com os obtidos pela antiga teoria quaˆntica no problema 34 do Cap´ıtulo 4. Discuta por que
o rotor r´ıgido quaˆntico bidimensional na˜o tem energia de ponto zero. Explique por que ele na˜o e´ um modelo totalmente
real´ıstico para um sistema microsco´pico. (f) Normalize as func¸o˜es Φ(ϕ) = eimϕ. (g) Calcule o valor esperado para o
momento angular L do rotor num estado quaˆntico t´ıpico, usando as autofunc¸o˜es encontradas no item anterior. Calcule
em seguinda L2, L
2
e a variaˆncia ∆L = (L2 − L2)1/2. Interprete os resultados sobre os valores de L que seriam obtidos
numa se´rie de medidas sobre o sistema.