ALGAIM143 1314 teste2 resolucao (2)

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Teste 2 – 18-12-2013 – Duração 2h
Resolução
Nas perguntas 1-6 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
As respostas às perguntas 9 e 10 devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 6 7a b c d 8a b c 9a b c 10a b c
1. (0, 6 val.) Considere os subespaços A = {p(x) ∈ R2[x] : p(−1) = p(1)} de R2[x] e B = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y + z =
0 e − x+ y − z = 0} de R4.
dimA = 3 e dimB = 2. x dimA = 2 e dimB = 3. dimA = 3 e dimB = 3. dimA = 2 e dimB = 2.
2. (0, 6 val.) Em R3, considere o subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y+2z = 0} e os conjuntos A = {(1, 1, 0), (−2, 0, 1)}
e B = {(1, 1, 0), (2, 0,−1), (0, 2, 1)}.
A gera S e B não gera S. A e B são livres. B é uma base de R3. x A e B geram S.
3. (0, 6 val.) Considere a matriz
(
1 3
−1 0
)
de passsagem da base canónica de R2 para uma outra base b de R2. Seja
u = (1, 2).
x u = (7,−1)b u = (7, 1)b b = ((1,−1), (3, 0)) b = ((1, 3), (−1, 0))
4. (0, 6 val.) Seja f : R3 → R3 a função linear definida por f(x, y, z) = (x+ y + z, x− y, y + z) para (x, y, z) ∈ R3.
f é injetiva mas não é sobrejetiva. f não é injetiva. x f tem inversa. det(f) = det(f ◦ f).
5. (0, 6 val.) Seja f : R3 → R2 a função linear definida por f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (1,−1) e f(0, 1, 1) = (2, 0).
f(x, y, z) = (x+ y + 2z, x− y) para (x, y, z) ∈ R3.
x f(1, 2,−3) = (0,−4).
f(1, 1, 1) = (4, 0).
ker(f) = {(0, 0, 0)}.
6. (0, 6 val.) Considere as seguintes matrizes de entradas reais: A =
 1 1 10 2 1
0 0 1
 e B =
 1 1 10 2 0
0 0 1
.
x A é diagonalizável e B não é diagonalizável.
B é diagonalizável e A não é diagonalizável.
A e B são diagonalizáveis.
A e B não são diagonalizáveis.
7. Sejam f, g : R3 −→ R3 as aplicações lineares tais que MBc,Bc(f) =
 1 1 01 −1 1
3 3 −3
 e MBc,Bc(g) =
 1 1 −10 1 0
1 1 −1

(onde Bc é a base canónica de R3). Indique sem justificar:
a) (0, 5 val.) f(1, 1,−1) = (2,−1, 9) b) (0, 7 val.) f ◦ g(x, y, z) = (x+ 2y − z, 2x+ y − 2z, 3y)
c) (0, 7 val.) ker(f ◦ g) = {(x, 0, x) : x ∈ R} d) (0, 6 val.) um conjunto de geradores de Im g : {(1, 0, 1), (1, 1, 1)}
8. Em R3, considere o subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+y+z = 0}, a base ortonormadaB =
(
1√
2
(1, 0,−1), 1√
6
(−1, 2,−1)
)
de S e os vetores u = (2,−1,−1), v = (−1,−1,−1); indique sem justificar:
a) (0, 6 val.) Coordenadas de u na base B:
(
3√
2
,− 3√
6
)
b) (0, 7 val.) A projeção ortogonal de v sobre S: (0, 0, 0)
c) (0, 7 val.) O complemento ortogonal de S em R3: {(x, x, x) : x ∈ R}
9. Sejam f : R3 → R3 a função linear tal que f(x, y, z) = (x− y,−2x+ 2y,−3x+ 3y) e B = ((1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)).
a) (0, 8 val.) Determine a matriz de f relativamente à base B e à base canónica de R3.
Denotando por Bc a base canónica de R3, calculando f(1, 1, 0) = (0, 0, 0) = (0, 0, 0)Bc , f(0, 0, 1) = (0, 0, 0) = (0, 0, 0)Bc e
f(1, 0, 0) = (1,−2,−3) = (1,−2,−3)Bc , obtemos assim que MB,Bc(f) =
 0 0 10 0 −2
0 0 −3
.
b) (0, 8 val.) Determine as coordenadas de (x, y, z), para (x, y, z) ∈ R3, na base B de R3.
As coordenadas de (x, y, z) na base B são α, β, γ onde α, β, γ ∈ R se determinam resolvendo o sistema linear em α, β, γ
resultante da equação (x, y, z) = α(1, 1, 0) + β(0, 0, 1) + γ(1, 0, 0):
(x, y, z) = (y, z, x− y)B .
c) (0, 8 val.) Usando o produto de matrizes, determine a matriz de f relativamente à base B de R3.
Temos que MBB(f) = MBc B(id)MBBc(f). Por b) obtemos que (1, 0, 0) = (0, 0, 1)B , (0, 1, 0) = (1, 0,−1)B e (0, 0, 1) =
(0, 1, 0)B . Logo,
MBc,B(id) =
 0 1 00 0 1
1 −1 0
 .
Usando a matriz calculada em a) obtemos
MBB(f) =
 0 1 00 0 1
1 −1 0
 0 0 10 0 −2
0 0 −3
 =
 0 0 −20 0 −3
0 0 3
 .
10. a) (0, 7 val.) Mostre que se f é um endomorfismo de um espaço vectorial E, então ker(f) ⊆ ker(f ◦ f).
Se v ∈ ker(f) então f(v) = 0E . Logo, (f ◦ f)(v) = f(f(v)) = f(0E) = 0E e v ∈ ker(f ◦ f).
b) (0, 8 val.) Dê um exemplo de um endomorfismo f tal que ker(f) = ker(f ◦ f) e de um endomorfismo g tal que
ker(g) 6= ker(g ◦ g)
Por exemplo, f : R2 → R2 tal que f(x, y) = (x, y) para (x, y) ∈ R2;
Por exemplo, g : R2 → R2 tal que g(x, y) = (y, 0) para (x, y) ∈ R2.
c) (1 val.) Mostre que se ker(f) = ker(f ◦ f), então ker(f ◦ f) = ker(f ◦ f ◦ f).
De maneira análoga à de a) verifica-se que ker(f ◦ f) ⊆ ker(f ◦ f ◦ f) (se u ∈ ker(f ◦ f) então f(f(u)) = 0E , logo
f(f(f(u))) = f(0E) = 0E , portanto u ∈ ker(f ◦ f ◦ f)). Falta mostrar a outra inclusão. Seja v ∈ ker(f ◦ f ◦ f). Portanto
(f ◦ f ◦ f)(v) = (f ◦ f)(f(v)) = 0E . Assim, f(v) ∈ ker(f ◦ f). Como ker(f ◦ f) = ker(f) obtemos que f(v) ∈ ker(f) e
f(f(v)) = 0E , isto é, v ∈ ker(f ◦ f).