Movimento Retilíneo

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MOVIMENTO 
RETILÍNEO
INTRODUÇÃO
 Cinemática – parte da
mecânica que estuda o
movimento sem se preocupar
com as forças que o origina.
 Dinâmica – estuda a relação
entre o movimento e suas
causas.
 Estática - estuda as relações
de equilíbrio.
Mecânica - Estuda as
relações entre movimento,
massa e força.
2
REFERENCIAL E TRAJETÓRIA
REFERENCIAL – ponto de referência para o qual um corpo está em movimento ou
em repouso.
TRAJETÓRIA – caminho percorrido ou ocupado pelo móvel no decorrer do tempo.
PARTÍCULA – termo usado para dizermos que o objeto é pontual ou o objeto se
move de tal forma que todas as partes se movem na mesma direção e com a mesma
rapidez.
3
POSIÇÃO
x (m)
-2 -1 0 1 2
Sentido negativo
Sentido positivo
Origem
 Localização do móvel no 
espaço.
Vetores de movimento unidimensional têm apenas uma
componente, a componente x.
 Use o símbolo x para denotar o vetor posição
 Não colocamos setas em vetores unidimensional
 Todos os vetores posição são medidos em relação à origem do sistema
de coordenadas, que pode ser escolhida arbitrariamente.
 O vetor x pode ser positivo ou negativo (seu módulo, é sempre positivo)
4
DESLOCAMENTO E DISTÂNCIA
∆𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
DESLOCAMENTO = Diferença entre uma posição final x2 e a
posição inicial x1.
 O deslocamento é um vetor, assim como a posição; ele pode ser
negativo.
 O deslocamento é independente da localização da origem do
sistema de coordenadas (ao contrário da posição)
DISTÂNCIA
No movimento unidimensional, a distância é o valor absoluto da
componente x do vetor deslocamento
 A distância é sempre positiva (ou 0)
 Distância é uma escalar, deslocamento é um vetor
|∆𝒙| = 𝑠
5
EXEMPLO 1
 A distância entre Des Moines, Iowa e Iowa City é de 113,5 milhas
ou 182,6 km. (Obs.: Uma linha reta com uma boa aproximação). Se
fizermos uma viagem de Des Moines a Iowa City e de volta a Des
Moines, qual a distância total e o deslocamento total desta viagem?
6
VELOCIDADE
Qualitativamente, o quão rápido um corpo pode se deslocar é
denominado de velocidade – rapidez.
VELOCIDADE MÉDIA
É a razão entre o deslocamento e
o intervalo de tempo durante o
qual ocorre o deslocamento.
𝑣𝑚é𝑑 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
VELOCIDADE ESCALAR
MÉDIA
A velocidade escalar média
envolve a distância total
percorrida, independentemente
da direção e sentido.
𝑠𝑚é𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Δ𝑡
Unidade de Medida do SI para a velocidade é m/s.
7
EXEMPLO 2
Sistemas de CoordenadasPartícula
Deslocamento
velocidade média
(Sears,2002)8
EXEMPLO 3
velocidade média
(Sears,2002)
9
VELOCIDADE GRAFICAMENTE
(Sears,2002)
10
EXEMPLO 4
Você dirige uma picape mal conservada numa estrada reta por 8,4 km a 70km/h,
quando a picape pára por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, você caminha
adiante outros 2,0 km pela estrada até chegar a um posto de gasolina.
(a) Qual o seu deslocamento total desde a saída com a picape até a sua chegada ao
posto?
(b) Qual o intervalo de tempo Δt do início da sua viagem até a chegada ao posto?
(c) Qual a sua velocidade média do início da viagem até a chegada no posto?
Determine esta velocidade tanto numérica quanto graficamente.
(d) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar para a picape você leve mais
45 min. Qual a sua velocidade escalar média do início da viagem até você voltar
para a picape com gasolina? 11
EXEMPLO 4
(Halliday 9ªedição)
12
EXEMPLO 5
 Suponha que uma nadadora termine os primeiros 50 m dos 100 m
em nado livre em 38,2 s. Assim que ela chega ao lado oposto da
piscina de 50 m de comprimento, ela volta e nada até o ponto de
partida em 42,5 s.
Questão:
Qual (a) a velocidade média e a velocidade escalar média da
nadadora para a ida do início até o lado oposto da piscina, (b) a
volta e o percurso total?
(Livro Física para Universitários- Mecânica – Bauer, Westfall e Dias)
13
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Velocidade da partícula em um determinado instante (ou
simplesmente velocidade) - é o limite da velocidade média quando
o intervalo de tempo tende a zero; ela é igual à taxa de variação de
posição com o tempo.
VELOCIDADE ESCALAR 
INSTANTÂNEA
É o módulo da velocidade; ou seja, a
velocidade escalar é a velocidade
destituída de qualquer indicação de
direção e sentido 𝑣
𝑣 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Instante possui um significado
diferente do seu significado na vida
cotidiano. Contudo na física, um
instante não possui nenhuma
duração, ele se refere a um único
valor definido para o tempo. 14
VELOCIDADE MÉDIA E 
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Velocidade Média Velocidade Instantânea
(Sears,2002)
15
LEMBRETES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
Derivadas
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1
𝑑(𝑎𝑢)
𝑑𝑥
= 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
, 
onde a = constante
𝑑
𝑑𝑥
𝑢 + 𝑣 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 = 𝑚𝑥𝑚−1
Integrais
 𝑑𝑥 = 𝑥
 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑢 + 𝑣 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑥
 𝑥𝑚 𝑑𝑥 =
𝑥𝑚+1
𝑚 + 1
, onde m ≠ −1
 
𝑑𝑥
𝑥
= ln(𝑥)
16
EXEMPLO 5
Resolva as Derivadas:
(𝑎)
𝑑 𝑦2
𝑑𝑦
=
(𝑏)
𝑑(𝑥5)
𝑑𝑥
=
(c) 
𝑑 3𝑡4+4𝑡3
𝑑𝑡
=
(𝑑)
𝑑(𝑣+2)
𝑑𝑣
=
Resolva as Integrais:
𝑎 𝑣 + 2 𝑑𝑣=
(𝑏) 𝑥2 𝑑𝑥 =
(𝑐) (3,9 𝑡4 + 1,5𝑡2) 𝑑𝑡 =
(𝑑) 0
2
𝑥3 +𝑥2 𝑑𝑥 =
(𝑒) 8,2 𝑑𝑦 =
(𝑓) 𝑦−2 𝑑𝑦 =
17
EXEMPLO 6
A posição de uma partícula que se
move sobre um eixo x é dada por
𝑥 = 7,8 + 9,2 𝑡 − 2,1 𝑡3,
com x em metros e t em segundos. Qual
a sua velocidade em t = 3,5 s? A
velocidade é constante ou ela está
variando continuamente?
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ACELERAÇÃO MÉDIA E 
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofre
aceleração (ou se acelera).
ACELERAÇÃO MÉDIA
𝑎𝑚é𝑑 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑣2 − 𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
𝑎 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
Unidade de Medida do SI para a aceleração é m/s2.
19
ACELERAÇÃO GRAFICAMENTE
(Sears,2002)
20
EXEMPLOS 7 E 8 
7) A posição de uma partícula no
eixo x é dada por
com x em metros e t em segundos.
(a)Determine a função v(t) que
fornece a velocidade da partícula e
a função a(t) que fornece a
aceleração.
(b) Existe algum tempo no qual v =
0?
𝑥 = 4 − 27𝑡 + 𝑡3
8) Suponha que a velocidade vx de um
carro em qualquer instante t seja dada
pela equação
(a) Ache a variação da velocidade
média do carro no intervalo de tempo
t1 = 1,0 s e t2 = 3,0 s.
(b) Ache a aceleração média do carro
nesse intervalo de tempo.
(c) Deduza uma expressão geral para a
aceleração instantânea em função do
tempo, a partir dela, calcule a
aceleração para t =1,0 s e t = 3,0 s.
𝑣𝑥 = 60
𝑚
𝑠
+ 0,50
𝑚
𝑠3
𝑡2
21
MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORME (MU)
 Sabendo que:
𝑣 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Se t0 = 0
 𝑣𝑑𝑡 = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = 
𝑥0
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡0
𝑡
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 ⇨ 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡0
𝑡
𝑣 𝑑𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣Δ𝑡
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝒕
v = constante = vmed
Espaço é linear no tempo
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VELOCIDADE CONSTANTE
ACELERAÇÃO 
NULA
𝒗 = constante
Movimento Retilíneo Uniforme
(MRU)
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑚𝑒𝑑 𝑡𝑣𝑚é𝑑 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 𝑡0
v (m/s)
t (s)O
a (m/s2)
t (s)O
s (m)
t (s)O
Graficamente
23
MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
 Sabendo que:
𝑎 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Se t0 = 0
 𝑎 𝑑𝑡 = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡𝑑𝑡 = 
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = 𝑣 − 𝑣0
𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑡0
𝑡
𝑎(𝑡) 𝑑𝑡 ⇨ 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑡0
𝑡
𝑎(𝑡) 𝑑𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎Δ𝑡
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕
a = constante = amed
Velocidade é linear no tempo
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MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
 Sabendo que:
𝑎 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Substituindo t0 = 0
:
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡0
𝑡
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 (I) 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡 (II)
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡0
𝑡
𝑣0 + 𝑡0
𝑡
𝑎 𝑡 𝑑𝑡 =𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 
𝑡0
𝑡
(𝑣0+𝑎𝑡) 𝑑𝑡
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐
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MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
 Resolva 𝑡 =
𝑣 𝑡 −𝑣0
𝑎
para o tempo e obtenha:
 Substitua este resultado na expressão da posição:
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0
𝑣 𝑡 − 𝑣0
𝑎
+
1
2
𝑎
𝑣 𝑡 − 𝑣0
𝑎
2
𝑥 𝑡 = 𝑥0 +
𝑣 𝑡 𝑣0 − 𝑣0
2
𝑎
+
1
2
𝑎
𝑣 𝑡 2 − 2𝑣 𝑡 𝑣0 + 𝑣0
2
𝑎
 Subtraia x0 de ambos os lados e multiplique por a:
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐
26
MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
𝑣 𝑡 2 = 𝑣0
2 + 2𝑎[𝑥(𝑡) − 𝑥0]
𝑎 𝑥 𝑡 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑣0 − 𝑣0
2 +
1
2
𝑣 𝑡 2 − 𝑣 𝑡 𝑣0 +
1
2
𝑣0
2
𝑎 𝑥 𝑡 − 𝑥0 =
1
2
𝑣 𝑡 2 −
1
2
𝑣0
2
2 𝑎 𝑥 𝑡 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡
2 − 𝑣0
2
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ACELERAÇÃO CONSTANTE
𝒂𝒎𝒆𝒅 = a
ACELERAÇÃO
CONSTANTE
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
(MRUV)
𝑎𝑚é𝑑 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 𝑡
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎 𝑡2
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎 (𝑥 − 𝑥0)
Graficamente
(Sears,2002)
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MOVIMENTO UNIFORMEMENTE 
VARIADO
I – Movimento 
ACELERADO: 
quando v e a tem o 
mesmo sinal. Se v > 0 
→ a > 0 , e se v < 0 → 
a < 0
II – Movimento 
RETARDADO: 
quando v e a tem sinais 
opostos. Se v < 0 → a 
< 0 , e se v < 0 → a > 0
t
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EXEMPLO 9 
Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do Estado de São
Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da
cidade. Sua aceleração é constante e igual a 4,0 m/s2. No instante t = 0 ele está a
5,0 m a leste do sinal, movendo-se para leste a 15 m/s.
(a) Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s.
(b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?
(Sears,2002)
30
EXEMPLO 10 
Um carro corre com velocidade constante de 25 m/s (≈ 90 km/h) em
uma zona escolar. Um carro da polícia parte do repouso justamente
quando o corredor passa por ele e acelera à taxa constante de 5,0 m/s2.
(a) Quando o carro de polícia alcançará o carro que ultrapassou o
limite? (b) Quão rápido estará o carro da polícia ao alcança-lo?
31
(Tipler, 2016)
QUEDA LIVRE DOS CORPOS
Pensamento de Aristóteles ≈ séc IV 
a.C
Pensamento de Galileu Galilei – séc. 
XVII
Acreditava que objetos “mais pesados”
caiam com uma rapidez maior que outros
“menos pesados”, com velocidades
proporcionais aos respectivos pesos.
Verificou, quando minimizados os efeitos
de resistência do ar, que objetos de vários
pesos, soltos ao mesmo tempo, caiam
juntos e atingiam o chão ao mesmo tempo.
32
QUEDA LIVRE DOS CORPOS
Pensamento de Galileu Galilei – séc. XVII
Um corpo deve cair com aceleração constante
independentemente do seu peso e forma, considerando a
distância de queda livre pequena em comparação ao raio
da Terra, e os pequenos efeitos de rotação.
Aceleração da gravidade (g) 
≈ 9,80 m/s2= 980 cm/s2
MRUV
 Todos os objetos caem com a mesma
velocidade, porque a = -g = constante
 É preciso eliminar a resistência do ar para
observar isto
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EQUAÇÕES CINEMÁTICAS –
QUEDA LIVRE
x
y
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡
𝑦 − 𝑦0 = 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔 𝑡2
𝑣2 = 𝑣0
2 − 2𝑔 (𝑦 − 𝑦0)
tempo de queda (tq)
−𝑦0 = −
1
2
𝑔 𝑡2
x
y
y0 v0 = 0
y = 0
𝑡𝑞 =
2𝑦0
𝑔
Velociadde que atinge o solo (vf)
𝑣2 = −2𝑔 (−𝑦0)
𝑣 = 2𝑔𝑦0
34
EXEMPLO 11
Uma bola é jogada verticalmente para cima com velocidade inicial de
27,0 m/s.
Questão 1: Desprezando a resistência do ar, por quanto tempo a bola
fica no ar?
Questão 2: Qual a altura máxima atingida pela bola?
Questão 3: Na verdade, a bola bateu em um pássaro em sua trajetória
ascendente quando tinha metade de sua velocidade inicial. Em que
altura isto ocorreu?
(Livro Física para Universitários- Mecânica – Bauer, Westfall e Dias)
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EXEMPLO 12
Você me arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. A
bola deixa sua mão com velocidade de 15 m/s em um ponto que coincide com a
extremidade superior do parapeito do edifício; a seguir ela passa a se mover em
queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a
queda.
No local do edifício, g = 9,8 m/s2. Calcule:
(a) a posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão;
(b) a velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito;
(c) a altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura; e
(d) a aceleração da bola quando ela se encontra na altura máxima.
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VELOCIDADE TERMINAL
Até agora a resistência do ar tem sido completamente desprezada. No
entanto, os movimentos de queda de um corpo em uma determinada
altura sofrem a influência da resistência do ar.
A velocidade máxima atingida por um corpo em queda livre chama-se
velocidade terminal.
ar
vaziov
vf
t
(Livro: Física Conceitual) 37
BIBLIOGRAFIA
HALLIDAY, D. , RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Física 1 -
Mecânica - 10ª ed., Rio de Janeiro, LTC, 2016.
HALLIDAY, D. , RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Física 1 –
Mecânica - 9ª ed. , Rio de Janeiro, LTC, 2012.
TIPLER, P.A., Física para cientistas e engenheiros, v.1, 6ª ed., Rio de Janeiro:
LTC, 2016.
SEARS, F. W. E ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H.D., Física. I, Rio de Janeiro.
Livros Técnicos e Científicos., 12ª ed. 2016.
BAUER, W., WESTFALL, G. D., DIAS, H. Física para Universitários: Mecânica,
v.1. São Paulo: McGrawHill, 2015.
HEWITT, P. G, Física Conceitual. 12ªEdição. Porto Alegre:Bookman,2015
38